第二十五章一元二次方程每日一练2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程解法与应用，以“基础解法-原理深化-实际应用-综合突破”为逻辑主线，系统提炼直接开平、因式分解等方法，培养运算能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |直接开平方法|4题|移项开平方，含系数化简|从x²=a到(ax+b)²=c的递进| |因式分解法|8题|提公因式、平方差、十字相乘|整式乘法逆运算的应用深化| |配方法/公式法|8题|配方变形、求根公式推导|代数变形能力与算法优化| |判别式与根与系数关系|4题|Δ判断根情况、韦达定理应用|方程根的性质从定性到定量| |实际问题与综合应用|12题|建模转化、换元法、分类讨论|从数学抽象到实际问题解决|

第1天直接开平方法 1.x2-64=0 解： 2.(x-3)P-25=0 解： 3.3x2-12=0 解： 4.(2x+1)P=16 解： 第2天因式分解法（提公因式、平方差） 1 1.x2-7x=0 解： 2.x2-25=0 解： 3.4x2-9=0 解： 4.x(X-2)=X-2 解 第3天因式分解法（十字相乘） 2 1.x2+7x+12=0 解： 2.x2-5x+6=0 解： 3.x2+x-12=0 解： 4.2x2-3x-2=0 解： 第4天配方法 1.x2-4x-5=0 解： 2.x2+2x-4=0 解： 3.x2-6x+2=0 解： 4.x2-3x+1=0 解 第5天公式法（含根号） x 1.x2-2x-2=0 解： 2.2x2-4x-1=0 解： 3.x2+3x-1=0 解： 4.3x2-5x+1=0 解： 第6天判别式与根与系数的关系 1.关于x的方程x2+4x+m=0有两个相等的实数根，求m的值。 解： 2.关于x的方程x2一6x+k=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围。 解： 3.已知x1、x2是方程x2-5x+3=0的两根，求(x1+1)2+1)的值。 解 4.已知x1、2是方程2x2+3x-1=0的两根，求x12+x22的值。 解： 第7天实际问题与一元二次方程 6 1.原价200元的商品连续两次按相同百分率降价，两次后售价为128元，求 每次降价的百分率。 解： 2.一个矩形的长比宽多2cm,面积为24cm2,求这个矩形的宽。 解： 3.两个连续偶数的平方和等于100，求这两个偶数。 解： 4.某班同学互赠元旦贺卡，全班共送出90张贺卡，求这个班共有多少名同学。 解： 7 第8天综合提高 1.用换元法解方程：(x2+x)2-8(x2+x)+12=0。 解： 2.关于x的方程x2-(2m-1)x+m2=0有实数根，求m的取值范围。 解： 3.已知、阝是方程x2-2x-5=0的两根，求a-β1的值。 解： 4.解方程：(x-1)x+3)=6。 解： 8 第9天可化为一元二次方程的方程 1.解方程：(2x-1)=(x+2}。 解： 2.解方程：x4-5x2+4=0。 解 3.已知x与它的倒数之和等于3(x≠0)， 解： 4.解方程：(x+3)x+6)=x2+1。 解： 9 求x的值。 第10天压轴训练 1.关于x的方程m-1)x2+2x+1=0有实数根，求m的取值范围。 解： 2.已知x1、x2是方程x2+2x+a=0的两个实数根，且x12+x2=6,求a的 值。 解： 3.已知关于x的方程x2-2(m+1)x+m2=0的两根满足x1+X2=3x1x2-6, 求m的值。 解： 4.一个直角三角形的两条直角边之和为14，面积为24，求它的斜边长。 10 武 、 4 参考答案与解析 第1天直接开平方法 第1天第1题答案：X=±8 解析：移项得x2=64,两边直接开平方，得x=8,即x1=8,x2=-8。 第1天第2题答案：X=8或X=-2 解析：移项得(x-3)2=25,开平方得x-3=±5，所以X1=8,X2=-2。 第1天第3题答案：X=±2 解析：化为x2=4,开平方得x=±2，即x1=2,x3=-2。 第1天第4题 省案X月成《=子 5 解析：开平方得2x+1=士4。当2x+1=4时，x=2;当2x+1=-4时，x= 2° 第2天因式分解法（提公因式、平方差) 第2天第1题答案：X=0或x=7 解析：提公因式得x(x-7)=0,所以x=0或x-7=0,即x1=0,x2=7。 第2天第2题答案：X=±5 解析：用平方差公式(x+5)x-5)=0,得x1=5,x=-5。 第2天第3题 管案：X昌或X 2 解折：平方差(2x+3X2x-3)=0,得2x=+3,所以x=+号 12 第2天第4题答案：X=2或x=1 解析：移项得xx-2)-(区-2)=0，提公因式(x-2)x-1)=0,得x1=2,x2= 1。 第3天因式分解法（十字相乘） 第3天第1题答案：X=-3或X=-4 解析：十字相乘分解为（区+3）x+4)=0,得x1=-3,x2=-4。 第3天第2题答案：X=2或X=3 解析：分解为（区-2）x-3)=0,得x1=2,2=3。 第3天第3题答案：X=3或x=-4 解析：分解为(x-3)x+4)=0,得x1=3,X2=-4。 第3天第题省案：水-2成X号 解析：分解为(2x+1)x-2)=0,得2x+1=0或x-2=0,所以x1=2,X2= 第4天配方法 第4天第1题答案：x=5或x=-1 解析：配方得(-2)2=9，开平方x-2=±3，得x1=5,X=-1。 第4天第2题答案：x=-1±V5 解析：配方得（区+1）=5，开平方x+1=±5，即x=-1±5。 13 第4天第3题答案：x=3±V7 解析：配方得（区-3=7，开平方得x=3±7。 第4天第4题管案：×=35 2 解析：配方得(《-3尸=5’开平方x一3=±5，所以X=3±5· 24 2 2 2 第5天公式法（含根号) 第5天第1题答案：x=1±/3 解析：a=1,b=-2,c=-2,△=b-4ac=4+8=12,x=2±V12,化简得x= 2 1±3。 第5天第2题答案： x=2±96 2 解折：a=2,b=-4,c=-1,△=16+8=24，x=4±24，约分得x=2±6 4 2 第5天第3题答案： x=-3±/13 2 14 解析：a=1,b=3,c=-1,△=9+4=13，x=-3±/13° 2 第5天第4题答案： x=5±/13 6 解析：a=3,b=-5,c=1,△=25-12=13，x=5±/13° 6 第6天判别式与根与系数的关系 第6天第1题答案：m=4 解析：△=42-4m=16-4m。两根相等需△=0，即16-4m=0,解得m=4。 第6天第2题答案：k<9 解析：△=36-4k>0,解得k<9。 第6天第3题答案：原式=9 解析：由根与系数关系X1+x=5,xX=3。展开(X1+1)x2+1)=xX+(x1+ x2)+1=3+5+1=9。 第6天第4题 答案：原式=13 4 解折：X+=3?X=1X+0=(1+0-2x0=9+1=13 2 2 4 4 第7天实际问题与一元二次方程 第7天第1题答案：降价百分率为20% 15 解析：设每次降价率为x,则200(1-x)2=128,即(1-x)2=0.64,开方1-x= 0.8,得x=0.2=20%。 第7天第2题答案：宽为4cm 解析：设宽为xcm,则长为（区+2）cm,x区+2)=24，即x2+2x-24=0,(x 4)x+6)=0,取x=4。 第7天第3题答案：这两个偶数为6和8 解析：设较小偶数为x,则x2+(x+2)2=100,化简得x2+2x-48=0,(区-6)(x +8)=0,取x=6,另一个为8。 第7天第4题答案：共10名同学 解析：设x名同学，每人送出(x-1)张，则x(x-1)=90,即x2-x-90=0,(x -10)(x+9)=0,取x=10。 第8天综合提高 第8天第1题答案：X=1,-2,2,-3 解析：令t=x2+X,得-8t+12=0,(t-2)t-6)=0,t=2或6。t=2时x +x-2=0,x=1或-2：t=6时x2+x-6=0,x=2或-3。 第9天第2题答案：m≤子 1 解析：△=(2m-1P-4m2=-4m+1≥0，解得m≤4 16 第8天第3题答案：|a-β|=2V6 解析：+B=2,邺=-5。la-1=V[(@+2-4邱]=(4+20)=24=2V6。 第8天第4题答案：x=-1±/10 解析：展开整理得x2+2x-3=6,即x2+2x-9=0,配方（区+1）？=10，得x= -1±10° 第9天可化为一元二次方程的方程 第9天第1题 答案：x=3或x= 3 解析：两边开平方得2x-1=(x+2)。取正号x=3;取负号2x-1=-x-2, 1 即3x=-1,x=-3 第9天第2题答案：x=±1或X=±2 解析：令t=x2,得-5t+4=0,t-1)t-4)=0,t=1或4，即x2=1或x =4,所以x=士1或士2。 第天第3题答张X=3生5 2 解折：列方程x+文-3，两边乘x得x+1-3x,即-3x+1=0,解得x 3±5（均满足x≠0）。 2 第9天第4题 答案：x=-1 17 解折：展开得9x+18三x+1,消去足得9x=7,所以X马。 第10天压轴训练 第10天第1题答案：m≤2 1 解析：当m-1=0即m=1时为一次方程2x+1=0,有根x=-2:当m≠1 时，△=4-4m-1)=8-4m≥0，得1m≤2。综上m≤2。 第10天第2题答案：a=-1 解析：X1+X2=-2,x1X=a。X12+xz2=(X1+x2)P-2x1x2=4-2a=6,解得a= -1,此时△=4-4a=8>0,成立。 第10天第3题答案：m=2 解析：x1+x2=2m+1),x1x2=m2。代入得2m+2=3m2-6,即3m2-2m-8 .4 =0,(3m+4)m-2)=0,m=2或m=-3。又△=4m+1)少-4m2=8m+4≥ 0需m2分故含去m=手取n=2. 1 第10天第4题答案：斜边长为10 解析：设两直角边为a、b,则a+b=14,ab=24得ab=48。斜边=a2+b =(a+b)2-2ab=196-96=100,所以斜边=10。 18