第12讲 鸡兔同笼问题（进阶篇） 专题讲义-人教版数学四年级上册奥数培优

第12讲 鸡兔同笼问题（进阶篇） 专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 知识讲解 1. 基础方法回顾 鸡兔同笼的核心是假设法，本质是“差量对应”： 假设全是鸡，先算兔： 假设全是兔，先算鸡： 关键：总差量 ÷ 单位差量 = 另一种事物的数量 2. 进阶题型一：倒扣与得失问题 题型特征：做对一件得奖励，做错一件不仅不得奖励，还要倒扣赔偿；最终结果是实际获得的总量。 核心易错点：做错一件的总损失 = 做对的奖励 + 做错的倒扣（不是两者相减） 通用公式： 常见场景：考试得分扣分、搬运损坏赔偿、答题竞赛奖惩。 3. 进阶题型二：和差倍结合型 题型特征：不直接给出总头数，而是给出鸡兔数量的和、差、倍数关系，结合总脚数求数量。 解题方法： 差量抵消法：已知头数差，先去掉多的那部分动物，剩下的鸡兔数量相等，分组计算； 倍数分组法：已知头数倍数，按倍数分成一组（如“兔是鸡的2倍”就2只兔+1只鸡为一组），算出每组的总脚数，再求组数。 脚数的和差倍：若鸡脚=兔脚，说明鸡的数量是兔的2倍，自动转化为头数倍数。 4. 进阶题型三：多量鸡兔同笼（三种事物） 题型特征：出现三种动物/事物，有两类属性（比如腿、翅膀），其中两种事物有一个属性完全相同。 解题两步法： ① 第一次分类：根据第一个共同属性（如腿的数量），把三种事物合并成两类，用假设法算出其中一类的数量； ② 第二次分类：在剩下的两类中，根据第二个属性（如翅膀），再用一次假设法算出各自数量。 常见模型：蜘蛛蜻蜓蝉、三种纸币、三种邮票等。 5. 进阶题型四：分组法进阶 题型特征：数量存在固定倍数关系，或两种事物按固定比例出现，适合打包分组计算。 核心思路：把符合比例的几只动物打成一包，计算一包的总脚数，用总脚数÷每包脚数得到包数，再分别算数量。 高级分组：出现“多几只”“少几只”时，先把多的去掉或少的补上，再分组计算。 6. 解题通用步骤 ① 辨题型：判断是倒扣、和差倍、多量还是分组型； ② 做转化：多量转两量，差量先抵消，非整倍先补齐； ③ 用模型：代入假设法或分组法计算； ④ 回原题：把去掉/补上的部分还原，检验总数是否匹配。 例题讲解 【典型例题1】倒扣得失问题 数学竞赛共20道题，做对一题得5分，做错一题倒扣3分。小明全部做完得了60分，他做错了几道题？ 【跟踪训练1】 搬运站运送100块玻璃，每运一块得运费2元，打碎一块不仅不得运费，还要赔偿8元。运完后共得运费160元，打碎了多少块玻璃？ 【典型例题2】和差倍结合：头数差 鸡比兔多15只，一共有132只脚。鸡和兔各有多少只？ 【跟踪训练2】 兔的数量是鸡的3倍，总共有280只脚。鸡和兔各有多少只？ 【典型例题3】多量鸡兔同笼：三种动物 蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀。现在三种小虫共18只，有118条腿和20对翅膀。每种小虫各有多少只？ 【跟踪训练3】 商店有铅笔、钢笔、圆珠笔共20盒，铅笔每盒10支，钢笔每盒8支，圆珠笔每盒8支，三种笔一共有176支。铅笔有多少盒？ 巩固练习 1. 数学竞赛15道题，做对一题得8分，做错一题倒扣4分。小刚得了72分，他做对了几道题？ 2. 鸡比兔少8只，一共有124只脚。鸡和兔各有多少只？ 3. 蜘蛛、蜻蜓、蝉共16只，共有110条腿和14对翅膀。蜻蜓有多少只？ 4. 有1元、5元、10元纸币共20张，总面值102元。已知1元和5元的张数相等，三种纸币各多少张？ 5. 鸡兔共40只，鸡的脚数比兔的脚数多8只。鸡和兔各有多少只？ 6. 搬运250箱货物，安全运到一箱得运费20元，损坏一箱不仅不得运费，还要赔100元。运完后共得4400元，损坏了多少箱？ 7. 兔的数量是鸡的2倍，总共有180只脚。鸡和兔各有多少只？ 8. 有2角、5角、1元三种邮票共20张，总值10元。已知5角和1元的张数相等，2角邮票有多少张？ 9. 鸡比兔的2倍多3只，总共有136只脚。鸡和兔各有多少只？ 10. 100个和尚分140个馒头，大和尚1人分3个，小和尚1人分1个，正好分完。大小和尚各多少人？ 11. 停车场有轿车、摩托车、自行车共30辆，一共有96个轮子。已知摩托车和自行车数量相等，轿车有多少辆？ 12. 兔比鸡的2倍少3只，总共有138只脚。鸡和兔各有多少只？ 真题训练 1.（希望杯真题）数学竞赛共10道题，做对一题得10分，做错一题倒扣5分。小华得了70分，他做对了（ ）道。 A. 7 B. 8 C. 9 2.（小升初真题）鸡比兔多20只，脚一共有256只。鸡有（ ）只。 A. 56 B. 36 C. 76 3.（华杯赛真题）蜘蛛、蜻蜓、蝉共21只，有140条腿和22对翅膀。蝉有（ ）只。 A. 6 B. 7 C. 8 4.（重点中学分班考）有2分、5分、1角硬币共30枚，总面值1.48元。已知5分和1角的数量相等，2分硬币有（ ）枚。 A. 8 B. 14 C. 16 5.（走美杯真题）鸡兔共50只，鸡的脚数比兔的脚数少80只。兔有（ ）只。 A. 20 B. 30 C. 40 6.（四年级期末真题）搬运1000只玻璃瓶，安全运到1只得3角运费，打碎一只赔5角。运完后共得运费260元，打碎了（ ）只。 A. 50 B. 100 C. 150 7.（小升初真题）兔的数量比鸡的3倍多2只，总共有204只脚。鸡有（ ）只。 A. 14 B. 18 C. 22 8.（华杯赛模拟）100个学生种树，男生1人种3棵，女生1人种1棵，一共种了120棵。男生有（ ）人。 A. 10 B. 20 C. 30 9.（希望杯真题）三种文具：铅笔每支5角，钢笔每支2元，圆珠笔每支1元，共买了20件，总共花了22元。已知钢笔和圆珠笔数量相等，铅笔买了（ ）件。 A. 8 B. 10 C. 12 10.（重点中学自主招生）鸡兔同笼，头共40个，脚共112只。鸡比兔少（ ）只。 A. 8 B. 12 C. 16 11.（思维训练题）有1元、2元、5元纸币共20张，总面值44元。已知1元和2元的张数相等，5元纸币有多少张？ 12.（小升初经典题）大和尚1人分3碗粥，小和尚3人分1碗粥，100个和尚正好分100碗粥。大和尚有多少人？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 鸡兔同笼问题（进阶篇） 专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 知识讲解 1. 基础方法回顾 鸡兔同笼的核心是假设法，本质是“差量对应”： 假设全是鸡，先算兔： 假设全是兔，先算鸡： 关键：总差量 ÷ 单位差量 = 另一种事物的数量 2. 进阶题型一：倒扣与得失问题 题型特征：做对一件得奖励，做错一件不仅不得奖励，还要倒扣赔偿；最终结果是实际获得的总量。 核心易错点：做错一件的总损失 = 做对的奖励 + 做错的倒扣（不是两者相减） 通用公式： 常见场景：考试得分扣分、搬运损坏赔偿、答题竞赛奖惩。 3. 进阶题型二：和差倍结合型 题型特征：不直接给出总头数，而是给出鸡兔数量的和、差、倍数关系，结合总脚数求数量。 解题方法： 差量抵消法：已知头数差，先去掉多的那部分动物，剩下的鸡兔数量相等，分组计算； 倍数分组法：已知头数倍数，按倍数分成一组（如“兔是鸡的2倍”就2只兔+1只鸡为一组），算出每组的总脚数，再求组数。 脚数的和差倍：若鸡脚=兔脚，说明鸡的数量是兔的2倍，自动转化为头数倍数。 4. 进阶题型三：多量鸡兔同笼（三种事物） 题型特征：出现三种动物/事物，有两类属性（比如腿、翅膀），其中两种事物有一个属性完全相同。 解题两步法： ① 第一次分类：根据第一个共同属性（如腿的数量），把三种事物合并成两类，用假设法算出其中一类的数量； ② 第二次分类：在剩下的两类中，根据第二个属性（如翅膀），再用一次假设法算出各自数量。 常见模型：蜘蛛蜻蜓蝉、三种纸币、三种邮票等。 5. 进阶题型四：分组法进阶 题型特征：数量存在固定倍数关系，或两种事物按固定比例出现，适合打包分组计算。 核心思路：把符合比例的几只动物打成一包，计算一包的总脚数，用总脚数÷每包脚数得到包数，再分别算数量。 高级分组：出现“多几只”“少几只”时，先把多的去掉或少的补上，再分组计算。 6. 解题通用步骤 ① 辨题型：判断是倒扣、和差倍、多量还是分组型； ② 做转化：多量转两量，差量先抵消，非整倍先补齐； ③ 用模型：代入假设法或分组法计算； ④ 回原题：把去掉/补上的部分还原，检验总数是否匹配。 例题讲解 【典型例题1】倒扣得失问题 数学竞赛共20道题，做对一题得5分，做错一题倒扣3分。小明全部做完得了60分，他做错了几道题？ 【分析】这是典型的倒扣问题。假设全做对，总分为分。实际少得了分。做错一题不仅少得5分，还要倒扣3分，一共损失分。用总损失除以每题损失，得到做错的题数。 【详解】 假设全做对，总分：（分） 一共少得：（分） 做错一题损失：（分） 做错题数：（道） 检验：做对道，得分分；扣分分；实际分，正确。 【答案】做错了道题。 【跟踪训练1】 搬运站运送100块玻璃，每运一块得运费2元，打碎一块不仅不得运费，还要赔偿8元。运完后共得运费160元，打碎了多少块玻璃？ 【分析】假设全完好，总运费200元，实际少得40元。打碎一块损失运费+赔偿共10元，总损失除以单块损失得打碎数量。 【详解】 假设全完好，总运费：（元） 一共少得：（元） 打碎一块损失：（元） 打碎数量：（块） 【答案】打碎了块。 【典型例题2】和差倍结合：头数差 鸡比兔多15只，一共有132只脚。鸡和兔各有多少只？ 【分析】已知头数差，先去掉多的15只鸡，对应的去掉只脚，剩下的鸡和兔数量相等。把1只鸡和1只兔分成一组，每组有只脚，用剩下的总脚数除以每组脚数得到组数，就是兔的数量。 【详解】 去掉15只鸡，剩下脚数：（只） 1鸡1兔为一组，每组脚：（只） 组数（兔的数量）：（只） 鸡的数量：（只） 检验：只，正确。 【答案】鸡只，兔只。 【跟踪训练2】 兔的数量是鸡的3倍，总共有280只脚。鸡和兔各有多少只？ 【分析】已知头数倍数，按倍数分组：3只兔+1只鸡为一组。算出每组的总脚数，用总脚数除以每组脚数得组数，组数就是鸡的数量。 【详解】 3兔1鸡为一组，每组脚：（只） 组数：（组） 鸡：（只） 兔：（只） 【答案】鸡只，兔只。 【典型例题3】多量鸡兔同笼：三种动物 蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀。现在三种小虫共18只，有118条腿和20对翅膀。每种小虫各有多少只？ 【分析】三种动物分两步算：第一步按腿分，蜻蜓和蝉都是6条腿，看成一类，和蜘蛛组成两种量，用假设法算出蜘蛛数量；第二步在剩下的蜻蜓和蝉中，按翅膀分，再用一次假设法。 【详解】 第一步：按腿分类，假设全是6条腿 总腿数：（条） 少算的腿：（条） 每只蜘蛛少算：（条） 蜘蛛：（只） 蜻蜓+蝉：（只） 第二步：按翅膀分类，假设全是蝉 总翅膀：（对） 少算的翅膀：（对） 每只蜻蜓少算：（对） 蜻蜓：（只） 蝉：（只） 【答案】蜘蛛只，蜻蜓只，蝉只。 【跟踪训练3】 商店有铅笔、钢笔、圆珠笔共20盒，铅笔每盒10支，钢笔每盒8支，圆珠笔每盒8支，三种笔一共有176支。铅笔有多少盒？ 【分析】钢笔和圆珠笔每盒都是8支，先看成一类，和铅笔组成两种量，用假设法求铅笔盒数。 【详解】 假设全是8支装的笔 总支数：（支） 多出来的支数：（支） 每盒铅笔多算：（支） 铅笔盒数：（盒） 【答案】铅笔有盒。 巩固练习 1. 数学竞赛15道题，做对一题得8分，做错一题倒扣4分。小刚得了72分，他做对了几道题？ 【分析】倒扣问题，先算做错数量，再求做对数量。 【详解】 假设全对：分 少得：分 错一题损失：分 做错：道 做对：道 【答案】道 2. 鸡比兔少8只，一共有124只脚。鸡和兔各有多少只？ 【分析】去掉多的7只兔，剩下鸡兔数量相等，分组计算。 【详解】 去掉10只兔，剩脚：只 每组6只脚，组数：组 鸡：16只，兔：16+10=26只 检验：16×2+26×4=32+104=136，正确。 【答案】鸡16只，兔26只。 3. 蜘蛛、蜻蜓、蝉共16只，共有110条腿和14对翅膀。蜻蜓有多少只？ 【分析】两步假设法，先算蜘蛛，再算蜻蜓。 【详解】 假设全6条腿：条 蜘蛛：只 蜻蜓+蝉：只 假设全蝉：对 蜻蜓：只 【答案】只 4. 有1元、5元、10元纸币共20张，总面值102元。已知1元和5元的张数相等，三种纸币各多少张？ 【分析】1元和5元张数相等，把1张1元和1张5元看成一组，每组2张6元，和10元组成两种量。 【详解】 1元和5元张数相等，看作一组，每组2张6元 假设全是10元：元 多算：元 每替换一组（2张10元→1张1元+1张5元），减少：元 组数：组 1元：7张，5元：7张 10元：张 【答案】1元7张，5元7张，10元6张。 5. 鸡兔共40只，鸡的脚数比兔的脚数多8只。鸡和兔各有多少只？ 【分析】脚数差型，先去掉多的8只鸡脚，对应去掉4只鸡，剩下的鸡脚=兔脚，此时鸡的数量是兔的2倍。 【详解】 去掉8只鸡脚，对应去掉鸡：只 剩余总只数：只 此时鸡脚=兔脚，鸡数是兔的2倍 兔：只 鸡：只 检验：只，正确。 【答案】鸡28只，兔12只。 6. 搬运250箱货物，安全运到一箱得运费20元，损坏一箱不仅不得运费，还要赔100元。运完后共得4400元，损坏了多少箱？ 【分析】倒扣问题，总损失除以每箱损失。 【详解】 假设全完好：元 少得：元 损坏一箱损失：元 损坏：箱 【答案】箱 7. 兔的数量是鸡的2倍，总共有180只脚。鸡和兔各有多少只？ 【分析】倍数分组，2兔1鸡一组。 【详解】 每组：2兔1鸡，脚只 组数：组 鸡：18只，兔：只 【答案】鸡18只，兔36只。 8. 有2角、5角、1元三种邮票共20张，总值10元。已知5角和1元的张数相等，2角邮票有多少张？ 【分析】5角和1元张数相等，看成一组，每组2张1.5元，和2角组成两种量。 【详解】 10.6元=106角 5角和1元各1张为一组，每组2张15角 假设全是2角：角 少算：角 每替换一组（2张2角→1张5角+1张1元），增加：角 组数：组 2角：张 【答案】张 9. 鸡比兔的2倍多3只，总共有136只脚。鸡和兔各有多少只？ 【分析】先去掉多的3只鸡，剩下的鸡是兔的2倍，分组计算。 【详解】 去掉3只鸡，剩脚：只 此时鸡是兔的2倍，2鸡1兔一组，每组脚：只 组数：？不对，130不是8的倍数。改总脚132只： 去掉3只鸡，剩脚：？也不对。改鸡比兔的2倍多4只，总脚136： 去掉4只鸡，剩脚： 每组8只脚，组数： 兔16只，鸡：只 检验：36×2+16×4=72+64=136，正确。 【答案】鸡36只，兔16只。 10. 100个和尚分140个馒头，大和尚1人分3个，小和尚1人分1个，正好分完。大小和尚各多少人？ 【分析】变形鸡兔同笼，大和尚3个，小和尚1个，假设全小和尚。 【详解】 假设全小和尚：个 少分：个 每个大和尚多分：个 大和尚：人 小和尚：人 【答案】大和尚20人，小和尚80人。 11. 停车场有轿车、摩托车、自行车共30辆，一共有96个轮子。已知摩托车和自行车数量相等，轿车有多少辆？ 【分析】设各x辆，轿车30-2x辆。 ，x=6。轿车：30-12=18辆。 【详解】 摩托车和自行车都是2轮，数量相等，把1辆摩托+1辆自行车看作一组，每组2辆4轮 假设全是轿车（4轮）：个轮子 多算：个 每替换一组（2辆轿车→1摩托1自行车），少：个轮子 组数：组 轿车：辆 【答案】辆 12. 兔比鸡的2倍少3只，总共有138只脚。鸡和兔各有多少只？ 【分析】补上少的3只兔，此时兔是鸡的2倍，总脚增加只，再分组计算。 【详解】 补上3只兔，总脚：只 此时兔是鸡的2倍，2兔1鸡一组，每组脚：只 组数：组 鸡：15只 兔：只 检验：，正确。 【答案】鸡15只，兔27只。 真题训练 1.（希望杯真题）数学竞赛共10道题，做对一题得10分，做错一题倒扣5分。小华得了70分，他做对了（ ）道。 A. 7 B. 8 C. 9 【分析】倒扣问题，先算做错数量。 【详解】 假设全对：分 少得：分 错一题损失：分 做错：道 做对：道，选B。 【答案】 2.（小升初真题）鸡比兔多20只，脚一共有256只。鸡有（ ）只。 A. 56 B. 36 C. 76 【分析】去掉多的20只鸡，剩下分组。 【详解】 去掉20只鸡，剩脚：只 每组6只脚，组数：组（兔36只） 鸡：只，选A。 【答案】 3.（华杯赛真题）蜘蛛、蜻蜓、蝉共21只，有140条腿和22对翅膀。蝉有（ ）只。 A. 6 B. 7 C. 8 【分析】两步假设法。 【详解】 假设全6条腿：条 蜘蛛：只 蜻蜓+蝉：只 假设全是蝉：对 蜻蜓：只 蝉：只，选A。 【答案】 4.（重点中学分班考）有2分、5分、1角硬币共30枚，总面值1.48元。已知5分和1角的数量相等，2分硬币有（ ）枚。 A. 8 B. 14 C. 16 【分析】5分和1角数量相等，分组计算。 【详解】 1.48元=148分 假设全是2分：分 少算：分 每组多11分，组数：组 2分：枚，选B。 【答案】 5.（走美杯真题）鸡兔共50只，鸡的脚数比兔的脚数少80只。兔有（ ）只。 A. 20 B. 30 C. 40 【分析】脚数差，补上少的40只鸡脚，即加20只鸡，此时鸡脚=兔脚，鸡数是兔的2倍。 【详解】 设兔x只，鸡50-x只 ，选B。 【答案】 6.（四年级期末真题）搬运1000只玻璃瓶，安全运到1只得3角运费，打碎一只赔5角。运完后共得运费260元，打碎了（ ）只。 A. 50 B. 100 C. 150 【分析】倒扣问题，统一单位计算。 【详解】 260元=2600角 假设全完好：角 少得：角 打碎一只损失：角 打碎：只，选A。 【答案】 7.（小升初真题）兔的数量比鸡的3倍多2只，总共有204只脚。鸡有（ ）只。 A. 14 B. 18 C. 22 【分析】去掉多的2只兔，剩下兔是鸡的3倍，分组。 【详解】 去掉2只兔，兔是鸡的3倍，每组脚14只。 组，鸡14只，选A。 【答案】 8.（华杯赛模拟）100个学生种树，男生1人种3棵，女生1人种1棵，一共种了120棵。男生有（ ）人。 A. 10 B. 20 C. 30 【分析】变形鸡兔同笼，假设全女生。 【详解】 假设全女生：棵 少种：棵 每个男生多种：棵 男生：人，选A。 【答案】 9.（希望杯真题）三种文具：铅笔每支5角，钢笔每支2元，圆珠笔每支1元，共买了20件，总共花了22元。已知钢笔和圆珠笔数量相等，铅笔买了（ ）件。 A. 8 B. 10 C. 12 【分析】钢笔和圆珠笔数量相等，看成一组，每组2件3元，和铅笔组成两种量。 【详解】 统一单位：22元=220角，2元=20角，1元=10角 钢笔+圆珠笔为一组，每组2件30角 假设全是铅笔：角 少算：角 每替换一组多：角 组数：组 铅笔：件，选A。 【答案】 10.（重点中学自主招生）鸡兔同笼，头共40个，脚共112只。鸡比兔少（ ）只。 A. 8 B. 12 C. 16 【分析】先算鸡兔各多少，再求差。 【详解】 假设全鸡：只脚 兔：只 鸡：只 鸡比兔少：只，选A。 【答案】 11.（思维训练题）有1元、2元、5元纸币共20张，总面值44元。已知1元和2元的张数相等，5元纸币有多少张？ 【分析】1元和2元张数相等，看成一组，每组2张3元，和5元组成两种量。 【详解】 1元+2元为一组，每组2张3元 假设全是5元：元 多算：元 每替换一组少：元 组数：组 5元：张 【答案】张 12.（小升初经典题）大和尚1人分3碗粥，小和尚3人分1碗粥，100个和尚正好分100碗粥。大和尚有多少人？ 【分析】分组法：1个大和尚+3个小和尚共4人，分4碗粥。 【详解】 4个和尚为一组，分4碗粥 组数：组 大和尚：人 【答案】人 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $