第8讲 归一与归总问题建模 专题讲义-人教版数学四年级上册奥数培优

第8讲 归一与归总问题建模 专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 知识讲解 1. 归一问题 （1）基本定义 解题时先求出单一量（单位时间的工作量、单价、速度、单产量等），再以单一量为标准，求出对应的总量或份数。 核心特征：单一量保持不变 关键：先算 “1 份是多少” （2）两大类型 正归一：求总量 先求单一量，再用 “单一量 × 所求份数” 算出总数量。 公式： 例：3 天修路 120 米，求 7 天修多少，先算每天修多少，再乘 7。 反归一：求份数 先求单一量，再用 “总数量 ÷ 单一量” 算出对应份数。 公式： 例：3 天修路 120 米，求修 400 米要几天，先算每天修多少，再用 400 除以每天修的。 （3）拓展：双归一问题 当题目包含两个维度的数量（如 “台数 + 时间”“人数 + 天数”）时，需要连续两次归一，求出 “1 个单位 1 个时间” 的最小单一量。 公式： 例：3 台机床 4 小时加工 120 个零件，先求 1 台 1 小时加工的数量。 2. 归总问题 （1）基本定义 解题时先求出总数量（总量），再根据总量不变的特点，求出新的每份数或新的份数。 核心特征：总数量（总量）保持不变 关键：先算 “总数是多少” （2）两大类型 求新的份数：总量 ÷ 新的每份数 = 新的份数 求新的每份数：总量 ÷ 新的份数 = 新的每份数 （3）常见应用场景 归总后归一：总工作量不变，改变人数 / 时间，求新的时间 / 人数； 面积归总：铺地方砖、长方形面积变形，总面积不变； 行程归总：路程不变，速度变化求时间，时间变化求速度。 3. 解题建模四步走 ① 判类型：找不变量，单一量不变是归一，总量不变是归总； ② 求核心：归一先算单一量，归总先算总数量； ③ 算结果：根据问题，用乘除法计算对应所求量； ④ 验答案：代入原题验证，确认数量关系符合逻辑。 4. 易错提醒 双归一问题不要漏除维度，比如 “3 台 5 小时” 要连续除以 3 再除以 5； 锯木头、爬楼类归一问题，注意 “段数≠次数”“楼层数≠楼梯数”； 归总问题要找准隐藏的总量，比如方砖铺地的 “总面积”、布料的 “总米数”。 例题讲解 【典型例题 1】基础归一：正归一 + 反归一 修路队 3 天修路 120 米，照这样的速度计算： （1）7 天可以修路多少米？ （2）修 400 米需要多少天？ 【分析】这是典型的归一问题，“照这样的速度” 说明每天修路的长度（单一量）不变。先算出每天修多少米，第（1）题求总量用乘法（正归一），第（2）题求时间用除法（反归一）。 【详解】 每天修路长度（单一量）：（米） （1）7 天修路长度： （米） （2）修 400 米需要的天数： （天） 【答案】（1）米；（2）天 【跟踪训练 1】 工厂买 3 台机器花了 1200 元，照这样计算： （1）买 8 台同样的机器需要多少钱？ （2）16000 元可以买多少台这样的机器？ 【分析】先算出每台机器的单价（单一量），第（1）题求总价用正归一，第（2）题求数量用反归一。 【详解】 每台机器单价：（元） （1）8 台总价：（元） （2）可买数量：（台） 【答案】（1）元；（2）台 【典型例题 2】归总问题 一本书，每天读 20 页，15 天可以读完。 （1）如果每天读 30 页，多少天可以读完？ （2）如果要 10 天读完，每天需要读多少页？ 【分析】这本书的总页数（总量）是固定不变的，属于归总问题。先算出总页数，再分别除以每天读的页数得天数，除以天数得每天读的页数。 【详解】 书的总页数：（页） （1）每天读 30 页的天数： （天） （2）10 天读完每天读的页数： （页） 【答案】（1）天；（2）页 【跟踪训练 2】 一批货物，每车装 12 吨，6 车可以运完。 （1）如果每车装 9 吨，需要多少车才能运完？ （2）如果用 8 车运完，平均每车装多少吨？ 【分析】货物总吨数不变，先算总吨数（归总），再分别求车数和每车装的吨数。 【详解】 货物总吨数：（吨） （1）每车装 9 吨需要的车数： （车） （2）8 车运完每车装的吨数： （吨） 【答案】（1）车；（2）吨 【典型例题 3】培优拓展：双归一问题 3 台机床 4 小时可以加工 120 个零件。照这样计算，5 台机床 6 小时可以加工多少个零件？ 【分析】这是双归一问题，包含 “台数” 和 “时间” 两个维度。先连续两次归一，求出 1 台机床 1 小时加工的零件数（双单一量），再乘台数和时间得到总量。 【详解】 1 台机床 1 小时加工零件数： （个） 5 台机床 6 小时加工总数： （个） 【答案】个 【跟踪训练 3】 4 个工人 5 天修路 200 米。照这样计算，6 个工人 8 天可以修路多少米？ 【分析】双归一问题，先求 1 个工人 1 天修路的长度，再算 6 人 8 天的总长度。 【详解】 1 个工人 1 天修路： （米） 6 个工人 8 天修路： （米） 【答案】米 巩固练习 1. 一只蜗牛 3 小时爬 120 米，照这样的速度，5 小时可以爬多少米？ 【分析】正归一问题，先求每小时爬的距离，再乘 5 小时。 【详解】 每小时爬：（米） 5 小时爬：（米） 【答案】米 2. 印刷厂 2 分钟印 80 张纸，照这样的速度，印 200 张纸需要多少分钟？ 【分析】反归一问题，先求每分钟印的张数，再用总张数除以每分钟印的数量。 【详解】 每分钟印：（张） 需要时间：（分钟） 【答案】分钟 3. 同学们排队做操，每行站 20 人，正好站 12 行。如果每行站 16 人，能站多少行？ 【分析】归总问题，总人数不变，先算总人数，再除以每行人数得行数。 【详解】 总人数：（人） 行数：（行） 【答案】行 4. 3 头牛 4 天吃了 120 千克草，平均 1 头牛 1 天吃多少千克草？ 【分析】双归一问题，连续除以牛的头数和天数。 【详解】 （千克） 【答案】千克 5. 修路队修一条路，每天修 80 米，15 天可以修完。如果要 10 天修完，每天需要修多少米？ 【分析】归总问题，路的总长不变，先算总长，再除以 10 天。 【详解】 总长：（米） 每天修：（米） 【答案】米 6. 5 辆汽车 3 次可以运货 150 吨，照这样计算，7 辆汽车 4 次可以运货多少吨？ 【分析】双归一后正归一，先求 1 辆 1 次运的吨数，再算 7 辆 4 次。 【详解】 1 辆 1 次运：（吨） 7 辆 4 次运：（吨） 【答案】吨 7. 小明读一本书，每天读 25 页，8 天可以读完。如果每天多读 5 页，几天可以读完？ 【分析】归总问题，先算总页数，再除以新的每天读的页数。 【详解】 总页数：（页） 实际每天读：（页） （天）……20（页） 剩余 20 页还需 1 天，共天。 【答案】天 8. 4 台抽水机 6 小时浇地 120 公顷，照这样计算，10 台抽水机浇 200 公顷需要多少小时？ 【分析】双归一后反归一，先求 1 台 1 小时浇地面积，再算 10 台浇 200 公顷的时间。 【详解】 1 台 1 小时浇地：（公顷） 10 台每小时浇：（公顷） 需要时间：（小时） 【答案】小时 9. 工人铺地砖，用边长 3 分米的方砖，需要 800 块。如果改用边长 4 分米的方砖，需要多少块？ 【分析】归总问题，地面总面积不变。先算总面积，再除以新方砖面积。 【详解】 地面总面积：（平方分米） 新方砖面积：（平方分米） 需要块数：（块） 【答案】块 10. 服装厂做一批衣服，每套用布 2 米，可以做 300 套。改进技术后每套省布 0.5 米，现在可以做多少套？ 【分析】归总问题，布料总米数不变，先算总米数，再除以新的每套用布量。 【详解】 总布料：（米） 现在每套用布：（米） 可做套数：（套） 【答案】套 11. 一根木料锯成 3 段要 6 分钟，照这样计算，锯成 6 段需要多少分钟？ 【分析】归一问题，注意锯的次数 = 段数 - 1，先算锯 1 次的时间。 【详解】 锯 3 段次数：（次） 每次时间：（分钟） 锯 6 段次数：（次） 总时间：（分钟） 【答案】分钟 12. 一项工程，8 人工作 15 天可以完成。如果增加 4 人，多少天可以完成？ 【分析】归总问题，总工作量不变，先算总工作量（人天），再除以新的人数。 【详解】 总工作量：（人・天） 现在人数：（人） 需要天数：（天） 【答案】天 真题训练 1.（四年级期末真题）3 千克苹果 15 元，照这样计算，8 千克苹果（ ）元。 A. 40 B. 45 C. 50 【分析】先求单价，再乘 8 千克。 【详解】 单价：（元） 8 千克：（元），选 A。 【答案】 2.（希望杯模拟题）一批书，每包 20 本，要捆 18 包。如果每包 30 本，要捆多少包？ A. 12 B. 15 C. 27 【分析】归总问题，总本数不变。 【详解】 总本数：（本） 包数：（包），选 A。 【答案】 3.（小升初真题）4 台织布机 5 小时织布 200 米，照这样，1 台织布机 1 小时织布（ ）米。 【分析】双归一，连续除以台数和小时数。 【详解】 （米） 【答案】 4.（华杯赛初赛）修一条路，每天修 60 米，20 天可以修完。如果每天多修 20 米，多少天可以修完？ 【分析】归总问题，先算总长，再除以新的每天修的长度。 【详解】 总长：（米） 每天修：（米） 天数：（天） 【答案】天 5.（重点中学分班考）3 辆卡车 8 次运货 96 吨。增加 2 辆卡车后，运 140 吨货物需要多少次？ 【分析】先双归一求 1 辆 1 次运的吨数，再算 5 辆每次运的吨数，最后求次数。 【详解】 1 辆 1 次运：（吨） 现在卡车数：（辆） 5 辆每次运：（吨） 次数：（次） 【答案】次 6.（走美杯真题）小明从家到学校，每分钟走 60 米，12 分钟走到。如果要 10 分钟走到，每分钟要多走多少米？ 【分析】归总问题，路程不变，先算路程，再求新速度，最后算多走的距离。 【详解】 总路程：（米） 新速度：（米 / 分） 多走：（米） 【答案】米 7.（四年级期末真题）判断：5 人 5 天做 5 个零件，10 人 10 天做 10 个零件。（ ） 【分析】先双归一求 1 人 1 天做的，再算 10 人 10 天的数量。 【详解】 1 人 1 天做：（个） 10 人 10 天做：（个），不是 10 个，说法错误。 【答案】 8.（小升初压轴题）一批货物，用载重 8 吨的卡车，15 辆一次可以运完。如果改用载重 10 吨的卡车，需要多少辆？ 【分析】归总问题，总吨数不变，先算总吨数，再除以新卡车载重。 【详解】 总吨数：（吨） 需要辆数：（辆） 【答案】辆 9.（希望杯真题）2 头猪 4 天吃 32 千克饲料，照这样计算，5 头猪一周吃多少千克饲料？ 【分析】双归一后正归一，注意一周 = 7 天。 【详解】 1 头 1 天吃：（千克） 5 头 7 天吃：（千克） 【答案】千克 10.（重点中学自主招生）工厂生产一批零件，原计划每天生产 80 个，15 天完成。实际提前 3 天完成，实际每天多生产多少个？ 【分析】归总问题，先算总零件数，再算实际天数和实际每天产量，最后求差。 【详解】 总零件数：（个） 实际天数：（天） 实际每天：（个） 多生产：（个） 【答案】个 11.（华杯赛模拟题）一根木头锯成 4 段要 12 分钟，锯成 8 段需要多少分钟？ 【分析】归一问题，次数 = 段数 - 1，先算锯 1 次时间。 【详解】 锯 4 段次数：（次） 每次时间：（分钟） 锯 8 段次数：（次） 总时间：（分钟） 【答案】分钟 12.（思维训练题）有一堆煤，5 辆卡车 8 次可以运完。5 辆卡车运了 2 次后，剩下的煤还要运多少次？ 【分析】归总问题，把总工作量看作 5×8=40 车次，运了 5×2=10 车次，剩下的除以 5 辆得次数。 【详解】 总车次：（车次） 已运：（车次） 剩余：（车次） 还要运：（次） 【答案】次 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第8讲 归一与归总问题建模 专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 知识讲解 1. 归一问题 （1）基本定义 解题时先求出单一量（单位时间的工作量、单价、速度、单产量等），再以单一量为标准，求出对应的总量或份数。 核心特征：单一量保持不变 关键：先算 “1 份是多少” （2）两大类型 正归一：求总量 先求单一量，再用 “单一量 × 所求份数” 算出总数量。 公式： 例：3 天修路 120 米，求 7 天修多少，先算每天修多少，再乘 7。 反归一：求份数 先求单一量，再用 “总数量 ÷ 单一量” 算出对应份数。 公式： 例：3 天修路 120 米，求修 400 米要几天，先算每天修多少，再用 400 除以每天修的。 （3）拓展：双归一问题 当题目包含两个维度的数量（如 “台数 + 时间”“人数 + 天数”）时，需要连续两次归一，求出 “1 个单位 1 个时间” 的最小单一量。 公式： 例：3 台机床 4 小时加工 120 个零件，先求 1 台 1 小时加工的数量。 2. 归总问题 （1）基本定义 解题时先求出总数量（总量），再根据总量不变的特点，求出新的每份数或新的份数。 核心特征：总数量（总量）保持不变 关键：先算 “总数是多少” （2）两大类型 求新的份数：总量 ÷ 新的每份数 = 新的份数 求新的每份数：总量 ÷ 新的份数 = 新的每份数 （3）常见应用场景 归总后归一：总工作量不变，改变人数 / 时间，求新的时间 / 人数； 面积归总：铺地方砖、长方形面积变形，总面积不变； 行程归总：路程不变，速度变化求时间，时间变化求速度。 3. 解题建模四步走 ① 判类型：找不变量，单一量不变是归一，总量不变是归总； ② 求核心：归一先算单一量，归总先算总数量； ③ 算结果：根据问题，用乘除法计算对应所求量； ④ 验答案：代入原题验证，确认数量关系符合逻辑。 4. 易错提醒 双归一问题不要漏除维度，比如 “3 台 5 小时” 要连续除以 3 再除以 5； 锯木头、爬楼类归一问题，注意 “段数≠次数”“楼层数≠楼梯数”； 归总问题要找准隐藏的总量，比如方砖铺地的 “总面积”、布料的 “总米数”。 例题讲解 【典型例题 1】基础归一：正归一 + 反归一 修路队 3 天修路 120 米，照这样的速度计算： （1）7 天可以修路多少米？ （2）修 400 米需要多少天？ 【跟踪训练 1】 工厂买 3 台机器花了 1200 元，照这样计算： （1）买 8 台同样的机器需要多少钱？ （2）16000 元可以买多少台这样的机器？ 【典型例题 2】归总问题 一本书，每天读 20 页，15 天可以读完。 （1）如果每天读 30 页，多少天可以读完？ （2）如果要 10 天读完，每天需要读多少页？ 【跟踪训练 2】 一批货物，每车装 12 吨，6 车可以运完。 （1）如果每车装 9 吨，需要多少车才能运完？ （2）如果用 8 车运完，平均每车装多少吨？ 【典型例题 3】培优拓展：双归一问题 3 台机床 4 小时可以加工 120 个零件。照这样计算，5 台机床 6 小时可以加工多少个零件？ 【跟踪训练 3】 4 个工人 5 天修路 200 米。照这样计算，6 个工人 8 天可以修路多少米？ 巩固练习 1. 一只蜗牛 3 小时爬 120 米，照这样的速度，5 小时可以爬多少米？ 2. 印刷厂 2 分钟印 80 张纸，照这样的速度，印 200 张纸需要多少分钟？ 3. 同学们排队做操，每行站 20 人，正好站 12 行。如果每行站 16 人，能站多少行？ 4. 3 头牛 4 天吃了 120 千克草，平均 1 头牛 1 天吃多少千克草？ 5. 修路队修一条路，每天修 80 米，15 天可以修完。如果要 10 天修完，每天需要修多少米？ 6. 5 辆汽车 3 次可以运货 150 吨，照这样计算，7 辆汽车 4 次可以运货多少吨？ 7. 小明读一本书，每天读 25 页，8 天可以读完。如果每天多读 5 页，几天可以读完？ 8. 4 台抽水机 6 小时浇地 120 公顷，照这样计算，10 台抽水机浇 200 公顷需要多少小时？ 9. 工人铺地砖，用边长 3 分米的方砖，需要 800 块。如果改用边长 4 分米的方砖，需要多少块？ 10. 服装厂做一批衣服，每套用布 2 米，可以做 300 套。改进技术后每套省布 0.5 米，现在可以做多少套？ 11. 一根木料锯成 3 段要 6 分钟，照这样计算，锯成 6 段需要多少分钟？ 12. 一项工程，8 人工作 15 天可以完成。如果增加 4 人，多少天可以完成？ 真题训练 1.（四年级期末真题）3 千克苹果 15 元，照这样计算，8 千克苹果（ ）元。 A. 40 B. 45 C. 50 2.（希望杯模拟题）一批书，每包 20 本，要捆 18 包。如果每包 30 本，要捆多少包？ A. 12 B. 15 C. 27 3.（小升初真题）4 台织布机 5 小时织布 200 米，照这样，1 台织布机 1 小时织布（ ）米。 4.（华杯赛初赛）修一条路，每天修 60 米，20 天可以修完。如果每天多修 20 米，多少天可以修完？ 5.（重点中学分班考）3 辆卡车 8 次运货 96 吨。增加 2 辆卡车后，运 140 吨货物需要多少次？ 6.（走美杯真题）小明从家到学校，每分钟走 60 米，12 分钟走到。如果要 10 分钟走到，每分钟要多走多少米？ 7.（四年级期末真题）判断：5 人 5 天做 5 个零件，10 人 10 天做 10 个零件。（ ） 8.（小升初压轴题）一批货物，用载重 8 吨的卡车，15 辆一次可以运完。如果改用载重 10 吨的卡车，需要多少辆？ 9.（希望杯真题）2 头猪 4 天吃 32 千克饲料，照这样计算，5 头猪一周吃多少千克饲料？ 10.（重点中学自主招生）工厂生产一批零件，原计划每天生产 80 个，15 天完成。实际提前 3 天完成，实际每天多生产多少个？ 11.（华杯赛模拟题）一根木头锯成 4 段要 12 分钟，锯成 8 段需要多少分钟？ 12.（思维训练题）有一堆煤，5 辆卡车 8 次可以运完。5 辆卡车运了 2 次后，剩下的煤还要运多少次？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $