第4讲 折叠中的角度问题 专题讲义-人教版数学四年级上册奥数培优

第4讲 折叠中的角度问题 专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 知识讲解 1. 折叠的核心性质 折叠属于全等变换，折叠前后的图形形状、大小完全相同，对应边长度相等，对应角的度数相等。 关键：被折叠盖住的角，和露在外面的对应角度数完全一样。 本质：折叠相当于把一个角沿着折痕 “复制” 了一个，两个角大小相等。 2. 三大经典折叠模型 （1）单边折叠模型 场景：把长方形 / 纸条的一个角向上折起，形成一个已知角和一个折叠角。 核心关系：三个角组成平角（），包含1 个已知角 + 2 个相等的折叠角。 公式：（为折叠角） （2）双边折叠模型 场景：把长方形的左右两个角都向中间折叠，两个顶点重合于同一点。 核心关系：三个角组成平角（），包含2 个相等的折叠角 + 1 个中间角。 公式：（为两侧折叠角，为中间角） （3）多次折叠模型 场景：圆形、正方形纸连续对折多次。 核心规律：每对折 1 次，角度就被平均分成 2 份；对折次，角度 = 原角度 。 圆形（周角）对折次：角度 正方形（直角）对折次：角度 3. 解题通用步骤 ① 找对应：观察图形，找出折叠后互相重合的角，标出相等的角； ② 定基准：确定图形中的直角（）、平角（）或周角（）； ③ 列等式：根据角度和的关系，列出含有未知数的等式； ④ 算结果：计算未知角的度数，检验是否符合角的分类。 4. 易错提醒 不要漏算被折叠盖住的角，平角中永远是 2 个折叠角加 1 个已知角； 多次折叠是连续除以 2，不是每次减固定的度数； 双边折叠若两边折叠角度不同，需分别标注，不可默认相等。 例题讲解 【典型例题 1】单边折叠（基础） 折一折，想一想。 ，________。 【跟踪训练 1】 如图，一张长方形纸，折一折，求角的度数。 ，( )。 【典型例题 2】双边折叠（进阶） 方方在折纸时，将一张长方形的纸折成了如图所示的形状，如果他折出的∠1＝35°，∠2＝20°，那么图中的∠3是多少度？ 【跟踪训练 2】 明明把一张长方形的纸折了起来（如图），如果∠1＝30°，∠2＝20°，你能算出∠3的度数是多少吗？ 【典型例题 3】多次折叠（拓展） 将一张正方形纸折一折，想一想，填一填。 【跟踪训练3】 用一张正方形纸照样子折一折，再展开，折出的三个角分别是多少度？ ∠1＝( )度      ∠2＝( )度       ∠3＝( )度 巩固练习 1．把长方形纸折叠后（如下图），∠1＝20°，则∠2等于( )°。 2．将一个长方形的一个角折叠后如图，如果，那么( )度。试把你的思路写下来。_____________。 3．淘气将长方形纸的一角折叠（如图）。如果，那么( )°。 4．把长方形的一个角折叠，如图所示。∠1＝32°，那么∠2的度数是________。 5．如图所示，把一张长方形纸沿对角线折叠。已知∠1＝42°，那么∠2＝( )°，BD边上的高是线段( )。 6．如下图,把一张长方形纸折叠起来,已知∠2=25°,那么∠3=( )°。 7．把长方形纸像如图这样折一折，可以折出一些新的角。已知∠2＝40°，则∠1是( )°。 8．如图所示，长方形的一个角沿着虚线向上折。 已知∠2＝150°，∠1＝( )。 9．把一张长方形纸像下面这样折一折，可以折出一些新的角。图中∠2＝( )°。 10．如图所示，长方形的一个角沿着虚线向上折。已知，( )。      11．如图，一张正方形纸折后，∠1＝( )°，是( )角；∠2＝( )°，是( )角；∠3＝( )°，是( )角。 12．小爱想折一个纸飞机，她将一张正方形纸按如图所示的方式折叠，量得，那么( )。 真题训练 13．如图，欢欢将一张长方形纸折了折。其中∠1＝70°，那么∠2＝( )°，∠3＝( )°。 14．如下图，长方形纸折出的∠3＝40°，∠4＝( )°。 15．春节前妙想在家用长方形红纸剪窗花，他把红纸折了一下（如下图所示），已知折后∠3＝50°，那么∠2＝( )°。 16．把长方形如图①斜折，形成如图②中的角，∠1＝( )°，∠2＝( )°。 17．如图，把一个长方形的一个角折过来，已知∠1＝70°，求∠2。 18．如图，小宇把一张长方形纸折叠成下面的图形，如果∠1＝20°，那么∠2是多少度？如果∠2＝40°，则∠1是多少度？ 19．如图，把一张长方形的一个角折过来，已知∠1＝70°，求∠2。 20．把一张长方形的纸按如图所示的方式折叠，其中∠1＋∠2＋∠3＝210°，请分别计算出∠1、∠2、∠3的度数。 21．下图是一张长方形纸折起来以后的图形．请你动手照样子折一折，你能算出∠2的度数吗？(已知∠1=30°) 22．下面是一张长方形纸，四个角都是（    ）角，由此可以得出长方形的四个角的和是（    ）度，当将一边向上折以后（如下图所示），你能算出的度数吗？已知。    23．把一张长方形纸的一个角折过来，如下图。已知∠1＝60°，求∠2的度数。 24．如图，将一张长方形纸折起来后形成的∠1是30°，求∠2的度数．（请同学们拿出一张长方形纸，动手折折后，再计算） 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4讲 折叠中的角度问题 专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 知识讲解 1. 折叠的核心性质 折叠属于全等变换，折叠前后的图形形状、大小完全相同，对应边长度相等，对应角的度数相等。 关键：被折叠盖住的角，和露在外面的对应角度数完全一样。 本质：折叠相当于把一个角沿着折痕 “复制” 了一个，两个角大小相等。 2. 三大经典折叠模型 （1）单边折叠模型 场景：把长方形 / 纸条的一个角向上折起，形成一个已知角和一个折叠角。 核心关系：三个角组成平角（），包含1 个已知角 + 2 个相等的折叠角。 公式：（为折叠角） （2）双边折叠模型 场景：把长方形的左右两个角都向中间折叠，两个顶点重合于同一点。 核心关系：三个角组成平角（），包含2 个相等的折叠角 + 1 个中间角。 公式：（为两侧折叠角，为中间角） （3）多次折叠模型 场景：圆形、正方形纸连续对折多次。 核心规律：每对折 1 次，角度就被平均分成 2 份；对折次，角度 = 原角度 。 圆形（周角）对折次：角度 正方形（直角）对折次：角度 3. 解题通用步骤 ① 找对应：观察图形，找出折叠后互相重合的角，标出相等的角； ② 定基准：确定图形中的直角（）、平角（）或周角（）； ③ 列等式：根据角度和的关系，列出含有未知数的等式； ④ 算结果：计算未知角的度数，检验是否符合角的分类。 4. 易错提醒 不要漏算被折叠盖住的角，平角中永远是 2 个折叠角加 1 个已知角； 多次折叠是连续除以 2，不是每次减固定的度数； 双边折叠若两边折叠角度不同，需分别标注，不可默认相等。 例题讲解 【典型例题 1】单边折叠（基础） 折一折，想一想。 ，________。 【答案】75° 【分析】图中把长方形的一部分向右折了，所以2个∠2与∠1的和是180°，180°减∠1，所得差除以2即可求出∠2的度数。 【详解】∠2＝（180°－∠1）÷2 ＝（180°－30°）÷2 ＝150°÷2 ＝75° 【点睛】解答此题的关键是找到与∠2相等的角，再结合1平角＝180°来解答。 【跟踪训练 1】 如图，一张长方形纸，折一折，求角的度数。 ，( )。 【答案】25° 【分析】对折后，折叠前的部分和折叠后形成的角，角度相同。在图中增加∠3，∠1＝∠3∠1＋∠3＋∠2＝90°，进而可以解出∠1。 【详解】 ∠1＋∠3＋∠2＝90° ∠1＋∠3＝90°－∠2＝90°－40°＝50° 因为∠1＝∠3，所以∠1＝50°÷2＝25° 【点睛】1、图形的翻折部分在折叠前和折叠后的形状、大小不变，是全等形。 2、图形的翻折部分在折叠前和折叠后的位置关于折痕成轴对称。 【典型例题 2】双边折叠（进阶） 方方在折纸时，将一张长方形的纸折成了如图所示的形状，如果他折出的∠1＝35°，∠2＝20°，那么图中的∠3是多少度？ 【答案】70度 【分析】被折叠的部分和它原来的位置是完全重合的，因此对应的角是相等的。观察图形，根据折叠的性质，可知与∠1相邻的、被盖住的那个角和∠1是相等的，与∠2相邻的、被盖住的那个角和∠2是相等的。这样∠3和两个折叠部分所占用的角度加起来，总和是180°，这样就可以求解出∠3的度数。 【详解】∠3＝180°－2∠1－2∠2 ＝180°－2×35°－2×20° ＝180°－70°－40° ＝110°－40° ＝70° 答：图中的∠3是70度。 【跟踪训练 2】 明明把一张长方形的纸折了起来（如图），如果∠1＝30°，∠2＝20°，你能算出∠3的度数是多少吗？ 【答案】80° 【分析】如图： 根据题意可知，∠1＝∠4，∠2＝∠5，∠1、∠4、∠3、∠2和∠5组成一个平角，平角是180°，所以用180°减去∠1、∠4、∠2和∠5的度数，即可求出∠3的度数。 【详解】 答：∠3的度数是80°。 【典型例题 3】多次折叠（拓展） 将一张正方形纸折一折，想一想，填一填。 【答案】见详解 【分析】一张正方形纸第一次对折以后，以折线的中心为顶点，那么这个角两边的两条射线在同一直线上，所以是平角，平角的度数是180°；第二次对折后，以折线的一端为顶点，那么这个角的两边相互垂直，所以是直角，直角的度数为90°；第三次把直角的两边重合对折，那么所成的角是直角的一半，这个角是锐角，度数为90°÷2，据此即可解答。 【详解】根据分析可知，第一次对折后成平角，度数为180°；第二次对折后成直角，度数为90°；第三次对折后成锐角，度数为：90°÷2＝45°。如图所示： 【跟踪训练3】 用一张正方形纸照样子折一折，再展开，折出的三个角分别是多少度？ ∠1＝( )度      ∠2＝( )度       ∠3＝( )度 【答案】 30 30 30 【分析】观察可知，折叠时，∠1的一条边是正方形的边，另一条边折叠后，与∠3折叠后重合，用这种方法折叠，折叠后的三个角相等，且平分正方形的直角，直角是90度的角，用90度除以3，即可算出这三个角的度数是多少。据此解答。 【详解】90÷3＝30（度） ∠1＝30度，∠2＝30度，∠3＝30度。 巩固练习 1．把长方形纸折叠后（如下图），∠1＝20°，则∠2等于( )°。 【答案】80 【分析】 如图，标出∠3，因为∠2是从∠3处折叠过去的，所以∠2＝∠3。平角是180°，用180°减去∠1的度数再除以2就是∠2的度数。 【详解】180°－20°＝160° 160°÷2＝80° 2．将一个长方形的一个角折叠后如图，如果，那么( )度。试把你的思路写下来。_____________。 【答案】 25 两个∠1和∠2构成直角，所以用90°－∠2后的差再除以2即可∠1的度数 【分析】 如图所示：，∠3＝∠1，且∠1和∠3以及∠2构成直角，直角是90°，所以用90°－∠2即为∠1和∠3的度数之和，然后再除以2即可∠1的度数，据此解题。 【详解】（90°－40°）÷2 ＝50°÷2 ＝25° 将一个长方形的一个角折叠后如图，如果，那么25度。 思路：两个∠1和∠2构成直角，所以用90°－∠2后的差再除以2即可∠1的度数。 3．淘气将长方形纸的一角折叠（如图）。如果，那么( )°。 【答案】60 【分析】长方形的4个内角都是直角。图中将长方形左下角的角折叠，∠1与∠2中间的角是一个直角，1直角＝90°，而∠1与∠2以及这两个角中间的角组成的大角是一个平角，1平角＝180°，用180°减90°再减∠1的度数，即可求出∠2的度数。 【详解】∠2＝180°－90°－∠1＝90°－30°＝60°。 4．把长方形的一个角折叠，如图所示。∠1＝32°，那么∠2的度数是________。 【答案】26° 【分析】长方形的4个角都是直角。将一个角折叠后，∠1盖住了一个与它度数相等的角，也就是2∠1与∠2的和是90°，∠2＝90°－2×∠1，据此解答。 【详解】∠2＝90°－32×2° ＝90°－64° ＝26° 【点睛】解决此类问题时，要善于利用图中隐藏的特殊角（直角、平角、周角），以及它与各角之间的关系，利用已知角，求出未知角。 5．如图所示，把一张长方形纸沿对角线折叠。已知∠1＝42°，那么∠2＝( )°，BD边上的高是线段( )。 【答案】 66°/66度 EG /GE 【分析】三角形的内角和是180°，1直角是90°，根据题意可知，∠2＝∠3＝180°－90°－∠4，∠4＝（90°－∠1）÷2，依此计算并填空即可。 从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底；依此填空。 【详解】∠4＝（90°－42°）÷2＝48°÷2＝24°； ∠2＝∠3＝180°－90°－24°＝90°－24°＝66°。 根据图示可知，BD边上的高是线段EG。 【点睛】解答此题的关键是要熟练掌握三角形的高及画法，以及应熟记三角形的内角和度数。 6．如下图,把一张长方形纸折叠起来,已知∠2=25°,那么∠3=( )°。 【答案】40 【解析】略 7．把长方形纸像如图这样折一折，可以折出一些新的角。已知∠2＝40°，则∠1是( )°。 【答案】50 【分析】根据题意，仔细观察，明确直角是90°，平角是180°。用180减去90，再减去∠2，列式计算即可。 【详解】∠1＝180°－90°－40° ＝90°－40° ＝50° 8．如图所示，长方形的一个角沿着虚线向上折。 已知∠2＝150°，∠1＝( )。 【答案】30°/30度 【分析】根据题意，明确平角是180°，图中∠1和∠2构成平角，∠1＋∠2＝180°，∠1＝180°－∠2，已知∠2＝150°，求出∠1的度数即可。 【详解】根据分析可知： ∠1＋∠2＝180° ∠2＝150° ∠1＝180°－∠2＝180°－150°＝30° 9．把一张长方形纸像下面这样折一折，可以折出一些新的角。图中∠2＝( )°。 【答案】40 【分析】图形的翻折部分在折叠前和折叠后的形状、大小不变。∠2和2个70°的角组成一个平角，∠2＝180°－70°－70°。 【详解】180°－70°－70° ＝110°－70° ＝40° 把一张长方形纸像下面这样折一折，可以折出一些新的角。图中∠2＝40°。 10．如图所示，长方形的一个角沿着虚线向上折。已知，( )。      【答案】15° 【分析】把∠1沿着虚线向上折后，∠1和翻折的角相等，∠1、翻折的角和∠2组成了一个平角，平角＝180°，也就是∠1＋翻折的角＋∠2＝∠1＋∠1＋∠2＝180°，据此解答。 【详解】（180°－150°）÷2 ＝30°÷2 ＝15° 即∠1＝15° 【点睛】熟练掌握角的分类及特征是解答本题的关键。 11．如图，一张正方形纸折后，∠1＝( )°，是( )角；∠2＝( )°，是( )角；∠3＝( )°，是( )角。 【答案】 45 锐 90 直 135 钝 【分析】通过上图可知，把一张正方形纸折后，把中间的圆周角平均分成了8个小角，一个小角等于360°÷8＝45°，所以∠1＝45°，∠2＝45°×2＝90°，∠3＝45°×3＝135°；小于90°的角是锐角，等于90°的角是直角，大于90°小于180°的角是钝角，等于180°的角是平角；据此即可解答。 【详解】一张正方形纸折后，∠1＝45°，是锐角；∠2＝90°，是直角；∠3＝135°，是钝角。 【点睛】熟练掌握角的分类知识是解答本题的关键。 12．小爱想折一个纸飞机，她将一张正方形纸按如图所示的方式折叠，量得，那么( )。 【答案】 【分析】正方形每个角为，折叠后重叠的角相等，正方形四个内角都是直角，直角等于，用减去后平均分成两份得出其中一个角的度数，再结合三角形内角和为进行计算。 【详解】 真题训练 13．如图，欢欢将一张长方形纸折了折。其中∠1＝70°，那么∠2＝( )°，∠3＝( )°。 【答案】 70 40 【分析】根据图示，长方形纸折叠后，∠2与∠1是折叠前后的对应角，∠2与∠1的角大小相等，即∠2＝70°，∠2、∠1和∠3共同组成1个平角，平角等于180°，用180°－∠1－∠2，即可求出∠3的度数。 【详解】180°－70°－70° ＝110°－70° ＝40° 欢欢将一张长方形纸折了折。其中∠1＝70°，那么∠2＝70°，∠3＝40°。 14．如下图，长方形纸折出的∠3＝40°，∠4＝( )°。 【答案】25 【分析】长方形四个角都是直角，即90°；观察图片可以得知∠3和两个∠4组成一个直角。一个∠4的度数等于90°减去∠3的度数的差除以2。 【详解】90°－40°＝50° 50°÷2＝25° 因此∠4为25° 15．春节前妙想在家用长方形红纸剪窗花，他把红纸折了一下（如下图所示），已知折后∠3＝50°，那么∠2＝( )°。 【答案】65 【分析】长方形的上边是直线，三个角共同组成一个平角，平角的度数是180°。根据折叠的性质，折叠后重叠的角大小相等，∠1＝∠2，因此∠1、∠2、∠3度数和等于180°，代入计算即可。 【详解】 则∠2为65°。 16．把长方形如图①斜折，形成如图②中的角，∠1＝( )°，∠2＝( )°。 【答案】 30 120 【分析】对于图①斜折形成图②中的角，需要利用长方形的性质和角的关系来求解。已知长方形的四个角都是直角，度数为90°在图①中，已知一个角是30°，根据长方形的内角都是直角，可以求出与30°角相邻的角的度数。从而求出折叠后的∠1和∠2的度数。 【详解】 在三角形ABC中，∠CAB＝30°，∠C＝90°，所以∠ABC＝180°－90°－30°＝60° 在三角形ABD中，∠D＝90°，∠DAB＝60°，所以∠ABD＝180°－90°－60°＝30° ∠1＝∠ABC－∠ABD＝60°－30°＝30° ∠BEC＝180°－90°－30°＝60° ∠2＝180°－∠BEC＝180°－60°＝120° 17．如图，把一个长方形的一个角折过来，已知∠1＝70°，求∠2。 【答案】∠2＝40° 【分析】由图可以看出是一张长方形纸折起来的图形，把这张纸展开后，以∠1、∠2的顶点为顶点的角是180°，由于∠1盖住了一个和它相等的角，展开后就是2∠1＋∠2＝180°，又知∠1＝70°，据此用180°减去2∠1的度数，可求出∠2的度数。 【详解】180°－70°×2 ＝180°－140° ＝40° 答：∠2＝40°。 18．如图，小宇把一张长方形纸折叠成下面的图形，如果∠1＝20°，那么∠2是多少度？如果∠2＝40°，则∠1是多少度？ 【答案】如果∠1＝20°，那么∠2是50°，如果∠2＝40°，则∠1是25° 【分析】长方形四个角都是直角，根据题意，因为是折叠，所以两个∠1和∠2组成直角，直角等于90°，用90°减去两个∠1的度数，即可求出∠2是多少度；用90°减去∠2的度数，再除以2即可求出∠1的度数。 【详解】∠2：90°－20°－20° ＝70°－20° ＝50° ∠1：（90°－40°）÷2 ＝50°÷2 ＝25° 答：如果∠1＝20°，那么∠2是50°，如果∠2＝40°，则∠1是25°。 19．如图，把一张长方形的一个角折过来，已知∠1＝70°，求∠2。 【答案】40° 【分析】把长方形纸折叠成这样的形状，在∠1的下面，还有一个同∠1同样大小的角，所以用180°减去2个∠1就是∠2的度数，据此解答。 【详解】180°－70°×2 ＝180°－140° ＝40° 答：∠2等于40°。 【点睛】本题主要考查了学生对简单折叠问题的掌握，重点理解2∠1＋∠2＝180°。 20．把一张长方形的纸按如图所示的方式折叠，其中∠1＋∠2＋∠3＝210°，请分别计算出∠1、∠2、∠3的度数。 【答案】∠1为30°，∠2为150°，∠3为30° 【分析】长方形的边是直线，直线对应的平角为180°，结合折叠后的图形可得：，， 已知，代入计算即可。 【详解】 由分析得出， ∠3度数为： ∠2度数为： ∠1度数为： 则∠1为30°，∠2为150°，∠3为30°。 21．下图是一张长方形纸折起来以后的图形．请你动手照样子折一折，你能算出∠2的度数吗？(已知∠1=30°) 【答案】75° 【分析】根据题意可知，∠1与∠2的2倍相加的和等于平角，先求出∠2的两倍是多少度，然后除以2即可得到∠2的度数，据此解答. 【详解】∠2=(180°-∠1)÷2 =(180°-30°)÷2 =150°÷2 =75° 故答案为75°. 22．下面是一张长方形纸，四个角都是（    ）角，由此可以得出长方形的四个角的和是（    ）度，当将一边向上折以后（如下图所示），你能算出的度数吗？已知。    【答案】直；360；70° 【分析】    长方形的4个角都是直角，直角＝90度，求4个角的和是90×4；在图中增加∠3，虚线部分折叠上来形成∠2，所以∠2＝∠3，∠1、∠2、∠3组成一个平角。用平角减去∠1后再除以2就是∠2的度数。 【详解】    90°×4＝360°； 下面是一张长方形纸，四个角都是（直）角，由此可以得出长方形的四个角的和是（360）度，当将一边向上折以后（如下图所示），你能算出的度数吗？已知。 从图中可以看出，∠2＝∠3，∠1＋∠2＋∠3＝180°； 所以∠2＝（180°－∠1）÷2 ＝（180°－40°）÷2 ＝140°÷2 ＝70° 答：∠2的度数是70°。 【点睛】1、图形的翻折部分在折叠前和折叠后的形状、大小不变，是全等形 2、图形的翻折部分在折叠前和折叠后的位置关于折痕成轴对称 23．把一张长方形纸的一个角折过来，如下图。已知∠1＝60°，求∠2的度数。 【答案】60° 【详解】180°－60°×2 ＝180°－120° ＝60° ∠2的度数是60°。 24．如图，将一张长方形纸折起来后形成的∠1是30°，求∠2的度数．（请同学们拿出一张长方形纸，动手折折后，再计算） 【答案】75° 【详解】由分析可知， ∠2＝（180°﹣∠1）÷2 ＝（180°﹣30°）÷2 ＝150°÷2 ＝75°． 答：∠2的度数是75°． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $