第11讲 鸡兔同笼问题（基础篇） 专题讲义-人教版数学四年级上册奥数培优

第11讲 鸡兔同笼问题（基础篇） 专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 知识讲解 1. 问题概述 鸡兔同笼问题是中国古代经典数学问题，最早出自《孙子算经》。 基本题型特征：已知笼子里鸡和兔的总头数和总脚数，求鸡和兔各有多少只。 本质：已知两个量的总数量，以及两个量的单位属性差（鸡 2 只脚、兔 4 只脚），分别求两个量的数量。 隐藏常识：1 只鸡有 1 个头、2 只脚；1 只兔有 1 个头、4 只脚。 2. 三大基础解题方法 （1）列表法（直观枚举法） 方法：把鸡的数量从 0 到总头数逐一列举，算出对应的兔的数量和总脚数，找到和题目总脚数一致的情况。 分类： 逐一列表：从 0 只鸡开始逐个试，适合总数量小的题目； 折中列表：从中间数量开始试，减少列举次数。 缺点：总数量大时非常麻烦，不适合大数计算。 （2）假设法（核心通用方法） 这是解决鸡兔同笼问题最基础、最通用的方法，必须掌握。 基本思路：假设笼子里全是同一种动物，算出假设的总脚数，和实际总脚数对比，找到脚数的差，再根据每只动物的脚数差，推算出另一种动物的数量。 公式推导（假设全是鸡）： ① 假设全是鸡，总脚数 = 总头数 × 2 ② 实际脚数更多，多出来的脚都是兔子的 ③ 每把 1 只兔看成 1 只鸡，少算了 只脚 ④ 兔的数量 = 多出来的总脚数 ÷ 每只兔少算的脚数 公式： 鸡的只数 = 总头数 - 兔的只数 公式推导（假设全是兔）： ① 假设全是兔，总脚数 = 总头数 × 4 ② 实际脚数更少，少的脚都是鸡的 ③ 每把 1 只鸡看成 1 只兔，多算了 只脚 ④ 鸡的数量 = 少的总脚数 ÷ 每只鸡多算的脚数 公式： 兔的只数 = 总头数 - 鸡的只数 （3）抬腿法（趣味理解法） 方法：让所有动物都抬起 2 条腿，这时鸡都坐在地上，兔子都用 2 条腿站着。 推导： 抬起的总脚数 = 总头数 × 2 剩下的脚都是兔子的，每只兔剩 2 只脚 兔的只数 = 剩下的脚数 ÷ 2 特点：形象有趣，容易理解，本质和假设全是鸡的思路一致。 3. 解题通用步骤 ① 判题型：确认是两类事物、已知总数量和总 “单位量”； ② 做假设：假设全是其中一种事物，算出假设的总量； ③ 算差值：求假设总量和实际总量的差，除以单位差； ④ 得数量：先算出另一种事物的数量，再求假设的那种数量； ⑤ 做检验：代入原题验算总脚数是否正确。 4. 易错提醒 假设全是鸡，先算出来的是兔的数量，不是鸡的数量，不要搞反； 单位差是 “4-2=2”，不是 4 也不是 2，变形题要先算对两个事物的单位差； 脚的总数一定是偶数，不可能出现奇数，可用来快速判断对错。 例题讲解 【典型例题 1】基础假设法入门 笼子里有鸡和兔共 8 只，一共有 26 条腿。鸡和兔各有多少只？ 【分析】这是最基础的鸡兔同笼题型，总头数 8，总脚数 26。用假设法求解，可以假设全是鸡，也可以假设全是兔，这里用两种方法演示，同时用抬腿法验证。 【详解】 方法一：假设全是鸡 总腿数：（条） 比实际少：（条） 每只兔少算：（条） 兔的只数：（只） 鸡的只数：（只） 方法二：假设全是兔 总腿数：（条） 比实际多：（条） 每只鸡多算：（条） 鸡的只数：（只） 兔的只数：（只） 检验：（条），正确。 【答案】鸡有只，兔有只。 【跟踪训练 1】 鸡兔同笼，共有 12 个头，34 条腿。鸡和兔各有多少只？ 【分析】基础题型，用假设法求解，假设全是鸡，先算兔的数量。 【详解】 假设全是鸡 总腿数：（条） 少算的腿：（条） 兔的只数：（只） 鸡的只数：（只） 检验：（条），正确。 【答案】鸡有只，兔有只。 【典型例题 2】稍大数计算 笼子里鸡和兔共 40 只，一共有 112 条腿。鸡和兔各有多少只？ 【分析】总数量变大，列表法不方便，用假设法快速计算。假设全是鸡，算出腿数差，求兔的数量。 【详解】 假设全是鸡 总腿数：（条） 比实际少：（条） 兔的只数：（只） 鸡的只数：（只） 检验：（条），正确。 【答案】鸡有只，兔有只。 【跟踪训练 2】 鸡兔同笼，共有 35 个头，94 条腿。鸡和兔各有多少只？（《孙子算经》原题） 【分析】经典原题，用假设法求解。 【详解】 假设全是鸡 总腿数：（条） 少算：（条） 兔：（只） 鸡：（只） 检验：（条），正确。 【答案】鸡有只，兔有只。 【典型例题 3】模型变形：车轮问题 停车场停着自行车和三轮车共 15 辆，一共有 38 个轮子。自行车和三轮车各有多少辆？ 【分析】这是鸡兔同笼的变形题，把自行车看作 “2 脚鸡”，三轮车看作 “3 脚兔”，总辆数是总头数，总轮子数是总脚数，单位差是 3-2=1 个轮子。用假设法求解。 【详解】 假设全是自行车 总轮子：（个） 比实际少：（个） 每辆三轮车少算：（个） 三轮车：（辆） 自行车：（辆） 检验：（个），正确。 【答案】自行车辆，三轮车辆。 【跟踪训练 3】 小明有 2 分和 5 分的硬币共 20 枚，一共是 76 分。两种硬币各有多少枚？ 【分析】变形题，2 分硬币相当于 “2 脚鸡”，5 分硬币相当于 “5 脚兔”，总枚数是总头数，总分数是总脚数，单位差 5-2=3 分。 【详解】 假设全是 2 分硬币 总钱数：（分） 比实际少：（分） 5 分硬币：（枚） 2 分硬币：（枚） 检验：（分），正确。 【答案】2 分硬币枚，5 分硬币枚。 巩固练习 1．毛毛参加一次数学竞赛，答对1题得4分，答错或不答每题扣1分，他一共答了20道题，得60分，毛毛答对了几道题？ 【答案】 16道 【分析】用假设法解题，先假设20道题全答对，算出总得分，再求出与实际得分的差值；每答错或不答1道题比答对1道题少得5分，用差值除以5得到没答对的题数，进而求出答对的题数。 【详解】假设20道题全部答对，总得分： （分） 比实际多的分数： （分） 每答错或不答1道题比答对少得的分数： （分） 没答对的题数： （道） 答对的题数： （道） 答：毛毛答对了16道题。 2．实验小学有8间宿舍，其中大宿舍每间住6人，小宿舍每间住4人，这些宿舍一共可以住40人，那么有多少间大宿舍？ 【答案】 有4间大宿舍。 【分析】采用假设法求解，先假设8间全是小宿舍，算出可住人数与实际总人数的差值，再用该差值除以每间大、小宿舍的入住人数差，即可得到大宿舍的数量。 【详解】假设8间全是小宿舍，可住总人数为： （人） 实际总人数比假设多： （人） 每间大宿舍比小宿舍多住： （人） 大宿舍的数量为： （间） 答：有4间大宿舍。 3．共享单车和共享汽车的出现给大家的交通带来了便利。地铁站台附近停放着共享单车和共享汽车共16辆，芳芳数了数一共有44个车轮。共享单车和共享汽车各有几辆？（提示：共享单车是2轮，共享汽车是4轮） 【答案】共享单车有10辆；共享汽车有6辆 【分析】本题属于鸡兔同笼问题，用假设法解题，先假设所有车辆都是2轮的共享单车，算出轮子总数，再用实际轮子数减去假设轮子数，得到缺少的轮子数量；一辆共享汽车比共享单车多2个轮子，从而算出共享汽车数量，最后用总辆数减去共享汽车数量得到共享单车数量。 【详解】假设16辆全部是共享单车：2×16＝32（个） 多出的车轮：44－32＝12（个） 共享汽车：12÷（4－2） ＝12÷2 ＝6（辆） 共享单车：16－6＝10（辆） 答：共享单车有10辆，共享汽车有6辆。 4．为传承红色基因，体悟中华优秀文化内涵。庆丰小学举办了“经典诵读润书香”的诵读比赛。本次比赛一共有35人参加，共有7组诵读节目，分别是3人一组的小朗诵和10人一组的集体朗诵。小朗诵和集体朗诵分别有多少组？ 【答案】 小朗诵有5组，集体朗诵有2组 【分析】用假设法求解，先假设全是小朗诵，根据总人数差和每组人数差推算出集体朗诵的组数，再求小朗诵的组数。 【详解】假设7组全部是小朗诵，总人数：（人），比实际少的人数：（人），每组集体朗诵比小朗诵多的人数：（人）， 集体朗诵组数：（组），小朗诵组数：（组） 答：小朗诵有5组，集体朗诵有2组。 5．学校举办“科技制作月”活动，科技社团的同学们制作科技小发明，男生；平均每人制作4件，女生平均每人制作2件。24名同学一共制作了72件科技小发明。男、女生各制作了多少件？ 【答案】48件；24件 【分析】先假设全是女生，通过总件数的差值和单人制作数量的差，求出男生人数，进而求出女生人数，再分别计算男、女生的制作数量。 【详解】假设24名同学全是女生，男生人数为 （72－24×2）÷（4－2） ＝（72－48）÷2 ＝24÷2 ＝12（人） 女生人数：24－12＝12（人） 男生制作件数：4×12＝48（件） 女生制作件数：2×12＝24（件） 答：男生制作了48件，女生制作了24件。 6．有15只松鼠捡松果，每只大松鼠捡3个，每只小松鼠捡2个，一共捡了36个松果，大松鼠和小松鼠各有几只？ 【答案】 大松鼠6只；小松鼠9只 【分析】假设15只全是小松鼠，15只小松鼠捡松果个数：15×2＝30（个），比实际少捡松果个数：36－30＝6（个），一只大松鼠比一只小松鼠多捡松果个数：3－2＝1（个），用比实际少捡的松果个数除以1，即等于大松鼠的只数，15减去大松鼠的只数等于小松鼠的只数。 【详解】假设全是小松鼠，可得： 15×2＝30（个） （36－30）÷（3－2） ＝6÷1 ＝6（只） 15－6＝9（只） 答：大松鼠有6只，小松鼠有9只。 7．实验学校积极响应社区号召，开展了“传承经典”古诗词背诵比赛。龙龙踊跃参加，在比赛时，他背诵的五言绝句和七言绝句共10首，总字数是224个字（不含题目和标点符号）。龙龙背诵的五言绝句和七言绝句的数量分别是多少首？ 【答案】五言绝句7首，七言绝句3首 【分析】鸡兔同笼类问题，用假设法来计算。先假设全是五言绝句，再求出实际字数与假设字数的差距，得到少算的字数。再根据每将一首七言绝句假设成一首五言绝句少算的字数，求出七言绝句的数量，最后求出五言绝句的数量即可。 【详解】先算出每首诗的总字数： 五言绝句每首4句，每句5字，1首共4×5＝20（个） 七言绝句每首4句，每句7字，1首共4×7＝28（个） 假设10首全是五言绝句，总字数只有 10×20＝200（个）， 比实际的224字少了 224−200＝24（个） 每把1首七言绝句假设成五言绝句，就会少算 28−20＝8（个）， 所以七言绝句的数量是24÷8＝3（首） 剩下的五言绝句数量就是10−3＝7（首） 答：龙龙背诵的五言绝句有7首，七言绝句有3首。 8．一名篮球运动员在一场比赛中一共投中10个球，有2分球，也有3分球。已知这名运动员一共得了26分，他投中2分球和3分球各多少个？ 【答案】4个2分球，6个3分球 【分析】可以用假设法解决鸡兔同笼问题，假设投中的全部是3分球，求出可得多少分，比实际得多就减去实际得分，是因为我们把每个2分球当作了3分球，每个球多算了的分数用3－2计算，所以据此可以求出2分球的个数，接着再用总数减去2分球的个数得到3分球的个数，据此解答。 【详解】假设投中的全部是3分球， 2分球的个数：（3×10－26）÷（3－2） ＝（30－26）÷1 ＝4÷1 ＝4（个） 3分球的个数是：10－4＝6（个） 答：他投中了4个2分球，6个3分球。 9．绝句，每首四句，多为五言或七言，凝练隽永，恰如古典诗园里的“小品画”。在经典诵读活动中，学校给同学们推荐了五言绝句和七言绝句共20首，464个字（不计题目字数）。五言绝句和七言绝句各有多少首？ 【答案】五言绝句：12首；七言绝句：8首 【分析】先根据每首绝句4句的特点，分别算出五言、七言绝句每首的字数，再用假设法求解两类绝句的数量，假设20首全是五言绝句，求出总字数，再将所得的总字数与464进行求差，将所得的结果除以每首七言绝句比五言绝句多的字数，即可求出七言绝句多少首，进而求出五言绝句多少首。 【详解】每首五言绝句的字数：（个） 每首七言绝句的字数：（个） 假设20首全是五言绝句，总字数为：（个） 实际总字数比假设多：（个） 每首七言绝句比五言绝句多的字数：（个） 七言绝句的数量：（首） 五言绝句的数量：（首） 答：五言绝句12首，七言绝句8首。 10．五年级二班全班45名同学义务植树造林612棵。每个男生栽15棵、每个女生栽12棵。男生和女生各有多少人？ 【答案】 男生有24人，女生有21人 【分析】用假设法解题，先假设全班都是女生，算出假设栽树总棵数与实际总棵数的差值，该差值是把男生当成女生少算的总棵数，用差值除以每个男生比女生多栽的棵数，得到男生人数，再计算女生人数。 【详解】假设全班都是女生，男生有： （人） 女生人数为：（人） 答：男生有人，女生有人。 11．科学老师给同学们准备了A组和B组两种实验材料包若干套（如图），共有20个小灯泡和52节电池。科学老师准备了A组和B组实验材料包各多少套？ 【答案】A组8套；B组12套 【分析】这其实是一道鸡兔同笼问题。灯泡总数20个，每组一个灯泡，总套数＝A组套数＋B组套数。电池总数52节，从图中可以看出，A组每套2节，B组每套3节，电池总数＝2×A组套数＋3×B组套数。用假设法求解，假设全为A组，与实际电池总数比较，差数除以每组电池差得到B组套数，再求A组套数。 【详解】B组套数：（52－20×2）÷（3－2） ＝（52－40）÷1 ＝12÷1 ＝12（套） A组套数：20－12＝8（套） 答：科学老师准备了A组8套，B组12套。 12．李奶奶将自家养的鸡和兔关在一个笼子里，共有15个头，42条腿，鸡兔各有多少只？ 【答案】鸡有9只；兔子有6只 【分析】鸡有2条腿，兔子有4条腿，假设15只全都是鸡，用15乘2算出鸡的总腿数是30条，和实际腿的总数相比少了（42－30）条，一只鸡比一只兔子少了（4－2）条腿，用少的腿数除以一只鸡比一只兔子少的腿数，即可求出兔子的数量，再用15减去兔子的数量，即可求出鸡的数量。 【详解】15×2＝30（条） 42－30＝12（条） 4－2＝2（条） 12÷2＝6（只） 15－6＝9（只） 答：鸡有9只，兔子有6只。 真题训练 13．某物流公司运送150个花瓶。已知每个花瓶的运费为20元，损坏一个不但不给运费还要赔100元。结算时，物流公司共得2760元的运费。共损坏了多少个花瓶？ 【答案】2个 【分析】根据题意，可以假设所有花瓶都完好无损，计算出理论上应得的总运费，然后与实际结算的运费相减，得出总差额。用20加100计算出损坏一个花瓶造成的差额。最后用总差额除以损坏一个花瓶造成的差额，即可求出损坏花瓶的数量。 【详解】假设150个花瓶全部完好无损。 150×20＝3000（元） （3000－2760）÷（20＋100） ＝240÷120 ＝2（个） 答：共损坏了2个花瓶。 14．“2025CBSA斯诺克大师挑战赛”在长沙贺龙体育馆举行，张叔叔公司从网上抢购15张门票共花了3300元。门票有两种价格，一种每张280元，另一种每张180元，张叔叔公司两种票各买了多少张？ 【答案】6张；9张 【分析】假设全部都是买的售价180元的票，用售价×15，算出假设的总花费，比实际的差额，用实际的花费－假设的总花费，又因为每张售价280元减去每张售价180元得到每张多花的钱，用总共少算的钱除以每张票少算的钱得到280元门票的数量，然后再用总票数减去280元的张数，即可求出180元张数买了多少张。 【详解】假设买的全是180元的门票。 15×180＝2700（元） 3300－2700＝600（元） 600÷（280－180） ＝600÷100 ＝6（张） 15－6＝9（张） 答：售价280元的门票买了6张，180元的买了9张。 15．某“智慧社区”门口停放着共享单车（2轮）和共享电动汽车（4轮）共36辆，一共有96个轮子，共享单车和共享电动汽车分别有多少辆？ 【答案】 共享电动汽车：12 辆 共享单车：24 辆 【分析】已知共享单车（2轮）和共享电动汽车（4轮）共36辆，一共有96个轮子，可假设这36辆都是共享单车，则轮子总数量为36×2＝72（个），实际轮子个数为96个，相差的轮子个数是因为把共享电动汽车的4轮按照2轮来计算了，每辆汽车少计算了2个轮子，用少计算的轮子总数÷2＝共享电动汽车的数量，两种车的总数量－共享电动汽车的数量＝共享单车的数量。 【详解】假设这36辆车都是共享单车 96－36×2 ＝96－72 ＝24（个） 共享电动汽车：24÷（4－2） ＝24÷2 ＝12（辆） 共享单车：36－12＝24（辆） 答：共享单车有24辆，共享电动汽车有12辆。 16．为庆祝学校建校20周年，育才小学举行数学竞赛。本次竞赛共25题，答对一题得4分，答错或不答一题扣2分。小宇最终得了82分，他答对了多少道题？ 【答案】22道 【分析】“鸡兔同笼”问题，用假设法，先假设全部答对，计算出理论总分与实际得分的差值，再根据答错或不答一题的分数损失，求出答错或不答的题数，进而得到答对的题数。 【详解】假设全部答对，应得分为： 25×4＝100（分） 答错题数： （100－82）÷（4＋2） ＝18÷6 ＝3（道） 答对题数： 25－3＝22（道） 答：他答对了22题。 17．董宇辉到新疆助农直播，当地农民用四轮拖拉机和三轮小货车共32辆运送农产品，两种车的轮子共有108个，你能算一算四轮拖拉机和三轮小货车各有多少辆吗？（可以选择你喜欢的方法计算） 【答案】四轮拖拉机12辆；三轮小货车20辆 【分析】本题属于鸡兔同笼问题，可采用假设法求解。假设32辆全是四轮拖拉机，先计算出假设情况下的轮子总数，再与实际轮子数对比，求出轮子的差值。由于每辆四轮拖拉机比三轮小货车多1个轮子，用差值除以每辆车的轮子差，即可求出三轮小货车的数量，最后用总车辆数减去三轮小货车的数量，得到四轮拖拉机的数量。 【详解】假设32辆全是四轮拖拉机。 32×4＝128（个） 128－108＝20（个） 三轮小货车：20÷（4－3） ＝20÷1 ＝20（辆） 四轮拖拉机：32－20＝12（辆） 答：四轮拖拉机有12辆，三轮小货车有20辆。 18．在生态环境建设活动中，五（1）班45名学生收集了159条建议，男生平均每人收集4条建议，女生平均每人收集3条建议。五（1）班男生和女生各有多少人？ 【答案】 男生24人，女生21人 【分析】由题意可知，男生平均比女生多收集1条建议，假设45名学生均为女生，则一共收集（45×3＝135）条建议，用建议的总数159条减去135条建议再除以1即可求出男生的人数，用学生的总数45名减去男生的人数即可求出女生的人数。 【详解】（159－45×3）÷（4－3） ＝（159－135）÷1 ＝24÷1 ＝24（人） 45－24＝21（人） 答：五（1）班男生和女生各有24人和21人。 19．公园里有大小两种游船，大船每条能乘载6人，小船每条能乘载4人。一共有76名同学去划船，正好坐满了15条船。大船和小船各有多少条？ 【答案】大船8条；小船7条 【分析】根据鸡兔同笼问题的做法，可通过假设法解决。假设全部是大船，计算总人数与实际人数的差值，通过调整大船和小船的数量，得出正确答案。列式计算即可。 【详解】假设全部是大船，则小船有： （15×6－76）÷（6－4） ＝（90－76）÷2 ＝14÷2 ＝7（条） 15－7＝8（条） 答：大船有8条，小船有7条。 20．某校四年级正在进行数学单元测试。试卷采用创新评分机制：考试共有20道选择题，做对一道得5分，做错一道题倒扣2分，小明做完了所有的题，考试结束后，小明同学拿到了自己的成绩单，显示他得了72分。小明做对了多少道题？ 【答案】16道题 【分析】假设小明20道选择题全做对，那么总共得100分，假设的分数比实际多了28分，而做错一道题当成做对一道题，多算7分，28分里面有4个7分，所以总共做错了4道题，再用20道题减去做错的4道题，即可求出做对的题目数量；据此解答。 【详解】假设小明20道选择题全做对，那么应得分数：（分） 多算的分数：（分） 每把一道错题当成一道对题就多算：（分） 做错题的数量：（道） 做对题的数量：（道） 答：小明做对了16道题。 21．为缓解停车难情况，我县新增多处停车场，其中某停车场有三轮车和小轿车共20辆，正好有76个轮子，小轿车和三轮车各有多少辆？ 【答案】 小轿车16辆；三轮车4辆 【分析】根据题意，假设全是三轮车，则共有的轮子数是20×3＝60（个），然后与实有的轮子数相比，计算出轮子的数量差，用76－60＝16（个），就是因为每辆小轿车比三轮车多了4－3＝1（个）轮子，由此求出小轿车的数量16÷1＝16（辆），进而用20减去16，求得三轮车的数量，据此解答。 【详解】根据分析可知： （76－20×3）÷（4﹣3） ＝（76－60）÷1 ＝16÷1 ＝16（辆） 20－16＝4（辆） 答：小轿车有16辆，三轮车有4辆。 22．在“保护太湖，放养食藻鱼”的活动中，环保小组的27名同学共投放了111条食藻鱼。已知男生每人投放了5条，女生每人投放了3条，那么这个环保小组男生、女生各有多少人？ 【答案】男生有15人；女生有12人 【分析】假设全是男生，用环保小组同学的总人数乘5，27×5＝135条，求出全部是男生时投放的条数，用全部是男生时投放的条数减去实际投放的条数，135－111＝24条，求出全部是男生投放的条数比实际投放多的条数，男生每人比女生每人多投（5－3）条鱼，用全部是男生投放的条数比实际投放多的条数除以男生每人比女生每人多投的条数，求出女生的人数，用环保小组同学的总人数减去女生的人数，即可求出男生的人数。 【详解】27×5＝135（条） （135－111）÷（5－3） ＝24÷（5－3） ＝24÷2 ＝12（人） 27－12＝15（人） 答：这个环保小组男生有15人，女生有12人。 23．外卖的出现极大方便了人们的生活。外卖骑手每送一单外卖的配送费有的是3元，有的是5元。某天，骑手刘叔叔送了46单外卖，一共得到配送费152元，刘叔叔这一天送了多少单5元的外卖？ 【答案】7单 【分析】本题属于鸡兔同笼问题，可通过假设法解决。假设全部配送费为3元，计算总配送费与实际差额，再用差额除以（5－3）的差，即可求出刘叔叔这一天送了多少单5元的外卖。 【详解】（152－46×3）÷（5－3） ＝（152－138）÷2 ＝14÷2 ＝7（单） 答：刘叔叔这一天送了7单5元的外卖。 24．“鸡兔同笼”问题是我国古代的数学名题之一。它出自唐代的《孙子算经》。现有鸡兔同笼，上有二十三头，下有六十二足，你能算出这道题中的鸡和兔各有多少只吗？ 【答案】鸡15只；兔8只 【分析】假设23只全是鸡，腿数应有（23×2）只，比腿的实际数量少了（62－23×2）只，是因为23只不全是鸡，每只鸡比每只兔的腿数少了（4－2）只；用腿少的总只数除以（4－2），即可求出兔子的只数，再用总只数减去兔子的只数，求出鸡的只数。 【详解】（62－23×2）÷（4－2） ＝（62－46）÷2 ＝16÷2 ＝8（只） 鸡：23－8＝15（只） 答：鸡有15只，兔有8只。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 鸡兔同笼问题（基础篇） 专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 知识讲解 1. 问题概述 鸡兔同笼问题是中国古代经典数学问题，最早出自《孙子算经》。 基本题型特征：已知笼子里鸡和兔的总头数和总脚数，求鸡和兔各有多少只。 本质：已知两个量的总数量，以及两个量的单位属性差（鸡 2 只脚、兔 4 只脚），分别求两个量的数量。 隐藏常识：1 只鸡有 1 个头、2 只脚；1 只兔有 1 个头、4 只脚。 2. 三大基础解题方法 （1）列表法（直观枚举法） 方法：把鸡的数量从 0 到总头数逐一列举，算出对应的兔的数量和总脚数，找到和题目总脚数一致的情况。 分类： 逐一列表：从 0 只鸡开始逐个试，适合总数量小的题目； 折中列表：从中间数量开始试，减少列举次数。 缺点：总数量大时非常麻烦，不适合大数计算。 （2）假设法（核心通用方法） 这是解决鸡兔同笼问题最基础、最通用的方法，必须掌握。 基本思路：假设笼子里全是同一种动物，算出假设的总脚数，和实际总脚数对比，找到脚数的差，再根据每只动物的脚数差，推算出另一种动物的数量。 公式推导（假设全是鸡）： ① 假设全是鸡，总脚数 = 总头数 × 2 ② 实际脚数更多，多出来的脚都是兔子的 ③ 每把 1 只兔看成 1 只鸡，少算了 只脚 ④ 兔的数量 = 多出来的总脚数 ÷ 每只兔少算的脚数 公式： 鸡的只数 = 总头数 - 兔的只数 公式推导（假设全是兔）： ① 假设全是兔，总脚数 = 总头数 × 4 ② 实际脚数更少，少的脚都是鸡的 ③ 每把 1 只鸡看成 1 只兔，多算了 只脚 ④ 鸡的数量 = 少的总脚数 ÷ 每只鸡多算的脚数 公式： 兔的只数 = 总头数 - 鸡的只数 （3）抬腿法（趣味理解法） 方法：让所有动物都抬起 2 条腿，这时鸡都坐在地上，兔子都用 2 条腿站着。 推导： 抬起的总脚数 = 总头数 × 2 剩下的脚都是兔子的，每只兔剩 2 只脚 兔的只数 = 剩下的脚数 ÷ 2 特点：形象有趣，容易理解，本质和假设全是鸡的思路一致。 3. 解题通用步骤 ① 判题型：确认是两类事物、已知总数量和总 “单位量”； ② 做假设：假设全是其中一种事物，算出假设的总量； ③ 算差值：求假设总量和实际总量的差，除以单位差； ④ 得数量：先算出另一种事物的数量，再求假设的那种数量； ⑤ 做检验：代入原题验算总脚数是否正确。 4. 易错提醒 假设全是鸡，先算出来的是兔的数量，不是鸡的数量，不要搞反； 单位差是 “4-2=2”，不是 4 也不是 2，变形题要先算对两个事物的单位差； 脚的总数一定是偶数，不可能出现奇数，可用来快速判断对错。 例题讲解 【典型例题 1】基础假设法入门 笼子里有鸡和兔共 8 只，一共有 26 条腿。鸡和兔各有多少只？ 【跟踪训练 1】 鸡兔同笼，共有 12 个头，34 条腿。鸡和兔各有多少只？ 【典型例题 2】稍大数计算 笼子里鸡和兔共 40 只，一共有 112 条腿。鸡和兔各有多少只？ 【跟踪训练 2】 鸡兔同笼，共有 35 个头，94 条腿。鸡和兔各有多少只？（《孙子算经》原题） 【典型例题 3】模型变形：车轮问题 停车场停着自行车和三轮车共 15 辆，一共有 38 个轮子。自行车和三轮车各有多少辆？ 【跟踪训练 3】 小明有 2 分和 5 分的硬币共 20 枚，一共是 76 分。两种硬币各有多少枚？ 巩固练习 1．毛毛参加一次数学竞赛，答对1题得4分，答错或不答每题扣1分，他一共答了20道题，得60分，毛毛答对了几道题？ 2．实验小学有8间宿舍，其中大宿舍每间住6人，小宿舍每间住4人，这些宿舍一共可以住40人，那么有多少间大宿舍？ 3．共享单车和共享汽车的出现给大家的交通带来了便利。地铁站台附近停放着共享单车和共享汽车共16辆，芳芳数了数一共有44个车轮。共享单车和共享汽车各有几辆？（提示：共享单车是2轮，共享汽车是4轮） 4．为传承红色基因，体悟中华优秀文化内涵。庆丰小学举办了“经典诵读润书香”的诵读比赛。本次比赛一共有35人参加，共有7组诵读节目，分别是3人一组的小朗诵和10人一组的集体朗诵。小朗诵和集体朗诵分别有多少组？ 5．学校举办“科技制作月”活动，科技社团的同学们制作科技小发明，男生；平均每人制作4件，女生平均每人制作2件。24名同学一共制作了72件科技小发明。男、女生各制作了多少件？ 6．有15只松鼠捡松果，每只大松鼠捡3个，每只小松鼠捡2个，一共捡了36个松果，大松鼠和小松鼠各有几只？ 7．实验学校积极响应社区号召，开展了“传承经典”古诗词背诵比赛。龙龙踊跃参加，在比赛时，他背诵的五言绝句和七言绝句共10首，总字数是224个字（不含题目和标点符号）。龙龙背诵的五言绝句和七言绝句的数量分别是多少首？ 8．一名篮球运动员在一场比赛中一共投中10个球，有2分球，也有3分球。已知这名运动员一共得了26分，他投中2分球和3分球各多少个？ 9．绝句，每首四句，多为五言或七言，凝练隽永，恰如古典诗园里的“小品画”。在经典诵读活动中，学校给同学们推荐了五言绝句和七言绝句共20首，464个字（不计题目字数）。五言绝句和七言绝句各有多少首？ 10．五年级二班全班45名同学义务植树造林612棵。每个男生栽15棵、每个女生栽12棵。男生和女生各有多少人？ 11．科学老师给同学们准备了A组和B组两种实验材料包若干套（如图），共有20个小灯泡和52节电池。科学老师准备了A组和B组实验材料包各多少套？ 12．李奶奶将自家养的鸡和兔关在一个笼子里，共有15个头，42条腿，鸡兔各有多少只？ 真题训练 13．某物流公司运送150个花瓶。已知每个花瓶的运费为20元，损坏一个不但不给运费还要赔100元。结算时，物流公司共得2760元的运费。共损坏了多少个花瓶？ 14．“2025CBSA斯诺克大师挑战赛”在长沙贺龙体育馆举行，张叔叔公司从网上抢购15张门票共花了3300元。门票有两种价格，一种每张280元，另一种每张180元，张叔叔公司两种票各买了多少张？ 15．某“智慧社区”门口停放着共享单车（2轮）和共享电动汽车（4轮）共36辆，一共有96个轮子，共享单车和共享电动汽车分别有多少辆？ 16．为庆祝学校建校20周年，育才小学举行数学竞赛。本次竞赛共25题，答对一题得4分，答错或不答一题扣2分。小宇最终得了82分，他答对了多少道题？ 17．董宇辉到新疆助农直播，当地农民用四轮拖拉机和三轮小货车共32辆运送农产品，两种车的轮子共有108个，你能算一算四轮拖拉机和三轮小货车各有多少辆吗？（可以选择你喜欢的方法计算） 18．在生态环境建设活动中，五（1）班45名学生收集了159条建议，男生平均每人收集4条建议，女生平均每人收集3条建议。五（1）班男生和女生各有多少人？ 19．公园里有大小两种游船，大船每条能乘载6人，小船每条能乘载4人。一共有76名同学去划船，正好坐满了15条船。大船和小船各有多少条？ 20．某校四年级正在进行数学单元测试。试卷采用创新评分机制：考试共有20道选择题，做对一道得5分，做错一道题倒扣2分，小明做完了所有的题，考试结束后，小明同学拿到了自己的成绩单，显示他得了72分。小明做对了多少道题？ 21．为缓解停车难情况，我县新增多处停车场，其中某停车场有三轮车和小轿车共20辆，正好有76个轮子，小轿车和三轮车各有多少辆？ 22．在“保护太湖，放养食藻鱼”的活动中，环保小组的27名同学共投放了111条食藻鱼。已知男生每人投放了5条，女生每人投放了3条，那么这个环保小组男生、女生各有多少人？ 23．外卖的出现极大方便了人们的生活。外卖骑手每送一单外卖的配送费有的是3元，有的是5元。某天，骑手刘叔叔送了46单外卖，一共得到配送费152元，刘叔叔这一天送了多少单5元的外卖？ 24．“鸡兔同笼”问题是我国古代的数学名题之一。它出自唐代的《孙子算经》。现有鸡兔同笼，上有二十三头，下有六十二足，你能算出这道题中的鸡和兔各有多少只吗？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $