第6讲 积的变化规律与错中求解 专题讲义-人教版数学四年级上册奥数培优

第6讲 积的变化规律与错中求解 专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 知识讲解 1. 积的变化规律 乘法中，积的大小由两个因数共同决定，因数变化时，积会按照固定规律同步变化。 （1）基础规律：一个因数不变 一个因数不变，另一个因数乘（或除以）几（0 除外），积也同时乘（或除以）相同的数。 公式：若，则 （） （2）拓展规律：两个因数都变化 同时扩大：一个因数乘，另一个因数乘，积乘； 同时缩小：一个因数除以，另一个因数除以，积除以； 一扩一缩：一个因数乘，另一个因数除以，积乘。 （3）积不变规律 一个因数乘几（0 除外），另一个因数除以相同的数，积保持不变。 公式：若，则（） 应用：简便计算中的扩倍缩倍法、因数末尾 0 的增减。 2. 乘法错中求解 （1）核心原理 乘法计算中，一个因数看错，另一个因数不变，则积的变化量与因数的变化量成正比。 核心公式： （2）解题四步走 ① 找不变量：确定哪个因数没看错，是不变量； ② 算差量：计算错误积与正确积的差、看错因数与正确因数的差； ③ 反推因数：不变的因数 = 积的差 ÷ 因数的差； ④ 还原正确积：不变因数 × 正确因数 = 正确的积。 （3）常见错题类型 数字看错：个位 / 十位上的数字看错（如把 3 看成 5）； 末尾 0 差错：漏看或多写因数末尾的 0，相当于因数除以 10 或乘 10； 数值增减：把整个因数看多或看少了几（如把 24 写成 29）。 3. 解题通用步骤 积的变化规律题：先判断因数的变化方式，再对应规律给积做相同运算；两个因数都变时，变化倍数相乘除。 错中求解题：先抓不变的因数，通过 “差量对应” 反推因数，再计算正确结果。 例题讲解 【典型例题 1】积的变化规律基础 已知，根据规律填空： （1）不变，乘 3，积是（ ） （2）不变，除以 4，积是（ ） （3）乘 2，乘 3，积是（ ） （4）乘 4，除以 4，积是（ ） 【分析】（1）一个因数不变，另一个乘 3，积也乘 3；（2）一个因数不变，另一个除以 4，积也除以 4；（3）两个因数同时扩大，积乘两个倍数的乘积；（4）一乘一除相同倍数，积不变。 【详解】 （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【跟踪训练 1】 已知，根据规律直接写得数： （1）（ ） （2）（ ） （3）（ ） （4）（ ） 【分析】（1）第二个因数除以 2，积也除以 2；（2）第一个因数乘 2，积也乘 2；（3）第一个除以 2、第二个乘 2，积不变；（4）第一个除以 5、第二个乘 5，积不变。 【详解】 （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【典型例题 2】错中求解：看错个位数字 小明做乘法题时，把其中一个因数 23 个位上的 3 看成了 8，结果得到的积比正确的积多了 80。正确的积是多少？ 【分析】把 23 看成 28，因数多算了，另一个因数不变。积多了 80，对应多算了 5 个 “不变的因数”，因此先求不变因数，再乘正确的 23 即可。 【详解】 看错后因数增加： 另一个不变的因数： 正确的积： 【答案】 【跟踪训练 2】 小红计算乘法时，把其中一个因数 45 个位上的 5 看成了 2，结果积比正确的少了 90。正确的积是多少？ 【分析】把 45 看成 42，因数少算了，积少了 90，对应少了 3 个不变因数，先求不变因数再算正确积。 【详解】 因数减少了： 另一个因数： 正确的积： 【答案】 【典型例题 3】错中求解：末尾 0 差错 计算一道乘法题时，把其中一个因数末尾的一个 0 漏看了，算出的积是 240。正确的积是多少？ 【分析】漏看一个 0，这个因数就缩小到原来的，另一个因数不变，积也缩小到原来的。反过来，正确的积就是错误积的 10 倍。 【详解】 漏看 0，因数缩小 10 倍，积也缩小 10 倍。 正确的积： 【答案】 【跟踪训练 3】 小亮在计算乘法时，把其中一个因数末尾多写了一个 0，结果得到的积是 3600。正确的积是多少？ 【分析】多写一个 0，因数扩大 10 倍，积也扩大 10 倍，正确的积是错误积除以 10。 【详解】 多写一个 0，积扩大 10 倍。 正确的积： 【答案】 巩固练习 1. 两个数相乘，一个因数不变，另一个因数乘 5，积（ ）。 【分析】根据积的基础变化规律，一个因数不变，另一个乘几，积也乘几。 【详解】一个因数不变，另一个因数乘 5，积也乘 5。 【答案】乘 5 2. 已知，如果乘 3，不变，积是（ ）；如果不变，除以 4，积是（ ）。 【分析】分别对应一个因数变化的基础规律。 【详解】 ； 【答案】； 3. 判断：两个因数相乘，一个因数乘 2，另一个因数乘 3，积乘 5。（ ） 【分析】两个因数同时扩大，积扩大的倍数是两个倍数的乘积，不是和。 【详解】积应该乘，不是 5，说法错误。 【答案】 4. 一个长方形，长扩大到原来的 3 倍，宽扩大到原来的 2 倍，面积扩大到原来的（ ）倍。 【分析】长方形面积 = 长 × 宽，长和宽分别扩大，面积扩大倍数相乘。 【详解】 【答案】 5. 根据，直接写出（ ），（ ）。 【分析】第一题：第一个因数乘 2，第二个不变，积乘 2；第二题：第一个除以 2、第二个乘 2，积不变。 【详解】 ； 【答案】； 6. 小明做乘法时，把一个因数 12 看成了 17，结果积多了 45。正确的积是多少？ 【分析】因数多算了，积多 45，对应 5 个不变因数，先求不变因数。 【详解】 因数差： 不变因数： 正确积： 【答案】 7. 小丽计算乘法，把一个因数 36 写成了 30，结果积少了 120。正确的积是多少？ 【分析】因数少算了，积少 120，对应 6 个不变因数。 【详解】 因数差： 不变因数： 正确积： 【答案】 8. 计算乘法时，把一个因数末尾的 0 漏看了，得到的积是 180。正确的积比错误的多多少？ 【分析】正确积是错误积的 10 倍，先求正确积，再作差。 【详解】 正确积： 相差： 【答案】 9. 两个数相乘，一个因数乘 4，另一个因数除以 2，积（ ）。 【分析】一扩一缩，积的变化为倍数相除。 【详解】，积乘 2。 【答案】乘 2 10. 判断：一个因数乘 5，另一个因数除以 5，积不变。（ ） 【分析】符合积不变规律：乘除相同的数（0 除外），积不变。 【详解】因数变化抵消，积保持不变，说法正确。 【答案】 11. 小刚做两位数乘两位数时，把一个因数十位上的 3 看成了 5，结果积多了 400。另一个因数是多少？ 【分析】十位上的 3 看成 5，因数多了，积多 400，对应 20 个不变因数。 【详解】 因数增加： 另一个因数： 【答案】 12. 两个数的积是 120，如果一个因数乘 3，另一个因数也乘 3，积乘（ ），是（ ）。 【分析】两个因数都乘 3，积乘。 【详解】 扩大倍数： 新积： 【答案】； 真题训练 1.（四年级期末真题）一个因数不变，另一个因数扩大到原来的 10 倍，积（ ） A. 不变 B. 扩大 10 倍 C. 缩小 10 倍 【分析】一个因数不变，另一个扩大 10 倍，积同步扩大 10 倍。 【详解】根据积的变化规律，选 B。 【答案】 2.（希望杯模拟题）已知，如果乘 3，除以 3，现在的积是（ ） A. 60 B. 180 C. 20 【分析】一个乘 3、一个除以 3，积不变。 【详解】符合积不变规律，积还是 60，选 A。 【答案】 3.（小升初真题）长方形的长扩大 2 倍，宽扩大 3 倍，面积扩大（ ）倍。 A. 2 B. 3 C. 6 【分析】面积 = 长 × 宽，扩大倍数相乘：。 【详解】，选 C。 【答案】 4.（华杯赛初赛）小明做乘法时，把因数 14 看成 19，结果积多了 65。正确的积是（ ） A. 182 B. 247 C. 130 【分析】因数多了，积多 65，不变因数，正确积。 【详解】 ，，，选 A。 【答案】 5.（重点中学分班考）把一个因数末尾的一个 0 漏写了，得到的积是 45，正确的积是（ ）。 【分析】漏写 0，积缩小 10 倍，正确积是错误积的 10 倍。 【详解】 【答案】 6.（走美杯真题）两个数相乘，一个因数除以 2，另一个因数除以 3，积（ ）。 A. 除以 5 B. 除以 6 C. 乘 6 【分析】两个因数同时缩小，积除以两个倍数的乘积。 【详解】，积除以 6，选 B。 【答案】 7.（四年级期末真题）判断：两个因数的末尾一共有两个 0，积的末尾一定只有两个 0。（ ） 【分析】计算中可能产生新的 0，比如，因数末尾共 1 个 0，积末尾有 3 个 0。 【详解】积的末尾 0 的个数可能多于因数末尾 0 的总数，说法错误。 【答案】 8.（小升初压轴题）小红做两位数乘两位数，把一个因数个位的 6 看成了 9，算出的结果是 798，正确结果是 672。这两个因数分别是多少？ 【分析】积多了，对应因数多了，先求不变因数，再求另一个正确因数。 【详解】 积的差： 因数的差： 不变的因数： 正确的另一个因数： 【答案】和 9.（希望杯真题）根据，直接写出： （ ），（ ）。 【分析】第一题：第一个因数乘 2，积乘 2；第二题：第一个除以 2、第二个乘 2，积不变。 【详解】 ； 【答案】； 10.（重点中学自主招生）一个因数乘 4，要使积不变，另一个因数应该（ ）。 A. 乘 4 B. 除以 4 C. 不变 【分析】积不变规律：一个乘几，另一个除以相同的数。 【详解】另一个因数应除以 4，选 B。 【答案】 11.（华杯赛模拟题）计算一道乘法题时，把其中一个因数 25 看成了 28，结果比正确答案多了 96。正确的积是多少？ 【分析】因数多了，积多 96，对应 3 个不变因数。 【详解】 因数差： 不变因数： 正确积： 【答案】 12.（思维训练题）两个数相乘，如果一个因数增加 4，积就增加 56；如果另一个因数增加 5，积就增加 75。原来的积是多少？ 【分析】一个因数增加 4，积增加 56，说明另一个因数是；另一个因数增加 5，积增加 75，说明第一个因数是。 【详解】 第一个因数： 第二个因数： 原来的积： 【答案】 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6讲 积的变化规律与错中求解 专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 知识讲解 1. 积的变化规律 乘法中，积的大小由两个因数共同决定，因数变化时，积会按照固定规律同步变化。 （1）基础规律：一个因数不变 一个因数不变，另一个因数乘（或除以）几（0 除外），积也同时乘（或除以）相同的数。 公式：若，则 （） （2）拓展规律：两个因数都变化 同时扩大：一个因数乘，另一个因数乘，积乘； 同时缩小：一个因数除以，另一个因数除以，积除以； 一扩一缩：一个因数乘，另一个因数除以，积乘。 （3）积不变规律 一个因数乘几（0 除外），另一个因数除以相同的数，积保持不变。 公式：若，则（） 应用：简便计算中的扩倍缩倍法、因数末尾 0 的增减。 2. 乘法错中求解 （1）核心原理 乘法计算中，一个因数看错，另一个因数不变，则积的变化量与因数的变化量成正比。 核心公式： （2）解题四步走 ① 找不变量：确定哪个因数没看错，是不变量； ② 算差量：计算错误积与正确积的差、看错因数与正确因数的差； ③ 反推因数：不变的因数 = 积的差 ÷ 因数的差； ④ 还原正确积：不变因数 × 正确因数 = 正确的积。 （3）常见错题类型 数字看错：个位 / 十位上的数字看错（如把 3 看成 5）； 末尾 0 差错：漏看或多写因数末尾的 0，相当于因数除以 10 或乘 10； 数值增减：把整个因数看多或看少了几（如把 24 写成 29）。 3. 解题通用步骤 积的变化规律题：先判断因数的变化方式，再对应规律给积做相同运算；两个因数都变时，变化倍数相乘除。 错中求解题：先抓不变的因数，通过 “差量对应” 反推因数，再计算正确结果。 例题讲解 【典型例题 1】积的变化规律基础 已知，根据规律填空： （1）不变，乘 3，积是（ ） （2）不变，除以 4，积是（ ） （3）乘 2，乘 3，积是（ ） （4）乘 4，除以 4，积是（ ） 【跟踪训练 1】 已知，根据规律直接写得数： （1）（ ） （2）（ ） （3）（ ） （4）（ ） 【典型例题 2】错中求解：看错个位数字 小明做乘法题时，把其中一个因数 23 个位上的 3 看成了 8，结果得到的积比正确的积多了 80。正确的积是多少？ 【跟踪训练 2】 小红计算乘法时，把其中一个因数 45 个位上的 5 看成了 2，结果积比正确的少了 90。正确的积是多少？ 【典型例题 3】错中求解：末尾 0 差错 计算一道乘法题时，把其中一个因数末尾的一个 0 漏看了，算出的积是 240。正确的积是多少？ 【跟踪训练 3】 小亮在计算乘法时，把其中一个因数末尾多写了一个 0，结果得到的积是 3600。正确的积是多少？ 巩固练习 1. 两个数相乘，一个因数不变，另一个因数乘 5，积（ ）。 2. 已知，如果乘 3，不变，积是（ ）；如果不变，除以 4，积是（ ）。 3. 判断：两个因数相乘，一个因数乘 2，另一个因数乘 3，积乘 5。（ ） 4. 一个长方形，长扩大到原来的 3 倍，宽扩大到原来的 2 倍，面积扩大到原来的（ ）倍。 5. 根据，直接写出（ ），（ ）。 6. 小明做乘法时，把一个因数 12 看成了 17，结果积多了 45。正确的积是多少？ 7. 小丽计算乘法，把一个因数 36 写成了 30，结果积少了 120。正确的积是多少？ 8. 计算乘法时，把一个因数末尾的 0 漏看了，得到的积是 180。正确的积比错误的多多少？ 9. 两个数相乘，一个因数乘 4，另一个因数除以 2，积（ ）。 10. 判断：一个因数乘 5，另一个因数除以 5，积不变。（ ） 11. 小刚做两位数乘两位数时，把一个因数十位上的 3 看成了 5，结果积多了 400。另一个因数是多少？ 12. 两个数的积是 120，如果一个因数乘 3，另一个因数也乘 3，积乘（ ），是（ ）。 真题训练 1.（四年级期末真题）一个因数不变，另一个因数扩大到原来的 10 倍，积（ ） A. 不变 B. 扩大 10 倍 C. 缩小 10 倍 2.（希望杯模拟题）已知，如果乘 3，除以 3，现在的积是（ ） A. 60 B. 180 C. 20 3.（小升初真题）长方形的长扩大 2 倍，宽扩大 3 倍，面积扩大（ ）倍。 A. 2 B. 3 C. 6 4.（华杯赛初赛）小明做乘法时，把因数 14 看成 19，结果积多了 65。正确的积是（ ） A. 182 B. 247 C. 130 5.（重点中学分班考）把一个因数末尾的一个 0 漏写了，得到的积是 45，正确的积是（ ）。 6.（走美杯真题）两个数相乘，一个因数除以 2，另一个因数除以 3，积（ ）。 A. 除以 5 B. 除以 6 C. 乘 6 7.（四年级期末真题）判断：两个因数的末尾一共有两个 0，积的末尾一定只有两个 0。（ ） 8.（小升初压轴题）小红做两位数乘两位数，把一个因数个位的 6 看成了 9，算出的结果是 798，正确结果是 672。这两个因数分别是多少？ 9.（希望杯真题）根据，直接写出： （ ），（ ）。 10.（重点中学自主招生）一个因数乘 4，要使积不变，另一个因数应该（ ）。 A. 乘 4 B. 除以 4 C. 不变 11.（华杯赛模拟题）计算一道乘法题时，把其中一个因数 25 看成了 28，结果比正确答案多了 96。正确的积是多少？ 12.（思维训练题）两个数相乘，如果一个因数增加 4，积就增加 56；如果另一个因数增加 5，积就增加 75。原来的积是多少？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $