第7讲 乘法估算与实际应用拓展 专题讲义-人教版数学四年级上册奥数培优

第7讲 乘法估算与实际应用拓展 专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 知识讲解 1. 乘法估算的基本方法 乘法估算的本质是不计算精确值，把因数看成接近的整十、整百、几百几十数，通过口算得到近似结果，结果用 “” 连接。 基本步骤： ① 取近似值：把每个因数分别看成与它最接近的整十 / 整百数； ② 口算乘积：用近似数相乘，得到估算结果； ③ 判断偏差：对比精确值，明确估算结果是估大了还是估小了。 优化技巧：一个因数估大、另一个因数估小，估算结果更接近精确值。 2. 两大估算策略与适用场景 估算不是机械地 “四舍五入”，要结合实际问题选择策略，保证结果符合实际需求。 （1）估大策略（进一法） 方法：把因数往大的方向取近似值（如、）。 适用场景：购物带钱、购票、准备材料等。 原理：把单价、数量估大，算出来的总钱数比实际多，就能保证带的钱足够。 结论：估大的总量 ≤ 限额 → 实际肯定满足。 （2）估小策略（去尾法） 方法：把因数往小的方向取近似值（如、）。 适用场景：装车运货、容纳人数、裁剪布料等。 原理：把重量、数量估小，算出来的总量比实际少，就能保证不会超载、装不下。 结论：估小的总量 ≥ 限额 → 实际肯定不满足。 3. 四大高频实际应用题型 购物购票问题：单价 × 数量 = 总价，通常用估大策略判断钱够不够； 载重装货问题：每箱重量 × 箱数 = 总重量，通常用估大策略判断 “能装下”，估小策略判断 “装不下”； 行程问题：速度 × 时间 = 路程，根据需求选择估算方向； 产量面积问题：单产量 × 数量 = 总产量，通常用四舍五入估算大致总数。 4. 解题通用步骤 ① 读题明确问题：判断是 “够不够”“能不能” 还是 “大约多少”； ② 选择估算策略：够钱选估大，证 “不够” 选估小，求大约数选四舍五入； ③ 取近似值口算，得到估算结果； ④ 结合实际判断结论，说明估算的偏差方向。 例题讲解 【典型例题 1】基础乘法估算 估算：，至少写出两种估算方法，并说明哪种更接近精确值。 【跟踪训练 1】 估算，并判断估算结果比精确值大还是小。 【典型例题 2】估大策略：购物购票问题 学校组织四年级 195 名同学去秋游，门票每张 49 元。老师带 10000 元钱，够买门票吗？ 【跟踪训练 2】 每套校服 106 元，四年级 42 名同学每人买一套，带 4000 元够吗？ 【典型例题 3】估大策略：载重装货问题 仓库里有 120 箱零件，每箱重 75 千克。用一辆载重 10 吨的货车，一次能运完吗？ 【跟踪训练 3】 每本书厚 12 毫米，120 本摞在一起，高 1 米的书架能放下吗？ 巩固练习 1. 估算： 2. 估算时，把 403 看成（ ），58 看成（ ），结果大约是（ ）。 3. 判断：估算时，把 195 看成 200，41 看成 40，估算结果和精确值一样大。（ ） 4. 超市大米每袋 52 元，买 18 袋，带 1000 元够吗？下面估算方法最合理的是（ ） A. ，够 B. ，不够 C. ，够 5. 一辆货车每次运货 21 吨，12 次大约运货多少吨？ 6. 每台机床重 820 千克，11 台这样的机床，用载重 10 吨的卡车运，一次能运完吗？ 7. 一列火车平均每小时行 118 千米，12 小时大约行多少千米？ 8. 一片果园，平均每棵树收苹果 105 千克，89 棵树大约收多少千克苹果？ 9. 学校买 32 个篮球，每个篮球 78 元，大约需要准备多少钱？ 10. 判断：装货时，把每箱重量估小，算出的总重量比实际少，不会超载。（ ） 11. 一本书有 198 页，21 本这样的书大约有多少页？ 12. 四年级同学去春游，每套车票门票共 49 元，一共 102 人，5000 元买票够吗？ 真题训练 1.（四年级期末真题）估算，最接近的结果是（ ） A. 6000 B. 9000 C. 8000 2.（希望杯模拟题）买 12 个单价 78 元的足球，大约需要准备多少钱？最合适的估算方法是（ ） A. B. C. 3.（小升初真题）下面的算式中，（ ）的结果最接近 10000。 A. B. C. 4.（华杯赛初赛）每袋水泥重 51 千克，19 袋水泥大约重多少吨？ 5.（重点中学分班考）小明走一步平均 58 厘米，他从家到学校走了 302 步，家到学校大约有（ ）米。 6.（走美杯真题）判断：估算的结果都比精确值大。（ ） 7.（四年级期末真题）电影院有 32 排座位，每排 28 个，三年级 900 名同学看电影，坐得下吗？ 8.（小升初压轴题）商店运来 21 箱苹果，每箱重 32 千克，每千克苹果卖 5 元。这些苹果大约能卖多少钱？ 9.（希望杯真题）一个打字员每分钟打 112 个字，19 分钟大约打（ ）个字。 A. 2000 B. 2200 C. 2500 10.（重点中学自主招生）下面哪种情况用估算比精确计算更合适？（ ） A. 老师确认买 5 套书要付多少钱 B. 老板判断带 2000 元买 29 套单价 65 元的书够不够 C. 收银员计算应收的钱数 11.（华杯赛模拟题）一块长方形菜地，长 102 米，宽 48 米，这块菜地的面积大约是（ ）平方米。 12.（思维训练题）估算：，结果大约是多少？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7讲 乘法估算与实际应用拓展 专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 知识讲解 1. 乘法估算的基本方法 乘法估算的本质是不计算精确值，把因数看成接近的整十、整百、几百几十数，通过口算得到近似结果，结果用 “” 连接。 基本步骤： ① 取近似值：把每个因数分别看成与它最接近的整十 / 整百数； ② 口算乘积：用近似数相乘，得到估算结果； ③ 判断偏差：对比精确值，明确估算结果是估大了还是估小了。 优化技巧：一个因数估大、另一个因数估小，估算结果更接近精确值。 2. 两大估算策略与适用场景 估算不是机械地 “四舍五入”，要结合实际问题选择策略，保证结果符合实际需求。 （1）估大策略（进一法） 方法：把因数往大的方向取近似值（如、）。 适用场景：购物带钱、购票、准备材料等。 原理：把单价、数量估大，算出来的总钱数比实际多，就能保证带的钱足够。 结论：估大的总量 ≤ 限额 → 实际肯定满足。 （2）估小策略（去尾法） 方法：把因数往小的方向取近似值（如、）。 适用场景：装车运货、容纳人数、裁剪布料等。 原理：把重量、数量估小，算出来的总量比实际少，就能保证不会超载、装不下。 结论：估小的总量 ≥ 限额 → 实际肯定不满足。 3. 四大高频实际应用题型 购物购票问题：单价 × 数量 = 总价，通常用估大策略判断钱够不够； 载重装货问题：每箱重量 × 箱数 = 总重量，通常用估大策略判断 “能装下”，估小策略判断 “装不下”； 行程问题：速度 × 时间 = 路程，根据需求选择估算方向； 产量面积问题：单产量 × 数量 = 总产量，通常用四舍五入估算大致总数。 4. 解题通用步骤 ① 读题明确问题：判断是 “够不够”“能不能” 还是 “大约多少”； ② 选择估算策略：够钱选估大，证 “不够” 选估小，求大约数选四舍五入； ③ 取近似值口算，得到估算结果； ④ 结合实际判断结论，说明估算的偏差方向。 例题讲解 【典型例题 1】基础乘法估算 估算：，至少写出两种估算方法，并说明哪种更接近精确值。 【分析】三位数乘两位数的估算，可以分别对两个因数取近似值。方法一：只把三位数看成整百数，两位数不变；方法二：两个因数都看成整十 / 整百数。最后对比精确值，计算偏差判断哪种更接近。 【详解】 方法一：把 198 看作 200，23 不变 方法二：把 198 看作 200，23 看作 20 精确值： 偏差一： 偏差二： ，方法一的结果更接近精确值。 【答案】方法一：；方法二：；把 198 看成 200、23 不变的估算方法更接近精确值。 【跟踪训练 1】 估算，并判断估算结果比精确值大还是小。 【分析】把 302 看成 300（估小），49 看成 50（估大），计算后对比精确值判断整体偏差。 【详解】 估算：把 302 看作 300，49 看作 50 精确值： 答：估算结果比精确值大。 【答案】，估算结果比精确值大。 【典型例题 2】估大策略：购物购票问题 学校组织四年级 195 名同学去秋游，门票每张 49 元。老师带 10000 元钱，够买门票吗？ 【分析】判断钱够不够，属于购物带钱问题，适合用估大策略。把人数和票价都往大了估，如果估大的总价都不超过 10000 元，那实际肯定够。本题中 195 接近 200，49 接近 50，都估大后总价刚好 10000 元，而实际两个因数都比近似数小，所以实际总价一定小于 10000 元。 【详解】 用估大策略： 把 195 看作 200，49 看作 50 （元） 因为，，所以实际总票价一定小于 10000 元。 答：带 10000 元够买门票。 【答案】够 【跟踪训练 2】 每套校服 106 元，四年级 42 名同学每人买一套，带 4000 元够吗？ 【分析】要判断钱不够，适合用估小策略：把单价和数量都往小了估，如果估小的总价都超过带的钱，那实际肯定不够。106>100，42>40，100×40=4000，实际总价一定大于 4000 元。 【详解】 用估小策略： 把 106 看作 100，42 看作 40 （元） 因为，，所以实际总价比 4000 元多。 答：带 4000 元不够。 【答案】不够 【典型例题 3】估大策略：载重装货问题 仓库里有 120 箱零件，每箱重 75 千克。用一辆载重 10 吨的货车，一次能运完吗？ 【分析】判断能不能运完，要证明 “能运完” 就用估大策略：把每箱重量往大了估，如果估大的总重量都小于载重，那实际肯定能运完。先统一单位，再计算比较。 【详解】 统一单位：吨 千克 把 75 看作 80（往大估），箱数 120 不变 （千克） 因为，所以实际总重量 千克 千克。 答：一次能运完。 【答案】能 【跟踪训练 3】 每本书厚 12 毫米，120 本摞在一起，高 1 米的书架能放下吗？ 【分析】要证明 “放不下” 就用估小策略：把每本书的厚度往小了估，如果估小的总高度都超过书架高度，那实际肯定更高，放不下。先统一单位再计算。 【详解】 统一单位：米 毫米 把 12 看作 10（往小估），本数 120 不变 （毫米） 因为，所以实际总高度 毫米 毫米。 答：高 1 米的书架放不下。 【答案】放不下 巩固练习 1. 估算： 【分析】把 298 看成 300，31 看成 30，口算乘积。 【详解】 把 298 看作 300，31 看作 30 【答案】 2. 估算时，把 403 看成（ ），58 看成（ ），结果大约是（ ）。 【分析】四舍五入取近似值，403 接近 400，58 接近 60，相乘得到估算结果。 【详解】 403≈400，58≈60 【答案】；； 3. 判断：估算时，把 195 看成 200，41 看成 40，估算结果和精确值一样大。（ ） 【分析】分别计算估算值和精确值，比较大小。 【详解】 估算： 精确值： ，估算结果更大，说法错误。 【答案】 4. 超市大米每袋 52 元，买 18 袋，带 1000 元够吗？下面估算方法最合理的是（ ） A. ，够 B. ，不够 C. ，够 【分析】购物带钱要估大，把数量往大了估，单价估大更保险。B 选项把 18 看成 20 估大，算出来 1040>1000，更合理。 【详解】购物估算钱够不够要估大，选 B。 【答案】 5. 一辆货车每次运货 21 吨，12 次大约运货多少吨？ 【分析】求大约多少，用四舍五入估算，21 看成 20，12 不变或看成 10。 【详解】 把 21 看作 20 （吨） 【答案】吨 6. 每台机床重 820 千克，11 台这样的机床，用载重 10 吨的卡车运，一次能运完吗？ 【分析】先统一单位，用估大策略判断：把每台重量往大估，若总重量≤载重则能运完。 【详解】 10 吨 = 10000 千克 把 820 看作 900（往大估） （千克） ，实际重量比 9900 小，肯定能运完。 【答案】能 7. 一列火车平均每小时行 118 千米，12 小时大约行多少千米？ 【分析】行程问题求大约路程，四舍五入估算，118 看成 120，12 不变。 【详解】 把 118 看作 120 （千米） 【答案】千米 8. 一片果园，平均每棵树收苹果 105 千克，89 棵树大约收多少千克苹果？ 【分析】产量估算，四舍五入取近似值，105 看成 100，89 看成 90。 【详解】 ， （千克） 【答案】千克 9. 学校买 32 个篮球，每个篮球 78 元，大约需要准备多少钱？ 【分析】准备钱要估大，把单价和数量都往大了估。 【详解】 ， （元） （或，，，但准备钱建议估大，3200 更合理） 【答案】元（合理即可） 10. 判断：装货时，把每箱重量估小，算出的总重量比实际少，不会超载。（ ） 【分析】估小的总重量比实际少，若以估小的重量判断不超载，实际可能超载，说法错误。 【详解】装货要判断不超载，应该把重量估大，说法错误。 【答案】 11. 一本书有 198 页，21 本这样的书大约有多少页？ 【分析】求大约页数，四舍五入估算，198 看成 200，21 看成 20。 【详解】 ， （页） 【答案】页 12. 四年级同学去春游，每套车票门票共 49 元，一共 102 人，5000 元买票够吗？ 【分析】49×102，把 49 看成 50（估大），102 不变，50×102=5100>5000，因为单价估大了 1 元，总价比实际多了 102 元，5100-102=4998<5000，所以够。或者用估小：102 看成 100，49×100=4900<5000，因为人数估少了 2 人，少了 98 元，实际 4900+98=4998<5000，够。 【详解】 把 102 看作 100（往小估） （元） 实际多 2 人，多元 实际总价：元 ，够。 【答案】够 真题训练 1.（四年级期末真题）估算，最接近的结果是（ ） A. 6000 B. 9000 C. 8000 【分析】302≈300，29≈30，300×30=9000。 【详解】，选 B。 【答案】 2.（希望杯模拟题）买 12 个单价 78 元的足球，大约需要准备多少钱？最合适的估算方法是（ ） A. B. C. 【分析】准备钱要估大，单价往大了估，数量不变，选 B。 【详解】购物准备钱估大单价，选 B。 【答案】 3.（小升初真题）下面的算式中，（ ）的结果最接近 10000。 A. B. C. 【分析】分别估算各选项，对比与 10000 的偏差。 【详解】C 选项结果正好是 10000，最接近，选 C。 【答案】 4.（华杯赛初赛）每袋水泥重 51 千克，19 袋水泥大约重多少吨？ 【分析】估算总重量，51≈50，19≈20，50×20=1000 千克 = 1 吨。 【详解】 ， 千克 吨 【答案】吨 5.（重点中学分班考）小明走一步平均 58 厘米，他从家到学校走了 302 步，家到学校大约有（ ）米。 【分析】先估算总厘米数，再换算成米。58≈60，302≈300，60×300=18000 厘米 = 180 米。 【详解】 ， 厘米 米 【答案】 6.（走美杯真题）判断：估算的结果都比精确值大。（ ） 【分析】估算有估大也有估小，比如去尾法估算就比精确值小。 【详解】四舍估小、五入估大，结果不一定都大，说法错误。 【答案】 7.（四年级期末真题）电影院有 32 排座位，每排 28 个，三年级 900 名同学看电影，坐得下吗？ 【分析】判断能不能坐下，要证明坐不下就估小座位数，能坐下就估大。这里用估小：32≈30，28≈20，30×20=600<900？不对，估太小了。用估大：28≈30，32≈30，30×30=900，因为每排估多了 2 个，排数估少了 2 排，实际座位 32×28=896<900，坐不下。 【详解】 把 28 看作 30，32 看作 30 （个） 实际座位：个 ，坐不下。 【答案】坐不下 8.（小升初压轴题）商店运来 21 箱苹果，每箱重 32 千克，每千克苹果卖 5 元。这些苹果大约能卖多少钱？ 【分析】先估算总重量，再估算总价；或直接估算总价。 【详解】 总重量：（千克） 总价：（元） 【答案】元 9.（希望杯真题）一个打字员每分钟打 112 个字，19 分钟大约打（ ）个字。 A. 2000 B. 2200 C. 2500 【分析】112≈110，19≈20，110×20=2200。 【详解】，选 B。 【答案】 10.（重点中学自主招生）下面哪种情况用估算比精确计算更合适？（ ） A. 老师确认买 5 套书要付多少钱 B. 老板判断带 2000 元买 29 套单价 65 元的书够不够 C. 收银员计算应收的钱数 【分析】判断够不够的时候用估算更合适，选 B。 【详解】A、C 需要精确计算，B 可以估算，选 B。 【答案】 11.（华杯赛模拟题）一块长方形菜地，长 102 米，宽 48 米，这块菜地的面积大约是（ ）平方米。 【分析】长方形面积 = 长 × 宽，估算：102≈100，48≈50，100×50=5000。 【详解】 ， （平方米） 【答案】 12.（思维训练题）估算：，结果大约是多少？ 【分析】分别取近似值，99≈100，101≈100，102≈100，相乘。 【详解】 ，， 【答案】 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $