奥数培优第6讲 速算与巧算（基准数求和、平方凑整、同头尾合十乘法）（讲义）-2026-2027学年四年级上册数学人教版

【人教版】小学四年级上册奥数培优讲义·第6讲 速算与巧算（基准数求和、平方凑整、同头尾合十乘法） 教学目标 1. 知识目标：掌握基准数求和、凑整补零平方、同头尾合十三类速算公式与适用条件，精准区分两类易混乘法题型。 2. 能力目标：熟练使用三种巧算方法简化加减、平方、两位数乘法，快速口算，提升数字敏感度。 3. 素养目标：结合校园、劳动生活场景体会速算实用价值，养成分步验算、规范书写习惯，学会质疑辨析易混题型。 教学重点 1. 基准数累计差计算； 2. 凑整补零平方万能公式； 3. 同头尾合十速算拼接步骤，个位积不足两位补 0。 教学难点 1. 负数累计差口算抵消； 2. 多位数平方凑整找差值； 3. 区分叠数乘法与同头尾合十两种特殊乘法。 前言 本节讲义立足课内数学课本，同步拓展奥数速算技巧，渗透简便运算数学思维。全套讲义分为三大板块： 经典范例：精讲每类速算核心思路、解题技巧，搭建标准解题思维模型； 巩固提升：对应例题设置基础分层习题，夯实方法，强化计算熟练度； 综合拓展：综合多类速算方法混合题型，提升综合解题能力，积累考试答题经验。 华罗庚说过：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。希望通过本讲训练，让学生摆脱硬算、学会巧算，提升数字敏感度与数学核心素养！ 一、知识梳理 本讲共学习三类高频口算速算方法，所有技巧均依托四则运算、平方凑整推导，核心思路：寻找整十、整百数，简化复杂加减、乘法计算。 方法1：加法基准数法 【适用场景】 一组大小接近的数字求和、求平均数，数字集中在整十/整百附近。 【四大核心公式】 1. (1)各数与基准的差值总和 = 累计差 1. (2)数字总和 = 基准数 × 数字总个数 + 累计差 1. (3)平均数 = 基准数 + (累计差 ÷ 数字总个数) 【实操要点】 1. (1)优先选择整十、整百作为基准，减小差值计算难度； 1. (2)数字＞基准记正数，数字＜基准记负数； 1. (3)先算出全部差值之和，再代入公式一步算出结果。 方法2：凑整补零法（多用于平方速算，也可通用乘法凑整） 适用场景： 两位数、三位数、多位数快速计算平方 核心原理： 为原数与最近整十、整百数的差值(取正数)，公式为 实操步骤： (1)找离原数最近的整十/整百数，算出差值； (2)一数字加，一数字减，转化为整十、整百乘法； (3)最后加上的平方，得到平方结果。 补充特例： 个位为5的数字平方可套用简化口诀，与凑整法结果一致: 方法3：同头尾合十两位数速算 适用场景： 两个两位数相乘，十位数字相同，个位数字之和等于10。 典型特征： 例如：34 × 36（十位都是3，个位4+6=10） 例如：42 × 48（十位都是4，个位2+8=10） 例如：71 × 79（十位都是7，个位1+9=10） 【易混题型对比辨析】 1. 同头尾合十（本讲方法）：88×82 特征：两个数十位相同，个位相加 = 10 速算：8×(8+1)=72，8×2=16，结果 7216 2. 叠数乘法（另一类速算，本讲不适用）：88×64 特征：第一个数十位个位完全相同，第二个数尾合十，口诀不一样，禁止用本讲方法计算 【对比小结】做题第一步先判断题型，两类速算口诀不能混用。 【速算口诀】 1. 末两位：两个个位数字相乘，乘积不足两位前面补0； 1. 前半段：十位数字×（十位数字+1）； 1. 前后两段数字直接拼接，即为最终乘积。 计算步骤： 1. 确认两个乘数的十位是否相同，个位之和是否为10； 2. 前半部分 = 十位数字 × (十位数字 + 1)； 3. 末两位 = 两个个位数字相乘（积是一位数时，前面补0占位）； 4. 将前半部分与末两位直接拼接，得到最终乘积。 【警示】常见错误辨析   ❌错误理解：“同头”是指同一个数中十位和个位数字相同（如88、77）。 ✅正确理解：“同头”是指两个乘数的十位数字相同（如34和36，十位都是3）。 【同头尾合十速算口诀记忆】 十位相同尾合十， 个位相乘写末位， 十位乘其加一数， 前后拼接得结果。 【易错提醒】 ① 末两位是个位数字相乘的结果，不是相加！ ② 个位乘积不足两位时，必须补0（如1×9=09），否则结果会缩小10倍。 ③ 前半段是“十位 × (十位 + 1)”，不是“十位 + 1”单独乘。 ✍️常见题型分类 速算三大类题型汇总： 1. 基准数求和/平均数 2. 凑整补零求平方（两位数、多位数） 3. 同头尾合十特殊乘法 二、精讲精练 【经典范例1】 【基准数法求和】 生活情境：四年级一班10名同学数学成绩：86，78，77，83，91，74，92，69，84，75，求全班总分。 【解析】 本题数字分散在80附近，直接硬算繁琐，选用基准数法，抓住不变基准，通过差值快速求和。 ① 设定基准数 80，写出每个分数与 80 的差值： +6、-2、-3、+3、+11、-6、+12、-11、+4、-5 ② 计算累计差： ③ 计算总分： 答：10名同学总分为809。 【提示】计算差值时可分组抵消，简化口算。 【口算变式】小组 5 人分数：92、88、90、93、87，以 90 为基准，快速求总分。 【解析】 差值 + 2、-2、0、+3、-3，累计差 0， 总和 = 90×5=450 【经典范例2】 【基准数求平均数】 生活情境：10块麦田产量（千克）：462，480，443，420，473，429，468，439，475，461，求平均每块麦田产量。 【解析】 ① 选取基准数 450，列出差值：+12、+30、-7、-30、+23、-21、+18、-11、+25、+11 ② 累计差： ③ 平均数：（千克） 答：平均每块麦田产量455千克。 【口算变式】5 筐水果重量：101、99、103、97、100，基准 100 求平均数。 【经典范例3】 【两位数平方速算】 计算：、 【解析】 ① 就近整十数 30，差值 ② 代入公式： 【解析】 ① 就近整十数 80，差值 ② 代入公式： 【口算变式】用凑整法计算 【经典范例4】 【多位数平方速算】 计算：、 【解析】 就近整千 1000， 【解析】 就近整千 2000， 【口算变式】计算 、 【经典范例5】 【同头尾合十（个位积≥10）】 计算： 【解析】 ①34和36的十位相同（都是3），个位 满足“同头尾合十”条件； ②前半段：， ③末两位：， ④拼接结果 1224。 答：34 × 36 = 1224 验证：34 × 36 = 34 × (30 + 6) = 1020 + 204 = 1224 ✓ 【口算变式】计算25 × 25 【经典范例6】 【同头尾合十（个位积为个位数，补0）】 计算： 【解析】 ① 71和79的十位相同（都是7），个位1+9=10，满足“同头尾合十”条件； ② 前半段：7 × (7 + 1) = 7 × 8 = 56； ③ 末两位：1 × 9 = 09（积是一位数，前面补0）； ④ 拼接结果：5609。 答：71 × 79 = 5609 验证：71 × 79 = 71 × (80 − 1) = 5680 − 71 = 5609 ✓ 【口算变式】计算62 × 68 三、拓展例题（综合拔高） 【拓展例1】 【综合基准数求和】 题目：文具店7天营业额（元）：102、98、95、105、101、99、96，用基准数法求7天总营业额。 【解析】 ① 基准数取 100； ② 差值：+2、-2、-5、+5、+1、-1、-4； ③ 累计差：； ④ 总营业额：（元） 答：7天总营业额696元。 【拓展例2】 【混合平方速算】 题目：用凑整补零法计算 【解析】 ① ：就近 50，， ② ：就近 100，， ③ ：就近 600，， 【拓展例3】 【题型辨析计算】 题目：判断以下算式能否用“同头尾合十”速算，能的写出结果，不能的说明理由。 (1) 44 × 46 (2) 53 × 57 (3) 82 × 88 【解析】 (1) 44 × 46：十位相同（都是4），个位4+6=10，能使用。 前半段：4 × (4 + 1) = 20，末两位：4 × 6 = 24，结果：2024。 (2) 53 × 57：十位相同（都是5），个位3+7=10，能使用。 前半段：5 × (5 + 1) = 30，末两位：3 × 7 = 21，结果：3021。 (3) 82 × 88：十位相同（都是8），个位2+8=10，能使用。 前半段：8 × (8 + 1) = 72，末两位：2 × 8 = 16，结果：7216。 四、巩固提升练习★ （一）基准数专项★ 1. 求10个数总和：165，152，168，171，148，156，169，161，157，149。 2. 12株麦苗高度：26，25，25，23，27，28，26，24，29，27，27，25，求平均高度。 3. 9名工人加工零件：68，91，84，75，78，81，83，72，79，求零件总数。 4. 连加速算： （二）凑整平方计算★ 5.计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) （三）同头尾合十速算★ 6.判断以下算式是否满足“同头尾合十”条件，能的写出结果，不能的说明理由。 (1) 33 × 37 (2) 44 × 46 (3) 55 × 55 (4) 62 × 68 (5) 71 × 79 (6) 88 × 82 五、拓展综合练习★★ 1. 超市8天客流量：312、298、305、296、309、301、295、304，求总客流、平均客流。 2. 凑整法计算：。 3. 自编3道“同头尾合十”口算题并计算。 4. 分别用凑整法、个位5专属速算计算，验证答案相同。 六、巩固提升参考答案 1. 总和：1596 2. 平均高度：26厘米 3. 零件总数：711 4. 连加结果：147 5. 平方：(1) 1369 (2) 2809 (3) 8281 (4) 4624 (5) 11664 (6) 157609 6. 同头尾合十速算： (1) 33 × 37：十位相同（都是3），个位3+7=10，能。 前半段：3 × 4 = 12，末两位：3 × 7 = 21，结果：1221。 (2) 44 × 46：十位相同（都是4），个位4+6=10，能。 前半段：4 × 5 = 20，末两位：4 × 6 = 24，结果：2024。 (3) 55 × 55：十位相同（都是5），个位5+5=10，能。 前半段：5 × 6 = 30，末两位：5 × 5 = 25，结果：3025。 (4) 62 × 68：十位相同（都是6），个位2+8=10，能。 前半段：6 × 7 = 42，末两位：2 × 8 = 16，结果：4216。 (5) 71 × 79：十位相同（都是7），个位1+9=10，能。 前半段：7 × 8 = 56，末两位：1 × 9 = 09，结果：5609。 (6) 88 × 82：十位相同（都是8），个位8+2=10，能。 前半段：8 × 9 = 72，末两位：8 × 2 = 16，结果：7216。 七、拓展综合练习参考答案 1.基准300，累计差20；总客流2420人，平均302.5人。 2. ；；（就近整十 70，差值 4，代入凑整公式计算。） 3.示例： 4.两种方法结果均为2025，答案一致。 八、课后实践小任务 【课后实践探究任务】 1.实操记录：连续 7 天记录家庭买菜支出，整理成表格；  2.计算要求：使用基准数法算出一周总花费、日均花费；  3.探究思考题： ① 生活中除了花钱统计，还有哪些场景适合用基准数快速求和？举 2 个例子； ② 什么情况下用凑整平方计算会更简便？ 学科网（北京）股份有限公司 $