第5讲 多位数乘法巧算 专题讲义-人教版数学四年级上册奥数培优

第5讲 多位数乘法巧算 专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 知识讲解 1. 基础运算定律（巧算依据） 乘法巧算的本质是不改变乘积大小，调整运算顺序与数字形式，使计算更简便。 乘法交换律：两个数相乘，交换因数位置，积不变。 公式： 乘法结合律：三个数相乘，先乘前两个或先乘后两个，积不变。 公式： 乘法分配律：两个数的和（差）与一个数相乘，可以分别相乘再相加（减）。 公式：； 2. 凑整巧算 （1）好朋友数凑整 连乘运算中，优先把能凑成整十、整百、整千的数结合相乘。 经典组合：，， 方法：通过交换律、结合律，把好朋友数放一起先算。 （2）接近整十整百的凑整 遇到接近整十、整百、整千的因数（如99、98、101、102），把它拆成“整十整百数 ± 零头”，再用乘法分配律展开计算。 经典公式： 3. 提取公因数（乘法分配律逆用） （1）基础型 两个乘法算式有相同的因数，把公因数提取出来，剩下的部分相加（减）。 公式： （2）拓展型（构造公因数） 两个乘法算式的因数有倍数关系，通过“扩倍缩倍”构造出相同的公因数，再提取。 原理：一个因数扩大几倍，另一个因数缩小相同倍数，积不变。 例：（72缩2倍，35扩2倍，积不变） 4. 特殊数巧算技巧 （1）一个数乘11 口诀：两边一拉，中间相加，满十进一。 方法：把这个数的首位和末位拉开，中间依次写上相邻数位的和，和满十就向前一位进1。 例：， （2）头同尾合十 特征：两个两位数，十位数字相同，个位数字相加等于10。 方法：头×(头+1) 写前面，尾×尾写后面；尾×尾不足两位，前面补0。 例：，头，尾，结果。 （3）尾同头合十 特征：两个两位数，个位数字相同，十位数字相加等于10。 方法：头×头 + 尾 写前面，尾×尾写后面。 例：，头，尾，结果。 5. 解题通用步骤 ① 观察数字特点：判断是接近整十整百、有公因数，还是符合特殊数规律； ② 选择对应巧算方法：凑整、提取公因数或特殊公式； ③ 按方法变形算式，简便计算； ④ 验算结果，确认与常规计算结果一致。 例题讲解 【典型例题1】凑整巧算 用简便方法计算： （1） （2） 【分析】（1）99接近100，写成，利用乘法分配律展开，用100个47减去1个47；（2）102接近100，写成，用100个35加上2个35，简化计算。 【详解】 （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【跟踪训练1】 简便计算： （1） （2） 【分析】（1）98写成，分配律展开；（2）101写成，分配律展开。 【详解】 （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【典型例题2】提取公因数 简便计算： （1） （2） 【分析】（1）两个乘法都有公因数43，直接提取，剩下的28和72相加刚好凑整100；（2）64是32的2倍，利用积不变规律，把转化为，构造出公因数32，再提取。 【详解】 （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【跟踪训练2】 简便计算： （1） （2） 【分析】（1）直接提取公因数57，39+61凑整；（2）36是18的2倍，把转化为，构造公因数18。 【详解】 （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【典型例题3】特殊数巧算 简便计算： （1） （2） 【分析】（1）乘11用“两边一拉，中间相加”，首位2、末位7拉开，中间2+7=9；（2）十位都是3（头同），个位8+2=10（尾合十），用头同尾合十公式。 【详解】 （1）两边一拉：首位2，末位7；中间相加： 结果： （2）头同尾合十： 头： 尾： 结果： 【答案】（1）；（2） 【跟踪训练3】 简便计算： （1） （2） 【分析】（1）三位数乘11，同样两边拉，中间依次加相邻数位；（2）个位5+5=10，十位相同，属于头同尾合十。 【详解】 （1）首位1，末位4； 第一位中间：，第二位中间： 结果： （2）头： 尾： 结果： 【答案】（1）；（2） 巩固练习 1. 简便计算： 【分析】104拆成100+4，用乘法分配律计算。 【详解】 【答案】 2. 简便计算： 【分析】99写成100-1，分配律展开计算。 【详解】 【答案】 3. 简便计算： 【分析】88拆成8×11，利用125×8=1000凑整；也可以拆成80+8。 【详解】 【答案】 4. 简便计算： 【分析】提取公因数46，54+46凑整100。 【详解】 【答案】 5. 简便计算： 【分析】75是25的3倍，把75×27转化为25×81，构造公因数25。 【详解】 【答案】 6. 简便计算： 【分析】乘11，两边一拉中间相加。 【详解】首位3，末位4，中间3+4=7，结果374。 【答案】 7. 简便计算： 【分析】头同尾合十，十位都是5，个位6+4=10。 【详解】 头： 尾： 结果：3024 【答案】 8. 简便计算： 【分析】32拆成4×8，25和4结合，125和8结合。 【详解】 【答案】 9. 简便计算： 【分析】103拆成100+3，分配律计算。 【详解】 【答案】 10. 简便计算： 【分析】88拆成80+8，分配律计算；或拆成11×8。 【详解】 【答案】 11. 简便计算： 【分析】把49看成50-1，用分配律计算；或利用头差1尾合十的方法。 【详解】 【答案】 12. 简便计算： 【分析】79接近80，写成80-1，用分配律计算。 【详解】 【答案】 真题训练 1.（四年级期末真题）的简便算法正确的是（ ） A. B. C. 【分析】101拆成100+1，分配律展开是100×56 + 1×56。 【详解】，选B。 【答案】 2.（希望杯模拟题）（ ） A. 9900 B. 9801 C. 1000 【分析】提取公因数99，剩下99+1凑整100。 【详解】，选A。 【答案】 3.（小升初真题）的结果是（ ） A. 10000 B. 100000 C. 1000000 【分析】32拆成4×8，25×4=100，125×8=1000，相乘得100000。 【详解】，选B。 【答案】 4.（华杯赛初赛）（ ） 【分析】乘11，两边一拉中间相加，4+5=9，结果495。 【详解】首位4，末位5，中间4+5=9，得495。 【答案】 5.（重点中学分班考）（ ） 【分析】头同尾合十，十位都是3，个位7+3=10。 【详解】头：，尾：，结果1221。 【答案】 6.（走美杯真题）的简便算法是，运用了（ ） A. 乘法交换律 B. 乘法结合律 C. 乘法分配律 【分析】把88拆成8×11，先算125×8，运用了乘法结合律。 【详解】改变了运算顺序，先乘后两个数，是结合律，选B。 【答案】 7.（四年级期末真题） 【分析】提取公因数56，29+71=100。 【详解】 【答案】 8.（小升初压轴题） 【分析】999写成1000-1，分配律计算。 【详解】 【答案】 9.（希望杯真题） 【分析】999是111的9倍，把999×8转化为111×72，构造公因数111。 【详解】 【答案】 10.（重点中学自主招生） 【分析】头同尾合十，十位都是7，个位3+7=10。 【详解】头：，尾：，结果5621。 【答案】 11.（华杯赛模拟题）最简便的算法是（ ） A. B. C. 【分析】24拆成6×4，4和25凑整100，最简便。 【详解】，步骤最少，选B。 【答案】 12.（思维训练题） 【分析】24是12的2倍，36是12的3倍，全部转化为12乘一个数，提取公因数12。 【详解】 【答案】 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 第5讲多位数乘法巧算专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 才知识讲凝 1.基础运算定律（巧算依据） 乘法巧算的本质是不改变乘积大小，调整运算顺序与数字形式，使计算更简便。 乘法交换律：两个数相乘，交换因数位置，积不变。 公式：a×b=b×a 乘法结合律：三个数相乘，先乘前两个或先乘后两个，积不变。 公式：(a×b)×c=a(b×c) 乘法分配律：两个数的和（差）与一个数相乘，可以分别相乘再相加（减）。 公式：(a+b)×c=a×c+b×c:(a-b)×c=a×c-b×c 2.凑整巧算 (1)好朋友数凑整 连乘运算中，优先把能凑成整十、整百、整千的数结合相乘。 经典组合：2×5=10,4×25=100,8×125=1000 方法：通过交换律、结合律，把好朋友数放一起先算。 (2)接近整十整百的凑整 第1页共10页 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 遇到接近整十、整百、整千的因数（如99、98、101、102），把它拆成“整十整百数士零 头”，再用乘法分配律展开计算。 经典公式： 99×a=(100-1)×a=100×a-a 101×a=(100+1)×a=100×a+a 3.提取公因数（乘法分配律逆用） (1)基础型 两个乘法算式有相同的因数，把公因数提取出来，剩下的部分相加（减）。 公式：a×c+b×c=(a+b)×c (2)拓展型（构造公因数） 两个乘法算式的因数有倍数关系，通过“扩倍缩倍”构造出相同的公因数，再提取。 原理：一个因数扩大几倍，另一个因数缩小相同倍数，积不变。 例：72×35=36×70(72缩2倍，35扩2倍，积不变) 4.特殊数巧算技巧 (1)一个数乘11 口诀：两边一拉，中间相加，满十进一。 方法：把这个数的首位和末位拉开，中间依次写上相邻数位的和，和满十就向前一位进1。 例：23×11=253,125×11=1375 第2页共10页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)头同尾合十 特征：两个两位数，十位数字相同，个位数字相加等于10。 方法：头（头+1）写前面，尾×尾写后面：尾×尾不足两位，前面补0。 例：23×27，头2×(2+1)=6，尾3×7=21，结果621. (3)尾同头合十 特征：两个两位数，个位数字相同，十位数字相加等于10。 方法：头×头+尾写前面，尾×尾写后面。 例：34×74，头3×7+4=25，尾4×4=16，结果2516。 5.解题通用步骤 ①观察数字特点：判断是接近整十整百、有公因数，还是符合特殊数规律： ②选择对应巧算方法：凑整、提取公因数或特殊公式： ③按方法变形算式，简便计算： ④验算结果，确认与常规计算结果一致。 鼎例题进阔 【典型例题1】凑整巧算 用简便方法计算： (1)99×47 第3页共10页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)102×35 【跟踪训练1】 简便计算： (1)25×98 (2) 101×58 【典型例题2】提取公因数 简便计算： (1)43×28+43×72 (2)64×15+32×70 【跟踪训练2】 第4页共10页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 简便计算： (1)57×39+61×57 (2)36×42+18×116 【典型例题3】特殊数巧算 简便计算： (1)27×11 (2)38×32 【跟踪训练3】 简便计算： (1)134×11 (2)65×65 第5页共10页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 /玩固练习 1.简便计算：25×104 2.简便计算：99×73 3.简便计算：125×88 4.简便计算：46×54+46×46 5.简便计算：75×27+25×19 第6页共10页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 6.简便计算：34×11 7.简便计算：56×54 8.简便计算：25×32×125 9.简便计算：103×25 10.简便计算：88×125 第7页共10页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 11.简便计算：49×51 12.简便计算：125×79 真题训练 1.(四年级期末真题)101×56的简便算法正确的是() A.100×56+1B.100×56+56C.100×1+56 2.(希望杯模拟题)99×99+99=（) A.9900B.9801C.1000 3.(小升初真题)25×32×125的结果是() A.10000B.100000C.1000000 第8页共10页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4.(华杯赛初赛)45×11=() 5.(重点中学分班考)37×33=() 6.(走美杯真题)125×88的简便算法是125×8×11，运用了() A.乘法交换律B.乘法结合律C.乘法分配律 7.（四年级期末真题)56×29+56×71= 8.(小升初压轴题)999×123= 第9页共10页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 9.(希望杯真题)28×111+999×8 10.（重点中学自主招生)73×77= 11.(华杯赛模拟题)24×25最简便的算法是() A.24×20+24×5B.6×(4×25)C.20×25+4×25 12.（思维训练题)12×63+24×18+36×7 第10页共10页