专题 5：加法模型和乘法模型（思维拓展）人教版数学四年级上册奥数培优讲义（新教材）

专题 5：加法模型和乘法模型 第一部分 核心方法论与知识体系构建 1 一、知识体系全景梳理 1 二、解题方法图表记忆法 1 三、数学思维提升 2 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 3 考点一：加法模型 —— 和差关系 3 考点二：乘法模型 —— 总价问题 4 考点三：乘法模型 —— 路程问题 5 考点四：模型综合与优化 6 第三部分 易错避坑指南 7 易错点 1：和差问题暗差计算错误 7 易错点 2：数量关系对应错误 8 易错点 3：归一归总问题混淆 8 易错点 4：错中求解数量关系搞反 8 易错点 5：方案优化考虑不全 8 第四部分 分层进阶专题精练 9 一、能力进阶篇（难度★★★★，共 8 题） 9 二、思维拓展篇（难度★★★★★，共 6 题） 9 第五部分 分层进阶专题精练精准解析 11 一、能力进阶篇解析 11 二、思维拓展篇解析 13 学科网（北京）股份有限公司 第一部分 核心方法论与知识体系构建 一、知识体系全景梳理 本专题对应人教版四年级上册第四单元《加法模型和乘法模型》核心内容，以 “模型建构→对应应用→综合拓展→推理提升” 为主线，系统覆盖加法数量关系模型、乘法数量关系模型、模型综合应用、复杂问题推理四大核心模块，渗透建模思想、对应思想、逆向推理、优化决策等核心数学素养。 专题遵循教材认知路径：从 “总量 = 分量 + 分量” 的加法基本模型，到 “总价 = 单价 × 数量”“路程 = 速度 × 时间” 的乘法基本模型；掌握基本数量关系的正向应用与逆向计算；结合生活场景解决和差、购物、行程等实际问题；延伸错中求解、方案优化、归一归总等奥数思维题型。专题严格贴合《义务教育数学课程标准（2022 年版）》“数与代数” 领域要求，与 2024 版最新人教版教材进度完全同步，为后续复杂应用题、方程学习奠定数量关系基础。 知识模块 核心内容 关键方法 易错提醒 加法数量关系模型 总量与分量的关系；和差问题；多分量推理 和差公式法、倒推还原法 分量与总量混淆；和差关系搞反 乘法数量关系模型 总价模型：单价、数量、总价；路程模型：速度、时间、路程 公式代入法、对应分析法 数量对应错误；单位不统一 模型综合应用 归一问题、归总问题；两种模型混合应用 先求单量法、总量不变法 归一归总混淆；运算顺序错误 复杂问题推理 错中求解、方案优化、间隔问题 逆推法、方案对比法 对应关系找错；方案考虑不全 二、解题方法图表记忆法 方法名称 适用题型 操作步骤 技巧口诀 和差公式法 两量和差问题 ①找和与差；②大数 =(和 + 差)÷2；③小数 =(和 - 差)÷2 和加差，除以二，是大数；和减差，除以二，是小数 公式代入法 乘除法模型题 ①确定数量关系；②对应已知量；③代入公式计算 找公式，对分量，代入算，得结果 先求单量法 归一问题 ①求每份数；②乘对应份数；③得总数 先求一，再求多，每份数，是核心 逆推还原法 还原类问题 ①从结果倒推；②逆运算还原；③得初始量 倒着推，逆运算，一步步，得原数 方案对比法 优化类问题 ①枚举所有方案；②分别算总量；③对比选最优 先枚举，再计算，比结果，选最优 三、数学思维提升 1. 建模思维 核心要点：把实际问题中的数量关系提炼成加法或乘法数学模型，用标准化模型解决问题，培养抽象建模能力。 专题示例：购物问题提炼成 “总价 = 单价 × 数量” 模型，行程问题提炼成 “路程 = 速度 × 时间” 模型，就是建模思维的体现。 2. 对应思维 核心要点：找准数量关系中每个量的对应匹配关系，单价对应数量，速度对应时间，分量对应总量，培养一一对应的思维习惯。 专题示例：路程问题中，每小时行驶的路程对应行驶的小时数，就是对应思维的应用。 3. 推理思维 核心要点：根据错误的结果推理正确的量，根据最终结果倒推初始条件，培养逻辑推理与逆向思维能力。 专题示例：错中求解问题，根据看错数后的结果差求正确结果，就是推理思维的典型应用。 4. 应用思维 核心要点：结合购物、行程、方案选择等实际场景，灵活运用模型解决问题，培养应用意识与问题解决能力。 专题示例：选择最优购票方案、最省钱购买方案，就是应用思维的体现。 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 考点一：加法模型 —— 和差关系 能力进阶（★★★★）—— 两量和差综合应用 题目：四年级两个班共有学生 96 人，如果从一班调 4 人到二班，两个班人数就同样多。原来两个班各有多少人？ 解题步骤： ① 分析人数差：从一班调 4 人到二班后人数相等，说明原来一班比二班多人。 ② 求一班原有人数（大数）：(和 + 差)÷2，即人。 ③ 求二班原有人数（小数）：总人数减去一班人数，人。 验证：一班调 4 人剩 48 人，二班加 4 人是 48 人，人数相等，符合题意。 【答案】原来一班有 52 人，二班有 44 人。 【知识点睛】本题考查加法模型中的暗差和差问题，对应教材数量关系重难点。 解题核心：先根据 “移多补少” 的条件求出隐藏的差，再用和差公式求解。移多补少中，移动量 ×2 = 原来的差。 方法验证：求出结果后，代入题目情景检验，确保符合条件。 易错警示：直接认为差是 4 人，忽略移动后两边都变化，差是移动量的 2 倍。 思维拓展（★★★★★）—— 多分量和差推理 题目：甲、乙、丙三个数的和是 240，甲比乙多 10，乙比丙多 10。甲、乙、丙三个数分别是多少？ 解题步骤： ① 以最小的丙数为标准，乙数比丙多 10，甲数比丙多。 ② 总和减去所有多出的部分，剩下的就是 3 个丙数的和：。 ③ 求丙数：；乙数：；甲数：。 验证：，符合总和条件。 【答案】甲是 90，乙是 80，丙是 70。 【知识点睛】本题是三个量的和差拓展奥数题型，考查多分量的加法模型推理。 解题方法：以最小的量为标准量，把所有量都转化成和标准量相同的大小，总和减去多出的部分，除以个数得到标准量。 规律总结：多个量的和差问题，找中间量或最小量作基准，统一数量后再计算。 易错警示：直接用总和除以 3，忽略三个数不相等的条件。 考点二：乘法模型 —— 总价问题 能力进阶（★★★★）—— 总价模型逆向应用 题目：学校买了 15 个同样的足球，一共花了 1275 元。如果再买 8 个同样的足球，还需要花多少钱？ 解题步骤： ① 先求足球的单价：总价 ÷ 数量 = 单价，元。 ② 再求 8 个足球的总价：单价 × 数量 = 总价，元。 ③ 验证：先算总个数再算总价，元，减去原来的 1275 元，差为 680 元，结果一致。 【答案】还需要花 680 元。 【知识点睛】本题考查总价模型的逆向与正向结合应用，对应教材乘除法数量关系重难点。 核心公式：总价 = 单价 × 数量；单价 = 总价 ÷ 数量；数量 = 总价 ÷ 单价。 解题要点：先根据已知条件求出单一量（单价），再用单一量乘对应数量得到目标总价。 易错警示：直接用 1275 乘 8，混淆数量与总价的对应关系。 思维拓展（★★★★★）—— 错中求解（总价问题） 题目：小马虎买 12 个同样的文具盒，计算总价时把单价 26 元看成了 29 元，他算完的总价比实际多了多少钱？ 解题步骤： ① 分析变化：购买数量不变，单价多算了元，每个文具盒多花 3 元。 ② 总差价 = 单价差 × 数量，即元。 ③ 验证：实际总价元，看错总价元，元，结果一致。 【答案】多了 36 元。 【知识点睛】本题是总价模型的错中求解奥数题型，考查对乘法数量关系的深度理解。 解题核心：抓住不变的数量，用 “单价差 × 数量 = 总钱数差”，不用算出完整总价也能求差值。 方法总结：错中求解总价问题，先算单价差，再乘不变的数量，得到总价差。 易错警示：直接用 29 减 26，忘记乘对应的数量。 考点三：乘法模型 —— 路程问题 能力进阶（★★★★）—— 路程模型综合应用 题目：一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行驶 75 千米，行驶了 12 小时后，距离乙地还有 140 千米。甲乙两地相距多少千米？ 解题步骤： ① 先计算已经行驶的路程：速度 × 时间 = 路程，千米。 ② 总路程 = 已行驶路程 + 剩余路程，即千米。 ③ 验证：总路程减去剩余路程等于已行驶路程，符合加法模型的总量关系。 【答案】甲乙两地相距 1040 千米。 【知识点睛】本题考查路程模型与加法模型的结合应用，对应教材行程问题重难点。 核心公式：路程 = 速度 × 时间。 解题要点：先根据速度和时间求出已行路程，再加上剩下的路程得到总路程。 易错警示：只计算已行驶的路程，忘记加上剩余的路程。 思维拓展（★★★★★）—— 往返归总问题 题目：小明从家到学校每分钟走 60 米，12 分钟到达。放学按原路返回，比去时少用 3 分钟到家。返回时平均每分钟走多少米？ 解题步骤： ① 先求家到学校的固定路程：去时速度 × 去时时间，米。 ② 求返回时间：分钟。 ③ 返回速度 = 路程 ÷ 返回时间，米 / 分钟。 验证：返回速度 × 返回时间 =米，和去时路程一致。 【答案】返回时平均每分钟走 80 米。 【知识点睛】本题是路程模型的归总问题，属于奥数常见题型。 解题核心：抓住往返路程不变的特点，先求出总路程，再除以对应时间得到速度。 规律总结：归总问题的核心是总量不变，先求总量，再求对应分量。 易错警示：直接用速度相加除以 2 求平均速度，忽略时间不同。 考点四：模型综合与优化 能力进阶（★★★★）—— 双归一问题 题目：3 头牛 5 天吃 150 千克草，照这样计算，6 头牛 8 天吃多少千克草？ 解题步骤： ① 先求单一量：1 头牛 1 天吃草的质量，千克。 ② 再求目标总量：6 头牛 8 天吃草总量，千克。 ③ 验证：6 头牛是 3 头牛的 2 倍，8 天是 5 天的 1.6 倍，总草量是千克，结果一致。 【答案】吃 480 千克草。 【知识点睛】本题考查双归一问题，是乘法模型的拓展应用。 解题方法：双归一问题，连续用两次除法求出单份单量，再用连续乘法求出总量。 易错警示：只除以一个条件，直接用 150÷5×6，忽略头数的归一。 思维拓展（★★★★★）—— 购票方案优化 题目：公园门票，成人票每张 25 元，儿童票每张 15 元。2 名老师带 38 名同学去公园，团体票要求 10 人及以上每张 18 元。怎么买票最省钱？ 解题步骤： ① 方案一：分开买，老师买成人票，学生买儿童票。 总费用：元。 ② 方案二：全部买团体票。 总人数人，总费用：元。 ③ 方案三：混合买，2 名老师和 8 名同学凑 10 人买团体票，剩下 30 名同学买儿童票。 团体票费用：元；儿童票费用：元；总费用元。 对比：，分开买最省钱。 【答案】老师买成人票、学生买儿童票最省钱。 【知识点睛】本题是方案优化的奥数应用题，考查模型综合应用与优化决策能力。 解题方法：枚举所有可行的方案，分别计算总费用，再对比选择最优方案。 注意事项：不要漏掉混合买票的方案，确保考虑所有可能性。 易错警示：只计算两种极端方案，忽略混合方案，导致判断错误。 第三部分 易错避坑指南 易错点 1：和差问题暗差计算错误 错误示例：从一班调 4 人到二班人数相等，认为原来差 4 人。 正确分析：移动后两边相等，原来的差是移动量的 2 倍，差 8 人。 修正方法：移多补少问题，差 = 移动数 ×2。 易错点 2：数量关系对应错误 错误示例：路程问题中，用去时速度乘返回时间求路程。 正确分析：速度和时间要一一对应，哪个时间段的速度乘哪个时间段的时间。 修正方法：先找对应关系，标注清楚每个量的含义，再列式计算。 易错点 3：归一归总问题混淆 错误示例：归总问题先求单一量，归一问题先求总量。 正确分析：归一问题先求每份数，归总问题先求总数。 修正方法：求每份用归一，求总量用归总；先读问题，确定求什么。 易错点 4：错中求解数量关系搞反 错误示例：单价看多了，总钱数变少了。 正确分析：数量不变，单价看多，总钱数变多；单价看少，总钱数变少。 修正方法：先分析变化方向，再计算差值，最后验证。 易错点 5：方案优化考虑不全 错误示例：只算分开买和全团体票，漏掉混合方案。 正确分析：所有可行方案都要枚举计算，再对比选最优。 修正方法：先列所有可能的方案，再分别计算，最后比较。 第四部分 分层进阶专题精练 一、能力进阶篇（难度★★★★，共 8 题） 1. 甲、乙两筐苹果共重 80 千克，从甲筐拿 6 千克给乙筐，两筐就同样重。甲筐原来有（ ）千克。 2. 每个书包 45 元，买 12 个同样的书包，一共需要（ ）元。 3. 一辆汽车 5 小时行驶 300 千米，照这样速度，行驶 480 千米需要（ ）小时。 4. 4 支钢笔 36 元，照这样计算，买 12 支钢笔需要（ ）元。 5. 小明有 85 张邮票，比小红少 15 张，两人一共有（ ）张邮票。 6. 甲乙两地相距 480 千米，一辆汽车从甲地出发，每小时行 80 千米，行驶 3 小时后，距离乙地还有（ ）千米。 7. 学校买了 25 套桌椅，每张桌子 120 元，每把椅子 40 元，一共花了（ ）元。 8. 一根绳子剪去 18 米，剩下的是剪去的 3 倍，这根绳子原来长（ ）米。 二、思维拓展篇（难度★★★★★，共 6 题） 9. 甲、乙、丙三个数的和是 180，甲比乙多 20，丙比乙少 20。三个数分别是多少？ 10. 小马虎买 14 个同样的玩具，把单价 32 元看成了 23 元，他算的总价比实际少了多少钱？ 11. 一列火车从甲地开往乙地，每小时行 120 千米，8 小时到达。返回时每小时多行 30 千米，返回需要多少小时？ 12. 3 头牛 5 天吃 150 千克草，照这样计算，6 头牛 8 天吃多少千克草？ 13. 2 名老师带 28 名同学去科技馆，成人票每张 30 元，学生票每张 15 元，团体票（10 人及以上）每张 20 元。怎么买票最省钱？ 14. 一根木头锯成 3 段需要 12 分钟，照这样计算，锯成 6 段需要多少分钟？ 第五部分 分层进阶专题精练精准解析 一、能力进阶篇解析 1. 【答案】46 解题步骤： ① 原来两筐差：千克； ② 甲筐是大数：千克。 【知识点睛】考查暗差和差问题。核心规律：移多补少，差是移动量的 2 倍。易错警示：认为差是 6 千克。 2. 【答案】540 解题步骤： ① 总价 = 单价 × 数量； ② 元。 【知识点睛】考查总价模型正向应用。核心公式：总价 = 单价 × 数量。易错警示：计算错误。 3. 【答案】8 解题步骤： ① 速度：千米 / 小时； ② 时间：小时。 【知识点睛】考查路程模型逆向应用。核心公式：时间 = 路程 ÷ 速度。易错警示：直接用 480÷5。 4. 【答案】108 解题步骤： ① 单价：元； ② 12 支总价：元。 【知识点睛】考查归一问题。核心：先求单价，再求总价。易错警示：直接 36×12。 5. 【答案】185 解题步骤： ① 小红邮票数：张； ② 两人总数：张。 【知识点睛】考查加法模型总量计算。核心：先求另一个分量，再求和。易错警示：直接 85+15。 6. 【答案】240 解题步骤： ① 已行驶路程：千米； ② 剩余路程：千米。 【知识点睛】考查路程模型与加法模型结合。核心：总路程 - 已行路程 = 剩余路程。易错警示：直接得出 480。 7. 【答案】4000 解题步骤： ① 一套桌椅价格：元； ② 25 套总价：元。 【知识点睛】考查总价模型综合应用。核心：先算一套价格，再乘套数。易错警示：只算桌子的总价。 8. 【答案】72 解题步骤： ① 剩下的长度：米； ② 绳子原长：米。 【知识点睛】考查加法模型总量关系。核心：剪去的 + 剩下的 = 原来的。易错警示：直接 18×3。 二、思维拓展篇解析 9. 【答案】甲 80，乙 60，丙 40 解题步骤： ① 以乙为标准，甲比乙多 20，丙比乙少 20； ② 三个乙的和：，乙：； ③ 甲：，丙：。 【知识点睛】考查三个量的和差问题。核心：找标准量，统一后计算。易错警示：直接总和除以 3。 10. 【答案】少了 126 元 解题步骤： ① 单价差：元； ② 总差价：元。 【知识点睛】考查总价错中求解。核心：单价差 × 数量 = 总差价。易错警示：直接算 32-23。 11. 【答案】6.4 小时 解题步骤： ① 甲乙总路程：千米； ② 返回速度：千米 / 小时； ③ 返回时间：小时。 【知识点睛】考查归总路程问题。核心：路程不变，先求总路程。易错警示：直接用时间差计算。 12. 【答案】480 千克 解题步骤： ① 1 头牛 1 天吃草：千克； ② 6 头牛 8 天吃草：千克。 【知识点睛】考查双归一问题。核心：先求单头单天的量。易错警示：只归一一个条件。 13. 【答案】老师买成人票、学生买学生票最省钱。 解题步骤： ① 方案一（分开买）：元； ② 方案二（全团体）：元； ③ 方案三（混合买）：10 人团体 + 20 人学生，元； 对比：，分开买最省钱。 【知识点睛】考查方案优化问题。核心：枚举所有方案，对比选最优。易错警示：漏掉混合方案。 14. 【答案】30 分钟 解题步骤： ① 锯成 3 段需要锯次，每次时间：分钟； ② 锯成 6 段需要锯次，总时间：分钟。 【知识点睛】考查间隔问题（乘法模型）。核心规律：次数 = 段数 - 1。易错警示：直接用段数乘时间。 1 学科网（北京）股份有限公司 $