第15讲 植树问题与间隔问题综合 专题讲义-人教版数学五年级上册奥数培优

第15讲 植树问题与间隔问题综合 专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 知识讲解 1. 核心概念与基本公式 植树问题本质是研究总距离、间隔长度、棵数三者之间的关系，所有间隔问题的核心都是间隔数。 基本公式： 关键：先判断场景类型，确定 “棵数” 与 “间隔数” 的对应关系。 2. 四大基础植树模型 （1）两端都栽 场景：马路种树、排队、公交站点等，首尾都有物体。 核心关系： 逆用： 例：10 米小路，每 2 米栽一棵，两端都栽，间隔数 = 5，棵数 = 6。 （2）两端都不栽 场景：两楼之间种树、锯木头等，首尾两端没有物体。 核心关系： 逆用： 例：两楼相距 10 米，每 2 米栽一棵，两端不栽，间隔数 = 5，棵数 = 4。 （3）一端栽，一端不栽 场景：一端靠墙种树、只有起点有终点没有的线路。 核心关系： （4）封闭图形植树 场景：圆形、正方形、长方形等封闭线路（池塘、操场、花坛四周）。 核心关系：（首尾重合，相当于一端栽一端不栽） 拓展：正方形四个角都栽时，直接用周长 ÷ 间隔长即可，无需额外加 4。 3. 常见拓展间隔问题 （1）爬楼梯问题 本质：两端都栽的植树模型，楼层数相当于棵数，楼梯段数相当于间隔数。 核心公式： 总时间 = 每层时间 × 爬的层数 （2）锯木头 / 剪绳子问题 本质：两端都不栽的植树模型，段数相当于棵数，锯的次数相当于间隔数。 核心公式： 总时间 = 每次时间 × 锯的次数 （3）敲钟问题 本质：两端都栽的植树模型，敲的次数相当于棵数，时间间隔相当于间隔数。 核心公式： 总时间 = 每个间隔时间 × 间隔数 （4）排队问题 本质：两端都栽的植树模型，人数相当于棵数，人与人的间距相当于间隔长。 核心公式： 4. 解题通用步骤 ① 读题判断题型：是直线植树、封闭植树，还是哪类间隔问题； ② 对应模型，确定棵数与间隔数的加减关系； ③ 先算间隔数，再根据问题求棵数、总距离或总时间； ④ 代入检验结果是否符合实际场景。 例题讲解 【典型例题 1】直线植树三大型对比 在一条长 100 米的马路一侧栽树，每隔 5 米栽一棵。 （1）两端都栽，一共栽多少棵？ （2）两端都不栽，一共栽多少棵？ （3）只有一端栽，一共栽多少棵？ 【分析】先根据总距离和间隔长算出间隔数，再根据三种不同场景的棵数与间隔数关系，分别计算棵数。 【详解】 总间隔数：（个） （1）两端都栽：棵数 = 间隔数 + 1 （棵） （2）两端都不栽：棵数 = 间隔数 - 1 （棵） （3）一端栽一端不栽：棵数 = 间隔数 棵 【答案】（1）棵；（2）棵；（3）棵 【跟踪训练 1】 在一条长 80 米的小路一侧插彩旗，每隔 4 米插一面。 （1）两端都插，需要多少面彩旗？ （2）只有起点插，终点不插，需要多少面彩旗？ 【分析】先算间隔数，两端都插用 “间隔数 + 1”，一端插用 “间隔数 = 棵数”。 【详解】 间隔数：（个） （1）两端都插：（面） （2）一端插： 面 【答案】（1）面；（2）面 【典型例题 2】封闭图形植树 一个圆形池塘周长 120 米，沿池塘周围每隔 6 米栽一棵柳树。 （1）一共需要栽多少棵柳树？ （2）如果每两棵柳树中间栽一棵桃树，需要多少棵桃树？ 【分析】封闭图形植树，棵数 = 间隔数。桃树栽在两个柳树的间隔中，所以桃树棵数等于间隔数。 【详解】 （1）间隔数：（个） 封闭图形棵数 = 间隔数，柳树：20 棵 （2）每一个间隔栽一棵桃树，桃树棵数 = 间隔数 = 20 棵 【答案】（1）棵；（2）棵 【跟踪训练 2】 正方形花坛边长 40 米，沿四周每隔 5 米放一盆花，四个角都要放。一共需要放多少盆花？ 【分析】正方形是封闭图形，先算周长，再用周长除以间隔长得到间隔数，盆数 = 间隔数。 【详解】 花坛周长：（米） 间隔数：（个） 封闭图形盆数 = 间隔数 = 32 盆 【答案】盆 【典型例题 3】拓展间隔问题：爬楼 + 锯木 （1）小明从 1 楼爬到 3 楼用了 24 秒，照这样的速度，从 1 楼爬到 6 楼需要多少秒？ （2）一根木头锯成 3 段需要 6 分钟，照这样计算，锯成 6 段需要多少分钟？ 【分析】（1）爬楼梯的时间花在楼梯段上，1 到 3 楼实际爬了 2 层，先算爬 1 层的时间，再算 1 到 6 楼的 5 层时间。 （2）锯木头的时间花在锯的次数上，锯成 3 段需要锯 2 次，先算锯 1 次的时间，再算锯成 6 段需要的 5 次时间。 【详解】 （1）爬的层数：（层） 爬每层时间：（秒） 1 到 6 楼爬的层数：（层） 总时间：（秒） （2）锯的次数：（次） 锯一次时间：（分钟） 锯 6 段次数：（次） 总时间：（分钟） 【答案】（1）秒；（2）分钟 【跟踪训练 3】 （1）时钟 3 点敲 3 下，4 秒敲完。8 点敲 8 下，多少秒敲完？ （2）把一根钢管锯成 5 段，每锯一次要 2 分钟，一共需要多少分钟？ 【分析】（1）敲钟的时间在间隔里，敲 3 下有 2 个间隔，先算每个间隔时长，再算敲 8 下的 7 个间隔总时长。 （2）锯成 5 段需要锯 4 次，乘每次时间即可。 【详解】 （1）间隔数：（个） 每个间隔：（秒） 敲 8 下间隔数：（个） 总时间：（秒） （2）锯的次数：（次） 总时间：（分钟） 【答案】（1）秒；（2）分钟 【典型例题 4】综合应用：两侧植树 一条马路长 200 米，在马路两侧每隔 8 米栽一棵梧桐树，两端都栽。一共需要多少棵树苗？ 【分析】两侧植树问题，先算出一侧的棵数，再乘 2。两端都栽，棵数 = 间隔数 + 1。 【详解】 一侧间隔数：（个） 一侧棵数：（棵） 两侧总棵数：（棵） 【答案】棵 【跟踪训练 4】 在一座长 150 米的大桥两边安装路灯，每隔 10 米装一盏，两端都装。一共需要多少盏路灯？ 【分析】先算一侧路灯盏数，两端都装，盏数 = 间隔数 + 1，再乘 2 得到两边总数。 【详解】 一侧间隔数：（个） 一侧盏数：（盏） 两边总盏数：（盏） 【答案】盏 巩固练习 1．学校组织小学四年级学生220人排成四个纵队去参观画展，队伍进行的速度是每分钟20米，前后两人都相距1米。现在队伍要通过一座大桥（整个队伍上桥到离桥）共需要15分钟，这座桥长多少米？ 【答案】246米 【分析】队伍通过大桥所行的总路程等于桥长与队伍长度之和。首先依据总人数和纵队数计算每列人数，利用植树问题中“间隔数＝人数－1”的规律求出队伍长度。然后根据“路程＝速度×时间”计算队伍行进的总路程。最后用总路程减去队伍长度即可求得桥长。 【详解】每列人数：220÷4＝55（人） 每列间隔数：55－1＝54（个） 队伍长度：54×1＝54（米） 队伍行进的总路程：20×15＝300（米） 桥的长度：300－54＝246（米） 答：这座桥长246米。 2．某一淡水湖的周长800米，在湖边每隔10米种柳树一棵，在两棵柳树中间等距种4棵杨树，可种柳树多少棵？可种杨树多少棵？最近的两棵杨树之间相距多少米？ 【答案】80棵；320棵；2米 【分析】在封闭路线上，植树的棵数等于间隔数。根据湖的周长和柳树的间隔距离，求出柳树的棵数及间隔数。因为每两棵柳树之间4棵杨树，所以杨树的总棵数等于间隔数乘4。最后，两棵柳树之间的10米被4棵杨树平均分成了5段，用10除以段数即可求出相邻两棵杨树之间的距离。 【详解】800÷10＝80（棵） 80×4＝320（棵） 4＋1＝5（段） 10÷5＝2（米） 答：可种柳树80棵，可种杨树320棵，最近的两棵杨树之间相距2米。 3．团体操表演，排成4个方阵。每个方阵排成6行，每行有6人。如果每个方阵最外圈的同学穿红色的衣服，其余同学穿黄色的衣服。要准备这两种颜色的衣服各多少套？（先画图表示1个方阵的队列，再解答） 【答案】； 红色的衣服80套，黄色的衣服64套。 【分析】方阵最外圈同学穿红色的衣服，用圆圈表示穿红色衣服的学生，内部同学穿黄色衣服，用三角形表示穿黄色衣服的学生，根据“每个方阵排成6行，每行有6人”，画出1个方阵的队列；先计算1个方阵中穿红、黄衣服的人数，再分别乘方阵总个数4，得到两种衣服的总套数。 【详解】图略 （6－2）×4＋4 ＝4×4＋4 ＝16＋4 ＝20（人） 红色：20×4＝80（套） 黄色：4×4×4 ＝16×4 ＝64（套） 答：要准备红色的衣服80套，准备黄色的衣服64套。 4．为了迎接六一儿童节，育才小学在智慧广场前摆太阳花。先摆了一个的红色太阳花方阵（如下图）。然后在红色太阳花的外围加一圈黄色的太阳花，形成一个新的方阵，需要加多少盆黄色的太阳花？（先在图中画一画，再列式计算） 【答案】 ；28盆 【分析】原来红色方阵是6×6，也就是每边有6盆花。在它外围加一圈新方阵时，每边会左右各增加1盆、上下各增加1盆，先画出图。 新方阵每边有6＋2＝8 盆花。 黄色花的数量＝新方阵总盆数－原来红色方阵总盆数，列式计算即可。 【详解】图略 8×8－6×6 ＝64－36 ＝28（盆） 答：需要加28盆黄色太阳花。 5．某快递公司的一辆电动车从分公司A开往分公司B，A、B相距6000米，途中均匀分布着4个揽件点，电动车会在每个揽件点收取一批货物，需停留1分钟，每收取一批货物电动车的速度会降低1米／秒，已知电动车的最初速度为6米／秒，求电动车从A到B所花的时间。 【答案】1980秒 【分析】先统一单位，再求出每个行驶阶段的速度、分段路程。分别算出每段行驶时间，累加行驶总时长，加上4个揽件点的停留总时间，得到全程总时间。“途中均匀分布着4个揽件点”，属于植树问题中“两端都不植“的情况，路段数（间隔数）比点数多1； 共有4个揽件点，每个点停留1分钟，需将单位统一为秒或最后统一为分钟，将所有行驶时间和停留时间相加，最后根据需要进行单位换算。 【详解】每个路段的距离：（米） 各路段的行驶时间： 第一段路程时间：（秒） 第二段路程时间：（秒） 第三段路程时间：（秒） 第四段路程时间：（秒） 第五段路程时间：（秒） 总行驶时间：（秒） 总停留时间：（分钟） （秒） 求从A到B的总时间：（秒） 答：电动车从A到B一共花费1980秒。 6．在学校举行队列比赛时，五年级2个班排成了一个方阵，最外层一周的人数为24人，这个方阵一共有多少人？ 【答案】49人 【分析】先根据最外层人数求出方阵每边的人数，再利用正方形面积的计算方法（每边人数乘每边人数）求出总人数。方阵最外层人数与每边人数的数量关系是：最外层人数＝（每边人数－1）×4，反之，每边人数＝最外层人数÷4＋1。 【详解】24÷4＋1 ＝6＋1 ＝7（人） 7×7＝49（人） 答：这个方阵一共有49人。 7．佳佳从一幢高楼的底层开始登楼，他从第1层到第9层用了4分钟，他又往上登了几层后，感到很累就往下走，当他走到第3层时共用了10分钟。如果佳佳上下楼梯的速度相同（楼梯转弯走过道的时间忽略不计），问：佳佳又向上走了几层楼梯？ 【答案】3层 【分析】这是一道关于登楼楼层数计算的问题。关键在于先算出每上一层楼所需时间，再根据总时间求出从第9层往上走又往下走到第3层所经过的楼层数，进而得出又向上走的楼层数。 【详解】从第1层到第9层，楼层间隔数为：9－1＝8（个） 已知用时4分钟，因为1分钟＝60秒，4分钟即4×60＝240（秒） 所以每上一层楼用时：240÷8＝30（秒） 总共用时10分钟：10×60＝600（秒） 已经用了240秒，那么从第9层往上走又往下走到第3层用时：600－240＝360（秒） 因为上下楼速度相同，所以走一层用时30秒，这段时间经过的楼层数为：360÷30＝12（层） 又向上走的楼层数：[12－（9－3）]÷2＝3（层） 答：佳佳又向上走了3层楼梯。 8．李英和黄明比赛走楼梯，李英走3级楼梯时，黄明能走5级，这幢楼每两层之间有20级楼梯，那么当黄明走到6楼时，李英走到几楼？ 【答案】4楼 【分析】由题意可知：李英和黄明二人的速度是不变的，则速度比也是不变的，据“李英走3级楼梯时，黄明能走5级”可知，李英、黄明的速度比为3∶5，黄明跑到第6层时，跑了（6－1）＝5层，再据李英的速度 黄明的速度之比为3∶5，则相同时间内，路程比也是3∶5，即可求出李英跑的层数，再加1，就是李英所在的楼层。 【详解】李英、黄明的速度比＝3∶5 相同时间内。速度和路程成正比 所以，李英和黄明的路程比＝3∶5 当黄明走到6楼时，李英走到了：（6－1）÷5×3＋1＝4楼 答：当黄明走到6楼时，李英走到4楼。 9．小明家住在6楼，小华家住在4楼，每层楼之间楼梯的级数都相同，小华回家共要走 48 级楼梯，问小明回家要走多少级楼梯？ 【答案】80级 【分析】小华住4楼，回家要走3层楼梯，共走了48级楼梯，那么每层楼梯的级数为48÷3＝16（级），小明住6楼，回家要走5层楼梯，16×5＝80级，由此计算即可。 【详解】每层楼梯级数：48÷（4－1）＝16（级） 6楼楼梯级数：16×（6－1）＝80（级） 答：小明回家要走80级楼梯. 10．运动会上，四年级同学组成4个表演方阵，每个方阵排成6行，每行6人，最外面一圈是男生，其余是女生。四年级参加表演的男生有多少人？女生呢？ 【答案】80人；64人； 【分析】（1）计算每个方阵男生人数：对于一个每行6人，共6行的方阵，四条边的人数如果直接按6×4计算，四个角上的人会被重复计算一次。所以每个方阵最外圈男生人数为6×4－4＝20人； （2）计算4个方阵男生总人数：已知每个方阵有20个男生，一共有4个方阵，所以男生总人数为20×4＝80人。 （3）计算每个方阵女生人数：方阵去掉最外圈后，里面组成的还是一个小方阵。去掉最外圈一行一列后，小方阵每行每列的人数是6－2＝4人。那么每个方阵女生人数为4×4＝16人。 （4）计算4个方阵女生总人数：每个方阵有16个女生，4个方阵女生总人数为16×4 ＝ 64人。 【详解】（6×4－4）×4 ＝（24－4）×4 ＝20×4 ＝80（人） （6－2）×4×4 ＝4×4×4 ＝16×4 ＝64（人） 答：四年级参加表演的男生有80人，女生有64人。 【点睛】这是一道方阵人数计算问题。关键在于先明确每个方阵中男生和女生人数的计算方法，再通过方阵数量得出男生和女生的总人数。 11．跑道一端到另一端全长120米，原来每隔5米插一面红旗，现在要改成每隔8米插一面红旗，问：有多少面红旗不必拔出来重插？ 【答案】4面 【分析】首先根据题意可得，不必拔出来重插的红旗的地点应该是8和5的公倍数所在的位置，然后求出8和5的最小公倍数，找出120以内有几个8和5的公倍数，因为在开头也有一面红旗，用120以内8和5的公倍数的个数再加上1即可。 【详解】[8，5]＝40（米） 120÷40＋1 ＝3＋1 ＝4（面） 答：有4面红旗不必拔出来重插。 12．图书馆与教学楼之间的小路长80米，在小路两旁每4米栽一棵树，一共能栽多少棵树？ 【答案】42棵 【分析】根据题意，先利用除法80÷4＝20（段），则路两端都要载，则路一侧可栽20＋1＝21（棵），两侧再乘2即可解答。 【详解】[（80÷4）＋1]×2 ＝[20＋1]×2 ＝21×2 ＝42（棵） 答：一共能栽42棵树。 【点睛】本题考查了植树问题，解题关键是理解一侧两端都要栽树，且“路总长÷间隔＝段数”，段数＋1＝一侧树的数量。 13．一个长方形的池塘，长60米，宽42米，如果在它的四周及四角栽柳树，每相邻两棵树之间的距离要相等，那么最少要栽多少棵？如果每两棵柳树之间栽2棵桃树，那么桃树一共栽了多少棵？ 【答案】34棵；68棵 【分析】（1）要求最少要栽多少棵，即每相邻两棵树之间的距离最大，即相邻两棵树之间的距离是60和42的最大公因数，求出60和42的最大公因数，即相邻两棵树之间的距离，即可求出应栽树的棵数； （2）因为此长方形的池塘四周及四角栽柳树，可以看成是一个封闭的图形，所栽的柳树的棵数和间距数相等，用间距乘2即可解答出所种的桃树的棵数。 【详解】60＝2×2×3×5 42＝2×3×7 60、42的最大公因数是2×3＝6 （60＋42）×2÷6 ＝102×2÷6 ＝204÷6 ＝34（棵） 34×2＝68（棵） 答：最少要种14棵柳树，桃树一共栽了68棵。 【点睛】关键是理解题意，明白是从求公因数作为突破口，进而找出解决问题的方法。 真题训练 14．园林工人在一条笔直的小路一侧栽树（如下图），每隔10m栽一棵，一共要栽多少棵？ 【答案】6棵 【分析】先算出有多少个间隔，再看房子旁边不栽树，可以判断间隔数就等于栽树的棵数。 【详解】60÷10＝6（棵） 答：一共要栽6棵。 【点睛】本题考查植树问题中的“一端栽，一端不栽”的问题，此时棵数＝间隔数。 15．同学们做操，小林站在左起第5列，右起第3列；从前数前面有4个同学，从后数后面有6个同学。每行每列的人数同样多，做操的同学一共有多少人？ 【答案】77人 【分析】根据题意先分别算出每行和每列的人数，即是做操队列的列数和行数，再相乘，就是做操的同学共有的人数。 【详解】4＋6＋1＝11（人） 5＋3－1＝7（人） 11×7＝77（人） 答：做操的同学一共有77人。 【点睛】找出这个队列的行数与列数是解答此题的关键。 16．一个圆形花坛，周长是180米。每隔6米种一棵芍药花，每相邻的两棵芍药花之间均匀地栽两棵月季花。问可栽多少棵芍药？多少棵月季？两棵月季之间的株距是多少米？ 【答案】棵； 棵；2米或4米 【分析】①在圆形花坛上栽花，是封闭路线植树问题，其株数＝段数。② 由于相邻的两棵芍药花之间等距的栽有两棵月季，则每6米之中共有3棵花，且月季花棵数是芍药的2倍。求两棵月季之间的株距时；要注意：相邻的花或者都是月季花或者一棵是月季花另一棵是芍药花。所以，共可栽芍药花：（棵），共种月季花：（棵），两种花共：（棵），两棵花之间距离：（米）；相邻的花或者都是月季花或者一棵是月季花另一棵是芍药花，所以月季花的株距是2米或4米。 【详解】180÷6＋180÷6×2 ＝30＋60 ＝90（棵） 180÷90＝2（米） 2＋2＝4（米） 答：可栽30棵芍药，60棵月季？两棵月季之间的株距是2米或4米。 【点睛】解答本题时，把圆的周长按照6米1段的方法求解，先求出段数，再根据数量关系求解。 17．从甲地到乙地每隔40米安装一根电线杆，加上两端共51根；现在改成每隔60米安装一根电线杆。求需要多少根电线杆？ 【答案】34根 【分析】从甲地到乙地每隔40m安装一根电线杆，加上两端共51根；现在改成每隔60m安装一根电线杆，求还需要多少根？每个40米安装一根，加上两端共51根，所以这51根间用有：51－1＝50（段），每段40米，从甲地到乙地共长：40×50＝2000（米）；每60米一根，又2000÷60＝33（段）……20（米），即33段就需要有34根，但还余20米。 【详解】（51－1）×40÷60 ＝50×40÷60 ＝2000÷60 ＝33（段）……20（米） 33＋1＝34（根） 33段需要34根电线杆，还余20米。 答：需要34根电线杆，还余20米。 【点睛】根据植树问题可知：间隔数＝棵数－1，距离＝间距×间隔数；即可求出从甲地到乙地的总长度，据此解题即可。 18．马路的一边，相隔8米有一棵杨树，小强乘汽车从学校回家，从看到第一棵树到第153棵树共花了4分钟，小强从家到学校共坐了半小时的汽车，问：小强的家距离学校多远？ 【答案】米 【分析】第一棵树到第153棵树中间共有间隔：（个），每个间隔长8米，所以第一棵树到第153棵树的距离是：（米），汽车经过1216米用了4分钟，1分钟汽车经过：（米），半小时汽车经过：（米），即小明的家距离学校米。 【详解】（153－1）×8÷4×30 ＝152×8÷4×30 ＝1216÷4×30 ＝304×30 ＝9120（米） 答：小强的家距离学校9120米。 【点睛】根据植树问题可知：间隔数＝辆数－1，距离＝间距×间隔数；由此解题即可。 19．校门口放着一排花，共盆。从左往右数茉莉花摆在第，从右往左数，月季花摆在第， 一串红花全都摆在了茉莉花和月季花之间。算一算，一串红花一共有多少盆？ 【答案】盆 【分析】从左往右数茉莉花摆在第，那么从右往左数茉莉花就是第[10－（6－1）]盆，即第5盆，从右往左数，月季花摆在第，从左往右数月季花就是第[10－（8－1）]盆花，即第3盆花，一串红花全都摆在了茉莉花和月季花之间，一串红花一共有：（盆）。 【详解】10－[10－（6－1）]－[10－（8－1）] ＝10－[10－5]－[10－7] ＝10－5－3 ＝2（盆） 答：一串红花一共有2盆。 【点睛】解答本题的关键是，找出月季花与茉莉花分别摆放在第几盆的位置，即一串红的左边有几盆花，右边有几盆花，即可求出它们之间可以摆放几盆一串红。 20．一次检阅，接受检阅的一列彩车车队共辆，每辆车长米，前后每辆车相隔米。这列车队共排列了多长？如果车队每秒行驶米，那么这列车队要通过米长的检阅场地，需要多少时间？ 【答案】265米；分秒 【分析】车队间隔共有：（个），每个间隔5米，所以，间隔的总长为：（米），而车身的总长为：30×4＝120（米），故这列车队的总长为：（米）。由于车队要行：（米），且每秒行2米，所以车队通过检阅场地需要：（秒）＝6分40秒。 【详解】（30－1）×5＋30×4 ＝145＋120 ＝265（米） （265＋535）÷2 ＝800÷2 ＝400（秒） 400秒＝6分40秒 答：这列车队共排列了265米长；列车队要通过米长的检阅场地，需要时间6分40秒。 【点睛】本题考查了植树问题的灵活应用，本题的难点是先求出30辆汽车组成的这个车队的间隔总长是多少米，然后加上车身的总长即可；知识点是：间隔数＝辆数－1，距离＝间距×间隔数。 21．参加中学生运动会团体操比赛的运动员排成了一个正方形队列．如果要使这个正方形队列减少一行和一列，则要减少33人．问参加团体操表演的运动员有多少人？ 【答案】289人 【分析】方阵问题的核心是求最外层每边人数． 【详解】去掉一行、一列的人数是33，则去掉的一行（或一列）人数＝（33+1）÷2＝17人，方阵的总人数为最外层每边人数的平方，所以总人数为17×17＝289（人）． 22．大庆路小学启智楼前摆放了一个方阵花坛．这个花坛的最外层每边各摆放8盆花，最外层共摆了多少盆花？这个方阵花坛共有多少盆花？ 【答案】解：8×4﹣4   =32﹣4 =28（盆） 8×8=64（盆） 答：最外层一共摆了28盆，这个方阵花坛共有64盆花   【详解】【分析】这个方阵花坛的最外层每边有花盆8盆，可以看做每边点数为8的方阵问题，根据最外层四周的总点数=每边点数×4﹣4，实心方阵的总点数=每边点数×每边点数，即可解决问题． 23．某市国庆节有60000人参加游行庆祝活动，这些人被平均分成25队，每队以32人为一排．行进中，排与排之间相隔1米，队与队之间相隔6米．求这支游行队伍的长度． 【答案】1994米 【详解】每队有60000÷25＝2400人，所以每队有2400÷32＝75排，于是每队排排之间有74个间隔，即每队长74×1＝74米． 但是每队之间又间隔6米，25队有24个间隔，即24×6＝144米，那么这只游行队伍的长度为74×25+144＝1994米． 24．水池周围栽种了一些树，小明和小红沿同一方向绕水池散步，边走边数树的棵数．由于两人的出发地点不同，因此小明数的第20棵在小红那儿是第7棵，小明数的第7棵在小红那儿是第94棵．问水池四周栽了多少棵树? 【答案】100棵 【详解】小红在小明的前方20－7＝13棵树的地方，所以小红数的第94棵数在小明数来应该是第94+13＝107棵，但现在小明数的是第7棵，所以一周栽有107－7＝100棵树或者100能除开的数，但是有第94棵树，所以水池四周栽了100棵树． 25．有100个人站成一个实心方阵，那么这个方阵的最外层共有多少人？从外向里算起的第二层有多少人？从里向外算起的第三层有多少人？ 【答案】方阵的最外层共36人，从外向里算起的第二层有28人，从里向外算起的第三层有20人 【分析】（1）由题意，100个人站成一个实心方阵，10×10=100，所以最外层每边有10人，要求最外层一共有多少人，根据“四周的人数=（每边的人数﹣1）×4”解答； （2）由于方阵相邻两层每边相差2人，相邻两层人数相差8人，所以用最外层的人数减去8即得从外向里算起的第二层有多少人； （3）这个实心方阵的最里层有4人，用4+8+8即得从里向外算起的第三层有多少人． 【详解】（1）最外层：（10﹣1）×4=36（人）， （2）从外向里算起的第二层：36﹣8=28（人）， （3）从里向外算起的第三层：4+8+8=20（人） 答：这个方阵的最外层共36人，从外向里算起的第二层有28人，从里向外算起的第三层有20人． 26．四年级一班参加运动会入场式，排成一个方阵，最外层一周的人数为20人，请问：方阵最外层每边的人数是多少?这个方阵共有多少人? 【答案】方阵最外层每边的人数是6人，整个方阵共有36人 【分析】根据四周人数与每边人数的关系可知： 每边人数=四周人数÷4+1，可以求出这个方阵最外层每边的人数，那么这个方阵队列的总人数就可以求出来了． 【详解】（1）方阵最外层每边的人数：20÷4+1=5+1=6（人） （2）整个方阵共有学生人数：6×6=36（人） 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15讲 植树问题与间隔问题综合 专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 知识讲解 1. 核心概念与基本公式 植树问题本质是研究总距离、间隔长度、棵数三者之间的关系，所有间隔问题的核心都是间隔数。 基本公式： 关键：先判断场景类型，确定 “棵数” 与 “间隔数” 的对应关系。 2. 四大基础植树模型 （1）两端都栽 场景：马路种树、排队、公交站点等，首尾都有物体。 核心关系： 逆用： 例：10 米小路，每 2 米栽一棵，两端都栽，间隔数 = 5，棵数 = 6。 （2）两端都不栽 场景：两楼之间种树、锯木头等，首尾两端没有物体。 核心关系： 逆用： 例：两楼相距 10 米，每 2 米栽一棵，两端不栽，间隔数 = 5，棵数 = 4。 （3）一端栽，一端不栽 场景：一端靠墙种树、只有起点有终点没有的线路。 核心关系： （4）封闭图形植树 场景：圆形、正方形、长方形等封闭线路（池塘、操场、花坛四周）。 核心关系：（首尾重合，相当于一端栽一端不栽） 拓展：正方形四个角都栽时，直接用周长 ÷ 间隔长即可，无需额外加 4。 3. 常见拓展间隔问题 （1）爬楼梯问题 本质：两端都栽的植树模型，楼层数相当于棵数，楼梯段数相当于间隔数。 核心公式： 总时间 = 每层时间 × 爬的层数 （2）锯木头 / 剪绳子问题 本质：两端都不栽的植树模型，段数相当于棵数，锯的次数相当于间隔数。 核心公式： 总时间 = 每次时间 × 锯的次数 （3）敲钟问题 本质：两端都栽的植树模型，敲的次数相当于棵数，时间间隔相当于间隔数。 核心公式： 总时间 = 每个间隔时间 × 间隔数 （4）排队问题 本质：两端都栽的植树模型，人数相当于棵数，人与人的间距相当于间隔长。 核心公式： 4. 解题通用步骤 ① 读题判断题型：是直线植树、封闭植树，还是哪类间隔问题； ② 对应模型，确定棵数与间隔数的加减关系； ③ 先算间隔数，再根据问题求棵数、总距离或总时间； ④ 代入检验结果是否符合实际场景。 例题讲解 【典型例题 1】直线植树三大型对比 在一条长 100 米的马路一侧栽树，每隔 5 米栽一棵。 （1）两端都栽，一共栽多少棵？ （2）两端都不栽，一共栽多少棵？ （3）只有一端栽，一共栽多少棵？ 【跟踪训练 1】 在一条长 80 米的小路一侧插彩旗，每隔 4 米插一面。 （1）两端都插，需要多少面彩旗？ （2）只有起点插，终点不插，需要多少面彩旗？ 【典型例题 2】封闭图形植树 一个圆形池塘周长 120 米，沿池塘周围每隔 6 米栽一棵柳树。 （1）一共需要栽多少棵柳树？ （2）如果每两棵柳树中间栽一棵桃树，需要多少棵桃树？ 【跟踪训练 2】 正方形花坛边长 40 米，沿四周每隔 5 米放一盆花，四个角都要放。一共需要放多少盆花？ 【典型例题 3】拓展间隔问题：爬楼 + 锯木 （1）小明从 1 楼爬到 3 楼用了 24 秒，照这样的速度，从 1 楼爬到 6 楼需要多少秒？ （2）一根木头锯成 3 段需要 6 分钟，照这样计算，锯成 6 段需要多少分钟？ 【跟踪训练 3】 （1）时钟 3 点敲 3 下，4 秒敲完。8 点敲 8 下，多少秒敲完？ （2）把一根钢管锯成 5 段，每锯一次要 2 分钟，一共需要多少分钟？ 【典型例题 4】综合应用：两侧植树 一条马路长 200 米，在马路两侧每隔 8 米栽一棵梧桐树，两端都栽。一共需要多少棵树苗？ 【跟踪训练 4】 在一座长 150 米的大桥两边安装路灯，每隔 10 米装一盏，两端都装。一共需要多少盏路灯？ 巩固练习 1．学校组织小学四年级学生220人排成四个纵队去参观画展，队伍进行的速度是每分钟20米，前后两人都相距1米。现在队伍要通过一座大桥（整个队伍上桥到离桥）共需要15分钟，这座桥长多少米？ 2．某一淡水湖的周长800米，在湖边每隔10米种柳树一棵，在两棵柳树中间等距种4棵杨树，可种柳树多少棵？可种杨树多少棵？最近的两棵杨树之间相距多少米？ 3．团体操表演，排成4个方阵。每个方阵排成6行，每行有6人。如果每个方阵最外圈的同学穿红色的衣服，其余同学穿黄色的衣服。要准备这两种颜色的衣服各多少套？（先画图表示1个方阵的队列，再解答） 4．为了迎接六一儿童节，育才小学在智慧广场前摆太阳花。先摆了一个的红色太阳花方阵（如下图）。然后在红色太阳花的外围加一圈黄色的太阳花，形成一个新的方阵，需要加多少盆黄色的太阳花？（先在图中画一画，再列式计算） 5．某快递公司的一辆电动车从分公司A开往分公司B，A、B相距6000米，途中均匀分布着4个揽件点，电动车会在每个揽件点收取一批货物，需停留1分钟，每收取一批货物电动车的速度会降低1米／秒，已知电动车的最初速度为6米／秒，求电动车从A到B所花的时间。 6．在学校举行队列比赛时，五年级2个班排成了一个方阵，最外层一周的人数为24人，这个方阵一共有多少人？ 7．佳佳从一幢高楼的底层开始登楼，他从第1层到第9层用了4分钟，他又往上登了几层后，感到很累就往下走，当他走到第3层时共用了10分钟。如果佳佳上下楼梯的速度相同（楼梯转弯走过道的时间忽略不计），问：佳佳又向上走了几层楼梯？ 8．李英和黄明比赛走楼梯，李英走3级楼梯时，黄明能走5级，这幢楼每两层之间有20级楼梯，那么当黄明走到6楼时，李英走到几楼？ 9．小明家住在6楼，小华家住在4楼，每层楼之间楼梯的级数都相同，小华回家共要走 48 级楼梯，问小明回家要走多少级楼梯？ 10．运动会上，四年级同学组成4个表演方阵，每个方阵排成6行，每行6人，最外面一圈是男生，其余是女生。四年级参加表演的男生有多少人？女生呢？ 11．跑道一端到另一端全长120米，原来每隔5米插一面红旗，现在要改成每隔8米插一面红旗，问：有多少面红旗不必拔出来重插？ 12．图书馆与教学楼之间的小路长80米，在小路两旁每4米栽一棵树，一共能栽多少棵树？ 13．一个长方形的池塘，长60米，宽42米，如果在它的四周及四角栽柳树，每相邻两棵树之间的距离要相等，那么最少要栽多少棵？如果每两棵柳树之间栽2棵桃树，那么桃树一共栽了多少棵？ 真题训练 14．园林工人在一条笔直的小路一侧栽树（如下图），每隔10m栽一棵，一共要栽多少棵？ 15．同学们做操，小林站在左起第5列，右起第3列；从前数前面有4个同学，从后数后面有6个同学。每行每列的人数同样多，做操的同学一共有多少人？ 16．一个圆形花坛，周长是180米。每隔6米种一棵芍药花，每相邻的两棵芍药花之间均匀地栽两棵月季花。问可栽多少棵芍药？多少棵月季？两棵月季之间的株距是多少米？ 17．从甲地到乙地每隔40米安装一根电线杆，加上两端共51根；现在改成每隔60米安装一根电线杆。求需要多少根电线杆？ 18．马路的一边，相隔8米有一棵杨树，小强乘汽车从学校回家，从看到第一棵树到第153棵树共花了4分钟，小强从家到学校共坐了半小时的汽车，问：小强的家距离学校多远？ 19．校门口放着一排花，共盆。从左往右数茉莉花摆在第，从右往左数，月季花摆在第， 一串红花全都摆在了茉莉花和月季花之间。算一算，一串红花一共有多少盆？ 20．一次检阅，接受检阅的一列彩车车队共辆，每辆车长米，前后每辆车相隔米。这列车队共排列了多长？如果车队每秒行驶米，那么这列车队要通过米长的检阅场地，需要多少时间？ 21．参加中学生运动会团体操比赛的运动员排成了一个正方形队列．如果要使这个正方形队列减少一行和一列，则要减少33人．问参加团体操表演的运动员有多少人？ 22．大庆路小学启智楼前摆放了一个方阵花坛．这个花坛的最外层每边各摆放8盆花，最外层共摆了多少盆花？这个方阵花坛共有多少盆花？ 23．某市国庆节有60000人参加游行庆祝活动，这些人被平均分成25队，每队以32人为一排．行进中，排与排之间相隔1米，队与队之间相隔6米．求这支游行队伍的长度． 24．水池周围栽种了一些树，小明和小红沿同一方向绕水池散步，边走边数树的棵数．由于两人的出发地点不同，因此小明数的第20棵在小红那儿是第7棵，小明数的第7棵在小红那儿是第94棵．问水池四周栽了多少棵树? 25．有100个人站成一个实心方阵，那么这个方阵的最外层共有多少人？从外向里算起的第二层有多少人？从里向外算起的第三层有多少人？ 26．四年级一班参加运动会入场式，排成一个方阵，最外层一周的人数为20人，请问：方阵最外层每边的人数是多少?这个方阵共有多少人? 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $