专题 9： 植树问题（数学广角）（思维拓展）人教版数学五年级上册奥数培优讲义（新教材）

专题 9： 植树问题（数学广角） 第一部分 核心方法论与知识体系构建 1 一、知识体系全景梳理 1 二、解题方法图表记忆法 1 三、数学思维提升 2 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 3 考点一：基础植树模型 3 考点二：间隔类拓展应用 4 考点三：封闭图形植树 6 考点四：复杂植树综合与奥数拓展 7 第三部分 易错避坑指南 9 易错点 1：棵数与间隔数混淆 9 易错点 2：爬楼梯 / 锯木头段数次数混淆 9 易错点 3：封闭图形多加 1 9 易错点 4：双边植树忘乘 2 9 易错点 5：重合问题漏加起点 9 第四部分 分层进阶专题精练 10 一、能力进阶篇（难度★★★，共 8 题） 10 二、思维拓展篇（难度★★★★，共 6 题） 10 第五部分 分层进阶专题精练精准解析 12 一、能力进阶篇解析 12 二、思维拓展篇解析 13 学科网（北京）股份有限公司 第一部分 核心方法论与知识体系构建 一、知识体系全景梳理 本专题对应人教版五年级上册数学广角《植树问题》核心内容，以 “模型建构→转化应用→综合拓展→思维提升” 为主线，系统覆盖基础植树模型、间隔类拓展应用、封闭图形植树、复杂植树综合与奥数拓展四大核心模块，渗透模型思想、转化思想、一一对应思想、分类讨论思想等核心数学素养。 专题遵循教材认知路径：从直线上的三种植树模型（两端都栽、两端不栽、一端栽一端不栽）入手，掌握棵数与间隔数的对应关系；能将爬楼梯、锯木头、敲钟等生活问题转化为植树模型解决；掌握封闭图形（环形、方形等）的植树规律；延伸双边植树、间隔重合、变间隔调整、差倍植树等奥数思维题型。专题严格贴合《义务教育数学课程标准（2022 年版）》“综合与实践” 领域要求，与 2024 版最新人教版教材进度完全同步，提升模型建构与问题解决能力。 知识模块 核心内容 关键方法 易错提醒 基础植树模型 两端都栽、两端不栽、一端栽一端不栽；棵数与间隔数关系；路长与间隔互算 公式法、一一对应法 棵数与间隔数混淆；两端情况判断错误 间隔类拓展应用 爬楼梯、锯木头、敲钟、排队问题；间隔数与次数 / 段数关系 转化建模法 次数与段数 / 楼层数混淆；直接用数量乘时间 封闭图形植树 环形、正方形、多边形植树；棵数与间隔数关系；方阵外围植树 周长间隔法 封闭图形多加 1；方形四个角重复计数 复杂植树综合与奥数拓展 双边植树、间隔重合问题、变间隔调整、差倍植树 容斥原理法、逆推调整法 双边植树忘乘 2；重合点重复计数 二、解题方法图表记忆法 方法名称 适用题型 操作步骤 技巧口诀 公式法 基础植树计算 ①判断两端类型；②算间隔数；③对应公式求棵数 / 路长 两端都栽棵加 1，两端不栽棵减 1，封闭图形棵等间 转化建模法 间隔类生活题 ①转化为植树模型；②对应间隔数关系；③列式计算 爬楼锯木敲钟题，都转植树间隔题 一一对应法 棵数间隔辨析 ①一个间隔对应一棵树；②看两端是否多一棵；③验证关系 间隔对应树，两端多就加，两端少就减 双边计算法 道路两边植树 ①先算一边棵数；②乘 2 得总棵数；③注意两端一致 先算单边，再乘 2，两边情况要相同 容斥原理法 间隔重合问题 ①分别算两种间隔的棵数；②减去重合的棵数；③得总棵数 分别算，减重复，得总数 三、数学思维提升 1. 模型思想 核心要点：将不同情境的间隔问题抽象为植树模型，建立 “棵数 - 间隔数 - 总长度” 的数量关系模型，培养建模意识与迁移应用能力。 专题示例：爬楼梯、锯木头都可以转化为植树问题模型，用间隔数的规律解决，就是模型思想的体现。 2. 转化思想 核心要点：把陌生的生活问题转化为熟悉的植树模型，用已有的公式和方法解决新问题，培养转化迁移与问题解决能力。 专题示例：敲钟问题中，敲的次数对应棵数，每次间隔对应间隔长度，就是转化思想的应用。 3. 一一对应思想 核心要点：理解一个间隔对应一棵树的基本关系，通过两端是否植树判断棵数与间隔数的差，培养对应思维与逻辑辨析能力。 专题示例：两端都栽时，棵数比间隔数多 1，就是因为开头多了一棵，一一对应后剩余 1 棵。 4. 分类讨论思想 核心要点：根据两端是否植树的不同情况，分类讨论对应的棵数与间隔数关系，不混淆、不遗漏，培养严谨思维与分类辨析能力。 专题示例：同样的路长和间隔，两端都栽、两端不栽、一端栽的棵数都不同，需要分类计算。 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 考点一：基础植树模型 能力进阶（★★★）—— 两端不栽的逆向求路长 题目：在一条公路的一侧安装电线杆，每隔 12 米装一根，两端都不装，一共装了 25 根。这条公路长多少米？ 解题步骤： ① 判断植树类型：两端都不栽，棵数 = 间隔数 - 1，因此间隔数 = 棵数 + 1。 间隔数：（个） ② 总路长 = 间隔数 × 间隔长度： （米） ③ 验证：312 米每隔 12 米一个间隔，共 26 个间隔，两端不装电线杆，电线杆数根，符合题意。 【答案】这条公路长 312 米。 【知识点睛】本题考查两端不栽植树模型的逆向应用，对应教材核心重难点。 核心公式： · 两端都栽：棵数 = 间隔数 + 1，路长 =（棵数 - 1）× 间隔长 · 两端不栽：棵数 = 间隔数 - 1，路长 =（棵数 + 1）× 间隔长 · 一端栽一端不栽：棵数 = 间隔数，路长 = 棵数 × 间隔长 · 解题关键：先判断两端是否植树，确定棵数与间隔数的关系，再计算。 · 易错警示：两端不栽直接用棵数乘间隔长，忽略间隔数比棵数多 1。 思维拓展（★★★★）—— 变间隔与重合点问题 题目：一条公路长 240 米，原来在一侧每隔 6 米栽一棵树（两端都栽），现在要改成每隔 8 米栽一棵。如果起点的树不动，一共有多少棵树不需要移动？ 解题步骤： ① 不需要移动的树，是位置同时在 6 米和 8 米的倍数处的树，也就是间隔为 6 和 8 的公倍数处的树。 先求 6 和 8 的最小公倍数：，即每隔 24 米有一棵树不用移动。 ② 计算 240 米中有多少个 24 米的间隔： （个）间隔 ③ 两端都栽，起点的一棵也不动，棵数 = 间隔数 + 1： （棵） 验证：第 0 米、24 米、48 米……240 米，共 11 个位置，都同时是 6 和 8 的倍数，正确。 【答案】一共有 11 棵树不需要移动。 【知识点睛】本题是植树与公倍数结合的经典奥数题型，考查变间隔植树的重合问题。 解题方法：先求两种间隔的最小公倍数，得到重合间隔长度；再算总路长中有多少个重合间隔；两端都栽时，棵数 = 间隔数 + 1。 拓展结论：起点不动时，不用移动的棵数 = 总路长 ÷ 最小公倍数 + 1（两端都栽）。 易错警示：直接用总路长除以最小公倍数，忘记加起点的 1 棵。 考点二：间隔类拓展应用 能力进阶（★★★）—— 爬楼梯问题 题目：小明从 1 楼走到 3 楼用了 24 秒，照这样的速度，他从 1 楼走到 6 楼要用多少秒？ 解题步骤： ① 转化为植树模型：楼层数对应棵数，楼梯间隔数对应间隔数。从 1 楼到 3 楼，走的间隔数 = 楼层数差 = 层。 先算走一层间隔的时间：（秒） ② 从 1 楼到 6 楼的间隔数：层 ③ 总时间：（秒） 验证：2 层 24 秒，每层 12 秒，5 层 60 秒，符合题意。 【答案】要用 60 秒。 【知识点睛】本题考查爬楼梯问题，对应教材拓展重难点。 解题核心：爬楼梯的路程是楼层间隔，不是楼层数；间隔数 = 终点楼层 - 起点楼层。 易错警示：直接用 3 楼对应 24 秒，6 楼就是 48 秒，用楼层数直接算比例。 思维拓展（★★★★）—— 锯木头逆推问题 题目：一根木头锯成 3 段需要 6 分钟，照这样计算，把同样的木头锯成每段长 2 米的小段，一共锯了 18 分钟。这根木头全长多少米？ 解题步骤： ① 锯木头问题：锯的次数 = 段数 - 1。锯成 3 段需要锯次。 先算锯 1 次的时间：（分钟） ② 18 分钟一共锯的次数：（次） 锯成的段数：（段） ③ 每段长 2 米，全长：（米） 验证：7 段锯 6 次，每次 3 分钟，共 18 分钟；每段 2 米，全长 14 米，符合题意。 【答案】这根木头全长 14 米。 【知识点睛】本题是锯木头的逆推奥数题型，考查段数与次数的关系及逆向推理。 核心关系：锯的次数 = 段数 - 1；总时间 = 次数 × 每次时间。 解题步骤：先根据已知条件求单次时间，再由总时间求次数，由次数求段数，最后求总长。 易错警示：认为段数等于次数，用 3 段对应 3 次，导致单次时间算错。 考点三：封闭图形植树 能力进阶（★★★）—— 环形植树 题目：一个圆形池塘周长是 210 米，沿池塘周围每隔 7 米栽一棵柳树，每两棵柳树之间栽 2 棵桃树。一共栽多少棵柳树？多少棵桃树？ 解题步骤： ① 封闭图形植树：棵数 = 间隔数。 柳树的间隔数：（个） 柳树棵数 = 间隔数 = 30 棵 ② 每个间隔里栽 2 棵桃树，桃树总棵数： （棵） ③ 验证：30 棵柳树有 30 个间隔，每个间隔 2 棵桃树，共 60 棵，符合封闭图形间隔与棵数相等的规律。 【答案】柳树 30 棵，桃树 60 棵。 【知识点睛】本题考查封闭图形植树与间隔排列，对应教材重难点。 核心规律：封闭图形（环形、方形等）中，植树棵数 = 间隔数，等于周长除以间隔长。 拓展应用：封闭图形中两种物体间隔排列，每种物体的数量和间隔数的关系，要看排列方式。 易错警示：封闭图形棵数用间隔数加 1，和两端都栽混淆。 思维拓展（★★★★）—— 正方形外围植树 题目：一个正方形广场，边长是 80 米，沿四周每隔 8 米装一盏路灯，四个角都要装。一共要装多少盏路灯？ 解题步骤： ① 方法一：先算正方形周长，再按封闭图形计算。 周长：（米） 间隔数：（个） 封闭图形棵数 = 间隔数 = 40 盏 ② 验证：方法二，每条边的盏数：盏，四条边盏； 四个角都重复算了一次，减去 4：盏，结果一致。 ③ 结论：一共要装 40 盏。 【答案】一共要装 40 盏路灯。 【知识点睛】本题是正方形封闭植树的奥数题型，考查多边形植树的角点重复问题。 解题方法：方法一，转化为封闭环形，周长 ÷ 间隔 = 棵数；方法二，先算单边棵数，乘 4 后减去 4 个角重复的 4 棵。 技巧总结：多边形植树，顶点都栽时，总棵数 =（每边棵数 -1）× 边数。 易错警示：直接用单边棵数乘 4，忽略四个角的重复计算。 考点四：复杂植树综合与奥数拓展 能力进阶（★★★）—— 双边植树 题目：在一条长 360 米的道路两旁安装路灯，每隔 9 米装一盏（两端都装），一共要安装多少盏路灯？ 解题步骤： ① 先算道路一旁的路灯盏数：两端都装，盏数 = 间隔数 + 1。 间隔数：（个） 一旁盏数：（盏） ② 道路两旁，总盏数：（盏） ③ 验证：一旁 41 盏，间隔 40 个，对应 360 米，两旁 82 盏，正确。 【答案】一共要安装 82 盏路灯。 【知识点睛】本题考查双边植树的综合应用，对应教材综合重难点。 解题要点：双边植树先算单边，再乘 2；两端情况两边要一致。 易错警示：只算一边，或者两边算完忘记乘 2。 思维拓展（★★★★）—— 两种间隔植树的容斥问题 题目：在一条长 300 米的公路一侧植树，两端都栽。甲队每隔 5 米栽一棵杨树，乙队每隔 6 米栽一棵柳树，同一位置只栽一棵树。一共要栽多少棵树？ 解题步骤： ① 分别计算两种树的棵数： 杨树：（棵） 柳树：（棵） ② 计算重合的棵数：5 和 6 的最小公倍数是 30，即每隔 30 米重合一棵。 重合棵数：（棵） ③ 根据容斥原理，总棵数 = 杨树棵数 + 柳树棵数 - 重合棵数： （棵） 验证：两种树加起来减去重复的，就是实际总棵数，符合容斥原理。 【答案】一共要栽 101 棵树。 【知识点睛】本题是植树与容斥原理结合的奥数题型，考查两种间隔植树的总棵数计算。 解题方法：分别算出两种间隔的棵数，再减去重合位置的棵数，得到总棵数。 核心公式：总棵数 = A 棵数 + B 棵数 - 重合棵数。 易错警示：直接把两种棵数相加，忽略重合位置重复计数。 第三部分 易错避坑指南 易错点 1：棵数与间隔数混淆 错误示例：两端都栽，10 个间隔栽 10 棵树。 正确分析：两端都栽，棵数比间隔数多 1，应该栽 11 棵。 修正方法：两端都栽棵加 1，两端不栽棵减 1，一端栽、封闭图形棵等间。 易错点 2：爬楼梯 / 锯木头段数次数混淆 错误示例：从 1 楼到 4 楼走了 4 层楼梯；锯成 4 段锯 4 次。 正确分析：楼梯间隔数 = 楼层差；锯的次数 = 段数 - 1。 修正方法：楼层减 1 得间隔，段数减 1 得次数。 易错点 3：封闭图形多加 1 错误示例：圆形周长 100 米，每隔 5 米栽树，栽棵。 正确分析：封闭图形棵数 = 间隔数，栽 20 棵。 修正方法：封闭图形，棵等于间，不用加 1。 易错点 4：双边植树忘乘 2 错误示例：路两边植树，算出一边 20 棵，答案写 20 棵。 正确分析：两边都栽，总棵数是一边的 2 倍，40 棵。 修正方法：看到 “两旁、两边、两侧”，先算单边再乘 2。 易错点 5：重合问题漏加起点 错误示例：240 米路，每隔 24 米重合一棵，共棵不用动。 正确分析：两端都栽，起点的一棵也算，共 11 棵。 修正方法：两端都栽的重合问题，间隔数加 1 得棵数。 第四部分 分层进阶专题精练 一、能力进阶篇（难度★★★，共 8 题） 1. 一条路长 150 米，每隔 5 米栽一棵树（两端都栽），一侧要栽（ ）棵。 2. 两根电线杆之间相距 30 米，中间等距离装 5 个广告牌，相邻两个广告牌间隔（ ）米。 3. 小明从 1 楼到 4 楼用了 36 秒，照这样速度，到 8 楼还要（ ）秒。 4. 一个圆形花坛周长 96 米，每隔 8 米摆一盆花，一共摆（ ）盆。 5. 把一根木头锯成 5 段，每锯一次要 3 分钟，一共要（ ）分钟。 6. 公路一旁栽树，两端都栽，每隔 8 米一棵，一共栽了 31 棵，这条路长（ ）米。 7. 钟楼上的大钟 3 时敲 3 下，6 秒敲完。8 时敲 8 下，（ ）秒敲完。 8. 一条路长 200 米，在两旁每隔 4 米栽一棵树（两端都栽），一共栽（ ）棵。 二、思维拓展篇（难度★★★★，共 6 题） 9. 一条长 180 米的道路，原来每隔 9 米栽一棵树（两端都栽），现在改成每隔 6 米栽一棵。一共有多少棵树不需要移动？ 10. 一个正方形操场，每边站 12 名学生（四个角都站），最外层一共有多少名学生？ 11. 一根木头锯成 4 段要 9 分钟，照这样速度，锯成 10 段要多少分钟？ 12. 甲乙两人在长 360 米的路一侧植树（两端都栽），甲每隔 4 米栽一棵，乙每隔 9 米栽一棵，同一位置只栽一棵，一共栽多少棵？ 13. 一座大桥长 600 米，在桥的两边每隔 30 米装一盏路灯（两端都装），每两盏路灯之间放 2 个垃圾桶。一共要放多少个垃圾桶？ 14. 爸爸爬楼梯的速度是小明的 2 倍，小明从 1 楼到 4 楼要 6 分钟，爸爸从 1 楼到 8 楼要多少分钟？ 第五部分 分层进阶专题精练精准解析 一、能力进阶篇解析 1. 【答案】31 解题步骤： ① 间隔数：个； ② 两端都栽：棵。 【知识点睛】考查两端都栽基础计算。核心：间隔数 + 1 = 棵数。易错警示：填 30。 2. 【答案】5 解题步骤： ① 两端是电线杆，中间 5 个广告牌，相当于两端不栽，间隔数 =个； ② 间隔长：米。 【知识点睛】考查两端不栽间隔计算。核心：间隔数 = 个数 + 1。易错警示：填 6。 3. 【答案】48 解题步骤： ① 1 到 4 楼间隔 3 层，每层时间：秒； ② 4 到 8 楼间隔 4 层，还要：秒。 【知识点睛】考查爬楼梯问题。核心：楼层差 = 间隔数。易错警示：直接算到 8 楼的总时间。 4. 【答案】12 解题步骤： ① 封闭图形，盆数 = 间隔数； ② 盆。 【知识点睛】考查环形植树。核心：棵数 = 间隔数。易错警示：加 1 得 13。 5. 【答案】12 解题步骤： ① 锯成 5 段要锯次； ② 总时间：分钟。 【知识点睛】考查锯木头问题。核心：次数 = 段数 - 1。易错警示：算成 5 次 15 分钟。 6. 【答案】240 解题步骤： ① 间隔数：个； ② 路长：米。 【知识点睛】考查逆向求路长。核心：（棵数 - 1）× 间隔长 = 路长。易错警示：31×8。 7. 【答案】21 解题步骤： ① 敲 3 下有 2 个间隔，每个间隔：秒； ② 敲 8 下有 7 个间隔，秒。 【知识点睛】考查敲钟问题。核心：间隔数 = 次数 - 1。易错警示：直接 6÷3×8。 8. 【答案】102 解题步骤： ① 一旁：棵； ② 两旁：棵。 【知识点睛】考查双边植树。核心：先单边再乘 2。易错警示：忘乘 2 得 51。 二、思维拓展篇解析 9. 【答案】一共有 11 棵树不需要移动。 解题步骤： ① 9 和 6 的最小公倍数是 18； ② 重合间隔数：个； ③ 两端都栽，棵数：棵。 【知识点睛】考查变间隔重合问题。核心：最小公倍数求重合间隔，两端都栽加 1。易错警示：填 10。 10. 【答案】最外层一共有 44 名学生。 解题步骤： ① 方法：每边人数 ×4 - 4 个角重复的 4 人； ② 名。 【知识点睛】考查正方形方阵外围。核心：减去四个角重复计数。易错警示：直接 12×4=48。 11. 【答案】要 27 分钟。 解题步骤： ① 锯 4 段锯 3 次，每次：分钟； ② 锯 10 段锯 9 次，分钟。 【知识点睛】考查锯木头逆推。核心：次数 = 段数 - 1。易错警示：9÷4×10。 12. 【答案】一共栽 121 棵。 解题步骤： ① 甲：棵；乙：棵； ② 4 和 9 最小公倍数 36，重合：棵； ③ 总棵数：棵。 【知识点睛】考查容斥原理植树。核心：加起来减重复。易错警示：直接相加得 132。 13. 【答案】一共要放 80 个垃圾桶。 解题步骤： ① 一边间隔数：个； ② 一边垃圾桶：个； ③ 两边：个。 【知识点睛】考查间隔物体与双边。核心：间隔数乘每个间隔的数量。易错警示：用路灯数算。 14. 【答案】爸爸要 7 分钟。 解题步骤： ① 小明 1 到 4 楼走 3 层，每层分钟； ② 爸爸速度是 2 倍，每层分钟； ③ 爸爸 1 到 8 楼走 7 层，分钟。 【知识点睛】考查速度倍比爬楼。核心：先求单层时间再算总时间。易错警示：直接 6÷2=3 分钟。 1 学科网（北京）股份有限公司 $