奥数培优·第1讲 数的整除问题 (讲义)-2026-2027学年五年级上册数学人教版

【人教版】小学五年级上册数学奥数培优·第1讲 数的整除问题 前言 名人名言 "宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。" ——华罗庚 同学们，在我们的日常生活中，整除现象无处不在：分糖果、排队伍、算价格……都藏着整除的奥秘。数的整除是数论的基础，也是小学奥数的核心内容之一。 这一讲，我们将一起探索整除的神奇世界，掌握能被2、3、5、7、9、11、13等数整除的特征，学会用分解法、特征法、试算法等巧妙方法解决复杂的整除问题。 准备好了吗？让我们一起开启这场奇妙的数学之旅吧！🚀 三维教学目标 知识与技能 1. 理解整除的定义和性质；2. 掌握能被2、3、5、9、4、25、8、125、11、7、13等数整除的特征；3. 能运用整除特征解决补数字、求未知数等问题。 过程与方法 1. 通过观察、比较、归纳，总结出各类数的整除特征；2. 学会用分解法将复杂除数转化为简单除数；3. 培养分类讨论、逐步验证的数学思维。 情感态度与价值观 1. 感受数学的规律性和简洁美；2. 培养严谨的逻辑推理能力；3. 激发探索数论奥秘的兴趣。 教学重难点 教学重点 整除的定义与基本性质 常见数的整除特征（2、3、5、9、11等） 分解法在整除问题中的应用 教学难点 能被7、11、13整除的数的特征 多个整除条件的综合运用 分类讨论思想的灵活运用 高频易错总提示 易错点1：忽略最高位不能为0 在求多位数的首位数字时，一定要注意最高位不能为0，否则就不是几位数了。 易错点2：混淆"能被4整除"和"能被8整除"的特征 能被4整除看末两位，能被8整除看末三位，不要搞混了！ 易错点3：分解质因数后忘记验证互质 用分解法时，分解后的两个数必须互质，才能用"同时能被这两个数整除就能被它们的积整除"这个性质。 易错点4：能被11整除的特征搞反奇偶位 奇数位数字和减偶数位数字和，或者偶数位减奇数位，只要差能被11整除就行，但要注意是从左往右数第1位、第2位…… 一、知识点总结 （一）整除的定义 一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整数b（b不等于0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a）。记作b｜a。否则，称为a不能被b整除，（或b不能整除a），记作b∤a。 （二）整除的性质 性质1：如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。 即：如果c｜a，c｜b，那么c｜（a±b）。 性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a。 即：如果bc｜a，那么b｜a，c｜a。 性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积能整除a。 即：如果b｜a，c｜a，且（b，c）=1，那么bc｜a。 性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。 即：如果c｜b，b｜a，那么c｜a。 （三）常见数的整除特征 除数 看哪几位 整除特征 2、5 末一位 个位是0、2、4、6、8能被2整除；个位是0或5能被5整除 3、9 各位数字 各位数字之和能被3或9整除 4、25 末两位 末两位数能被4或25整除 8、125 末三位 末三位数能被8或125整除 11 奇偶位差 奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大数减小数）能被11整除 7、11、13 末三位差 一个数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（大数减小数）能被7、11、13整除 （四）解题技巧 1. 分解法：遇到复杂的除数（如45、28、91等），先分解质因数，再利用整除性质分别判断。 2. 特征法：熟记常见数的整除特征，快速判断。 3. 试算法：根据整除特征缩小范围，再逐一验证。 4. 代数法：用字母表示数位上的数字，根据整除特征列方程求解。 5. 从易到难：先用简单的整除特征（如2、5、4等）快速缩小范围，再用复杂的特征（如7、11等）验证。 二、经典例题 标注说明：★基础 / ★★提升 / ★★★拔高 / ★★★★挑战 【例1 能被45整除的六位数】★★提升 【题目】 已知45｜x1993y，求所有满足条件的六位数x1993y。 【解题思路】 45是一个合数，我们可以先把它分解质因数：45=5×9，而且5和9互质。根据整除性质，如果一个数能同时被5和9整除，那么它就能被45整除。我们分别用能被5整除和能被9整除的特征来求解。 【完整解析】 第一步：分解除数 ∵ 45 = 5 × 9，且5和9互质 ∴ 根据整除性质3可知：5｜x1993y，9｜x1993y 第二步：根据能被5整除的特征确定y 能被5整除的数，个位只能是0或5。 ∴ y可取0或5。 第三步：分情况讨论，根据能被9整除的特征确定x 能被9整除的数，各位数字之和能被9整除。 各位数字之和：x + 1 + 9 + 9 + 3 + y = x + y + 22 情况一：当y = 0时 数字和 = x + 0 + 22 = x + 22 要使x + 22能被9整除，且x是1~9的数字（最高位不能为0） 因为 22 ÷ 9 = 2……4，所以 x + 4 = 9，x = 5 验证：5 + 22 = 27，27能被9整除 ✅ 情况二：当y = 5时 数字和 = x + 5 + 22 = x + 27 要使x + 27能被9整除，且x是1~9的数字 因为27本身就能被9整除，所以x = 9（x=0时最高位为0，不是六位数） 验证：9 + 27 = 36，36能被9整除 ✅ 第四步：得出结论 满足条件的六位数是519930或919935。 【方法总结】 遇到复杂除数时，先分解质因数，转化为多个简单除数的整除问题，再分别用整除特征求解，最后综合所有条件得到答案。这是整除问题最常用的方法。 【随堂小练1】 已知36｜x234y，求满足条件的五位数。 【例2 钢笔价格问题】★★提升 【题目】 李老师为学校一共买了28支价格相同的钢笔，共付人民币9□.2□元。已知□处数字相同，请问每支钢笔多少元？ 【解题思路】 这是一道生活中的数学问题。28支钢笔价格相同，说明总钱数一定能被28整除。我们先把单位统一成分，变成整数问题，再用整除的方法求解。 【完整解析】 第一步：单位统一，转化为整数问题 9□.2□元 = 9□2□分 设□处的数字为a，那么总钱数就是9a2a分。 第二步：分解除数 ∵ 28 = 4 × 7，且4和7互质 ∴ 根据整除性质可知：4和7都能整除9a2a。 第三步：根据能被4整除的特征缩小范围 能被4整除的数，末两位数能被4整除。 末两位数是2a，即20 + a 20 + a能被4整除，且a是0~9的数字 因为20能被4整除，所以a也必须能被4整除 ∴ a可能是0、4、8 第四步：逐一验证能否被7整除 当a = 0时：总钱数是9020分 9020 ÷ 7 = 1288……4，不能被7整除 ❌ 当a = 4时：总钱数是9424分 9424 ÷ 7 = 1346……2，不能被7整除 ❌ 当a = 8时：总钱数是9828分 9828 ÷ 7 = 1404，能被7整除 ✅ 第五步：计算每支钢笔的价格 总钱数：9828分 = 98.28元 每支钢笔价格：98.28 ÷ 28 = 3.51（元） 答：每支钢笔3.51元。 【方法总结】 生活中的价格问题，先统一单位转化为整数，再用整除的方法求解。先用简单的整除特征（如4、5等）快速缩小范围，再用复杂的特征（如7、11等）验证，可以大大提高解题效率。 【随堂小练2】 小明买了36支铅笔，共花了□2.3□元。已知两个□处的数字相同，求每支铅笔多少元？ 【例3 能被11整除的数】★★★拔高 【题目】 已知整数1a2a3a4a5a能被11整除，求所有满足这个条件的整数。 【解题思路】 这道题要用能被11整除的数的特征：奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除。我们先分别算出奇数位和偶数位的数字和，再根据差能被11整除来求解。 【完整解析】 第一步：确定奇数位和偶数位的数字 数：1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 数位：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 奇数位（第1、3、5、7、9位）：1、2、3、4、5 奇数位数字和：1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 偶数位（第2、4、6、8、10位）：a、a、a、a、a 偶数位数字和：5a 第二步：根据能被11整除的特征列等式 能被11整除的数，奇数位数字和与偶数位数字和的差能被11整除。 即：11｜(15 - 5a) 或 11｜(5a - 15) 第三步：化简等式 15 - 5a = 5(3 - a) 5a - 15 = 5(a - 3) 又因为(5, 11) = 1（5和11互质），所以11｜(3 - a) 或 11｜(a - 3) 第四步：根据a的取值范围求解 ∵ a是数位上的数字 ∴ a只能取0~9 要使11能整除(3 - a)或(a - 3)，只有当3 - a = 0时才成立，即a = 3 （当a=0、1、2时，3-a=3、2、1，均不能被11整除；当a=4~9时，3-a为负数，更不可能被11整除。只有当a=3时，3-a=0，0能被11整除。） 第五步：验证并得出结论 当a = 3时，数是1323334353 奇数位和：1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 偶数位和：3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15 差：15 - 15 = 0，0能被11整除 ✅ 符合题意的整数只有1323334353。 【方法总结】 能被11整除的数的特征是"奇数位数字和减偶数位数字和能被11整除"，注意差可以是0、11、22……，但要结合数字的取值范围（0~9）来判断，通常只有0或11这几种可能。 【随堂小练3】 已知五位数a1234能被11整除，求a的值。 三、拓展例题 标注说明：★★★拔高 / ★★★★挑战 【拓展1 重复数整除问题】★★★★挑战 【题目】 把三位数3ab接连重复地写下去，共写1993个3ab，所得的数3ab3ab…3ab（1993个3ab）恰是91的倍数，试求ab = ？ 【解题思路】 这道题看起来很复杂，数特别大，但其实有技巧。91 = 7 × 13，而且我们知道：一个三位数连写两遍得到的六位数，一定能同时被7、11、13整除。利用这个性质，我们可以把很多组3ab去掉，最后只剩下一组3ab来判断。 【完整解析】 第一步：分解除数 ∵ 91 = 7 × 13，且(7, 13) = 1 ∴ 7能整除这个数，13也能整除这个数。 第二步：利用重复数的整除性质 我们知道：一个三位数连写两次得到的六位数abcabc = abc × 1000 + abc = abc × 1001 而1001 = 7 × 11 × 13，所以abcabc一定能同时被7、11、13整除。 也就是说，每两组3ab（即3ab3ab）就能被7和13整除。 第三步：简化问题 原数有1993组3ab，每两组可以去掉（因为它们能被7和13整除） 1993 ÷ 2 = 996……1 去掉996×2 = 1992组后，只剩下最后1组3ab。 根据整除的性质，原数能被7和13整除，当且仅当剩下的3ab能被7和13整除。 第四步：求解3ab 3ab是一个三位数，且能被91整除。 91的倍数中，小于1000且百位是3的有： 91 × 4 = 364 （91 × 3 = 273，百位是2，不对；91 × 4 = 364，百位是3，对；91 × 5 = 455，百位是4，不对） 所以3ab = 364，即a = 6，b = 4 第五步：验证 364 ÷ 7 = 52 ✅ 364 ÷ 13 = 28 ✅ 364能同时被7和13整除，所以能被91整除。 答：ab = 64。 【重要结论】 任意一个三位数连写两次得到的六位数abcabc，一定能同时被7、11、13整除，因为abcabc = abc × 1001，而1001 = 7 × 11 × 13。这个结论在解决重复数整除问题时非常有用！ 【随堂小练4】 把两位数ab接连重复写100次，得到一个200位数ababab…ab（100个ab）。如果这个数能被91整除，求ab = ？ 【拓展2 补数字使数最小】★★★拔高 【题目】 在865后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，且使这个数值尽可能的小。 【解题思路】 要使六位数尽可能小，那么补上的三个数字要尽可能小。我们先分别找出能被3、4、5整除的条件，然后综合起来，找到最小的解。 【完整解析】 第一步：设未知数 设补上数字后的六位数是865abc。 这个六位数能分别被3、4、5整除，需要满足三个条件。 第二步：分别分析三个整除条件 条件1：能被5整除 能被5整除的数，个位是0或5。 即c = 0 或 c = 5 条件2：能被4整除 能被4整除的数，末两位数能被4整除。 即10b + c能被4整除。 条件3：能被3整除 能被3整除的数，各位数字之和能被3整除。 数字和：8 + 6 + 5 + a + b + c = 19 + a + b + c 即19 + a + b + c能被3整除。 第三步：综合条件，优先确定c 要使数值尽可能小，我们先从个位开始考虑。 如果c = 5： 末两位是b5，即10b + 5，这是一个奇数，不可能被4整除（4的倍数都是偶数）。 所以c不能是5，只能是c = 0。 第四步：确定b c = 0，末两位是b0，即10b 10b能被4整除，即10b ÷ 4 = 2b……2b 所以2b能被4整除，即b能被2整除。 b可以是0、2、4、6、8 第五步：确定a c = 0 数字和：19 + a + b + 0 = 19 + a + b 19 + a + b要能被3整除 a + b = 2 时，19 + 2 = 21能被3整除 要使得这个六位数最小，百位数应该取得最小值，因此 a=0,b=2 第六步：验证并得出结论 组成的六位数是865020 验证： 865020 ÷ 3 = 288240 ✅ 865020 ÷ 4 = 216255 ✅ 865020 ÷ 5 = 173004 ✅ 而且这是最小的，因为a = 0是最小的可能，b = 2是最小的可能，c = 0是最小的可能。 答：这个六位数是865020。 【方法总结】 求最小数的问题，要从低位到高位依次确定每个数字，每个数位都取最小的可能值。先根据整除特征确定范围，再从最小的开始试算，找到第一个满足所有条件的就是答案。 【随堂小练5】 在123后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被2、3、5整除，且使这个数值尽可能的小。 【拓展3 能被72整除的五位数】★★★拔高 【题目】 五位数a679b能被72整除，求a + b的值。 【解题思路】 72 = 8 × 9，而且8和9互质。所以这个五位数要同时能被8和9整除。我们分别用能被8整除和能被9整除的特征来求解。 【完整解析】 第一步：分解除数 ∵ 72 = 8 × 9，且8和9互质 ∴ 8｜a679b，9｜a679b 第二步：根据能被8整除的特征确定b 能被8整除的数，末三位数能被8整除。 末三位数是79b，即790 + b 790 ÷ 8 = 98……6 所以6 + b能被8整除，b = 2（b = 10不行，b是个位数） 验证：792 ÷ 8 = 99 ✅ 第三步：根据能被9整除的特征确定a b = 2，各位数字和：a + 6 + 7 + 9 + 2 = a + 24 a + 24能被9整除，且a是1~9的数字（最高位不能为0） 24 ÷ 9 = 2……6，所以a + 6 = 9，a = 3 验证：3 + 24 = 27，27能被9整除 ✅ 第四步：计算a + b a = 3，b = 2 a + b = 3 + 2 = 5 第五步：整体验证 五位数是36792 36792 ÷ 72 = 511 ✅ 答：a + b = 5。 【方法总结】 这是一道典型的"分解法"应用题。遇到72、45、28等合数除数，先分解成两个互质的数，再分别用整除特征求解，最后综合得到答案。注意先用简单的特征（如8、4、5等）确定某个数位，再用复杂的特征（如9、11等）确定另一个数位。 【随堂小练6】 四位数x89y能被36整除，求x + y的所有可能值。 四、易错题专区 （避坑指南，这些错误你中招了吗？） 【易错题1 忽略最高位不能为0】 【题目】 已知45｜x1993y，求满足条件的六位数。 【错误解法】 当y = 5时，数字和 = x + 27，x + 27能被9整除，所以x = 0。 答案：019935 【错误分析】 019935实际上是五位数19935，不是六位数！最高位不能为0，这是最容易忽略的细节。 【正确解法】 当y = 5时，x = 9（x = 0时不是六位数，舍去） 正确答案：519930和919935 避坑提醒：几位数的最高位一定不能为0！在求首位数字时，一定要验证x≠0。 【易错题2 混淆能被4和8整除的特征】 【题目】 判断123452能否被8整除。 【错误解法】 末两位是52，52 ÷ 4 = 13，能被4整除，所以能被8整除。❌ 【错误分析】 这是典型的"张冠李戴"错误！能被4整除看末两位，能被8整除看末三位，两者不能混淆。能被8整除的数一定能被4整除，但能被4整除的数不一定能被8整除。 验证：123452 ÷ 8 = 15431.5，确实不能被8整除。 【正确解法】 能被8整除要看末三位：452 452 ÷ 8 = 56……4，不能被8整除。✅ 避坑提醒：能被4整除看末两位，能被8整除看末三位，不要搞混！能被8整除的数一定能被4整除，但能被4整除的数不一定能被8整除。 【易错题3 分解后忘记验证互质】 【题目】 判断4能否整除6。 【错误解法】 4 = 2 × 2，6能被2整除，所以能被4整除。❌ 【错误分析】 这是分解法最常见的错误！分解法的前提是：分解后的两个数必须互质（即它们的最大公约数是1）。 2和2不互质（最大公约数是2），所以不能用"同时能被这两个数整除就能被它们的积整除"这个性质。 验证：6 ÷ 4 = 1.5，确实不能被4整除。 【正确解法】 方法一：直接计算 6 ÷ 4 = 1……2，不能被4整除。✅ 方法二：用整除特征 能被4整除看末两位，6是一位数，6 ÷ 4 = 1……2，不能被4整除。✅ 避坑提醒：分解法的前提是分解后的两个数互质！如果两个数不互质，即使都能整除原数，它们的积也不一定能整除原数。 正确的分解示例：36 = 4 × 9（4和9互质），72 = 8 × 9（8和9互质），12 = 3 × 4（3和4互质）。 五、趣味挑战题 【趣味挑战】神奇的12345679 同学们，你们知道吗？有一个神奇的数叫"缺8数"——12345679，它有很多奇妙的性质！ 挑战一：计算12345679 × 9 = ？ 你发现了什么？ 挑战二：计算12345679 × 18 = ？ 再算一算12345679 × 27 = ？ 你找到规律了吗？ 挑战三：为什么会有这样的规律呢？ 提示：想一想9、18、27和9的关系，再想一想12345679和哪个数相乘会得到全是1的数？ 参考答案： 挑战一：12345679 × 9 = 111111111（9个1） 挑战二：12345679 × 18 = 222222222（9个2），12345679 × 27 = 333333333（9个3） 挑战三：因为12345679 × (9×n) = n×111111111 = nnnnnnnnn（9个n），结果就是9个n组成的数（如n=2时，9个2组成222222222）。 是不是很神奇？这就是数学的魅力！✨ 六、一题多解精选 【经典题】能被45整除的六位数 题目：已知45｜x1993y，求所有满足条件的六位数x1993y。 方法一：分解法（推荐） 45 = 5 × 9，分别用能被5和9整除的特征求解。 能被5整除 → y = 0或5 能被9整除 → 数字和能被9整除 当y = 0时，x + 22能被9整除 → x = 5 当y = 5时，x + 27能被9整除 → x = 9 答案：519930和919935 方法二：试算法 六位数x1993y，由于能被45整除的数一定能被5整除，所以y只能是0或5； x是1~9的数字，共9×2=18种可能。 逐一验证能否被9整除（或直接除以45），找到符合条件的。 答案：519930和919935 方法对比 方法 优点 缺点 分解法 计算量小，思路清晰 需要熟记整除特征 试算法 思路简单，容易想到 计算量大，容易出错 老师点评：分解法是解决整除问题的首选方法，既快又准。试算法虽然简单，但当数字范围大时效率很低。建议同学们熟练掌握分解法。 七、基本练习 （基础必做，建议15分钟完成） 第1题 ★基础 已知72｜x931y，求满足条件的五位数。 第2题 ★基础 已知五位数54x7y能被8和9整除，求x + y的值。 第3题 ★★提升 若五位数32x5y能同时被2、3、5整除，试求满足条件的所有这样的五位数。 第4题 ★★提升 将自然数1、2、3、4、5、6、7、8、9依次重复写下去组成一个1993位数，试问：这个数能否被3整除？ 第5题 ★★★拔高 一本陈年老账上记着：72只桶，共□67.9□元。这里□处字迹已不清。请把□处数字补上，并求桶的单价。 八、拓展练习 （拔高选做，学有余力的同学挑战） 第1题 ★★★拔高 证明：任意一个三位数连着写两次得到一个六位数，这个六位数一定能同时被7、11、13整除。 第2题 ★★★拔高 在568后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，且使这个数值尽可能的小。 第3题 ★★★★挑战 把三位数abc接连重复写下去，共写2023个abc，所得的数恰是91的倍数，求abc的最小值。 九、随堂小练答案 随堂小练1答案 【题目】已知36｜x234y，求满足条件的五位数。 【解析】 36 = 4 × 9，且4和9互质 ∴ 4｜x234y，9｜x234y 能被4整除 → 末两位4y能被4整除 40 + y能被4整除 → y能被4整除 → y = 0、4、8 能被9整除 → 数字和x + 2 + 3 + 4 + y = x + y + 9能被9整除 9本身能被9整除，所以x + y能被9整除 分情况讨论： y = 0时，x + 0能被9整除 → x = 9（x=0不是五位数）→ 数是92340 y = 4时，x + 4能被9整除 → x = 5 → 数是52344 y = 8时，x + 8能被9整除 → x = 1 → 数是12348 验证： 92340 ÷ 36 = 2565 ✅ 52344 ÷ 36 = 1454 ✅ 12348 ÷ 36 = 343 ✅ 【答案】满足条件的五位数有12348、52344、92340。 随堂小练2答案 【题目】小明买了36支铅笔，共花了□2.3□元。已知两个□处的数字相同，求每支铅笔多少元？ 【解析】 第一步：单位统一，转化为整数问题 □2.3□元 = □23□分（因为“分”是小数点后两位，所以□2.3□元去掉小数点后为□23□分） 设□处数字为a，总钱数是a23a分。 第二步：分解除数 36 = 4 × 9，且4和9互质 ∴ 4｜a23a，9｜a23a 第三步：根据能被4整除的特征缩小范围 能被4整除的数，末两位数能被4整除。 末两位是3a，即30 + a 30 ÷ 4 = 7……2，所以2 + a能被4整除 ∴ a = 2、6 第四步：根据能被9整除的特征确定a 能被9整除的数，各位数字之和能被9整除。 数字和：a + 2 + 3 + a = 2a + 5 分情况验证： 当a = 2时，2×2 + 5 = 9，9能被9整除 ✅ 当a = 6时，2×6 + 5 = 17，17不能被9整除 ❌ 第五步：计算每支铅笔的价格 ∴ a = 2，总钱数是22.32元 每支铅笔价格：22.32 ÷ 36 = 0.62（元） 验证：0.62 × 36 = 22.32 ✅ 【答案】每支铅笔0.62元。 随堂小练3答案 【题目】已知五位数a1234能被11整除，求a的值。 【解析】 第一步：确定奇数位和偶数位的数字 数：a 1 2 3 4 数位：1 2 3 4 5 奇数位（第1、3、5位）：a、2、4 奇数位数字和：a + 2 + 4 = a + 6 偶数位（第2、4位）：1、3 偶数位数字和：1 + 3 = 4 第二步：根据能被11整除的特征列等式 能被11整除的数，奇数位数字和与偶数位数字和的差能被11整除。 差：(a + 6) - 4 = a + 2 即：a + 2能被11整除 第三步：根据a的取值范围求解 ∵ a是五位数的最高位 ∴ a只能取1~9 a + 2能被11整除，可能的情况： a + 2 = 11 → a = 9 a + 2 = 0 → a + 2 = 0 不可能，因为a是1~9的数字，a+2至少为3（不符合，舍去） a + 2 = 22 → a = 20（不符合，舍去） 所以a = 9 第四步：验证 当a = 9时，数是91234 奇数位和：9 + 2 + 4 = 15 偶数位和：1 + 3 = 4 差：15 - 4 = 11，11能被11整除 ✅ 验证：91234 ÷ 11 = 8294 ✅ 【答案】a = 9，这个五位数是91234。 随堂小练4答案 【题目】把两位数ab接连重复写100次，得到一个200位数ababab…ab（100个ab）。如果这个数能被91整除，求ab = ？ 【解析】 第一步：分解除数 91 = 7 × 13，且7和13互质。 第二步：寻找重复数的整除规律 我们知道三位数连写两次得到的六位数abcabc = abc × 1001 = abc × 7 × 11 × 13，能被91整除。 那两位数连写几次能被91整除呢？ 我们来推导一下： ab（2位）：不一定能被91整除 abab（4位）：ab × 100 + ab = ab × 101，101不是91的倍数 ababab（6位）：ab × 10000 + ab × 100 + ab = ab × 10101 10101 ÷ 91 = 111，即10101 = 91 × 111 ✅ 所以两位数连写3次（6位）就能被91整除，因为ababab = ab × 10101 = ab × 91 × 111。 第三步：简化问题 每3组ab（即ababab）就能被91整除。 原数有100组ab，每3组可以去掉（因为去掉的每一组ababab在数中占据连续的6位，且该6位数能被91整除，去掉这些完整的循环块不影响整体整除性） 100 ÷ 3 = 33……1 去掉33×3 = 99组后，只剩下最后1组ab。 根据整除的性质，原数能被91整除，当且仅当剩下的ab能被91整除。 第四步：求解ab ab是两位数，且能被91整除。 91 × 1 = 91（两位数） 91 × 2 = 182（三位数，不符合） 所以ab = 91 第五步：验证 919191 ÷ 91 = 10101 ✅ 【答案】ab = 91。 随堂小练5答案 【题目】在123后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被2、3、5整除，且使这个数值尽可能的小。 【解析】 设补上的三个数字是abc，六位数是123abc。 能被2和5整除 → 个位c = 0 能被3整除 → 数字和1 + 2 + 3 + a + b + c = 6 + a + b能被3整除 6本身能被3整除，所以a + b能被3整除。 要使数值尽可能小，a要尽可能小，b也要尽可能小。 a最小是0，b最小是0 a + b = 0，能被3整除 ✅ 所以这个六位数是123000 验证： 123000 ÷ 2 = 61500 ✅ 123000 ÷ 3 = 41000 ✅ 123000 ÷ 5 = 24600 ✅ 【答案】这个六位数是123000。 随堂小练6答案 【题目】四位数x89y能被36整除，求x + y的所有可能值。 【解析】 36 = 4 × 9，且4和9互质 ∴ 4｜x89y，9｜x89y 能被4整除 → 末两位9y能被4整除 90 + y能被4整除，90 ÷ 4 = 22……2 所以2 + y能被4整除 → y = 2、6 能被9整除 → 数字和x + 8 + 9 + y = x + y + 17能被9整除 17 ÷ 9 = 1……8，所以x + y + 8 = 9 或 x + y + 8 = 18 即x + y = 1 或 x + y = 10 分情况讨论： 情况一：y = 2 x + 2 = 1 → x + 2 = 1 不可能，因为x是1~9的数字，x+2至少为3 x + 2 = 10 → x = 8 ✅ 数是8892，验证：8892 ÷ 36 = 247 ✅ 情况二：y = 6 x + 6 = 1 → x + 6 = 1 不可能，因为x是1~9的数字，x+6至少为7 x + 6 = 10 → x = 4 ✅ 数是4896，验证：4896 ÷ 36 = 136 ✅ 所以x + y的可能值是10（8+2=10，4+6=10，都是10） 【答案】x + y = 10。 （对应的四位数是4896和8892） 十、基本练习答案 第1题答案 【题目】已知72｜x931y，求满足条件的五位数。 【解析】 第一步：分解除数 72 = 8 × 9，且8和9互质 ∴ 8｜x931y，9｜x931y 第二步：根据能被8整除的特征确定y 能被8整除的数，末三位数能被8整除。 末三位数是31y，即310 + y 310 ÷ 8 = 38……6 所以6 + y能被8整除，y = 2（y = 10不行，y是个位数） 第三步：根据能被9整除的特征确定x y = 2，各位数字和：x + 9 + 3 + 1 + 2 = x + 15 x + 15能被9整除，且x是1~9的数字 15 ÷ 9 = 1……6，所以x + 6 = 9，x = 3 验证：3 + 15 = 18，18能被9整除 ✅ 第四步：整体验证 五位数是39312 39312 ÷ 72 = 546 ✅ 【答案】满足条件的五位数是39312。 第2题答案 【题目】已知五位数54x7y能被8和9整除，求x + y的值。 【解析】 第一步：根据能被8整除的特征缩小范围 能被8整除的数，末三位数能被8整除。 末三位数是x7y，即100x + 70 + y 能被9整除的数，各位数字之和能被9整除。 各位数字和：5 + 4 + x + 7 + y = 16 + x + y 16 + x + y能被9整除 16 ÷ 9 = 1……7，所以x + y + 7 = 9 或 x + y + 7 = 18 即x + y = 2 或 x + y = 11 第二步：逐一验证能否被8整除 情况一：x + y = 2 x和y都是0~9的数字，可能的组合： x = 0，y = 2 → 数是54072，末三位072 = 72，72 ÷ 8 = 9，能被8整除 ✅ x = 1，y = 1 → 末三位171，171 ÷ 8 = 21……3，不能被8整除 ❌ x = 2，y = 0 → 末三位270，270 ÷ 8 = 33……6，不能被8整除 ❌ 情况二：x + y = 11 可能的组合： x = 2，y = 9 → 末三位279，279 ÷ 8 = 34……7，不能被8整除 ❌ x = 3，y = 8 → 末三位378，378 ÷ 8 = 47……2，不能被8整除 ❌ x = 4，y = 7 → 末三位477，477 ÷ 8 = 59……5，不能被8整除 ❌ x = 5，y = 6 → 末三位576，576 ÷ 8 = 72，能被8整除 ✅ x = 6，y = 5 → 末三位675，675 ÷ 8 = 84……3，不能被8整除 ❌ x = 7，y = 4 → 末三位774，774 ÷ 8 = 96……6，不能被8整除 ❌ x = 8，y = 3 → 末三位873，873 ÷ 8 = 109……1，不能被8整除 ❌ x = 9，y = 2 → 末三位972，972 ÷ 8 = 121……4，不能被8整除 ❌ 第三步：得出结论 有两个解：54072（x=0,y=2,x+y=2）和54576（x=5,y=6,x+y=11） 验证： 54072 ÷ 8 = 6759 ✅，54072 ÷ 9 = 6008 ✅ 54576 ÷ 8 = 6822 ✅，54576 ÷ 9 = 6064 ✅ 【答案】x + y = 2 或 x + y = 11。 （对应的五位数是54072或54576） 第3题答案 【题目】若五位数32x5y能同时被2、3、5整除，试求满足条件的所有这样的五位数。 【解析】 第一步：根据能被2和5整除的特征确定y 能被2整除的数，个位是偶数；能被5整除的数，个位是0或5。 同时能被2和5整除的数，个位只能是0。 ∴ y = 0 第二步：根据能被3整除的特征确定x y = 0，各位数字和：3 + 2 + x + 5 + 0 = 10 + x 10 + x能被3整除，且x是0~9的数字 10 ÷ 3 = 3……1，所以x + 1 = 3、6、9 即x = 2、5、8 第三步：验证并得出结论 当x = 2时，数是32250 32250 ÷ 2 = 16125 ✅ 32250 ÷ 3 = 10750 ✅ 32250 ÷ 5 = 6450 ✅ 当x = 5时，数是32550 32550 ÷ 2 = 16275 ✅ 32550 ÷ 3 = 10850 ✅ 32550 ÷ 5 = 6510 ✅ 当x = 8时，数是32850 32850 ÷ 2 = 16425 ✅ 32850 ÷ 3 = 10950 ✅ 32850 ÷ 5 = 6570 ✅ 【答案】满足条件的五位数有32250、32550、32850。 第4题答案 【题目】将自然数1、2、3、4、5、6、7、8、9依次重复写下去组成一个1993位数，试问：这个数能否被3整除？ 【解析】 第一步：分析数字的规律 1~9依次重复，每9个数字为一组。 每组的数字和：1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45 45能被3整除（45 ÷ 3 = 15），所以每一组都能被3整除。 第二步：计算1993位数有多少组 1993 ÷ 9 = 221（组）……4（个） 即有221组完整的1~9，还剩下最后4个数字：1、2、3、4 第三步：判断能否被3整除 221组都能被3整除，所以前221组组成的数能被3整除。 剩下的4个数字的和：1 + 2 + 3 + 4 = 10 10不能被3整除（10 ÷ 3 = 3……1） 根据整除的性质：如果a能被3整除，b不能被3整除，那么a + b也不能被3整除。 所以这个1993位数不能被3整除。 第四步：另一种验证方法（数字和法） 所有数字的和：221 × 45 + 10 = 9945 + 10 = 9955 9955的数字和：9 + 9 + 5 + 5 = 28 28不能被3整除，所以原数不能被3整除。✅ 【答案】这个数不能被3整除。 第5题答案 【题目】一本陈年老账上记着：72只桶，共□67.9□元。这里□处字迹已不清。请把□处数字补上，并求桶的单价。 【解析】 第一步：单位统一，转化为整数问题 □67.9□元 = □679□分 设百位上的数字为a，个位上的数字为b，那么总钱数就是a679b分。 第二步：分解除数 72 = 8 × 9，且8和9互质 ∴ 8｜a679b，9｜a679b 第三步：根据能被8整除的特征确定b 能被8整除的数，末三位数能被8整除。 末三位数是79b，即790 + b 790 ÷ 8 = 98……6 所以6 + b能被8整除，b = 2（b = 10不行，b是个位数） 验证：792 ÷ 8 = 99 ✅ 第四步：根据能被9整除的特征确定a b = 2，各位数字和：a + 6 + 7 + 9 + 2 = a + 24 a + 24能被9整除，且a是1~9的数字 24 ÷ 9 = 2……6，所以a + 6 = 9，a = 3 验证：3 + 24 = 27，27能被9整除 ✅ 第五步：计算桶的单价 总钱数：367.92元 桶的单价：367.92 ÷ 72 = 5.11（元） 验证：5.11 × 72 = 367.92 ✅ 【答案】总钱数是367.92元，桶的单价是5.11元。 十一、拓展练习答案 第1题答案 【题目】证明：任意一个三位数连着写两次得到一个六位数，这个六位数一定能同时被7、11、13整除。 【证明】 第一步：设这个三位数为abc （其中a是1~9的数字，b、c是0~9的数字） 这个三位数的数值是：100a + 10b + c 第二步：写出连写两次后的六位数 三位数abc连写两次得到六位数abcabc 这个六位数的数值是： abcabc = abc × 1000 + abc （前三位abc在万级，相当于乘以1000，后三位abc在个级） 第三步：因式分解 abcabc = abc × 1000 + abc = abc × (1000 + 1) = abc × 1001 第四步：分解1001 1001 = 7 × 11 × 13 （这是一个非常重要的分解式，要记住！） 第五步：得出结论 所以abcabc = abc × 7 × 11 × 13 这说明abcabc含有因数7、11、13，因此它一定能同时被7、11、13整除。 同理，任意一个三位数连写两次得到的六位数，都等于这个三位数乘以1001，而1001 = 7 × 11 × 13，所以都能同时被7、11、13整除。 证毕。✅ 【重要结论】 1001 = 7 × 11 × 13，这个分解式非常重要，在解决整除问题时经常用到。 类似地，111 = 3 × 37，10001 = 73 × 137，这些特殊的分解式也可以记一下，对解题很有帮助。 第2题答案 【题目】在568后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，且使这个数值尽可能的小。 【解析】 设补上的三个数字是abc，六位数是568abc。 能被5整除 → c = 0 或 c = 5 能被4整除 → 末两位bc能被4整除 如果c = 5，末两位是b5，是奇数，不能被4整除（4的倍数都是偶数） 所以c = 0 c = 0，末两位是b0，即10b 10b能被4整除 → 2b能被4整除 → b能被2整除 b可以是0、2、4、6、8 能被3整除 → 数字和5 + 6 + 8 + a + b + c = 19 + a + b + c能被3整除 要使数值尽可能小，百位的a要最小 c = 0，数字和 = 19 + a + b 19 + a+b能被3整除,只要a+b=2 所以a = 0，b = 2 所以这个六位数是568020 验证： 568020 ÷ 3 = 189240 ✅ 568020 ÷ 4 = 142005 ✅ 568020 ÷ 5 = 113604 ✅ 【答案】这个六位数是568020。 第3题答案 【题目】把三位数abc接连重复写下去，共写2023个abc，所得的数恰是91的倍数，求abc的最小值。 【解析】 91 = 7 × 13 我们知道：一个三位数连写两次得到的六位数abcabc = abc × 1001 = abc × 7 × 11 × 13 所以每两组abc就能被7和13整除，即能被91整除。 原数有2023组abc，每两组可以去掉（因为去掉的每一组abcabc在数中占据连续的6位，且该6位数能被91整除，去掉这些完整循环块不影响整体整除性） 2023 ÷ 2 = 1011……1 去掉1011×2 = 2022组后，只剩下最后1组abc。 所以abc要能被91整除。 求abc的最小值，即求最小的三位数，且能被91整除。 91 × 1 = 91（两位数，不行） 91 × 2 = 182（三位数） 验证：182 ÷ 7 = 26 ✅，182 ÷ 13 = 14 ✅ 182能被91整除。 所以abc的最小值是182。 【答案】abc的最小值是182。 十二、本讲总结 📚 思维导图速记 📋 核心公式速查表 类型 核心要点 分解法 复杂除数 → 分解为两个互质的数 → 分别用整除特征判断 能被2、5整除 看个位：2→0,2,4,6,8；5→0,5 能被3、9整除 看数字和：各位数字相加能被3或9整除 能被4、25整除 看末两位：末两位数能被4或25整除 能被8、125整除 看末三位：末三位数能被8或125整除 能被11整除 奇偶位差：奇数位和 - 偶数位和 能被11整除 能被7、11、13整除 末三位差：一个数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（大数减小数）能被7、11、13整除 重要分解式 1001 = 7 × 11 × 13；91 = 7 × 13；36 = 4 × 9；72 = 8 × 9 ⚠️ 避坑清单 1. 最高位不能为0：几位数的首位一定不能是0！ 2. 4和8不要搞混：能被4整除看末两位，能被8整除看末三位。 3. 分解要互质：用分解法时，分解后的两个数必须互质，否则结论不一定成立。 4. 奇偶位不要数反：能被11整除的特征，从左往右数第1位、第2位……不要搞反了。 5. 差可以是0：能被11整除的差可以是0，不要忘了这种情况！ 6. 单位要统一：价格问题先统一成分，变成整数再计算。 7. 答案要验证：做完题一定要把答案代回去验证一下，确保正确。 🎵 解题小口诀 【整除问题歌】 遇到整除不用慌，先把除数分解光； 互质因数分别判，综合起来得答案。 2和5，看个位，0、2、4、6、8和0、5； 3和9，看和数，数字相加不含糊。 4和25，末两位，8和125末三位； 11的特征最奇妙，奇偶位差要记牢。 7、11、13一家亲，末三位差分得清； 1001是好朋友，分解质因数显身手。 最高位，不为0，这个细节要留心； 做完题，验一验，保证正确不丢分。 恭喜你完成了本讲的学习！你真棒！🎉 学科网（北京）股份有限公司 $