第9讲 找规律与代数式表达 专题讲义-人教版数学五年级上册奥数培优

第9讲 找规律与代数式表达 专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 知识讲解 1. 核心概念 找规律：观察已知的数、图形、表格，发现数量之间不变的关系（差、倍、和的规律），并能推广到任意项。 代数式表达：用字母（通常表示 “第个”“第项”）代替具体的数，把规律写成含有的式子，可直接计算任意一项的数值，无需逐个列举。 2. 三大常见规律类型 （1）数列规律 按一定顺序排列的数，核心是找到相邻数的变化关系： 等差数列：相邻两个数的差相等，这个差叫公差。 通用公式：第项 = 首项 + 公差 例：数列，首项 2，公差 3，第项 倍数规律：后一个数是前一个数的固定倍数。 例：数列，第项 二级等差：相邻两个数的差构成等差数列。 例：数列，相邻差为 （2）图形规律 通过图形的数量变化找规律，是小升初高频考点： 小棒摆图形：每增加 1 个基本图形，小棒增加固定数量，本质是等差数列。 点阵 / 方块计数：每层、每边的数量有规律，总数量可用平方、等差表示。 周期图形：图形按固定周期重复排列，结合周期问题用代数式表示。 （3）表格 / 月历规律 月历中：横着相邻数差 1，竖着相邻数差 7（一周 7 天）。 表格中：行、列的变化有固定差或固定倍数，用字母表示中间数后，可表示出周围所有数。 3. 找规律的通用解题步骤 ① 观察：列出前 3-4 项的数或图形数量，计算相邻的差、和、倍关系； ② 猜想：根据变化规律，写出第 5、第 6 项的结果，验证规律是否成立； ③ 表达：用含有的代数式，写出第项的通用表达式； ④ 检验：代入，看是否和已知条件一致，确保规律正确。 4. 易错提醒 代数式最终要化成最简形式，比如要化简为； 图形规律要注意 “第一个图形” 的基础数量，不要把公差当成首项； 月历规律中，上下差 7、左右差 1，不要记反。 例题讲解 【典型例题 1】等差数列规律与代数式表示 有一列数： （1）第 10 个数是多少？ （2）第个数是多少？（用含的代数式表示） 【跟踪训练 1】 有一列数： （1）第个数是多少？（用含的代数式表示） （2）第 20 个数是多少？ 【典型例题 2】小棒摆图形规律 用小棒摆正方形：摆 1 个正方形需要 4 根小棒，摆 2 个正方形需要 7 根小棒，摆 3 个正方形需要 10 根小棒…… （1）摆 10 个正方形需要多少根小棒？ （2）摆个正方形需要多少根小棒？（用含的代数式表示） 【跟踪训练 2】 用小棒摆三角形：摆 1 个三角形需要 3 根小棒，摆 2 个三角形需要 5 根小棒，摆 3 个三角形需要 7 根小棒…… （1）摆个三角形需要多少根小棒？ （2）摆 15 个三角形需要多少根小棒？ 巩固练习 1．小乐用吸管和图钉做三角形图案。（如图，点表示图钉，线段表示吸管） (1)照这样做40个三角形要用( )根吸管。 (2)如果吸管根数用字母a表示、图钉数量用字母b表示，那么它们之间的数量关系是( )。 2．观察图1至图3，按照这样的规律排列，图5应该由( )个“●”组成，图由( )个“●”组成。 3．如图，按这样的规律排列下去，第4幅图中有( )个白色六边形；第( )幅图中有30个白色六边形。 4．如图，一组排列有规律的图形，第六个图有( )个圆圈，第n个图有( ) 个圆圈。 5．阅览室摆放了一些长桌用于阅读课外书（如下图），每张长桌单独摆放时，最多可容纳6人同时阅读，并排摆放两张长桌时，最多可容纳10人同时阅读…… (1)按照这种摆法，完成下表。 摆放张数 1 2 3 4 … 容纳人数 6 10 （    ） （    ） … (2)若按这种摆法，摆放n张长桌，最多可容纳( )人。 (3)若按这种摆法，若有50人同时看书，至少需要摆放( )张长桌。 6．如下图，摆一个正方形用4根小棒，增加一个正方形多用3根小棒……填写下表。 增加正方形的个数 1 2 3 一共要用的小棒根数 7 （    ） （    ） 如果用a表示增加正方形的个数，那么一共要用的小棒根数是（    ）。 7．加法算式1＋2，2＋5，3＋8，1＋11，2＋14，3＋17，…是按一定规律排列的，则第40个加法算式是( )。 8．观察下列一组图形： ……它们是按照一定规律排列的，依照此规律，第n个图形中共有___________个星星。 9．用火柴按如图所示的方式摆图形，按照这样的规律继续摆下去，第n个图形需要( )根火柴棒（用含n的代数式表示）。 10．按照下图的规律用●摆图案。照这样摆下去，第5个图中有( )个●，第n个图中有( )个●。 11．探究规律。 (1)照此规律，从左往右第n个图案中所贴剪纸“●”的个数是( )；当剪纸“●”的个数是101时是第( )个图案。 (2)如果用另一种数学眼光来看这个图形，第2026个图案中共有( )个正方形。 12．如下图，用“十字形”分割正方形，分割一次，分割成4个正方形，分割两次，分割成7个正方形（不计组合成的正方形），分割三次，分割成10个正方形。如果连续用“十字形”分割5次，分割成( )个正方形，若连续分割n次，则会分割成( )个正方形。 真题训练 13．“化繁为简、由易到难”是我们研究问题的基本思考方法。聪聪向一道思考题发起了挑战：n条直线两两相交，最多有几个交点？聪聪决定从研究最简单的开始研究： (1)数一数，填一填。 直线的条数 2 3 4 5 交点的个数 1 3 6 (2)推一推：当n（n为整数，且n≥2）条直线两两相交时，最多有( )个交点。（用含有n的式子表示） 14．用小圆片按照如图所示的规律摆图形，第4幅图用了( )个圆片，第6幅图用了( )个圆片。 15．拼桌就餐（图中一个“·”表示一个人），找规律填表。 桌子数（张） 1 2 3 … n 坐的人数（人） 4 6 8 … （    ） 16．按下图的规律，第5个图形中涂色正方形有( )个，第n个图形中空白正方形有( )个。 17．如图用用小棒搭房子，搭3间用13根小棒，照这样搭20间要( )根小棒，搭n间房要( )根小棒（用含有n的式子表示）。 18．用小棒按照下图方式摆八边形。摆10个八边形需要( )根小棒，2024根小棒可以摆( )个八边形。 19．按照下面的排列规律，图中有1个正方形时有4个点，图中有2个正方形时有7个点……图中有6个正方形时有( )个点，n个正方形时有( )个点。 20．寻找规律解决问题是数学中常用的解题策略。如图是将一些正方形按规律排列，可以看出第1个图形共有3个小正方形，第2个图形中共有5个小正方形，第3个图形中共有7个小正方形⋯⋯，第10个图形中共有( )小正方形，第n个图形中共有( )个小正方形。 21．如图，每个图形都是由相同的小三角形组成，第1个图形由1个小三角形组成，第2个图形由4个小三角形组成，第3个图形由9个小三角形组成……依此规律，第4个图形由( )个小三角形组成，第10个图形由( )个小三角形组成，第n个图形由( )个小三角形组成。 22．观察下列长方形叠放的规律，用含有字母的式子表示各个图形的周长。 2x＋2y       （    ）   （    ）   （    ） 按照这样的方法叠放，第20个图形的周长是多少？ 23．手工社团要进行制作活动，为了便于协作，大家将桌子按如图所示拼在一起。 (1)2张桌子拼在一起可坐多少人？4张桌子呢？n张桌子呢？（n为非0自然数） (2)有40张这样的长方形桌子，按照上图方式每5张拼成1张大桌子，则40张桌子可拼成8张大桌子，共可坐多少人？ 24． (1)上图中，摆1个五边形需要( )根相同的小棒，摆2个需要( )根相同的小棒，摆3个需要( )根相同的小棒。 (2)照这样摆下去： ①摆80个五边形需要多少根相同的小棒？ ②265根相同的小棒可以摆多少个五边形？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第9讲 找规律与代数式表达 专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 知识讲解 1. 核心概念 找规律：观察已知的数、图形、表格，发现数量之间不变的关系（差、倍、和的规律），并能推广到任意项。 代数式表达：用字母（通常表示 “第个”“第项”）代替具体的数，把规律写成含有的式子，可直接计算任意一项的数值，无需逐个列举。 2. 三大常见规律类型 （1）数列规律 按一定顺序排列的数，核心是找到相邻数的变化关系： 等差数列：相邻两个数的差相等，这个差叫公差。 通用公式：第项 = 首项 + 公差 例：数列，首项 2，公差 3，第项 倍数规律：后一个数是前一个数的固定倍数。 例：数列，第项 二级等差：相邻两个数的差构成等差数列。 例：数列，相邻差为 （2）图形规律 通过图形的数量变化找规律，是小升初高频考点： 小棒摆图形：每增加 1 个基本图形，小棒增加固定数量，本质是等差数列。 点阵 / 方块计数：每层、每边的数量有规律，总数量可用平方、等差表示。 周期图形：图形按固定周期重复排列，结合周期问题用代数式表示。 （3）表格 / 月历规律 月历中：横着相邻数差 1，竖着相邻数差 7（一周 7 天）。 表格中：行、列的变化有固定差或固定倍数，用字母表示中间数后，可表示出周围所有数。 3. 找规律的通用解题步骤 ① 观察：列出前 3-4 项的数或图形数量，计算相邻的差、和、倍关系； ② 猜想：根据变化规律，写出第 5、第 6 项的结果，验证规律是否成立； ③ 表达：用含有的代数式，写出第项的通用表达式； ④ 检验：代入，看是否和已知条件一致，确保规律正确。 4. 易错提醒 代数式最终要化成最简形式，比如要化简为； 图形规律要注意 “第一个图形” 的基础数量，不要把公差当成首项； 月历规律中，上下差 7、左右差 1，不要记反。 例题讲解 【典型例题 1】等差数列规律与代数式表示 有一列数： （1）第 10 个数是多少？ （2）第个数是多少？（用含的代数式表示） 【分析】这是典型的等差数列，先计算相邻数的差，确定公差；再根据 “第项 = 首项 +(n-1)× 公差” 写出代数式，最后代入计算第 10 个数。 【详解】 先算公差：，，，公差是 3。 第个数： 第 10 个数，代入： 【答案】（1）；（2） 【跟踪训练 1】 有一列数： （1）第个数是多少？（用含的代数式表示） （2）第 20 个数是多少？ 【分析】先求公差，再推导第项的代数式，最后代入计算。 【详解】 公差： 第个数： 第 20 个数： 【答案】（1）；（2） 【典型例题 2】小棒摆图形规律 用小棒摆正方形：摆 1 个正方形需要 4 根小棒，摆 2 个正方形需要 7 根小棒，摆 3 个正方形需要 10 根小棒…… （1）摆 10 个正方形需要多少根小棒？ （2）摆个正方形需要多少根小棒？（用含的代数式表示） 【分析】每多摆 1 个正方形，就增加 3 根小棒（相邻正方形共用 1 根小棒）。首项是 4，公差是 3，本质是等差数列，推导第项的代数式即可。 【详解】 摆 1 个： 摆 2 个： 摆 3 个： 规律：每增加 1 个正方形，增加 3 根小棒。 摆个正方形需要：根 摆 10 个： （根） 【答案】（1）根；（2）根 【跟踪训练 2】 用小棒摆三角形：摆 1 个三角形需要 3 根小棒，摆 2 个三角形需要 5 根小棒，摆 3 个三角形需要 7 根小棒…… （1）摆个三角形需要多少根小棒？ （2）摆 15 个三角形需要多少根小棒？ 【分析】每多摆 1 个三角形增加 2 根小棒，首项 3，公差 2，推导第项。 【详解】 摆 1 个： 摆 2 个： 摆 3 个： 摆个需要：根 摆 15 个： （根） 【答案】（1）根；（2）根 巩固练习 1．小乐用吸管和图钉做三角形图案。（如图，点表示图钉，线段表示吸管） (1)照这样做40个三角形要用( )根吸管。 (2)如果吸管根数用字母a表示、图钉数量用字母b表示，那么它们之间的数量关系是( )。 【答案】(1)81 (2)a＝2b－3 【分析】（1）观察图形，三角形个数分别是1、2、3、4、……，吸管的根数分别是3、5、7、9、……，图钉的数量分别是3、4、5、6、……；据此探索规律。 【详解】（1）一个三角形需要3根吸管：2＋1 两个三角形需要5根吸管：2×2＋1 三个三角形需要7根吸管：3×2＋1 四个三角形需要9根吸管：4×2＋1 所以n个三角形需要吸管的数量：2n＋1 40×2＋1 ＝80＋1 ＝81（根） 照这样做40个三角形要用81根吸管。 （2）一个三角形需要3颗图钉，3根吸管：2×3－3 两个三角形需要4颗图钉，5根吸管：2×4－3 三个三角形需要5颗图钉，7根吸管：2×5－3 四个三角形需要6颗图钉，9根吸管：2×6－3 所以吸管的根数＝图钉的数量×2－3，如果吸管根数用字母a表示、图钉数量用字母b表示，那么它们之间的数量关系是a＝2b－3。 2．观察图1至图3，按照这样的规律排列，图5应该由( )个“●”组成，图由( )个“●”组成。 【答案】 20 【分析】由图知，图1由4个“●”组成，即1×4＝4； 图2由8个“●”组成，即2×4＝8； 图3由12个“●”组成，即3×4＝12； …… 则图n由4n个“●”组成。 据此代入n＝5，计算出图5中有“●”的数量。 【详解】由分析知规律：图n由4n个“●”组成。 当n＝5时，“●”的数量为： 4×5＝20（个） 因此，图5应该由20个“●”组成，图由个“●”组成。 3．如图，按这样的规律排列下去，第4幅图中有( )个白色六边形；第( )幅图中有30个白色六边形。 【答案】 18 7 【分析】观察图形发现，第一个图案有白色瓷砖6块，后边每多一个图案，则多4块白色瓷砖，根据这个规律，可确定第幅图中有白色瓷砖：块，求第4幅图中的白色瓷砖块数，把中的替换成4进行计算，用30减去2的差除以4可算得第几幅中有30个白色六边形。 【详解】第1个图案有白色瓷砖6块，是 第2个图案有白色瓷砖10块，是 第3个图案有白色瓷砖14块，是 ……              …… 总结规律，第个图案有白色瓷砖块是块 第4幅图中白色瓷砖块数，把4代入计算：    所以第4幅图中有18个白色六边形。 第几幅图中有30个白色六边形 所以第7幅图中有30个白色六边形。 4．如图，一组排列有规律的图形，第六个图有( )个圆圈，第n个图有( ) 个圆圈。 【答案】 49 （n＋1）² 【分析】图一圆圈的数量是：2×2＝4（个），即； 图二圆圈的数量是：3×3＝9（个），即； 图三圆圈的数量是：4×4＝16（个），即； …… 每个图形的圆圈数量等于图形序号加1的平方。 【详解】＝7×7＝49，第六个图形有49个圆圈。 如果用n表示图形的序号，那么第n个图形中圆圈的数量就是（n＋1）²。 5．阅览室摆放了一些长桌用于阅读课外书（如下图），每张长桌单独摆放时，最多可容纳6人同时阅读，并排摆放两张长桌时，最多可容纳10人同时阅读…… (1)按照这种摆法，完成下表。 摆放张数 1 2 3 4 … 容纳人数 6 10 （    ） （    ） … (2)若按这种摆法，摆放n张长桌，最多可容纳( )人。 (3)若按这种摆法，若有50人同时看书，至少需要摆放( )张长桌。 【答案】(1)14；18 (2)4n＋2 (3)12 【分析】（1）由题意可得，摆1张长桌时，最多可容纳6人同时阅读。摆2张长桌时，最多可容纳10人同时阅读。摆3张长桌时，最多可容纳14人同时阅读。摆4张长桌时，最多可容纳18人同时阅读。每增加一张桌子，可以容纳的人数加4。 （2）（3）由图可知，不管摆几张长桌，里面都有的部分为。摆一张桌子就有1个，摆二张桌子就有2个，摆三张桌子就有3个……摆n张桌子就有n个，再加上桌子两头的两个人，一共是n×4＋2＝（4n＋2）个人。用50减去2，算出结果再除以4即可。 【详解】（1）10＋4＝14，14＋4＝18，表格如下： 摆放张数 1 2 3 4 … 容纳人数 6 10 14 18 … （2）若按这种摆法，摆放n张长桌，最多可容纳4n＋2人。 （3）50－2＝48（人） 48÷4＝12（张） 若按这种摆法，若有50人同时看书，至少需要摆放12张长桌。 6．如下图，摆一个正方形用4根小棒，增加一个正方形多用3根小棒……填写下表。 增加正方形的个数 1 2 3 一共要用的小棒根数 7 （    ） （    ） 如果用a表示增加正方形的个数，那么一共要用的小棒根数是（    ）。 【答案】10；13；（4＋3a） 【分析】根据题意，摆一个正方形用4根小棒；增加1个正方形，用7根小棒，即（4＋3）根；增加2个正方形，用10根小棒，即（4＋3×2）根……，由此可知，增加a个正方形，用（4＋3×a）根小棒，据此解答。 【详解】由分析可知，增加2个正方形，用10根小棒，即（4＋3×2）根， 增加a个正方形：4＋3×a＝（4＋3a）根 增加3个正方形时，代入数值为（4＋3×3）根。 4＋3×3 ＝4＋9 ＝13（根） 因此填表如下： 增加正方形的个数 1 2 3 一共要用的小棒根数 7 10 13 如果用a表示增加正方形的个数，那么一共要用的小棒根数是（4＋3a）。 7．加法算式1＋2，2＋5，3＋8，1＋11，2＋14，3＋17，…是按一定规律排列的，则第40个加法算式是( )。 【答案】 【分析】观察给出的加法算式序列，可以将每个算式的第一个加数和第二个加数分别看作两组有规律的数列。第一个加数按的顺序循环排列；第二个加数是从开始，依次增加的数列。要求第个加法算式，需分别求出第个算式的第一个加数和第二个加数。 【详解】 商是，余数是，说明第个算式的第一个加数是第个周期的第个数，即。 第个算式第二个加数： 第个算式第二个加数： 第个算式第二个加数： …… 第个算式第二个加数： 所以，第个算式的第二个加数是： 所以第个加法算式是。 8．观察下列一组图形： ……它们是按照一定规律排列的，依照此规律，第n个图形中共有___________个星星。 【答案】（3n＋1）/（1＋3n） 【分析】先分析前4个图形的星星数量，得到对应项的数值，判断数量的变化规律，推导第n项的表达式；代入n＝1、2、3验证表达式是否符合前几个图形的数量。 【详解】第一个图形星星的个数是：（个） 第二个图形星星的个数是：（个） 第三个图形星星的个数是：（个） 第四个图形星星的个数是：（个） …… 第个图形星星的个数是：（或：）个。 当时星星个数是：（个） 当时星星个数是：（个） 当时星星个数是：（个），所以第个图形共有或：（）个。 9．用火柴按如图所示的方式摆图形，按照这样的规律继续摆下去，第n个图形需要( )根火柴棒（用含n的代数式表示）。 【答案】 【分析】由图可知：图形标号（1）的火柴棒根数为6； 图形标号（2）的火柴棒根数为11； 图形标号（3）的火柴棒根数为16； 由该搭建方式可得出规律：图形标号每增加1，火柴棒的个数增加5， 所以可以得出规律：搭第4个图形需要火柴根数为21，搭第n个图形需要火柴根数为：。 【详解】由分析可知，第n个图形需要根火柴棒。 10．按照下图的规律用●摆图案。照这样摆下去，第5个图中有( )个●，第n个图中有( )个●。 【答案】 16 3n＋1 【分析】摆1个图需要4个●，摆2个图需要7个●，摆3个图需要10个●，由此可知，多摆一个图形就比前一个图形多3个●。 摆图①有4个●，可以写成：3×1＋1； 摆图②有7个●，可以写成：3×2＋1； 摆图③有10个●，可以写成：3×3＋1； …… 摆图n有（3n＋1）个●，当n＝5时，求出●的个数。 【详解】根据分析可知，摆图n有（3n＋1）个●。 当n＝5时： 3×5＋1 ＝15＋1 ＝16（个） 11．探究规律。 (1)照此规律，从左往右第n个图案中所贴剪纸“●”的个数是( )；当剪纸“●”的个数是101时是第( )个图案。 (2)如果用另一种数学眼光来看这个图形，第2026个图案中共有( )个正方形。 【答案】(1) / 33 (2)6080 【分析】（1）通过观察可得，第一幅图有5个●，第二幅图有8个●，第三幅图有11个●；对比三个图可以发现，相邻两幅图的差为3个，即第一幅图为：，第二幅图为：，第三幅图为：，由此可得第幅图为：； 求剪纸“●”的个数是101是第几个图案，代入可得，解方程即可； （2）通过观察可得，第一幅图有5个正方形，第二幅图有8个正方形，第三幅图有11个正方形；对比三个图可以发现，相邻两幅图的差为3个，即第一幅图为：，第二幅图为：，第三幅图为：，由此可得第幅图为：； 把，代入可得，可得正方形的个数。 【详解】（1）通过分析可知，第幅图为：； 即从左往右第n个图案中所贴剪纸“●”的个数是；当剪纸“●”的个数是101时是第33个图案； （2）当， 即第2026个图案中共有6080个正方形。 12．如下图，用“十字形”分割正方形，分割一次，分割成4个正方形，分割两次，分割成7个正方形（不计组合成的正方形），分割三次，分割成10个正方形。如果连续用“十字形”分割5次，分割成( )个正方形，若连续分割n次，则会分割成( )个正方形。 【答案】 16 3n＋1 【分析】由题可知，分割1次，得到4个正方形，分割2次得到7个正方形，分割3次将得到10个正方形，由此可知，每分割增加1次，就增加3个正方形。那么分割1次，分成了4个正方形，就可以表示成（3＋1）个；分割2次，分成了7个正方形，就可以表示成（3×2＋1）个；分割n次，得到（3n＋1）个正方形。据此解答。 【详解】3×5＋1 ＝15＋1 ＝16（个） 因此，如果连续用“十字形”分割5次，分割成16个正方形，若连续分割n次，则会分割成（3n＋1）个正方形。 真题训练 13．“化繁为简、由易到难”是我们研究问题的基本思考方法。聪聪向一道思考题发起了挑战：n条直线两两相交，最多有几个交点？聪聪决定从研究最简单的开始研究： (1)数一数，填一填。 直线的条数 2 3 4 5 交点的个数 1 3 6 (2)推一推：当n（n为整数，且n≥2）条直线两两相交时，最多有( )个交点。（用含有n的式子表示） 【答案】(1) 直线的条数 2 3 4 5 交点的个数 1 3 6 10 (2) 【分析】（）通过观察表格中直线条数与交点个数的已知数据，发现交点个数是从开始的连续自然数之和。当直线条数为时，交点个数应为加到的和。 （）根据前几项的规律，推导第条直线增加时带来的新交点数量。每增加一条直线，为了得到最多交点，新直线需与之前所有直线相交，因此第条直线会增加个交点。总交点数为从累加到的和，再利用凑数方法得出含的式子。 【详解】（1） （2）第条直线没有交点； 第条直线与第条直线相交，增加个交点； 第条直线与前条直线相交，增加个交点； …… 第条直线与前条直线相交，增加个交点。 所以，条直线最多的交点总数为： 最多有个交点。（用含有n的式子表示） 14．用小圆片按照如图所示的规律摆图形，第4幅图用了( )个圆片，第6幅图用了( )个圆片。 【答案】 17 25 【分析】先数出前几幅图圆片数量，观察每增加一幅图增加几个圆片，总结数量和图的序号之间关系。 先数已知图形圆片： 第1幅图：5个圆片 第2幅图：9个圆片 第3幅图：13个圆片 对比发现：每往后一幅，增加4个小圆片。 所以第n幅图，圆片数量＝n×4＋1 【详解】第4幅图： 4×4＋1 ＝16＋1 ＝17（个） 第6幅图： 6×4＋1 ＝24＋1 ＝25（个） 15．拼桌就餐（图中一个“·”表示一个人），找规律填表。 桌子数（张） 1 2 3 … n 坐的人数（人） 4 6 8 … （    ） 【答案】2n＋2 【分析】由图形可知，一张桌子可以坐2×（1＋1）＝2×2＝4（人），两张桌子可以坐2×（2＋1）＝2×3＝6（人），三张桌子可以坐2×（3＋1）＝2×4＝8（人），据此，可以发现桌子张数加上1后，再乘2就是对应桌子坐的人数； 根据规律计算4张、5张桌子坐的人数，进而表示出n张桌子坐的人数。 【详解】四张桌子可以坐： 2×（4＋1） ＝2×5 ＝10（人） 五张桌子可以坐： 2×（5＋1） ＝2×6 ＝12（人） 所以n张桌子可以坐2×（n＋1）＝2n＋2（人）。 16．按下图的规律，第5个图形中涂色正方形有( )个，第n个图形中空白正方形有( )个。 【答案】 6 2n＋8/8＋2n 【分析】由图可知，第1个图形中共有正方形3×4个，涂色的有2个，空白的有3×4－2个； 第2个图形中共有正方形3×5个，涂色的有3个，空白的有3×5－3个； 第3个图形中共有正方形3×6个，涂色的有4个，空白的有3×6－4个； …… 第n个图形中共有正方形3×（n＋3）个，涂色的有（n＋1）个，空白的有3×（n＋3）－（n＋1）个。 【详解】根据规律，第5个图形中涂色正方形有5＋1＝6（个） 空白的有： 3×（n＋3）－（n＋1） ＝3n＋9－n－1 ＝3n－n＋9－1 ＝（3n－n）＋（9－1） ＝2n＋8（个） 17．如图用用小棒搭房子，搭3间用13根小棒，照这样搭20间要( )根小棒，搭n间房要( )根小棒（用含有n的式子表示）。 【答案】 81 4n＋1 【分析】据图分析可得：每多搭一间房子就多4根小棒；搭3间房子用13根小棒，即1＋3×4；搭4间用17根小棒，即1＋4×4根；搭5间要用21根小棒，即1＋5×4根，由此得出搭n间房子要用（1＋4n）根小棒；据此解答即可。 【详解】搭1个房子用5根小棒 搭2个房子用了9根小棒 搭3个房子用了13根小棒。 搭4个房子用了17根小棒。 9－5＝4 （根） 13－9＝4 （根） 17－13＝4 （根） 发现：每多搭一个房子，就增加4根小棒。 根据以上条件可知，小棒的数量＝房子的数量×4＋1 据此可得搭n个房子要用（4n＋1）根小棒。 所以搭20间房子用4×20＋1＝80＋1＝81（根）小棒，搭n个房子要用（4n＋1）根小棒。 18．用小棒按照下图方式摆八边形。摆10个八边形需要( )根小棒，2024根小棒可以摆( )个八边形。 【答案】 71 289 【分析】根据图示，相邻的两个八边形共用1根小棒，摆1个八边形需要（1×7＋1）根小棒，摆2个八边形需要（2×7＋1）根小棒，摆3个八边形需要（3×7＋1）根小棒，摆n个八边形需要（7n＋1）根小棒⋯。用10乘7加上1算出摆10个八边形需要的数量；用2024减去1的差除以7可以算出摆的个数。 【详解】摆10个八边形需要的小棒：7×10＋1 ＝70＋1 ＝71（根） 2024根小棒可以摆的数量：（2024－1）÷7 ＝2023÷7 ＝289（个） 19．按照下面的排列规律，图中有1个正方形时有4个点，图中有2个正方形时有7个点……图中有6个正方形时有( )个点，n个正方形时有( )个点。 【答案】 19 /1＋3n 【分析】根据排列规律，1个正方形有4个点，即3×1＋1＝4，2个正方形有7个点，即3×2＋1＝7，每多一个正方形多3个点，如此类推，找出6个正方形的点数和个正方形的点数。 【详解】根据排列规律： 1个正方形的点数：3×1＋1＝3＋1＝4个 2个正方形的点数：3×2＋1＝6＋1＝7个 3个正方形的点数：3×3＋1＝9＋1＝10个 即每多一个正方形多3个点，按照这样计算，所以6个正方形的点数：3×6＋1＝18＋1＝19个；个正方形的点数：个。 20．寻找规律解决问题是数学中常用的解题策略。如图是将一些正方形按规律排列，可以看出第1个图形共有3个小正方形，第2个图形中共有5个小正方形，第3个图形中共有7个小正方形⋯⋯，第10个图形中共有( )小正方形，第n个图形中共有( )个小正方形。 【答案】 21 2n＋1 【分析】观察图形可知，每个图形都会比前一个图形多2个小正方形： 第1个图形共有3个小正方形，3＝2×1＋1； 第2个图形比第1个图形多2个小正方形，共有5个小正方形，5＝2×2＋1； 第3个图形比第2个图形多2个小正方形，共有7个小正方形，7＝2×3＋1； …… 据此分析 第10个图形有：（2×10＋1）个小正方形； 第n个图形有：2×n＋1个小正方形； 【详解】2×10＋1 ＝20＋1 ＝21（个） 2×n＋1＝2n＋1 第10个图形中共有21个小正方形，第n个图形中共有（2n＋1）个小正方形。 21．如图，每个图形都是由相同的小三角形组成，第1个图形由1个小三角形组成，第2个图形由4个小三角形组成，第3个图形由9个小三角形组成……依此规律，第4个图形由( )个小三角形组成，第10个图形由( )个小三角形组成，第n个图形由( )个小三角形组成。 【答案】 16 100 【分析】观察可知，第1个图形需要1个小三角形， 第2个图形需要（1＋3）个小三角形，1＋3＝4， 第3个图形需要（1＋3＋5）个小三角形，1＋3＋5＝9， 第4个图形需要（1＋3＋5＋7）个小三角形，1＋3＋5＋7＝16， 以此类推， 第10个图形需要个小三角形， 第n个图形需要个小三角形，据此解答。 【详解】第4个图形由16个小三角形组成，第10个图形由100个小三角形组成，第n个图形由个小三角形组成。 22．观察下列长方形叠放的规律，用含有字母的式子表示各个图形的周长。 2x＋2y       （    ）   （    ）   （    ） 按照这样的方法叠放，第20个图形的周长是多少？ 【答案】 ；；；第20个图形的周长是。 【分析】通过平移线段，把叠放图形凹凸的边平移后，可以转化成一个大长方形。观察序号和周长的关系，可得到对应图形的周长。。 【详解】第1个：2x＋2y 第2个：平移边线，得到大长方形，周长2×（2x＋2y）＝4x＋4y 第3个：平移边线，得到大长方形，周长2×（3x＋3y）＝6x＋6y 第4个：平移边线，得到大长方形，周长2×（4x＋4y）＝8x＋8y 规律： 第n个图形周长：2nx＋2ny 当n＝20时 2×20x＋2×20y＝40x＋40y 答：第20个图形的周长是。 23．手工社团要进行制作活动，为了便于协作，大家将桌子按如图所示拼在一起。 (1)2张桌子拼在一起可坐多少人？4张桌子呢？n张桌子呢？（n为非0自然数） (2)有40张这样的长方形桌子，按照上图方式每5张拼成1张大桌子，则40张桌子可拼成8张大桌子，共可坐多少人？ 【答案】(1)8人；12人；人 (2)112人 【分析】（1）先通过观察图示的不同桌数对应的可坐人数，归纳得到人数随桌子数量变化的通用规律，得到人数和桌子数的关系式。 （2）因为每5张小桌拼1张大桌，所以先算1张大桌子的可坐人数，再算8张大桌的总人数，即可求出可坐的人数。 【详解】（1）1张桌子：可坐（人） 2张桌子：可坐（人） 4张桌子：可坐（人） 规律：每多拼1张桌子，多坐2人，左右两侧始终一共坐4人。 n张桌子：可坐人 答：2张桌子拼在一起可坐8人，4张桌子拼在一起可坐12人，n张桌子拼在一起可坐人。 （2）（人） （人） 答：则40张桌子可拼成8张大桌子，共可坐112人。 24． (1)上图中，摆1个五边形需要( )根相同的小棒，摆2个需要( )根相同的小棒，摆3个需要( )根相同的小棒。 (2)照这样摆下去： ①摆80个五边形需要多少根相同的小棒？ ②265根相同的小棒可以摆多少个五边形？ 【答案】(1) (2)①根 ②个 【分析】（）先观察图形特征，数出摆个、个、个五边形分别对应的小棒数量，突破口是找到每多摆个五边形时小棒数量的增加规律，根据前个的小棒数量，推导摆个五边形时小棒数量的通用表达式，因为相邻两个五边形会共用根小棒，所以每新增个五边形仅需新增根小棒，以此推导通项公式， （）将代入通项公式计算对应小棒数量。 （）令通项公式等于，解方程得到对应的五边形个数。 【详解】（1）摆个五边形需要 根小棒，即： （根） 摆个五边形需要根小棒，即： （根） 摆个五边形需要根小棒，即： （根） 摆个五边形需要的小棒根数： 根 （2）① （根） 答：摆80个五边形需要321根相同的小棒。 ② 解： 答：265根相同的小棒可以摆66个五边形。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $