第8讲 代数式化简与代入求值 专题讲义-人教版数学五年级上册奥数培优

第8讲 代数式化简与代入求值 专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 知识讲解 1. 代数式基础概念 代数式：用运算符号（加、减、乘、除）把数和字母连接起来的式子，叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。 例：、、、都是代数式。 书写规范： 数字与字母相乘，数字在前，乘号省略，如写作； 字母与字母相乘，乘号省略，如写作； 1 与字母相乘，1 省略不写，如写作。 2. 同类项与合并同类项 （1）同类项定义 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项。几个常数项也是同类项。 例：和是同类项；和是同类项；和是同类项。 （2）合并同类项 把代数式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。 法则：同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。 公式： 注意：只有同类项才能合并，不是同类项不能合并。 3. 去括号法则 代数式化简的核心步骤，括号前符号和系数共同决定去括号后的结果： 括号前是加号：去掉括号和前面的加号，括号里的各项符号不变。 例： 括号前是减号：去掉括号和前面的减号，括号里的各项都变号（加变减，减变加）。 例： 括号前有数字系数：用数字系数分别乘括号里的每一项，再按符号法则处理。 例：； 技巧：先定符号，再定数值。 4. 代数式化简的一般步骤 ① 有括号先去括号； ② 找出所有同类项； ③ 合并同类项； ④ 结果为最简形式（没有同类项可合并）。 5. 代入求值两大类型 （1）直接代入求值 题型：给出字母的具体数值，求代数式的值。 方法：先化简代数式，再把字母的数值代入化简后的式子计算结果。 优势：先化简再代入，大幅简化计算，减少出错。 （2）整体代入求值（奥数核心） 题型：给出一个含字母的式子的值，求另一个相关式子的值，无法求出单个字母的具体数值。 方法：观察所求式子与已知式子的倍数关系，把已知式子当成一个整体，通过变形构造出相同的整体，再代入计算。 常见思路：扩倍、缩倍、拆分组合。 例：已知，则。 6. 解题通用注意事项 ① 去括号时，括号前是减号或负系数，要注意每一项都变号； ② 代入求值时，字母是小数的，计算要注意小数点位置； ③ 整体代入的关键是找到 “相同的整体”，灵活运用乘法分配律构造。 例题讲解 【典型例题 1】合并同类项基础 化简： （1） （2） 【分析】（1）和是同类项，和是同类项，分别合并系数即可；（2）和是同类项，和是常数项，合并同类项。 【详解】（1）先分组，把含a的项、含b的项分别放在一起： （2）把含x的项合并，常数项合并： 【答案】（1）；（2） 【跟踪训练 1】 化简： （1） （2） 【分析】（1）和、和分别是同类项；（2）和、和分别合并。 【详解】 （1）分组合并同类项： （2）合并含y的项和常数项： 【答案】（1）；（2） 【典型例题 2】去括号与化简（带系数） 化简： （1） （2） 【分析】（1）先用数字系数乘括号里的每一项，注意第二个括号前是，去括号后各项变号，再合并同类项；（2）先去括号，再合并同类项。 【详解】 （1）先去括号，注意\(-2\)乘括号里每一项都变号： （2）先算2乘括号里的两项，再合并同类项： 【答案】（1）；（2） 【跟踪训练 2】 化简： （1） （2） 【分析】（1）分别去括号，注意符号，再合并同类项；（2）去括号后合并同类项。 【详解】 （1）去括号，注意符号变化： （2）去括号后合并同类项： 【答案】（1）；（2） 【典型例题 3】直接代入求值 先化简，再求值：，当，时。 【分析】先去括号、合并同类项化简代数式，再将、的值代入化简后的式子计算，比直接代入原式更简便。 【详解】 先化简原式： 【答案】化简结果；值为 【跟踪训练 3】 先化简，再求值：，当时。 【分析】先去括号化简，再代入的值计算。 【详解】 先化简： 【答案】化简结果；值为 【典型例题 4】整体代入求值（奥数进阶） 已知，求的值。 【分析】观察所求式子，可以提取公因数 3，变形为，正好出现已知的，将其当作一个整体代入计算即可，无需分别求出、的值。 【详解】 【答案】 【跟踪训练 4】 已知，求的值。 【分析】提取公因数 3，变形为，整体代入已知条件计算。 【详解】 【答案】 巩固练习 1．计算下面各题。 5a＋6a＝    8b－3b＝    17c－11c＝    y＋9y＝ b×b＝    1×m＝    a·a×5＝    2m＋5m－3m＝ 【答案】11a；5b；6c；10y ； ；m；；4m 【解析】略 2．直接写出得数。 3.2÷0.04＝      890÷0.89＝      8.76－7.6＝       2.1＋0.9×4＝ 0.25＋1.5＝      0.24÷0.6＝       a×4×a＝       4×0.25÷4×0.25＝ 【答案】80；1000；1.16；5.7； 1.75；0.4；4a2；0.0625 【解析】略 3．计算下面各题。 7a＋3a＝        9b－2b＝        1.5x×4＝        12n÷3＝ a×a＝            m－0.4m＝        8k÷0.2＝        x＋3x－x＝ 【答案】10a；7b；6x；4n； a2；0.6m；40k；3x 【解析】略 4．化简下面各题。 5x＋16x＝    8b－3b＝ 10x－3x＝    y＋9y＝ 10a－3a＋5a＝    a＋2a＝    5c－4c＝    x＋7x－4x＝ 【答案】21x；5b；7x；10y； 12a；3a；c；4x 【分析】根据乘法分配律化简各题，据此解答。 【详解】5x＋16x＝（5＋16）x＝21x    8b－3b＝（8－3）b＝5b 10x－3x＝（10－3）x＝7x     y＋9y＝（1＋9）y＝10y 10a－3a＋5a＝（10－3＋5）a＝12a    a＋2a＝（1＋2）a＝3a    5c－4c＝（5－4）c＝c    x＋7x－4x＝（1＋7－4）x＝4x 【点睛】字母与数字相乘时，省略乘号，并且把数字放在字母的前面。当数字是“1”时，“1”常常省略不写。 5．化简求值. 当时, 求的值. 【答案】24 【解析】略 6．化简求值. 当时, 求的值 【答案】43.4 【解析】略 7．求下列各式的值。 (1)当m＝30，n＝8时，求（m－2n）÷5的值。 (2)当a＝20，b＝25时，求0.7×（b－a）的值。 (3)当x＝10，y＝15时，求x2－3y的值。 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查含有字母的式子求值。将字母代表的数值代入含有字母的式子中，再按照混合运算顺序进行计算。 （1）（m－2n）÷5先算小括号中的乘法，再算小括号中的减法，最后算除法； （2）0.7×（b－a）先算小括号中的减法，再算乘法； （3）x2－3y，所以先算左边的乘方，再算右边的乘法，最后算减法。 【详解】（1）当m＝30，n＝8时： （m－2n）÷5 ＝（30－2×8）÷5 ＝（30－16）÷5 ＝14÷5 ＝2.8 （2）当a＝20，b＝25时： 0.7×（b－a） ＝0.7×（25－20） ＝0.7×5 ＝3.5 （3）当x＝10，y＝15时： x2－3y ＝10×10－3×15 ＝100－3×15 ＝100－45 ＝55 8．按要求求出式子的值。 (1)当a＝3.5，b＝1.4时，求ab的值。 (2)当m＝18，n＝6时，求3m－n的值。 【答案】(1) 4.9 (2) 48 【分析】（1）省略了乘号，表示乘，把a＝3.5，b＝1.4代入计算即可。 （2）把m＝18，n＝6代入计算即可，表示乘，计算时需遵循先乘除后加减的运算顺序。 【详解】（1）当，时 （2）当，时 9．当a＝7.5，b＝2.5时，求3a－2.3b＋7a－1.7b的值。 【答案】65 【分析】把a和b的值代入到式子中，求出式子的值。 【详解】3a－2.3b＋7a－1.7b ＝3×7.5－2.3×2.5＋7×7.5－1.7×2.5 ＝22.5－5.75＋52.5－4.25 ＝16.75＋52.5－4.25 ＝69.25－4.25 ＝65 10．先化简，再求值。 当a＝2.4，b＝0.5时，求5a×0.4＋b2的值。 【答案】5a×0.4＋b2＝2a＋b2 5.05 【分析】根据四则混合运算顺序，先算乘法再算加法，先计算5a×0.4，再加上b2；将a＝2.4，b＝0.5分别代入到化简后的式子中，先算乘法再算加法，求出结果即可。 【详解】5a×0.4＋b2 ＝5×a×0.4＋b2 ＝5×0.4×a＋b2 ＝2a＋b2 当a＝2.4，b＝0.5时， 2a＋b2 ＝2×2.4＋0.5×0.5 ＝4.8＋0.25 ＝5.05 因此，当a＝2.4，b＝0.5时，5a×0.4＋b2的值为5.05。 11．当x＝12，y＝7时，求xy的值。 【答案】84 【分析】把x＝12，y＝7代入到xy中进行计算即可。 【详解】xy＝12×7＝84 12．当x＝20，y＝100时，求4x＋y的值。 【答案】180 【分析】求值时，要先看字母等于几，再写出原式，最后把数值代入式子计算。 【详解】4x＋y ＝4×20＋100 ＝80＋100 ＝180 真题训练 13．A－B＝8，A＋A＋B＋B＝20，求A和B的值。 【答案】A是9；B是1 【分析】由A－B＝8可知，A＝8＋B，先把表示A的式子代入A＋A＋B＋B＝20，再利用等式的性质1和2求出B的值，最后把B的值代入A＝8＋B求出A的值，据此解答。 【详解】因为A－B＝8，所以A＝8＋B。 A＋A＋B＋B＝20 解：8＋B＋8＋B＋B＋B＝20 8＋8＋B＋B＋B＋B＝20 （8＋8）＋（B＋B＋B＋B）＝20 16＋4B＝20 16＋4B－16＝20－16 4B＝4 4B÷4＝4÷4 B＝1 A＝8＋B＝8＋1＝9 所以，A的值是9，B的值是1。 14．先化简，再求值。当a＝3，b＝5时，求1.5a÷3＋b÷2＋b的值。 【答案】0.5a＋1.5b；9 【分析】先化简1.5a÷3＋b÷2＋b，计算整理得0.5a＋1.5b，再把a＝3，b＝5代入计算，即可解答。 【详解】1.5a÷3＋b÷2＋b ＝0.5a＋0.5b＋b ＝0.5a＋1.5b 当a＝3，b＝5时； 0.5×3＋1.5×5 ＝1.5＋7.5 ＝9 15．若n＝1.6，m＋3n＝6.3，计算m和m÷n的值。 【答案】1.5；0.9375 【分析】由题意可知，当n＝1.6时，把1.6代入到m＋3n＝6.3中，可求出m的值，最后把m和n的值都代入到m÷n中可求解，据此解答即可。 【详解】当n＝1.6时， m＋3n＝6.3 m＋3×1.6＝6.3 解：m＋4.8＝6.3 m＝6.3－4.8 m＝1.5 当m＝1.5，n＝1.6时。 m÷n＝1.5÷1.6 ＝0.9375 16．当m＝4，n＝1.8时，求15m＋5m－18n－12n的值。 【答案】26 【分析】先把15m＋5m－18n－12n化简，再把m＝4，n＝1.8代入算式计算即可。 【详解】15m＋5m－18n－12n ＝（15＋5）m－（18＋12）n ＝20 m－30n 当m＝4，n＝1.8时 20 m－30n ＝20×4－30×1.8 ＝80－54 ＝26 【点睛】掌握含字母的式子的化简方法，会代入数据求值，这是解决此题的关键。 17．先化简，再求值。 当时，求的值。 【答案】34.6 【分析】先将25＋9a－a化简成25＋8a，再将a＝1.2代入25＋8a中计算求值即可。 【详解】25＋9a－a＝25＋8a，将a＝1.2代入其中，有： 25＋8×1.2 ＝25＋9.6 ＝34.6 18．当m=3.5,n=4.6时,求下列式子的值． ①4n-2m　　　　　　　②(m+n)×10 【答案】11.4；81 【分析】将m、n取值带入算式计算即可 【详解】当m=3.5,n=4.6时，①4n-2m=4×4.6-2×3.5=11.4 ②(m+n)×10=（3.5+4.6）×10=8.1×10=81 故答案为：11.4；81 【点睛】此题主要考查求含有字母的式子的值。 19．当a=4.5时,求下列式子的值． ①6a+5　　　　　　　　②2.6a-3 【答案】32   8.7 【分析】将a的取值带入式子计算即可 【详解】当a=4.5时，①6a+5=6×4.5+5=27+5=32　　　　　　　　 ②2.6a-3=2.6×4.5-3=11.7-3=8.7 【点睛】此题主要考查求含有字母的式子的值。 20．一块长10米，宽8米的长方形菜地，将它的长增加a米，宽不变。 (1)用含有字母的式子表示增加后的这块菜地面积。 (2)当a＝4时，这块菜地的面积为多少平方米？ 【答案】(1)（80＋8a）平方米 (2)112平方米 【分析】（1）根据长方形面积＝长×宽，用增加后的长乘不变的宽，即可得到增加后的菜地面积。 （2）将a＝4代入第（1）题的含字母式子中计算，得到此时菜地的面积。 【详解】（1）（10＋a）×8＝（80＋8a）平方米 （2）当a＝4时 80＋8×4 ＝80＋32 ＝112（平方米） 答：这块菜地的面积为112平方米。 21．李叔叔是一名邮递员，他每天风雨无阻地为山区送信。一天，他先骑摩托车行了1.4小时，又步行了0.5小时。 (1)淘气说：“可以用表示李叔叔这天行的路程。”你认为这样合理吗？ (2)你认为该怎样表示李叔叔这天行的路程？ 【答案】(1)不合理，理由：骑摩托车和步行速度不一样，不能都用a表示。 (2)用a表示李叔叔骑摩托车的速度，用b表示李叔叔步行的速度，即。 【分析】（1）根据“路程速度时间”，总路程是骑摩托车的路程与步行的路程之和。由于两种出行方式的速度不同，不能用同一个字母表示速度，因此淘气的表示方法不合理； （2）表示总路程时需要用不同字母分别表示两种速度，再相加。 【详解】（1）骑摩托车的路程骑摩托车的速度 步行的路程步行的速度 淘气的算式中，骑摩托车和步行的速度都用表示，默认两种速度相等，但实际两种出行方式的速度不同，因此这样表示不合理。 （2）用a表示李叔叔骑摩托车的速度，用b表示李叔叔步行的速度。 总路程骑摩托车的路程步行的路程 22．小明家有大米x千克，每天吃2千克，已经吃了b天。 (1)用含有字母的式子表示剩余的大米的千克数。 (2)如果小明家原有大米20千克，已经吃了7天，用上面的式子求出剩余的大米的千克数。 【答案】(1)（x－2b）千克 (2)6千克 【分析】（1）根据题意，用每天吃的千克数乘吃的天数，就是吃了多少千克。再用小明家有大米的千克数减去吃了的千克数，就是还剩的千克数。 （2）把x＝20，b＝7，代入上面的式子算出结果即可。 【详解】（1）x－2×b＝x－2b 答：剩余的大米的千克数是（x－2b）千克。 （2）当x＝20，b＝7时，x－2b＝20－2×7＝20－14＝6（千克） 答：剩余的大米有6千克。 23．一位物理学家在某地发现蟋蟀1分钟叫的次数与气温有很大的关系。用蟋蟀1分钟叫的次数除以7，再加上3，结果近似于该地当时的气温（℃）。 (1)如果蟋蟀1分钟叫次，请用含有字母的式子表示该地当时的气温。 (2)当时，该地气温是多少？ 【答案】(1) (2)19℃ 【分析】（1）根据题中描述，数量关系式是：用蟋蟀1分钟叫的次数÷7＋3＝该地当时的气温，根据数量关系式，写出含有字母的式子。 （2）将代入含有字母的式子进行计算即可。 【详解】（1）数量关系式是：用蟋蟀1分钟叫的次数÷7＋3＝该地当时的气温，蟋蟀1分钟叫次 该地当时的气温是： 答：该地当时的气温是℃ （2）当时 答：该地气温是19℃。 24．春节期间，聪聪和明明相约去博物馆。两人分别从家同时出发，相向而行。聪聪每分钟走a米，明明每分钟走b米。经过14分钟，两人在博物馆门口相遇。 (1)用含有字母的式子表示聪聪家到明明家之间的距离。 (2)当a＝74，b＝86时，聪聪家到明明家一共有多少米？ 【答案】(1)14（a＋b）米 (2)2240米 【分析】（1）根据聪聪家到明明家之间的距离等于两人速度和乘时间，由此用含有字母的式子表示。 （2）由（1）写出的式子代入a、b的值求出即可。 【详解】（1）由分析可知聪聪家到明明家之间的距离等于两人速度和乘时间，即： （a＋b）×14＝14（a＋b）米 答：聪聪家到明明家之间的距离是14（a＋b）米。 （2）当a＝74，b＝86时，代入（1）中的14（a＋b）米即： 14（a＋b） ＝14×（74＋86） ＝2240 答：聪聪家到明明家一共有2240米。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第8讲 代数式化简与代入求值 专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 知识讲解 1. 代数式基础概念 代数式：用运算符号（加、减、乘、除）把数和字母连接起来的式子，叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。 例：、、、都是代数式。 书写规范： 数字与字母相乘，数字在前，乘号省略，如写作； 字母与字母相乘，乘号省略，如写作； 1 与字母相乘，1 省略不写，如写作。 2. 同类项与合并同类项 （1）同类项定义 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项。几个常数项也是同类项。 例：和是同类项；和是同类项；和是同类项。 （2）合并同类项 把代数式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。 法则：同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。 公式： 注意：只有同类项才能合并，不是同类项不能合并。 3. 去括号法则 代数式化简的核心步骤，括号前符号和系数共同决定去括号后的结果： 括号前是加号：去掉括号和前面的加号，括号里的各项符号不变。 例： 括号前是减号：去掉括号和前面的减号，括号里的各项都变号（加变减，减变加）。 例： 括号前有数字系数：用数字系数分别乘括号里的每一项，再按符号法则处理。 例：； 技巧：先定符号，再定数值。 4. 代数式化简的一般步骤 ① 有括号先去括号； ② 找出所有同类项； ③ 合并同类项； ④ 结果为最简形式（没有同类项可合并）。 5. 代入求值两大类型 （1）直接代入求值 题型：给出字母的具体数值，求代数式的值。 方法：先化简代数式，再把字母的数值代入化简后的式子计算结果。 优势：先化简再代入，大幅简化计算，减少出错。 （2）整体代入求值（奥数核心） 题型：给出一个含字母的式子的值，求另一个相关式子的值，无法求出单个字母的具体数值。 方法：观察所求式子与已知式子的倍数关系，把已知式子当成一个整体，通过变形构造出相同的整体，再代入计算。 常见思路：扩倍、缩倍、拆分组合。 例：已知，则。 6. 解题通用注意事项 ① 去括号时，括号前是减号或负系数，要注意每一项都变号； ② 代入求值时，字母是小数的，计算要注意小数点位置； ③ 整体代入的关键是找到 “相同的整体”，灵活运用乘法分配律构造。 例题讲解 【典型例题 1】合并同类项基础 化简： （1） （2） 【跟踪训练 1】 化简： （1） （2） 【典型例题 2】去括号与化简（带系数） 化简： （1） （2） 【跟踪训练 2】 化简： （1） （2） 【典型例题 3】直接代入求值 先化简，再求值：，当，时。 【跟踪训练 3】 先化简，再求值：，当时。 【典型例题 4】整体代入求值（奥数进阶） 已知，求的值。 【跟踪训练 4】 已知，求的值。 【分析】提取公因数 3，变形为，整体代入已知条件计算。 巩固练习 1．计算下面各题。 5a＋6a＝    8b－3b＝    17c－11c＝    y＋9y＝ b×b＝    1×m＝    a·a×5＝    2m＋5m－3m＝ 2．直接写出得数。 3.2÷0.04＝      890÷0.89＝      8.76－7.6＝       2.1＋0.9×4＝ 0.25＋1.5＝      0.24÷0.6＝       a×4×a＝       4×0.25÷4×0.25＝ 3．计算下面各题。 7a＋3a＝        9b－2b＝        1.5x×4＝        12n÷3＝ a×a＝            m－0.4m＝        8k÷0.2＝        x＋3x－x＝ 4．化简下面各题。 5x＋16x＝    8b－3b＝ 10x－3x＝    y＋9y＝ 10a－3a＋5a＝    a＋2a＝    5c－4c＝    x＋7x－4x＝ 5．化简求值. 当时, 求的值. 6．化简求值. 当时, 求的值 7．求下列各式的值。 (1)当m＝30，n＝8时，求（m－2n）÷5的值。 (2)当a＝20，b＝25时，求0.7×（b－a）的值。 (3)当x＝10，y＝15时，求x2－3y的值。 8．按要求求出式子的值。 (1)当a＝3.5，b＝1.4时，求ab的值。 (2)当m＝18，n＝6时，求3m－n的值。 9．当a＝7.5，b＝2.5时，求3a－2.3b＋7a－1.7b的值。 10．先化简，再求值。 当a＝2.4，b＝0.5时，求5a×0.4＋b2的值。 11．当x＝12，y＝7时，求xy的值。 12．当x＝20，y＝100时，求4x＋y的值。 真题训练 13．A－B＝8，A＋A＋B＋B＝20，求A和B的值。 14．先化简，再求值。当a＝3，b＝5时，求1.5a÷3＋b÷2＋b的值。 15．若n＝1.6，m＋3n＝6.3，计算m和m÷n的值。 16．当m＝4，n＝1.8时，求15m＋5m－18n－12n的值。 17．先化简，再求值。 当时，求的值。 18．当m=3.5,n=4.6时,求下列式子的值． ①4n-2m　　　　　　　②(m+n)×10 19．当a=4.5时,求下列式子的值． ①6a+5　　　　　　　　②2.6a-3 20．一块长10米，宽8米的长方形菜地，将它的长增加a米，宽不变。 (1)用含有字母的式子表示增加后的这块菜地面积。 (2)当a＝4时，这块菜地的面积为多少平方米？ 21．李叔叔是一名邮递员，他每天风雨无阻地为山区送信。一天，他先骑摩托车行了1.4小时，又步行了0.5小时。 (1)淘气说：“可以用表示李叔叔这天行的路程。”你认为这样合理吗？ (2)你认为该怎样表示李叔叔这天行的路程？ 22．小明家有大米x千克，每天吃2千克，已经吃了b天。 (1)用含有字母的式子表示剩余的大米的千克数。 (2)如果小明家原有大米20千克，已经吃了7天，用上面的式子求出剩余的大米的千克数。 23．一位物理学家在某地发现蟋蟀1分钟叫的次数与气温有很大的关系。用蟋蟀1分钟叫的次数除以7，再加上3，结果近似于该地当时的气温（℃）。 (1)如果蟋蟀1分钟叫次，请用含有字母的式子表示该地当时的气温。 (2)当时，该地气温是多少？ 24．春节期间，聪聪和明明相约去博物馆。两人分别从家同时出发，相向而行。聪聪每分钟走a米，明明每分钟走b米。经过14分钟，两人在博物馆门口相遇。 (1)用含有字母的式子表示聪聪家到明明家之间的距离。 (2)当a＝74，b＝86时，聪聪家到明明家一共有多少米？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $