1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 专项训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦空间向量判定线面位置关系，通过分层题型构建“概念-运算-应用”逻辑链，强化数学思维与表达。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础判定|14题|方向向量与法向量的平行（共线）、垂直（数量积）判定|向量概念→坐标运算→线线/线面/面面位置关系推导| |综合应用|3题|几何体中建立坐标系证明平行垂直，需规范坐标计算与条件补充|从抽象向量到具体几何情境的应用迁移|

高二上学期 第一章 空间向量与立体几何 专项训练 保密★启用前 1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 专项训练 人教A版选择性必修第一册数学高二上学期 （试卷总分：100分　建议用时：60分钟　测试范围：第一章 空间向量与立体几何） 学校：__________　姓名：__________　班级：__________　考号：__________ 注意事项： 1．本专项只考查用方向向量与法向量判定、证明空间中直线与平面的平行和垂直关系。 2．单项选择题每小题只有一个选项符合题意，把它前面的字母填在题后的括号里。 3．证明题要写出所取向量的坐标、数量积或共线的计算过程，并补充「直线不在平面内」等必要条件。 4．填空题写位置关系时用「平行」「垂直」「相交」作答，角度写精确度数。 评卷人 得分 一、单项选择题（每小题5分，共40分） 1．已知直线l1，l2的方向向量分别为＝ (1，2，－1)，＝ (－2，－4，2)，平面α，β的法向量分别为＝ (1，0，1)，＝ (2，0，2)（l1，l2都不在α，β内），则下列结论正确的是(____)。 A．直线l1与平面α垂直 B．直线l1与直线l2平行 C．直线l2与平面β垂直 D．平面α与平面β垂直 2．设＝ (2，1，－3)，＝ (1，－2，0)分别是直线l1，l2的方向向量，＝ (3，－1，2)，＝ (1，1，－1)分别是平面α，β的法向量，且两条直线都不在两个平面内，那么下列判断中正确的是(____)。 A．l1平行于l2 B．l1平行于α C．α平行于β D．l1垂直于l2 3．直线l1，l2的方向向量依次为＝ (1，－1，2)，＝ (2，1，－1)，平面α，β的法向量依次为＝ (1，－1，2)，＝ (－2，2，－4)，两条直线均不在两个平面内，则以下结论成立的是(____)。 A．l1⊥α　　B．α⊥β　　C．l1∥α　　D．l1∥l2 4．若＝ (0，1，1)与＝ (1，0，－1)是两条直线l1，l2的方向向量，＝ (1，1，－1)与＝ (2，2，－2)是两个平面α，β的法向量，l1，l2均不在α，β内，则下列说法正确的是(____)。 A．直线l1与直线l2的位置关系是平行 B．直线l2与平面β的位置关系是垂直 C．直线l1与平面α的位置关系是平行 D．平面α与平面β的位置关系是垂直 5．如图，棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1，CC1的中点，下列结论正确的是(____)。 A．EF∥平面A1B1C B．EF⊥AD C．EF⊥BD D．EF⊥AB 6．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，M，N依次为棱AB，BC的中点，下列结论正确的是(____)。 A．MN∥平面A1C1D B．MN⊥AC C．MN∥平面AA1D D．MN⊥A1C1 7．三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3，PA＝2，M，N分别是PC，AB的中点，下列结论正确的是(____)。 A．MN∥平面PAC B．MN⊥PC C．MN⊥平面PBC D．AB⊥PC 8．如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，CC1＝2，M是棱CC1的中点，下列结论正确的是(____)。 A．AM⊥BC1 B．AB⊥CM C．A1M∥平面ABC D．AM⊥平面BCC1 评卷人 得分 二、填空题（每小题5分，共30分） 9．直线l的方向向量＝ (3，t，2)，平面α的法向量＝ (2，－1，4)，且l∥α（l⊄α），则t＝＿＿＿＿。 10．平面α，β的法向量分别为＝ (2，4，k)，＝ (1，－2，3)，且α⊥β，则k＝＿＿＿＿。 11．直线l的方向向量＝ (x，4，－2)，平面α的法向量＝ (3，y，－1)，且l⊥α，则x＋y＝＿＿＿＿。 12．平面α，β的法向量分别为＝ (2，－1，z)，＝ (－4，2，6)，且α∥β，则z＝＿＿＿＿。 13．直线l的方向向量＝ (1，2，－2)，平面α的法向量＝ (－2，－4，4)，则直线l与平面α所成的角为＿＿＿＿。 14．两个不重合的平面α，β的法向量分别为＝ (3，－1，2)，＝ (－6，2，－4)，则α与β的位置关系是＿＿＿＿。 评卷人 得分 三、解答题（共30分） 15．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，取棱A1B1的中点E与棱B1C1的中点F。 (1)求证：EF∥平面ACD1； (2)求证：EF⊥BD1。 16．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为4的正方形，PD＝3。 (1)求证：AC⊥平面PBD； (2)求证：平面PAC⊥平面PBD。 17．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝CC1＝2，M是棱A1B1的中点。 (1)求证：CM⊥A1B1； (2)求证：C1M∥平面ABC。 试卷第 1 页，共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $高二上学期 第一章 空间向量与立体几何 专项训练 保密★启用前 1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 专项训练 人教A版选择性必修第一册数学高二上学期 （试卷总分：100分　建议用时：60分钟　测试范围：第一章 空间向量与立体几何） 学校：__________　姓名：__________　班级：__________　考号：__________ 注意事项： 1．本专项只考查用方向向量与法向量判定、证明空间中直线与平面的平行和垂直关系。 2．单项选择题每小题只有一个选项符合题意，把它前面的字母填在题后的括号里。 3．证明题要写出所取向量的坐标、数量积或共线的计算过程，并补充「直线不在平面内」等必要条件。 4．填空题写位置关系时用「平行」「垂直」「相交」作答，角度写精确度数。 评卷人 得分 一、单项选择题（每小题5分，共40分） 1．已知直线l1，l2的方向向量分别为＝ (1，2，－1)，＝ (－2，－4，2)，平面α，β的法向量分别为＝ (1，0，1)，＝ (2，0，2)（l1，l2都不在α，β内），则下列结论正确的是(____)。 A．直线l1与平面α垂直 B．直线l1与直线l2平行 C．直线l2与平面β垂直 D．平面α与平面β垂直 2．设＝ (2，1，－3)，＝ (1，－2，0)分别是直线l1，l2的方向向量，＝ (3，－1，2)，＝ (1，1，－1)分别是平面α，β的法向量，且两条直线都不在两个平面内，那么下列判断中正确的是(____)。 A．l1平行于l2 B．l1平行于α C．α平行于β D．l1垂直于l2 3．直线l1，l2的方向向量依次为＝ (1，－1，2)，＝ (2，1，－1)，平面α，β的法向量依次为＝ (1，－1，2)，＝ (－2，2，－4)，两条直线均不在两个平面内，则以下结论成立的是(____)。 A．l1⊥α　　B．α⊥β　　C．l1∥α　　D．l1∥l2 4．若＝ (0，1，1)与＝ (1，0，－1)是两条直线l1，l2的方向向量，＝ (1，1，－1)与＝ (2，2，－2)是两个平面α，β的法向量，l1，l2均不在α，β内，则下列说法正确的是(____)。 A．直线l1与直线l2的位置关系是平行 B．直线l2与平面β的位置关系是垂直 C．直线l1与平面α的位置关系是平行 D．平面α与平面β的位置关系是垂直 5．如图，棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1，CC1的中点，下列结论正确的是(____)。 A．EF∥平面A1B1C B．EF⊥AD C．EF⊥BD D．EF⊥AB 6．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，M，N依次为棱AB，BC的中点，下列结论正确的是(____)。 A．MN∥平面A1C1D B．MN⊥AC C．MN∥平面AA1D D．MN⊥A1C1 7．三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3，PA＝2，M，N分别是PC，AB的中点，下列结论正确的是(____)。 A．MN∥平面PAC B．MN⊥PC C．MN⊥平面PBC D．AB⊥PC 8．如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，CC1＝2，M是棱CC1的中点，下列结论正确的是(____)。 A．AM⊥BC1 B．AB⊥CM C．A1M∥平面ABC D．AM⊥平面BCC1 评卷人 得分 二、填空题（每小题5分，共30分） 9．直线l的方向向量＝ (3，t，2)，平面α的法向量＝ (2，－1，4)，且l∥α（l⊄α），则t＝＿＿＿＿。 10．平面α，β的法向量分别为＝ (2，4，k)，＝ (1，－2，3)，且α⊥β，则k＝＿＿＿＿。 11．直线l的方向向量＝ (x，4，－2)，平面α的法向量＝ (3，y，－1)，且l⊥α，则x＋y＝＿＿＿＿。 12．平面α，β的法向量分别为＝ (2，－1，z)，＝ (－4，2，6)，且α∥β，则z＝＿＿＿＿。 13．直线l的方向向量＝ (1，2，－2)，平面α的法向量＝ (－2，－4，4)，则直线l与平面α所成的角为＿＿＿＿。 14．两个不重合的平面α，β的法向量分别为＝ (3，－1，2)，＝ (－6，2，－4)，则α与β的位置关系是＿＿＿＿。 评卷人 得分 三、解答题（共30分） 15．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，取棱A1B1的中点E与棱B1C1的中点F。 (1)求证：EF∥平面ACD1； (2)求证：EF⊥BD1。 16．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为4的正方形，PD＝3。 (1)求证：AC⊥平面PBD； (2)求证：平面PAC⊥平面PBD。 17．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝CC1＝2，M是棱A1B1的中点。 (1)求证：CM⊥A1B1； (2)求证：C1M∥平面ABC。 　参考答案与解析 　客观题答案速查 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D A C C A D B 题号 9 10 11 12 13 14 答案 14 2 8 －3 90° 平行 　一、单项选择题 1．【答案】B 【解析】逐项检验： A项，＝(1，2，－1)，＝(1，0，1)，对应坐标不成比例，与不共线；由l1⊥α ⇔ ∥，判断不成立。 B项，＝(1，2，－1)，＝(－2，－4，2)，对应坐标成比例，∥；由l1∥l2⇔ ∥，判断成立。 C项，＝(－2，－4，2)，＝(2，0，2)，对应坐标不成比例，与不共线；由l2⊥β ⇔ ∥，判断不成立。 D项，·＝4≠0，与不垂直；由α⊥β ⇔ ·＝0，判断不成立。 所以选B。 2．【答案】D 【解析】逐项检验： A项，＝(2，1，－3)，＝(1，－2，0)，对应坐标不成比例，与不共线；由l1∥l2⇔ ∥，判断不成立。 B项，·＝－1≠0，与不垂直；由l1∥α ⇔ ⊥（已知l1⊄α），判断不成立。 C项，＝(3，－1，2)，＝(1，1，－1)，对应坐标不成比例，与不共线；由α∥β ⇔ ∥，判断不成立。 D项，·＝0，⊥；由l1⊥l2⇔ ·＝0，判断成立。 所以选D。 3．【答案】A 【解析】逐项检验： A项，＝(1，－1，2)，＝(1，－1，2)，对应坐标成比例，∥；由l1⊥α ⇔ ∥，判断成立。 B项，·＝－12≠0，与不垂直；由α⊥β ⇔ ·＝0，判断不成立。 C项，·＝6≠0，与不垂直；由l1∥α ⇔ ⊥（已知l1⊄α），判断不成立。 D项，＝(1，－1，2)，＝(2，1，－1)，对应坐标不成比例，与不共线；由l1∥l2⇔ ∥，判断不成立。 所以选A。 4．【答案】C 【解析】逐项检验： A项，＝(0，1，1)，＝(1，0，－1)，对应坐标不成比例，与不共线；由l1∥l2⇔ ∥，判断不成立。 B项，＝(1，0，－1)，＝(2，2，－2)，对应坐标不成比例，与不共线；由l2⊥β ⇔ ∥，判断不成立。 C项，·＝0，⊥；由l1∥α ⇔ ⊥（已知l1⊄α），判断成立。 D项，·＝6≠0，与不垂直；由α⊥β ⇔ ·＝0，判断不成立。 所以选C。 5．【答案】C 【解析】以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系。则A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，D(0，0，0)，A1(2，0，2)，B1(2，2，2)，C1(0，2，2)，D1(0，0，2)，E(2，0，1)，F(0，2，1)。 A项：＝(－2，2，0)，平面A1B1C的一个法向量＝(1，0，－1)，·＝－2≠0；不平行，不成立。 B项：＝(－2，2，0)，＝(－2，0，0)，数量积为4≠0，不垂直，不成立。 C项：＝(－2，2，0)，＝(－2，－2，0)，数量积为0，垂直成立。 D项：＝(－2，2，0)，＝(0，2，0)，数量积为4≠0，不垂直，不成立。 所以选C。 6．【答案】A 【解析】以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系。则A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B1(1，1，1)，C1(0，1，1)，D1(0，0，1)，M(1，，0)，N(，1，0)。 A项：＝(－，，0)，平面A1C1D的一个法向量＝(1，1，－1)，·＝0；又MN⊄平面A1C1D，所以MN∥平面A1C1D，成立。 B项：＝(－，，0)，＝(－1，1，0)，数量积为1≠0，不垂直，不成立。 C项：＝(－，，0)，平面AA1D的一个法向量＝(0，1，0)，·＝≠0；不平行，不成立。 D项：＝(－，，0)，＝(－1，1，0)，数量积为1≠0，不垂直，不成立。 所以选A。 7．【答案】D 【解析】PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，以A为原点，AB、AC、AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系。则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，3，0)，P(0，0，2)，M(0，，1)，N(1，0，0)。 A项：＝(1，－，－1)，平面PAC的一个法向量＝(1，0，0)，·＝1≠0；不平行，不成立。 B项：＝(1，－，－1)，＝(0，3，－2)，数量积为－≠0，不垂直，不成立。 C项：＝(1，－，－1)，平面PBC的一个法向量＝(3，2，3)，二者不共线；不垂直，不成立。 D项：＝(2，0，0)，＝(0，3，－2)，数量积为0，垂直成立。 所以选D。 8．【答案】B 【解析】直三棱柱中CC1⊥底面，又∠ACB＝90°，以C为原点，CA、CB、CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系。则C(0，0，0)，A(1，0，0)，B(0，1，0)，C1(0，0，2)，A1(1，0，2)，B1(0，1，2)，M(0，0，1)。 A项：＝(－1，0，1)，＝(0，－1，2)，数量积为2≠0，不垂直，不成立。 B项：＝(－1，1，0)，＝(0，0，1)，数量积为0，垂直成立。 C项：＝(－1，0，－1)，平面ABC的一个法向量＝(0，0，1)，·＝－1≠0；不平行，不成立。 D项：＝(－1，0，1)，平面BCC1的一个法向量＝(1，0，0)，二者不共线；不垂直，不成立。 所以选B。 　二、填空题 9．【答案】14 【解析】l∥α且l⊄α，等价于⊥，即·＝0：14 － t＝0。 解得t＝14。 所以答案为14。 10．【答案】2 【解析】α⊥β等价于⊥，即·＝0：3k － 6＝0。 解得k＝2。 所以答案为2。 11．【答案】8 【解析】l⊥α等价于∥，即存在λ使＝λ。由第3个分量得－2＝－λ，λ＝2。 于是x＝2×3＝6，4＝2y得y＝2，所以x＋y＝8。 所以答案为8。 12．【答案】－3 【解析】α∥β等价于∥，即＝λ。由第1个分量得－4＝2λ，λ＝－2；由第2个分量2＝－2×(－1)成立。 由第3个分量得6＝－2z，所以z＝－3。 所以答案为－3。 13．【答案】90° 【解析】＝(1，2，－2)，＝(－2，－4，4)，＝－2，所以∥，即直线l的方向向量与平面α的法向量平行，l⊥α。 所以直线l与平面α所成的角为90°。 14．【答案】平行 【解析】＝(3，－1，2)，＝(－6，2，－4)，＝－2，所以∥；又α，β不重合，所以α∥β。 所以答案为平行。 　三、解答题 15．【答案】证明见解析 【解析】【证明】以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系。则A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，D(0，0，0)，A1(2，0，2)，B1(2，2，2)，C1(0，2，2)，D1(0，0，2)，E(2，1，2)，F(1，2，2)。 (1)＝(－1，1，0)。 在平面ACD1内取＝(－2，2，0)，＝(－2，0，2)，它们不共线。 设＝(x，y，z)是平面ACD1的一个法向量，由·＝0得－2x＋2y＝0，由·＝0得－2x＋2z＝0；取x＝1，得y＝1，z＝1，所以＝(1，1，1)。 ·＝0＝0，所以⊥。 又EF⊄平面ACD1，所以EF∥平面ACD1。 (2)＝(－1，1，0)，＝(－2，－2，2)。 ·＝0＝0，所以⊥，即EF⊥BD1。 16．【答案】证明见解析 【解析】【证明】PD⊥平面ABCD，底面是正方形，以D为原点，DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系。则D(0，0，0)，A(4，0，0)，B(4，4，0)，C(0，4，0)，P(0，0，3)。 (1)＝(－4，4，0)，＝(4，4，－3)，＝(0，0，－3)。 ·＝0＝0，·＝0＝0，所以AC⊥PB，AC⊥PD。 又PB∩PD＝P，PB，PD⊂平面PBD，所以AC⊥平面PBD。 (2)在平面PAC内取＝(4，0，－3)，＝(0，4，－3)，它们不共线。 设＝(x，y，z)是平面PAC的一个法向量，由·＝0得4x－3z＝0，由·＝0得4y－3z＝0；取x＝3，得y＝3，z＝4，所以＝(3，3，4)。 在平面PBD内取＝(4，4，－3)，＝(0，0，－3)，它们不共线。 设＝(x，y，z)是平面PBD的一个法向量，由·＝0得4x＋4y－3z＝0，由·＝0得－3z＝0；取x＝1，得y＝－1，z＝0，所以＝(1，－1，0)。 ·＝0＝0，所以⊥，从而平面PAC⊥平面PBD。 17．【答案】证明见解析 【解析】【证明】直三棱柱中CC1⊥底面，又∠ACB＝90°，以C为原点，CA、CB、CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系。则C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，C1(0，0，2)，A1(2，0，2)，B1(0，2，2)，M(1，1，2)。 (1)＝(1，1，2)，＝(－2，2，0)。 ·＝0＝0，所以⊥，即CM⊥A1B1。 (2)＝(1，1，0)。 平面ABC就是坐标平面xOy，它的一个法向量可取＝(0，0，1)。 ·＝0＝0，所以⊥。 又C1M⊄平面ABC，所以C1M∥平面ABC。 试卷第 1 页，共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $