空间向量与立体几何：空间位置关系的向量法证明、空间角度的向量法求法专项训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦空间向量在立体几何中的应用，系统覆盖位置关系证明与角度计算，题型多样且典例代表性强，培养空间观念与推理运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |空间位置关系的向量法证明|4例+4变式|选择、填空、解答（含存在性问题），考查法向量、方向向量应用|从概念（法向量、方向向量）到位置关系（平行、垂直）证明，构建定性分析逻辑链| |空间角度的向量法求法|3例+3变式|解答题（证算结合），涉及线面角、二面角计算|从位置关系证明延伸到角度定量计算，依托向量运算实现几何问题代数化|

空间向量与立体几何：空间位置关系的向量法证明、空间角度的向量法求法专项训练 空间向量与立体几何：空间位置关系的向量法证明、空间角度的向量法求法专项训练 考点目录 空间位置关系的向量法证明 空间角度的向量法求法 考点一 空间位置关系的向量法证明 例1．（26-27高二上·黑龙江·开学考试）已知平面的一个法向量，平面的一个法向量，若，则（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二上·贵州铜仁·期末）已知，且，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 例3．（25-26高二上·四川眉山·期中）已知，分别是平面，的法向量，若，则__________ 例4．（25-26高二上·辽宁大连·阶段检测）如图，长方体中，，， (1)求证：平面平面; (2)线段上，是否存在点，使得平面. 变式1．（25-26高二下·辽宁葫芦岛·开学考试）若直线的一个方向向量，平面的一个法向量，则（   ） A． B． C． D．以上都有可能 变式2．（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知平面的一个法向量，若直线平面，则直线的一个方向向量可以是（   ） A． B． C． D． 变式3．（26-27高二上·河北承德·开学考试）已知空间直线的方向向量是（，），平面的一个法向量为，若，则____________；若，则____________. 变式4．（25-26高二上·山东青岛·阶段检测）如图，在直三棱柱中，，，．是的中点，是与的交点． (1)求直三棱柱的体积； (2)若是的中点，证明：平面； 考点二 空间角度的向量法求法 例1．（26-27高三上·河北雄安·开学考试）如图，在棱长为2的正方体中，是棱的中点，是棱的中点，是棱的中点. (1)证明：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 例2．（25-26高三上·江苏南京·开学考试）如图，已知三棱锥，与都是边长为2的等边三角形，是的中点，． (1)证明：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 例3．（25-26高三下·重庆沙坪坝·开学考试）如图所示，在直三棱柱中，为棱的中点，，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 变式1．（25-26高二下·广西河池·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，，，与交于点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面的夹角的余弦值． 变式2．（25-26高二下·四川德阳·期末）如图，四边形，ADCB和是三个全等的直角梯形，D为公共直角顶点，其上底为，每个梯形的下底长和垂直于底边的腰长相等且为上底长的2倍． (1)试判断直线与平面的位置关系，并说明理由； (2)求平面与平面的夹角的正弦值． 变式3．（25-26高二下·广东广州·期末）如图，正三棱柱的所有棱长都为2，且． (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $空间向量与立体几何：空间位置关系的向量法证明、空间角度的向量法求法专项训练 空间向量与立体几何：空间位置关系的向量法证明、空间角度的向量法求法专项训练 考点目录 空间位置关系的向量法证明 空间角度的向量法求法 考点一 空间位置关系的向量法证明 例1．（26-27高二上·黑龙江·开学考试）已知平面的一个法向量，平面的一个法向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量共线列方程，然后解方程即可. 【详解】因为，所以，解得，， 所以. 例2．（25-26高二上·贵州铜仁·期末）已知，且，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据空间向量共线定理，代入公式，即可求解. 【详解】由，可知，即， 得，解得：，. 故选：D 例3．（25-26高二上·四川眉山·期中）已知，分别是平面，的法向量，若，则__________ 【答案】 【分析】根据平面的位置关系可知法向量的位置关系，列方程，解方程即可. 【详解】由，可知， 则， 解得， 故答案为：. 例4．（25-26高二上·辽宁大连·阶段检测）如图，长方体中，，， (1)求证：平面平面; (2)线段上，是否存在点，使得平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在. 【分析】（1）以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间坐标系，分别求平面和平面的法向量，利用法向量平行即可证明面面平行； （2），当垂直与平面的法向量时平面，求的值即可. 【详解】（1）因为长方体，所以，，两两垂直， 以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间坐标系： 由题知， 则， 设平面的法向量为， 则，故可取， 设平面的法向量为， 则，故可取， 因为，所以平面平面. （2）设线段上存在点使得平面， 由（1）得，，平面的法向量， 所以， 由解得， 即为线段中点时，平面. 变式1．（25-26高二下·辽宁葫芦岛·开学考试）若直线的一个方向向量，平面的一个法向量，则（   ） A． B． C． D．以上都有可能 【答案】A 【分析】根据条件可得，即可判断出结论. 【详解】因为，， 所以，所以，所以， 故选：A 变式2．（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知平面的一个法向量，若直线平面，则直线的一个方向向量可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线与平面垂直时，直线与平面的法向量共线，即可得解. 【详解】若直线平面，则直线与平面的法向量共线， 因此，当时，即为A选项，对于选项B、C、D，找不到满足条件的，故B、C、D错误. 故选：A. 变式3．（26-27高二上·河北承德·开学考试）已知空间直线的方向向量是（，），平面的一个法向量为，若，则____________；若，则____________. 【答案】 【详解】由题意，是直线的方向向量，是平面的一个法向量. ①若，则，即，解得，则； ②若，则，即，解得. 变式4．（25-26高二上·山东青岛·阶段检测）如图，在直三棱柱中，，，．是的中点，是与的交点． (1)求直三棱柱的体积； (2)若是的中点，证明：平面； 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）棱柱体积等于底面乘以高，进而计算可得体积； （2）先求平面的法向量，进而证明即可得证. 【详解】（1）. （2）由题意，以原点，所在直线分别为轴， 建立空间直角坐标系，如下图： 所以 ， 所以， 设平面的法向量，则， 令，则， 因为，所以， 且平面，则平面. 考点二 空间角度的向量法求法 例1．（26-27高三上·河北雄安·开学考试）如图，在棱长为2的正方体中，是棱的中点，是棱的中点，是棱的中点. (1)证明：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1)以D为坐标原点，向量，，的方向分别为轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系. ，，，，，. 所以，，. 又，. 可得，. 又由，，，平面， 所以平面. (2) 【分析】（1）以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法证明，，再利用线面垂直的判定定理即可. （2）由（1）得平面的一个法向量为，再求出平面的一个法向量，求即可转换成平面与平面的夹角的余弦值. 【详解】（1）略 （2）由平面，可得平面的一个法向量为. 设平面的一个法向量为，由，. 有， 取，，，可得平面的一个法向量为. 又由，，， 所以. 因为平面与平面的夹角为锐角， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 例2．（25-26高三上·江苏南京·开学考试）如图，已知三棱锥，与都是边长为2的等边三角形，是的中点，． (1)证明：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明：取的中点，连接， ∵与都是边长为2的等边三角形， ∴，，且， 在中，，即 由勾股定理得，又， 平面，∴平面， 又平面，∴平面平面. (2). 【分析】（1）先取的中点，利用勾股定理证明出，再利用线面垂直的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用线面角的定义求解即可. 【详解】（1）略. （2）以为原点，为轴，为轴，为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 又∵是的中点，∴，， 设平面的法向量为， ，， 则，即， 化简得取， 则，则， 设直线与平面所成角为， 则. 例3．（25-26高三下·重庆沙坪坝·开学考试）如图所示，在直三棱柱中，为棱的中点，，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)不妨设，则，，． 连接AD，由直棱柱的性质知，四边形为矩形，又D为的中点， 故，于是，所以， 又，，所以平面ABD，平面ABD，故． 又⊥平面ABC，平面ABC，故⊥AB，又＝，故AB⊥平面 (2)． 【详解】（1）略． （2）由（1）知，AB、AC、两两垂直，故以A为原点， 分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则： ， ，，， 设平面的一个法向量为， 则，取，得． 记直线BC与平面所成角为，则， 即直线BC与平面所成角的正弦值为． 变式1．（25-26高二下·广西河池·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，，，与交于点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)因为底面是菱形，，， 所以为等边三角形，，，， 又，为中点，故， ， 已知，则， 则，故，即， 因为，，平面， 所以平面． (2)． 【详解】（1）略 （2）由（1）知，，两两垂直，以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系． 如图所示，则，，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则，即，令，得， 设直线与平面的夹角为， 则， 所以，， 直线与平面的夹角的余弦值为． 变式2．（25-26高二下·四川德阳·期末）如图，四边形，ADCB和是三个全等的直角梯形，D为公共直角顶点，其上底为，每个梯形的下底长和垂直于底边的腰长相等且为上底长的2倍． (1)试判断直线与平面的位置关系，并说明理由； (2)求平面与平面的夹角的正弦值． 【答案】(1)平面 (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，通过判断与平面法向量的关系判断. （2）利用向量法，先求出两平面夹角的余弦值，再求两平面夹角的正弦值. 【详解】（1）因为为三个直角梯形公共直角顶点，所以以为原点，三条两两垂直的方向作为轴建立坐标系，如图， 设梯形的上底边长为1，根据题意，下底边长、垂直底边的腰长均为2， 所以. 则 则， 设平面的法向量为， 则，令，则，所以. ，因此， 又平面，所以平面. （2）因为平面，所以为平面的法向量， 设两平面的夹角为，所以， 所以. 变式3．（25-26高二下·广东广州·期末）如图，正三棱柱的所有棱长都为2，且． (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明：法一：取中点，连结， 因为为正三角形，所以， 又因为正三棱柱中，平面平面，交线为， 所以平面，因为面，所以， 可得，所以． 又因为，所以，所以， 因为，且面，可得面． 又因为面，所以， 因为四边形是正方形，可得， 又因为，且面，所以面． 法二：取中点，以为原点，的方向为轴的正方向， 建立空间直角坐标系， 则， 可得， 因为，所以，即 又因为，所以，即， 因为平面，且，所以平面． (2)． 【分析】（1）法一：取中点，连结，证得，再由四边形是正方形，得到，利用线面垂直的判定定理，即可证得面． 法二：以为原点，建立空间直角坐标系，求得和，得到和，利用线面垂直的判定定理，即可证得面． （2）由（1）中的空间直角坐标系，求得平面和的法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可得，． 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 由（1）知平面．所以为平面的法向量． 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $