专题04 用空间向量研究直线、平面的位置关系（专项训练）高二数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 以空间向量为工具，系统构建线线、线面、面面平行与垂直的判定体系，通过解题贴士提炼通法，形成从概念到应用的完整逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平行关系|6题型（含探索性）|方向向量/法向量判定，存在性问题假设-建系-解方程|从方向向量、法向量（基础）到线线/线面/面面平行（应用），逐步递进| |垂直关系|4题型（含探索性）|向量垂直（数量积为0），法向量平行/垂直转化|延续平行逻辑，通过向量运算实现垂直关系的代数化证明|

专题04 用空间向量研究直线、平面的位置关系 常考题型·精准突破 题型1 直线的方向向量 题型2 平面的法向量 题型3 直线与直线平行 题型4 直线和平面平行 题型5 平面与平面平行 题型6 平行关系中的探索性问题 题型7 直线与直线垂直 题型8 直线与平面垂直 题型9 平面与平面垂直 题型10 垂直关系中的探索性问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 直线的方向向量 ( 解题贴士 ： 求直线的方向向量关键是找到直线上两点 ， 用所给的基向量表示以两点为起点和终点的向量 ， 其难点是向量的运算 . ) 【例1】（25-26高二上·内蒙古通辽·期末）已知向量都是直线l的方向向量，则x的值是（   ） A．或1 B． C． D．1 【答案】B 【解析】依题意，向量共线，则，所以.故选：B 【变式1】（25-26高二上·山西·阶段检测）已知直线l的一个方向向量，且直线l经过和两点，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【解析】因为，直线的一个方向向量为，所以有向量与向量为共线， 所以，解得，，所以，故选：A. 【变式2】（25-26高二上·四川成都·期中）经过点，点的直线的一个方向向量是______. 【答案】(时，均可) 【解析】点，点在直线上， 则直线的一个方向向量为，时，也都是直线的方向向量. 【变式3】（25-26高二上·全国·课后作业）已知直线的一个方向向量，且直线过点和，则______. 【答案】4 【解析】由题得，设，则，解得. ◆题型2 平面的法向量 ( 解题贴士 ： 求平面法向量的步骤 ) 【例2】（25-26高二上·安徽阜阳·期末）在空间直角坐标系中，已知点，则平面ABC的一个法向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得，，， 设平面ABC的法向量为，则， 令，则，则是平面ABC的一个法向量.故选：D 【变式1】（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）在空间直角坐标系中的位置如图所示，其中，，．则平面ABC的一个法向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，,. 设平面的法向量为. 则，令，则. 平面的一个法向量 【变式2】（25-26高二上·广东·期末）点，平面的一个法向量为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设平面的一个法向量， ， 则，不妨取，则， ，即平面的一个法向量为．故选：B． 【变式3】在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方体，下列结论正确的是（　AC　） A.平面CDD1C1的一个法向量为（0，1，0） B.平面A1BC的一个法向量为（1，1，1） C.平面B1CD1的一个法向量为（1，1，1） D.平面ABC1D1的一个法向量为（0，1，1） 【答案】AC 【解析】对于A，由AD⊥平面CDD1C1，知＝（0，1，0）是平面CDD1C1的一个法向量，故A正确；对于B，由AB1⊥平面A1BC，知＝（1，0，1）是平面A1BC的一个法向量，故B错误；对于C，由AC1⊥平面B1CD1，知＝（1，1，1）是平面B1CD1的一个法向量，故C正确；对于D，由DA1⊥平面ABC1D1，知＝（0，－1，1）是平面ABC1D1的一个法向量，故D错误.故选A、C. ◆题型3 直线与直线平行 ( 解题贴士 ： 证明两直线平行的两种思路 ) 【例3】 （25-26高二上·全国·课后作业）已知直线的方向向量为，直线的方向向量为，且，则（    ） A． B．1 C．0 D．无法确定 【答案】A 【解析】因为，即，则，所以.故选：A 【变式1】（25-26高一下·河北承德·期末）已知空间向量，，若，则实数的值为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【解析】由，得，使得， 则， ，解得. 【变式2】（25-26高二下·安徽马鞍山·期中）已知，且，则的值分别为（    ） A．3，1 B．4， C．3， D．1，1 【答案】C 【解析】已知，，且， 则存在实数使得, 即：，解得：. 【变式3】（25-26高二上·广东梅州·期末）已知空间三点在同一直线上，则实数（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】D 【解析】设向量 ，， 由于 ，， 共线，存在 使 ， 由 ，解得 ，代入得 ，解得 ， 所以，解得 ，因此，. ◆题型4 直线和平面平行 ( 解题贴士 ： 利用空间向量证明线面平行的三种方法 （ 1 ） 先求直线的方向向量 ， 然后求平面的法向量 ， 证明直线的方向向量与平面的法向量垂直 ； （ 2 ） 证明直线的方向向量与平面内某一向量共线 ， 转化为线线平行 ， 利用线面平行判定定理得证 ； （ 3 ） 证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面 ， 即可用平面内的一个基底表示 . ) 【例4】（25-26高一下·广东广州·期中）直三棱柱的所有棱长均为4，D为侧棱的中点，M为侧棱上一点，N为上一点，且，且平面，则的长为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【解析】因为三棱柱为直三棱柱，所以可以为原点，为轴，为轴，为轴， 建立空间直角坐标系，则，，，，，， 为中点，故， 在上，且，向量， ， 因此的坐标为：， 在上，设，则：. 接着求平面的法向量，设法向量为， ，，， 令，则，. 因为平面，所以， 化简得：， 所以. 【变式1】（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知直线的方向向量是，平面的一个法向量是，则与的位置关系是（   ） A． B． C．l与α相交但不垂直 D．或 【答案】A 【解析】，，所以，所以，故选：A 【变式2】（25-26高二下·江苏常州·阶段检测）已知点，点，平面的一个法向量为，则直线与平面的关系是（    ） A． B． C． D．与相交但不垂直 【答案】A 【解析】因为直线l经过点， 所以，又因为平面的一个法向量为， 且，所以平面的一个法向量与直线l的方向向量平行，则，；故选：A. 【变式3】（25-26高二上·北京·阶段检测）如图，在正三棱柱中，D为棱上的点，E，F分别为，的中点，.若平面BCD，则AD的长为___________. 【答案】2 【解析】在正三棱柱中，在平面内过点作，由平面， 得直线两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 设，则， ，设平面BCD的法向量， 则，令，得， 由平面BCD，得，则，解得， 所以AD的长为2. ◆题型5 平面与平面平行 ( 解题贴士 ： 证明面面平行的方法 （ 1 ） 转化为相应的线线平行或线面平行 ； （ 2 ） 分别求出这两个平面的法向量 ， 然后证明这两个法向量平行 . ) 【例5】（25-26高二下·河南·阶段检测）已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【解析】由题意可知，，所以，解得，所以.故选：A. 【变式1】（25-26高二下·江苏盐城·期中）已知平面的法向量为，，平面的法向量为，若，则（    ） A．最大值为2 B．最大值为 C．最小值为 D．最小值为2 【答案】B 【解析】因为，所以， 则存在唯一实数，使得， 即， 所以，所以， 因为，所以，所以， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为.故选：B. 【变式2】（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【解析】因为，所以， 所以，所以，所以，故选：B 【变式3】（25-26高二·全国·课后作业）已知平面内的三点，，，平面的一个法向量为，且与不重合，则（    ） A． B． C．与相交但不垂直 D．以上都不对 【答案】A 【解析】，， ， ， ，，也为的一个法向量， 又与不重合，因此，.故选：A. ◆题型6 平行关系中的探索性问题 ( 解题贴士 ： 有关是否存在一点 ， 使得直线、平面满足平行关系的探索性问题 ， 解答时 ， 一般先假设存在这样的点 ， 再建立空间直角坐标系 ， 设出该点的坐标 ， 将直线、平面的平行关系转化为直线的方向向量、平面的法向量的关系 ， 利用向量坐标运算建立关于所求点坐标的方程 （ 组 ）. 若方程 （ 组 ） 有解 ， 则点存在 ； 否则 ， 点不存在 . ) 【例6】如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC和∠A1AC均为60°，AC与BD相交于点O，且A1在底面ABCD上的投影为O.在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由. 解：因为四棱柱ABCD -A1B1C1D1的所有棱长都等于2，则底面四边形ABCD为菱形，AC⊥BD，又因A1在底面ABCD上的投影为O.则A1O⊥平面ABCD， 所以OA1，OB，OC两两互相垂直. 以OB，OC，OA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B（，0，0），C（0，1，0），D（－，0，0），A1（0，0，），C1（0，2，）. 假设在直线CC1上存在点P，使BP∥平面DA1C1， 设＝λ，P（x，y，z），则（x，y－1，z）＝λ（0，1，）. 从而有P（0，1＋λ，λ），＝（－，1＋λ，λ）. 设平面DA1C1的法向量为n＝（x1，y1，z1），则 又＝（0，2，0），＝（，0，），则取n＝（1，0，－1）， 因为BP∥平面DA1C1， 则n⊥，即n·＝－－λ＝0，解得λ＝－1， 即点P在C1C的延长线上，且C1C＝CP. 【变式1】（25-26高三上·陕西汉中·阶段检测）设，，为不同的平面，m，n为不同的直线，则的一个充分条件是（    ） A．， B．，， C．内有无数条直线与平行 D．内有不共线的三点到的距离相等 【答案】B 【解析】选项A，直棱柱的侧面都与底面垂直，但相邻侧面是相交的，A错； 选项B，由，知直线的方向向量是平面的一个法向量，直线的方向向量是平面的一个法向量， 且，即直线的方向向量平行，也即平面的法向量平行，因此这两个平面平行，B正确； 选项C，当这无数条直线是平行线时，平面与可能相交，C错； 选项D，不共线的三点在内，当平面过这三点确定的三角形的中位线时，三角形的三个顶点到平面的距离相等，此时平面相交，D错， 故选：B． 【变式2】（25-26高二上·山东·期中）已知正方体的棱长为，，分别为棱，的中点，，若平面，则实数的值为_____. 【答案】/ 【解析】以D为坐标原点，以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，，， 则，，， 设，因，可得，则， 设平面的一个法向量为， 则，令，可得，即， 又因为平面，则，解得. 【变式3】如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q分别为对角线BD，CD1上的点，且＝＝.若R是AB上的点，的值为多少时，能使平面PQR∥平面A1D1DA？请给出证明. 【解】如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，＝λ，则＝λ（0≤λ≤1）， 则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D1（0，0，1），R（1，λ，0），＝（0，－1，1），＝（－1，－1，0），＝（0，1，0）， 由＝＝，得＝，＝，得Q（0，，），P（，，0）， 则＝（－1，－λ，），＝（－，－λ，0）， 设平面PQR的法向量为n＝（x，y，z），则 令y＝，则n＝（－λ，，－λ）， 易知平面A1D1DA的一个法向量为＝（0，1，0）， 若平面PQR∥平面A1D1DA，则n＝k， 即解得λ＝，故＝时，平面PQR∥平面A1D1DA. ◆题型7 直线与直线垂直 ( 解题贴士 ： 证明两直线垂直的方法及步骤 （ 1 ） 坐标法 ： 建立空间直角坐标系 → 写出点的坐标 → 求直线的方向向量 → 证明向量垂直 → 得到两直线垂直 ； （ 2 ） 基向量法 ： 确定基向量 → 表示直线的方向向量 → 证明向量垂直 → 得到两直线垂直 . ) 【例7】（25-26高二下·江苏扬州·期中）设，向量，且，则（    ） A．5 B．1 C．-1 D．-5 【答案】A 【解析】因为，所以，解得 【变式1】（25-26高二上·湖南怀化·期末）已知．若，则的值为（   ） A． B．3 C．或3 D．或1 【答案】C 【解析】若，则，则，解得或3.故选：C. 【变式2】（25-26高二上·湖北·阶段检测）已知空间向量，若，其中，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以， 又因为，所以，故选：B 【变式3】（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）如图，在棱长为3的正方体中，，点在底面（包含边界）上移动，且满足，则线段的长度的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图所示，以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，    则， 设，则， 因为，则，即， 所以， 而， 由二次函数的单调性可知， 当时，，则.故选：B. ◆题型8 直线与平面垂直 ( 解题贴士 ： 用向量法证明直线与平面垂直的方法和步骤 基向量法 把直线的方向向量和平面内两个不共线向量用同一个基底表示 ， 分别证明它们垂直 坐标法 利用线 线垂直 （ 1 ） 建系后 ， 将直线的方向向量用坐标表示 ； （ 2 ） 找出平面内两条相交直线 ， 并用坐标表示它们的方向向量 ； （ 3 ） 分别计算两组向量的数量积 ， 得到数量积为 0 利用平面 的法向量 （ 1 ） 建系后 ， 将直线的方向向量用坐标表示 ； （ 2 ） 求出平面的法向量 ； （ 3 ） 判断直线的方向向量与平面的法向量平行 ) 【例8】（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）正方体的棱长为1，动点在线段上，动点在平面上，且平面，线段长度的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】结合题意：以分别为建立空间直角坐标系，如图所示： 由正方体的棱长为1，可得. 设， 则， 因为平面，所以, 即，解得， 所以，所以， 所以， 因为，结合复合函数单调性可得在单调递增. 故.故选：D. 【变式1】（25-26高二上·安徽安庆·阶段检测）平面的一个法向量，如果直线平面，则直线的单位方向向量（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意知直线平面，所以，因为，则设，所以， 又因为是单位向量，所以，解得， 所以，故B正确.故选：B. 【变式2】（25-26高三·全国·中职高考）已知正方体中，点M在棱上，直线平面，则点M的位置是（    ） A．点D B．点 C．的中点 D．不存在 【答案】A 【解析】如图，以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，    设正方体棱长为1，， ， ， ∵，∴， ∵直线平面，平面， ∴，∴， ∴，解得，此时点M与点D重合． 故选：A． 【变式3】（25-26高二上·浙江·期中）空间中，其中，且平面ABC，则的值为_______． 【答案】/1.5 【解析】因为， 所以， 设平面ABC的法向量为， 所以，令，则，所以 因为平面ABC，所以，设，， 所以，解得，所以， ◆题型9 平面与平面垂直 ( 解题贴士 ： 向量法证明面面垂直的两种思路 （ 1 ） 证明两个平面的法向量互相垂直 ； （ 2 ） 根据面面垂直的判定定理 ， 证明一个平面内的向量垂直于另一个平面 . ) 【例9】（25-26高二下·海南儋州·开学考试）若平面的一个法向量为，平面平面，则平面的法向量的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设平面的法向量为，因为平面平面，所以， 因为， ， ， . 所以平面的法向量的坐标可以是. 【变式1】（25-26高二上·山东临沂·期中）已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则x的值为（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】B 【解析】由于，可得：，即， 解得：.故选：B 【变式23】（25-26高二下·江苏南京·开学考试）两平面的法向量分别为，若，则的值是（　　） A．－3 B．6 C．－6 D．－12 【答案】B 【解析】因为两平面的法向量分别为，且， 所以，所以.故选：B 【变式3】（25-26高二上·安徽安庆·期末）已知平面的一个法向量为，若直线平面，则___________. 【答案】1 【解析】【详解】因为直线平面，所以，又， 所以存在实数使得， 即，所以， 解得，所以． ◆题型10 垂直关系中的探索性问题 ( 解题贴士 ： 有关是否存在一点 ， 使得直线、平面之间满足垂直关系的探索性问题 ， 解答时 ， 一般先假设存在这样的点 ， 再建立空间直角坐标系 ， 设出该点的坐标 ， 将直线、平面的垂直关系转化为直线的方向向量、平面的法向量之间关系 ， 利用向量坐标运算建立关于所求点坐标的方程 （ 组 ）. 若方程 （ 组 ） 有解 ， 则点存在 ； 否则 ， 点不存在 . ) 【例10】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PCD⊥平面ABCD，AB＝2，BC＝1，PC＝PD＝，在棱PD上是否存在点M，使得AM⊥BD？若存在，求的值；若不存在，说明理由. 解：连接AC，交BD于点F，因为底面ABCD为矩形，所以F为BD的中点， 假设在棱PD上存在点M，使得AM⊥BD. 取CD的中点为O，连接PO，FO， 因为底面ABCD为矩形，故BC⊥CD， 而F为BD的中点，故OF∥BC，所以OF⊥DC. 因为PC＝PD＝，故PO⊥CD，又平面PCD⊥平面ABCD，PO⊂平面PCD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，故PO⊥平面ABCD， 故以O为坐标原点，OF，OC，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则A（1，－1，0），D（0，－1，0），B（1，1，0），P（0，0，1）， 设＝λ（λ∈[0，1]），M（x，y，z），则＝λ， 即（x，y，z－1）＝λ（0，－1，－1），则可得M（0，－λ，1－λ）， 故＝（－1，1－λ，1－λ），＝（－1，－2，0）， 因为AM⊥BD，故·＝0，即1－2（1－λ）＝0，解得λ＝，即在棱PD上存在点M，使得AM⊥BD，此时＝. 【变式1】（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）如图，在棱长为2的正方体中，分别为棱，的中点，为面对角线上的一点，且,若平面，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 则 , 所以， 由,可得， 所以,平面, 所以, 所以, 即，解得， 当为线段上靠近的四等分点时，平面.故选:. 【变式2】在四棱锥中，底面为的中点，为上一点，当时，______. 【答案】 【解析】以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 故，， 设，则，， 因为，所以， 即，解得， 所以. 【变式3】如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为BC的中点. （1）在平面AA1B1B上是否存在一点N，使D1N⊥平面B1AE？ （2）在B1D1上是否存在一点P，使平面PAE⊥平面ABCD？ 【解】（1）如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 则A（1，0，0），E（，1，0），B1（1，1，1），D1（0，0，1）， ＝（0，－1，－1），＝（－，0，－1）. 假设在平面AA1B1B上存在点N，使D1N⊥平面B1AE，设N（1，b，c）， 则因为＝（1，b，c－1）， 所以解得 故平面AA1B1B上存在点N（1，，），使D1N⊥平面B1AE. （2）假设在B1D1上存在点P，使平面PAE⊥平面ABCD，故可设P（λ，λ，1）， 则＝（λ－1，λ，1），＝（λ－，λ－1，1）， 设平面AEP的法向量为n＝（x，y，z）， 则 即 令x＝1，则n＝（1，，1－λ）， 又平面ABCD的法向量为＝（0，0，1）， 由平面PAE⊥平面ABCD，得n·＝0， 即1－λ＝0，解得λ＝， 故在B1D1上存在点P（，，1），使平面PAE⊥平面ABCD. 综合攻坚·知能拔高 1．（25-26高二上·辽宁·阶段检测）若为平面内相异三点，且，则平面的一个法向量可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由法向量的性质得平面法向量与平面内向量垂直， 即且，设， 则，， 由第二个方程得，代入第一个方程有， 令，则，即． 故选：B． 2．（25-26高二下·湖南衡阳·开学考试）已知直线经过点，，下列向量不是该直线的方向向量的为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】直线经过点，，， 与向量共线的非零向量均为该直线的方向向量， 选项A：假设向量与共线，则， 由得，得，故不存在唯一的，使得成立， 故向量不是该直线的方向向量； 选项B：假设向量与共线，则，解得， 故向量是该直线的方向向量； 选项C：假设向量与共线，则，解得， 故向量是该直线的方向向量； 选项D：假设向量与共线，则，解得， 故向量是该直线的方向向量． 故选：A． 3．（25-26高二下·广西河池·期末）在空间直角坐标系中，，，，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，， ，， 由题意可得，解得. 4．（25-26高一下·黑龙江·期末）已知是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意可得，所以，即. 5．（25-26高二下·江苏徐州·期中）若平面的一个法向量为，平面平面，则平面的法向量的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】平面的一个法向量为，平面平面， 设平面的法向量为， 平面的法向量， 选项A，，与不平行，故选项A错误； 选项B，，与不平行，故选项B错误； 选项C，，与平行，故选项C正确； 选项D，，与不平行，故选项D错误. 6．（25-26高二下·四川南充·阶段检测）如图，正方形与矩形所在平面互相垂直，，在上且平面，则点的坐标为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知：， 设，则． 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 因为平面，则， 即，解得，即点坐标为． 故选：B. 7．（25-26高二上·四川攀枝花·阶段检测）如图，在直三棱柱中，，，已知与分别为和的中点，与分别为线段和上的动点（不包括端点），若，则线段的长度的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在直三棱柱中，底面， 以点为坐标原点，，、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、，设点、， ，， 由于，则，可得， ，则， . 故选：C. 8．（25-26高二上·重庆·阶段检测）如图，已知正方体的棱长为2，、分别为线段、的中点，若点为正方体表面上一动点，且满足平面，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【解析】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，， 则， 故， 所以， 又，平面， 所以⊥平面， 故当点在线段上时，满足平面， 点的轨迹长度为. 故选：B 9．（25-26高二上·云南文山·阶段检测）在空间直角坐标系中，已知，，下列结论正确的有（     ） A． B． C．若，且，则 D．若且，则 【答案】ABC 【解析】已知在空间直角坐标系中，，，原点， 则 ，，. 选项A：的模长， 因此A正确； 选项B：，因此B正确； 选项C：已知，且，因此，解得，因此C正确； 选项D：已知，且，因此，解得，因此D错误. 10．（25-26高二下·河南平顶山·期末）在正八面体中（正八面体是由个全等的正三角形围成的多面体），四边形为正方形，E，F，G，H分别为，，，的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】以正八面体的中心为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，    设，到平面的距离为， 则， 则，，，，，， 又E，F，G，H分别为，，，的中点， 则，，，， 对于A，由，，则，故A正确； 对于B，由，，则，故B正确； 对于C，结合选项A、B，由，则，故C正确； 对于D，由，，，得与不垂直，故D错误． 11．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）以下命题正确的是（    ） A．若是平面的一个法向量，直线 上有不同的两点A，B，若 ，则 B．已知A、B、C三点不共线，对于空间任意一点O，若，则P、A、B、C四点共面 C．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 D． ， ，则在上的投影向量为 【答案】BC 【解析】对于A，因为 ，所以，则或，故 A错误； 对于B，因为，， 所以由空间向量共面定理可知：P、A、B、C四点共面，B正确； 对于C，假设存在实数使得， 因为是空间的一个基底，所以线性无关， 则有，故线性无关，即也是空间的一个基底，C正确； 对于D，，， 则在上的投影向量为，故D错误． 12．（25-26高三上·湖北·开学考试）如图所示，在三棱锥A﹣BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，M是AD的中点，P是BM的中点，，则下列结论正确的有（　　） A．BC⊥平面ACD B．存在λ，使得PQ⊥平面ACD C．存在λ，使得PQ∥平面BCD D．若存在λ，使得PQ⊥平面ABD，则 【答案】ACD 【解析】因为平面，平面，所以； 因为，，与相交于点且都在平面上，所以平面； 故选项A正确. 因为直线，，两两垂直，所以，，可构成空间的一组基 进而化简得 若要使得与平面垂直，等价于与平面的法向量共线 即且同时成立，显然不存在这样的 故选项B错误. 要使与平面平行，等价于与平面的法向量垂直 当时，，即与平面平行 故选项C正确. 要使与平面垂直，等价于且 则，可得； ，将代入 得，即 故选项D正确. 13．（25-26高二上·辽宁大连·期中）已知直线的方向向量为，平面的法向量为，，若，则的值为__________. 【答案】 【解析】由直线的方向向量为，平面的法向量为， 因为，可得，所以， 即，解得，所以. 14．（25-26高二上·北京·期中）在空间直角坐标系中，已知点，，．若点在平面内（与，，三点都不重合），则点的坐标可以是______． 【答案】(答案不唯一) 【解析】因为，，，所以， 设平面的一个法向量为， 则，故可取， 因为平面，所以， 因为，所以，所以， 故点的坐标满足即可，可取， 故答案为：(答案不唯一). 15．（25-26高二上·广东佛山·期中）如图，在直三棱柱中，，，，M是AB的中点，N是的中点，P是与的交点，是线段上的一点，且满足平面，则________    【解】如图，由已知，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，   设， 则,， 设面的一个法向量, 则,即， 令得， 因为平面，所以,即， 所以得， ,所以， 因为，所以． 16．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，在正方体ABCD­A′B′C′D′中，E，F，E′，F′分别是棱AB，AD，B′C′，C′D′的中点．求证：四边形EFF′E′为平行四边形． 【解】证明：连接，，因为分别为的中点，所以且， 同理且，在正方体中，四边形为平行四边形， 所以且，所以，且， 故四边形为平行四边形． 17．（25-26高二下·全国·课堂例题）如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别是棱，，的中点，点G在棱上，且．证明：． 【解】由题意可知，，两两垂直，则以为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．设，则． 所以，，，，则，． 因为， 所以，即． 18．（25-26高二下·全国·单元测试）如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，侧面底面．求证： (1)； (2)平面平面. 【解】(1)取的中点为，连接， 因为，所以， 因为侧面底面，侧面底面，平面， 所以底面， 又因为四棱锥的底面是直角梯形， 所以以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，， 所以，， 所以，即. (2)，，，， 设平面的法向量为， 则， 令，则，，可以求得面的一个法向量； 设平面的法向量为，则， 令，则，，可以求得面的一个法向量， 又因为，所以，平面平面. 19．（25-26高二上·山东济宁·阶段检测）如图，已知在三棱锥中，，，OA，OB，OC两两垂直．建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题： (1)若OA，OC的中点分别为E，F，试判断EF与OB之间的位置关系； (2)若点D满足，，试确定点D的坐标． 【解】（1）建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 由于OA，OC的中点分别为E，F． 因此，，得． 又，所以，即， 故EF与OB垂直． （2）设，则，， ，， 由，，， 因此存在实数，，使得，， 即． 即点D的坐标为． 20．（25-26高三下·海南海口·阶段检测）如图，和所在平面垂直，且，，点分别在直线和上移动， (1)证明：； (2)当的长最小时，求点到直线的距离． 【解】（1）依题意，由平面平面，得以点为坐标原点，以所在直线为轴， 分别在平面、平面内过点作垂直于的直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示， ，， ，，，， ，， 则，所以，故． （2）设，，则， 则，， ， 当，即时，的长最小值为， 此时，， ，即， 故，又点在直线上， 因此当的长最小时，点到直线的距离为． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 用空间向量研究直线、平面的位置关系 常考题型·精准突破 题型1 直线的方向向量 题型2 平面的法向量 题型3 直线与直线平行 题型4 直线和平面平行 题型5 平面与平面平行 题型6 平行关系中的探索性问题 题型7 直线与直线垂直 题型8 直线与平面垂直 题型9 平面与平面垂直 题型10 垂直关系中的探索性问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 直线的方向向量 ( 解题贴士 ： 求直线的方向向量关键是找到直线上两点 ， 用所给的基向量表示以两点为起点和终点的向量 ， 其难点是向量的运算 . ) 【例1】（25-26高二上·内蒙古通辽·期末）已知向量都是直线l的方向向量，则x的值是（   ） A．或1 B． C． D．1 【变式1】（25-26高二上·山西·阶段检测）已知直线l的一个方向向量，且直线l经过和两点，则（    ） A． B． C．1 D．2 【变式2】（25-26高二上·四川成都·期中）经过点，点的直线的一个方向向量是______. 【变式3】（25-26高二上·全国·课后作业）已知直线的一个方向向量，且直线过点和，则______. ◆题型2 平面的法向量 ( 解题贴士 ： 求平面法向量的步骤 ) 【例2】（25-26高二上·安徽阜阳·期末）在空间直角坐标系中，已知点，则平面ABC的一个法向量可以是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）在空间直角坐标系中的位置如图所示，其中，，．则平面ABC的一个法向量是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·广东·期末）点，平面的一个法向量为（     ） A． B． C． D． 【变式3】在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方体，下列结论正确的是（　AC　） A.平面CDD1C1的一个法向量为（0，1，0） B.平面A1BC的一个法向量为（1，1，1） C.平面B1CD1的一个法向量为（1，1，1） D.平面ABC1D1的一个法向量为（0，1，1） ◆题型3 直线与直线平行 ( 解题贴士 ： 证明两直线平行的两种思路 ) 【例3】 （25-26高二上·全国·课后作业）已知直线的方向向量为，直线的方向向量为，且，则（    ） A． B．1 C．0 D．无法确定 【变式1】（25-26高一下·河北承德·期末）已知空间向量，，若，则实数的值为（    ） A． B．2 C． D．4 【变式2】（25-26高二下·安徽马鞍山·期中）已知，且，则的值分别为（    ） A．3，1 B．4， C．3， D．1，1 【变式3】（25-26高二上·广东梅州·期末）已知空间三点在同一直线上，则实数（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 ◆题型4 直线和平面平行 ( 解题贴士 ： 利用空间向量证明线面平行的三种方法 （ 1 ） 先求直线的方向向量 ， 然后求平面的法向量 ， 证明直线的方向向量与平面的法向量垂直 ； （ 2 ） 证明直线的方向向量与平面内某一向量共线 ， 转化为线线平行 ， 利用线面平行判定定理得证 ； （ 3 ） 证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面 ， 即可用平面内的一个基底表示 . ) 【例4】（25-26高一下·广东广州·期中）直三棱柱的所有棱长均为4，D为侧棱的中点，M为侧棱上一点，N为上一点，且，且平面，则的长为（    ） A．1 B．2 C． D． 【变式1】（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知直线的方向向量是，平面的一个法向量是，则与的位置关系是（   ） A． B． C．l与α相交但不垂直 D．或 【变式2】（25-26高二下·江苏常州·阶段检测）已知点，点，平面的一个法向量为，则直线与平面的关系是（    ） A． B． C． D．与相交但不垂直 【变式3】（25-26高二上·北京·阶段检测）如图，在正三棱柱中，D为棱上的点，E，F分别为，的中点，.若平面BCD，则AD的长为___________. ◆题型5 平面与平面平行 ( 解题贴士 ： 证明面面平行的方法 （ 1 ） 转化为相应的线线平行或线面平行 ； （ 2 ） 分别求出这两个平面的法向量 ， 然后证明这两个法向量平行 . ) 【例5】（25-26高二下·河南·阶段检测）已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【变式1】（25-26高二下·江苏盐城·期中）已知平面的法向量为，，平面的法向量为，若，则（    ） A．最大值为2 B．最大值为 C．最小值为 D．最小值为2 【变式2】（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则（    ） A． B． C．3 D． 【变式3】（25-26高二·全国·课后作业）已知平面内的三点，，，平面的一个法向量为，且与不重合，则（    ） A． B． C．与相交但不垂直 D．以上都不对 ◆题型6 平行关系中的探索性问题 ( 解题贴士 ： 有关是否存在一点 ， 使得直线、平面满足平行关系的探索性问题 ， 解答时 ， 一般先假设存在这样的点 ， 再建立空间直角坐标系 ， 设出该点的坐标 ， 将直线、平面的平行关系转化为直线的方向向量、平面的法向量的关系 ， 利用向量坐标运算建立关于所求点坐标的方程 （ 组 ）. 若方程 （ 组 ） 有解 ， 则点存在 ； 否则 ， 点不存在 . ) 【例6】如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC和∠A1AC均为60°，AC与BD相交于点O，且A1在底面ABCD上的投影为O.在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由. 【变式1】（25-26高三上·陕西汉中·阶段检测）设，，为不同的平面，m，n为不同的直线，则的一个充分条件是（    ） A．， B．，， C．内有无数条直线与平行 D．内有不共线的三点到的距离相等 【变式2】（25-26高二上·山东·期中）已知正方体的棱长为，，分别为棱，的中点，，若平面，则实数的值为_____. 【变式3】如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q分别为对角线BD，CD1上的点，且＝＝.若R是AB上的点，的值为多少时，能使平面PQR∥平面A1D1DA？请给出证明. ◆题型7 直线与直线垂直 ( 解题贴士 ： 证明两直线垂直的方法及步骤 （ 1 ） 坐标法 ： 建立空间直角坐标系 → 写出点的坐标 → 求直线的方向向量 → 证明向量垂直 → 得到两直线垂直 ； （ 2 ） 基向量法 ： 确定基向量 → 表示直线的方向向量 → 证明向量垂直 → 得到两直线垂直 . ) 【例7】（25-26高二下·江苏扬州·期中）设，向量，且，则（    ） A．5 B．1 C．-1 D．-5 【变式1】（25-26高二上·湖南怀化·期末）已知．若，则的值为（   ） A． B．3 C．或3 D．或1 【变式2】（25-26高二上·湖北·阶段检测）已知空间向量，若，其中，则实数（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）如图，在棱长为3的正方体中，，点在底面（包含边界）上移动，且满足，则线段的长度的最大值为（   ） A． B． C． D． ◆题型8 直线与平面垂直 ( 解题贴士 ： 用向量法证明直线与平面垂直的方法和步骤 基向量法 把直线的方向向量和平面内两个不共线向量用同一个基底表示 ， 分别证明它们垂直 坐标法 利用线 线垂直 （ 1 ） 建系后 ， 将直线的方向向量用坐标表示 ； （ 2 ） 找出平面内两条相交直线 ， 并用坐标表示它们的方向向量 ； （ 3 ） 分别计算两组向量的数量积 ， 得到数量积为 0 利用平面 的法向量 （ 1 ） 建系后 ， 将直线的方向向量用坐标表示 ； （ 2 ） 求出平面的法向量 ； （ 3 ） 判断直线的方向向量与平面的法向量平行 ) 【例8】（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）正方体的棱长为1，动点在线段上，动点在平面上，且平面，线段长度的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二上·安徽安庆·阶段检测）平面的一个法向量，如果直线平面，则直线的单位方向向量（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高三·全国·中职高考）已知正方体中，点M在棱上，直线平面，则点M的位置是（    ） A．点D B．点 C．的中点 D．不存在 【变式3】（25-26高二上·浙江·期中）空间中，其中，且平面ABC，则的值为_______． ◆题型9 平面与平面垂直 ( 解题贴士 ： 向量法证明面面垂直的两种思路 （ 1 ） 证明两个平面的法向量互相垂直 ； （ 2 ） 根据面面垂直的判定定理 ， 证明一个平面内的向量垂直于另一个平面 . ) 【例9】（25-26高二下·海南儋州·开学考试）若平面的一个法向量为，平面平面，则平面的法向量的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二上·山东临沂·期中）已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则x的值为（   ） A． B．1 C．2 D． 【变式23】（25-26高二下·江苏南京·开学考试）两平面的法向量分别为，若，则的值是（　　） A．－3 B．6 C．－6 D．－12 【变式3】（25-26高二上·安徽安庆·期末）已知平面的一个法向量为，若直线平面，则___________. ◆题型10 垂直关系中的探索性问题 ( 解题贴士 ： 有关是否存在一点 ， 使得直线、平面之间满足垂直关系的探索性问题 ， 解答时 ， 一般先假设存在这样的点 ， 再建立空间直角坐标系 ， 设出该点的坐标 ， 将直线、平面的垂直关系转化为直线的方向向量、平面的法向量之间关系 ， 利用向量坐标运算建立关于所求点坐标的方程 （ 组 ）. 若方程 （ 组 ） 有解 ， 则点存在 ； 否则 ， 点不存在 . ) 【例10】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PCD⊥平面ABCD，AB＝2，BC＝1，PC＝PD＝，在棱PD上是否存在点M，使得AM⊥BD？若存在，求的值；若不存在，说明理由. 【变式1】（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）如图，在棱长为2的正方体中，分别为棱，的中点，为面对角线上的一点，且,若平面，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】在四棱锥中，底面为的中点，为上一点，当时，______. 【变式3】如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为BC的中点. （1）在平面AA1B1B上是否存在一点N，使D1N⊥平面B1AE？ （2）在B1D1上是否存在一点P，使平面PAE⊥平面ABCD？ 综合攻坚·知能拔高 1．（25-26高二上·辽宁·阶段检测）若为平面内相异三点，且，则平面的一个法向量可以是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·湖南衡阳·开学考试）已知直线经过点，，下列向量不是该直线的方向向量的为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·广西河池·期末）在空间直角坐标系中，，，，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·黑龙江·期末）已知是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量.若，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·江苏徐州·期中）若平面的一个法向量为，平面平面，则平面的法向量的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·四川南充·阶段检测）如图，正方形与矩形所在平面互相垂直，，在上且平面，则点的坐标为（   ）    A． B． C． D． 7．（25-26高二上·四川攀枝花·阶段检测）如图，在直三棱柱中，，，已知与分别为和的中点，与分别为线段和上的动点（不包括端点），若，则线段的长度的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·重庆·阶段检测）如图，已知正方体的棱长为2，、分别为线段、的中点，若点为正方体表面上一动点，且满足平面，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D．2 9．（25-26高二上·云南文山·阶段检测）在空间直角坐标系中，已知，，下列结论正确的有（     ） A． B． C．若，且，则 D．若且，则 10．（25-26高二下·河南平顶山·期末）在正八面体中（正八面体是由个全等的正三角形围成的多面体），四边形为正方形，E，F，G，H分别为，，，的中点，则（   ） A． B． C． D． 11．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）以下命题正确的是（    ） A．若是平面的一个法向量，直线 上有不同的两点A，B，若 ，则 B．已知A、B、C三点不共线，对于空间任意一点O，若，则P、A、B、C四点共面 C．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 D． ， ，则在上的投影向量为 12．（25-26高三上·湖北·开学考试）如图所示，在三棱锥A﹣BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，M是AD的中点，P是BM的中点，，则下列结论正确的有（　　） A．BC⊥平面ACD B．存在λ，使得PQ⊥平面ACD C．存在λ，使得PQ∥平面BCD D．若存在λ，使得PQ⊥平面ABD，则 13．（25-26高二上·辽宁大连·期中）已知直线的方向向量为，平面的法向量为，，若，则的值为__________. 14．（25-26高二上·北京·期中）在空间直角坐标系中，已知点，，．若点在平面内（与，，三点都不重合），则点的坐标可以是______． 15．（25-26高二上·广东佛山·期中）如图，在直三棱柱中，，，，M是AB的中点，N是的中点，P是与的交点，是线段上的一点，且满足平面，则________    16．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，在正方体ABCD­A′B′C′D′中，E，F，E′，F′分别是棱AB，AD，B′C′，C′D′的中点．求证：四边形EFF′E′为平行四边形． 17．（25-26高二下·全国·课堂例题）如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别是棱，，的中点，点G在棱上，且．证明：． 18．（25-26高二下·全国·单元测试）如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，侧面底面．求证： (1)； (2)平面平面. 19．（25-26高二上·山东济宁·阶段检测）如图，已知在三棱锥中，，，OA，OB，OC两两垂直．建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题： (1)若OA，OC的中点分别为E，F，试判断EF与OB之间的位置关系； (2)若点D满足，，试确定点D的坐标． 20．（25-26高三下·海南海口·阶段检测）如图，和所在平面垂直，且，，点分别在直线和上移动， (1)证明：； (2)当的长最小时，求点到直线的距离． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $