18.5 分式方程 第1课时 教学设计 2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学教学设计聚焦分式方程的概念及解法，通过轮船顺逆流航行的实际问题引入，引导学生列出含分式的方程，对比整式方程形成认知冲突，构建从整式方程到分式方程的学习支架，梳理概念与解法脉络。 该设计以“观察—类比—归纳”为主线，情境引入培养模型意识，类比整式方程去分母发展推理意识，增根探究提升创新意识。采用探究法与类比法，学生经历问题抽象与转化过程，教师有分层作业与易错提醒，助力学生掌握解法，提升教师教学效率。

18.5　分式方程（第1课时）　教学设计 课题 18.5　分式方程 学科 数学 年级 八年级 教材版本 人教版（2024） 课时 第1课时 课型 新授课 教学目标 1. 理解分式方程的意义，能正确判断一个方程是否为分式方程； 2. 掌握可化为一元一次方程的分式方程的一般解法，学会去分母将分式方程转化为整式方程； 3. 了解解分式方程检验的必要性与验根方法，知道必须验根； 4. 经历“实际问题—分式方程—整式方程”的过程，发展分析、解决问题的能力，渗透转化思想，培养应用意识。 教学重点 可化为一元一次方程的分式方程的解法。 教学难点 检验分式方程解的原因（增根的产生）。 教学方法 讲授法、探究法、类比法、发现法 教学准备 多媒体课件、直尺 课后练习 教科书P166练习，P169习题18.5第1、2题 板书设计 见板书设计部分 教学过程 教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图 一、创设情境 导入新课 1. 情境引入 一艘轮船在静水中的最大航速为 30 km/h，它沿江以最大航速顺流航行 90 km 所用时间，与以最大航速逆流航行 60 km 所用时间相等，江水的流速为多少？ 分析：设江水的流速为 v km/h，根据“两次航行所用时间相同”这一等量关系，得到方程： = 类似这样的方程是什么方程？又如何解呢？这就是本课所要学习的主要内容。 分析轮船顺逆流问题，根据时间相等列式，得到含分式的方程，思考它的类型与解法。 以生活化行程问题引入，自然得到未知数在分母中的方程，制造与已学方程的认知冲突，激发探究分式方程的动力。 二、探究归纳 活动一 概念 活动一：探究分式方程的概念 1. 回顾 上面得到的方程是我们以前学过的方程吗？以前学过什么方程？试举例说明。 2. 体会 不是，以前学过一元一次方程和二元一次方程，如 x−1=3、x+y=7 等。 3. 比一比 以前学过的都是整式方程，里面没有分式；而这两个方程都含分式，且有未知数处在分母的位置上。 4. 命名 尝试给它命名：分式方程——因为里面含有分式。 5. 想一想 方程 = 是不是分式方程？为什么？ 不是，因为它不含分式，分母中没有未知数，是整式方程。 6. 归纳 分式方程：分母中含有未知数的方程叫作分式方程。 注意：分母里不含有未知数的方程叫作整式方程。 回顾整式方程并举例，比较与分式方程的区别，尝试命名，通过判断例辨析分式方程与整式方程。 通过“回顾—比较—命名—辨析”引导学生自主抽象出分式方程的概念，抓住“分母中含有未知数”这一本质特征。 三、探究归纳 活动二 解法 活动二：探究分式方程的解法 1. 回顾：解一元一次方程的方法步骤 思考如何去除分母： =2 解：两边同乘 6，得 ，即 ，。 2. 类比去分母，解分式方程 （1）=　（2）= 能不能仿照有分母的一元一次方程的解法，想办法去掉分式方程的分母，把它转化为整式方程呢？ （1）去分母时，两边同乘的整式如何选择？一般取各分式的最简公分母。 解（1）：两边同乘 ，得 ，，解得 。 检验：当 时，，故 是原方程的解。 解（2）：两边同乘 ，得 ，，解得 。 3. 概括 解分式方程的过程，实质上是将方程的两边乘以同一个整式，约去分母，把分式方程转化为整式方程来解；所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母。 4. 验根的必要性 = 解：两边同乘 (x+1)(x−1)，约去分母，得 x+1=2，解得 x=1。 问：x=1 真是原分式方程的解吗？ 代回检验发现：x=1 时原方程的分母为 0，分式根本没有意义。问题出在哪里？ 组织讨论达成共识：问题出在“去分母”这一步——两边所乘的整式为 0 时会引入增根。所以解分式方程必须验根。 回顾整式方程去分母方法，类比解两个分式方程，观察增根的产生，讨论验根的必要性。 由一元一次方程去分母迁移到分式方程去分母，突出“转化为整式方程”的思想，借增根例子让学生自主发现验根的必要性。 四、探究归纳 活动三 应用举例 【典例精讲】 例　解方程： = 分析：先去分母，将分式方程转化为整式方程，解所得的整式方程，验根作答。 【答案】 方程两边乘 ，得 ，解得 。 检验：当 时，，所以 不是原分式方程的解。 所以原分式方程无解。 解分式方程的步骤： （1）去分母，将分式方程转化为整式方程；（2）解所得的整式方程；（3）验根作答。 注意：方程中分母是多项式时，要先分解因式，再确定最简公分母。 运用去分母方法解例（含多项式分母），检验发现增根，归纳解分式方程的一般步骤。 以含多项式分母的例题落实去分母、解整式方程、验根作答的完整流程，突出“分母先分解因式”与验根的关键步骤。 五、交流反思 课堂小结 1. 知识小结 分式方程：分母中含有未知数的方程；解分式方程：去分母 → 解整式方程 → 验根作答；增根应舍去、原方程无解。 2. 易错提醒 （1）必须验根；（2）去分母时方程两边都要乘最简公分母，不能漏乘不含分母的项； 3. 思想方法 把分式方程转化为整式方程求解，体现转化与化归思想；“实际问题—分式方程—整式方程”体现建模思想。 回顾分式方程概念与解题步骤，交流去分母、验根的注意点。 通过小结梳理分式方程的概念、解法步骤与增根处理，帮助学生建立清晰的解题流程，强化验根意识。 六、当堂检测 1. 下列方程不是分式方程的是（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 答案：D（D 中分母不含未知数，是整式方程。） 2. 分式方程 = 的解是（　　） A. 3　　B. 4　　C. 5　　D. 无解 答案：C（去分母得 4=x−1，x=5。） 3. 分式方程 = 的解为（　　） A. x=　　B. x=　　C. x=5　　D. 无解 答案：B（两边乘 ，得 ，。） 4. 已知 x=1 是分式方程 = 的根，则实数 k=　　　　　　。 答案：（代入得 。） 5. 当 x= 　　　　　　 时，分式 与分式 的倒数相等。 答案：x=10（交叉相乘：x(x−6)=(x−5)(x−2)，得 x=10。） 6. 关于 x 的分式方程 =1 的解为正数，则 m 的取值范围是　　　　　　。 答案：m>2 且 m≠3（x=m−2>0；又 x≠1，故 m≠3。） 7. 若关于 x 的方程 = 无解，则 m=　　　　　　。 答案：m=−8（x=5 为增根，代入 x−1=−m/2 得 m=−8。） 8. 解方程： （1）　　（2） （1）两边乘 ，得 ，解得 ，检验符合，故 。 （2）两边乘 ，得 ，解得 ，检验符合，故 。 独立完成概念判断、选择、填空与解方程题，说明去分母与验根的依据。 即时反馈分式方程判断、解法与验根的达成度，强化去分母、增根处理等易错点，针对性纠错。 七、布置作业 必做： 教科书P166练习。 选做： 教科书P169习题18.5第1、2题。 记录作业内容。 分层作业，必做题巩固分式方程的概念与基本解法，选做题注重综合与变式，兼顾不同层次学生。 板书设计 18.5　分式方程（第1课时） 1. 分式方程 分母中含有未知数的方程 整式方程：分母中不含未知数 2. 解分式方程的步骤 （1）去分母 → 转化为整式方程 （2）解所得的整式方程 （3）验根作答（增根舍去） 3. 例题　练习 必须验根：两边所乘整式为 0 时会增根 学生板演区 教学反思 解分式方程的基本思想是将分式方程转化为整式方程（转化思想），基本方法是去分母（方程左右两边同乘最简公分母），而正是这一步有可能使方程产生增根。教学中借助“产生困惑—发现问题在去分母—反思讨论”的环节，让学生经历增根的发现过程，从而深刻理解并掌握验根的必要性。 本节课以“观察—类比—归纳”为主线，从实际问题出发建立分式方程，再类比解一元一次方程的去分母方法解分式方程，最后通过一个增根的例子点出验根的必要性，环节层层递进。启发式设问与合作讨论相结合，使学生在讨论中解决问题、在反思中掌握解分式方程的方法。 学科网（北京）股份有限公司 $