18.5 分式方程 第1课时 分式方程及其解法 教案 2026-2027学年人教版数学八年级上册

该教案聚焦分式方程的概念及解法，通过轮船顺逆流航行的实际问题导入，引导学生列出分母含未知数的方程，衔接分式性质与整式方程解法，搭建从实际问题到新知的学习支架。 特色在于以“探究—归纳—应用”模式展开，对比方程解的差异直观理解增根原因，培养推理意识，情境导入体现用数学眼光观察现实世界，规范解题步骤强化数学语言表达，帮助学生深化概念理解和严谨思维，为教师提供清晰教学流程和实例支撑。

18.5 分式方程 第1课时 分式方程及其解法 教案 课题 18.5 分式方程 第1课时 分式方程及其解法 课型 新授课 备课人 授课班级 八年级 教材分析 本节是分式方程的第1课时，在分式基本性质和运算的基础上，引入分式方程的概念和基本解法。通过"去分母"将分式方程转化为整式方程，体现了化归思想。增根的概念是本节难点，为后续学习分式方程的应用奠定基础。 学情分析 学生已掌握分式的基本性质和运算、解整式方程的方法，具备去分母的操作基础。但对于"增根"的产生原因和检验的必要性，学生缺乏直观认识，需要通过具体算例对比来理解。 核心素养目标 1. 理解分式方程的概念，能区分分式方程与整式方程。 2. 掌握解分式方程的基本思路和一般步骤，能正确解可化为一元一次方程的分式方程。 3. 理解增根产生的原因，掌握检验的方法，体会化归与转化思想。 教学重点 1. 分式方程的概念和判断。 2. 解分式方程的基本思路和一般步骤。 教学难点 1. 理解增根产生的原因。 2. 解分式方程中验根的必要性和方法。 教学过程 一、情境导入（5分钟） 一艘轮船在静水中的最大航速为 30 km/h，它以最大航速沿江顺流航行 90 km 所用的时间，与以最大航速逆流航行 60 km 所用的时间相等，江水的流速为多少？ 【教师活动】请同学们回忆：顺流速度和逆流速度如何表示？ 【教师活动】如果设江水的流速为 v km/h，请填写下表： 顺流：速度 30+v km/h，路程 90 km， 时间 h。 逆流：速度 30-v km/h，路程 60 km， 时间 h。 【教师活动】根据"时间相等"这个等量关系，可以列出怎样的方程？ 【教师活动】仔细观察这个方程，它的未知数在什么位置？与我们以前学过的方程有什么不同？ 【学生活动】未知数 v 出现在分母中，以前学过的方程未知数都在分子上。 【知识点】分母中含有未知数的方程叫作分式方程。 【设计意图】从实际问题情境出发，引导学生列出含有未知数在分母中的方程，自然引出分式方程的概念，激发学生对新知的好奇心。 二、知识点1 分式方程的概念（8分钟） 分式方程的定义 【教师活动】我们以前学习的方程都是整式方程，它们的未知数不在分母中。而分母中含未知数的方程叫作分式方程。 【知识点】分式方程必须满足两个条件： (1) 是方程——含有未知数的等式； (2) 是分式——分母中含有未知数。 练习1 判断分式方程 【教师活动】下列式子中，属于分式方程的是________，属于整式方程的是________。 答案：分式方程：②③⑤⑥⑦，整式方程：①④。 【设计意图】通过辨析练习，帮助学生准确区分分式方程与整式方程，深化对概念的理解。 三、知识点2 分式方程的解法（10分钟） 探究解分式方程的基本思路 【教师活动】如何解分式方程？关键在于：如何把它转化为整式方程？ 【教师活动】思考以下问题： (1) 如何把分式方程转化为整式方程？ (2) 怎样去分母？ (3) 在方程两边乘什么样的式子才能把每一个分母都约去？ (4) 这样做的依据是什么？ 【学生活动】方程两边同乘各分母的最简公分母，依据是等式的性质2。 以 为例，最简公分母为 (30+v)(30-v)。 【教师活动】方程两边同乘最简公分母 (30+v)(30-v)，得： 90(30-v)=60(30+v) 解得 v=6。 检验：将 v=6 代入原方程，左边 = 2.5 = 右边， 因此 v=6 是原方程的解。 归纳解法 【知识点】解分式方程的基本思路：将分式方程化为整式方程。 具体做法："去分母"，即方程两边乘最简公分母。 练习2（教材P166练习 第(1)(2)题） 解下列方程： 最简公分母：x(x-2) 解：去分母，得 5(x-2)=7x 解得 x=-5 检验：将 x=-5 代入原方程，左边 = -1 = 右边， 因此 x=-5 是原方程的解。 最简公分母：(x+3)(x-1) 解：去分母，得 2(x-1)=x+3 解得 x=5 检验：将 x=5 代入原方程，左边 = 0.25 = 右边， 因此 x=5 是原方程的解。 探究 增根 【教师活动】运用"去分母化为整式方程"的方法解方程： 【教师活动】方程两边乘最简公分母 (x-5)(x+5)，去分母得： x+5=10 解得 x=5。 【教师活动】x=5 是原方程的解吗？ 检验：将 x=5 代入原方程，分母 x-5 和 的值都为 0，相应的分式无意义。因此 x=5 虽然是整式方程的解，但不是分式方程的解。此分式方程无解。 思考：为什么会产生增根？ 【教师活动】比较解上面两个分式方程的过程，为什么第一个方程去分母后所得整式方程的解就是原方程的解，而第二个方程去分母后所得整式方程的解却不是原方程的解呢？ 【知识点】在去分母时，两边同乘了一个含未知数的式子， 这个式子是否等于0事先无法确定， 如果整式方程的解恰好使最简公分母为0，则这个解就是增根。 检验方法：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解（增根）。 【设计意图】通过对比两个方程的解的差异，让学生直观理解增根产生的原因——去分母时乘了一个可能为0的式子。通过"检验"环节，培养严谨的数学思维习惯。 四、例题精讲（8分钟） 例1 解方程： 解析：方程两边乘 x(x-3)，得 2x = 3x - 9 解得 x=9。 检验：当 x=9 时， ， 所以原分式方程的解为 x=9。 例2 解方程： 解析：方程两边乘 (x-1)(x+2)，得 x(x+2) - (x-1)(x+2) = 3 解得 x=1。 检验：当 x=1 时， (x-1)(x+2)=0， 因此 x=1 不是原分式方程的解，原分式方程无解。 【设计意图】例1和例2分别展示了分式方程有解和无解（增根）两种情况，通过对比帮助学生建立完整的解题规范。 解分式方程的一般步骤 【知识点】分式方程 → 去分母 → 整式方程 → 解整式方程 → 检验 最简公分母不为0 → 原分式方程的解 最简公分母为0 → 增根，原分式方程无解 五、课堂练习（10分钟） 练习3（教材P166练习 第(3)~(6)题）解下列方程： 解：方程两边乘 2x(x+3)，得 x+3=4x 解得 x=1。 检验：当 x=1 时， ， 所以原分式方程的解为 x=1。 解：方程两边乘 3(x+1)，得 3x=2x+3x+3 解得 。 检验：当 时， ， 所以原分式方程的解为 。 解：方程两边乘 (x-1)(x+1)，得 2(x+1)=4 解得 x=1。 检验：当 x=1 时， (x-1)(x+1)=0， 所以原分式方程无解。 解：方程两边乘 x(x-1)(x+1)，得 5(x-1)-(x+1)=0 解得 。 检验：当 时， ， 所以原分式方程的解为 。 随堂练习1 已知关于 x 的方程 的解为负数，则 a 的取值范围是_____________。 方程两边乘 x(x+1)，得 整理得： 即 解得 x=a-1（根据PPT解析）。 由 a-1<0 且 且 ， 得 a<1 且 。 答案： 随堂练习2 若关于 x 的分式方程无解，则 a 的值是（ ） A. 1 B. 2 C. -1 D. -2 解析：将原分式方程去分母，得 2+3(2x-4)=a 令增根 x=2，代入得 即 2+0=a， 所以 a=2。 答案：B 随堂练习3 解关于 x 的方程： 解析：方程两边乘 x(x-1)，得 ax - b(x-1) = 0 解得 。 检验：当 时， ， 所以原分式方程的解为 。 六、课堂小结（4分钟） 【知识点】1. 分式方程：分母中含未知数的方程。 2. 分式方程的解法：去分母(乘最简公分母)→解整式方程→检验 3. 增根：使最简公分母为0的整式方程的解，不是原分式方程的解。 4. 检验方法：将整式方程的解代入最简公分母，若不为0则是原方程的解。 板书设计 教学反思 本节课是分式方程的第1课时，核心是分式方程的概念和解法。从轮船航行问题引入，自然引出分式方程的概念，通过新旧知识的对比，帮助学生建立认知冲突。 解法的教学采取"探究—归纳—应用"的模式：先让学生思考如何将分式方程转化为整式方程，再通过具体算例归纳出去分母→解整式方程→检验的一般步骤。增根概念的引入通过两个对比方程，让学生直观感受"为什么需要检验"。 教学中需重点关注：(1) 最简公分母的确定；(2) 去分母时每一项都要乘最简公分母；(3) 检验是解分式方程的必要步骤，不可省略；(4) 增根产生的原因。 学科网（北京）股份有限公司 $