18.5 分式方程 第2课时 教学设计 2026—2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦分式方程解决实际问题，通过甲、乙往返相遇的行程问题导入，制造认知冲突，复习一元一次方程应用题步骤，类比构建分式方程“审设列解验答”六步学习支架，衔接前后知识。 特色在于以真实情境培养数学眼光，通过类比归纳发展推理意识，结合行程、工程例题强化模型意识。如行程问题分析往返路程等量关系，工程问题用工作量“1”建模，帮助学生提升实际问题转化能力，为教师提供分层教学资源和清晰流程。

18.5　分式方程（第2课时）　教学设计 课题 18.5　分式方程 学科 数学 年级 八年级 教材版本 人教版（2024） 课时 第2课时 课型 新授课 教学目标 1. 会分析实际问题中的题意，找出等量关系； 2. 会列出可化为一元一次方程的分式方程解决实际问题； 3. 能根据实际问题的意义检验所得的结果是否合理； 4. 经历“实际问题——分式方程——整式方程”的过程，发展分析问题、解决实际问题的能力，渗透数学的转化思想，培养应用意识。 教学重点 利用分式方程解决实际问题。 教学难点 列分式方程表示实际问题中的等量关系。 教学方法 讲授法、探究法、案例分析法、练习法 教学准备 多媒体课件、直尺 课后练习 教科书P168练习第1、2题，P169习题18.5第3-8题 板书设计 见板书设计部分 教学过程 教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图 一、创设情境 导入新课 1. 情境引入 甲、乙分别从相距36千米的A、B两地同时相向而行。甲从A出发到1千米时发现有东西遗忘在A地，立即返回，取过东西后又立即从A向B行进，这样二人恰好在AB中点处相遇，又知甲比乙每小时多走0.5千米，求二人速度。 你能列出方程求出甲、乙二人的速度吗？这一节课我们就来研究这一问题。 阅读情境问题，尝试抓住关键数量关系，思考如何设未知数、列方程求出二人速度。 以含往返过程的实际问题制造认知冲突，让学生在“想列式却不便列”的体验中感受分式方程建模的价值，自然引出本课任务，激发探究兴趣。 二、探究归纳 活动一 解题步骤 活动一：探究列分式方程解应用题的步骤 1. 复习列方程解应用题的一般步骤 （1）　　　　　　；（2）　　　　　　； （3）　　　　　　；（4）　　　　　　； （5）　　　　　　。 订正：复习列方程解应用题的一般步骤：（1）审；（2）设；（3）列；（4）解；（5）答。 2. 类比一般方程，得出列分式方程解应用题的步骤 （1）　　　　　　；（2）　　　　　　； （3）　　　　　　；（4）　　　　　　； （5）　　　　　　；（6）　　　　　　。 订正：列分式方程解应用题的一般步骤： （1）审：审清题意，找清等量关系；（2）设：设未知数；（3）列：列分式方程； （4）解：解列出的分式方程；（5）验：检验分式方程是否有解，并检验分式方程的解是否符合实际意义；（6）答：写出答案（不要忘记写上单位）。 即：（1）审；（2）设；（3）列；（4）解；（5）验；（6）答。 独立填空复习一般方程应用题的步骤，类比迁移，归纳列分式方程解应用题的“审设列解验答”六步，记忆“验”的双重含义。 从已熟悉的“审设列解答”出发，类比提炼出分式方程特有的“审设列解验答”六步，突出“验根既验方程解、又验实际意义”这一关键，为列方程解应用问题规范流程。 二、探究归纳 活动二 常见类型 活动二：常见应用题的类型 由学生讨论，我们现在所学过的应用题有几种类型？在学生讨论的基础上，教师归纳总结基本上有四种： （1）行程问题 基本公式：路程＝速度×时间。而行程问题中又分相遇问题、追及问题。 （2）工程问题 基本公式：工作量＝工作时间×工作效率。 （3）数字问题 在数字问题中要掌握十进制数的表示法。 （4）顺水逆水问题 v顺水=v静水+v水， 点拨：不同题型抓不同的等量关系，往往用“相同时刻”、“总量为1”、“路程/工作量相等”等描述来列式。 分组讨论学过的应用题类型，归纳行程、工程、数字、顺逆水四类问题的基本公式与等量关系。 系统梳理常见应用题的类型与基本公式，帮助学生建立“看类型定公式、抓等量关系列方程”的方法模型，为后续例题和解决问题的建模作铺垫。 二、探究归纳 活动三 例1 行程 活动三：应用举例 例1　甲乙两人分别从相距36千米的A、B两地相向而行，甲从A出发到1千米时发现有东西遗忘在A地，立即返回，取过东西后又立即从A向B行进，这样两人恰好在AB中点处相遇。已知甲比乙每小时多走0.5千米，求二人的速度各是多少？ 分析： 等量关系：t甲＝t乙。 设乙的速度为x千米/小时，则甲的速度为千米/小时。 甲比乙实际多走的部分，是往返的2个1千米（先走1千米再返回1千米），故所走路程相差2千米，据此列式。 【答案】 根据题意，列方程得 =，解得 。 检验：当 时，。所以 是原方程的解，则 。 答：甲的速度为5千米/小时，乙的速度为4.5千米/小时。 【讲评要点】 等量关系是时间相等，那么就要找到相等时间里每个人所走的路程：甲中途返回，所走的路程比乙多两个1千米（2千米），故甲走 18＋2 千米。抓住“路程差→时间相等”列方程，并强调所得解须通过“是否分式方程的解”与“是否符合实际”双重检验。 【追问】 若点C为AB中点，那么甲到相遇点的路程是多少千米？本题能否更简便地列方程？ 分析“中点相遇+往返”确定甲多走2千米，设乙速为x列方程并求解，理解中点、往返对路程的影响。 以教材例1为载体，完整示范“审—设—列—解—验—答”的建模流程，突出“往返多走路程”这一隐含等量关系，训练时间相等列方程的建模方法，落实本课重点。 二、探究归纳 活动三 例2 工程 例2　一项工程，需要在规定日期内完成，如果甲队独做，恰好如期完成；如果乙队独做，就要超过规定3天。现在由甲、乙两队合作2天，剩下的由乙队独做，也刚好在规定日期内完成，问规定日期是几天？ 分析： 关键描述语为：“由甲、乙两队合作2天，剩下的由乙队独做，也刚好在规定日期内完成”；本题的等量关系为：甲2天的工作量＋乙规定日期的工作量＝1，把相应数值代入即可求解。 设规定日期是x天，则甲队独做需x天，乙队独做需天。 甲独做恰在x天完成，则甲每天完成全工程的 ；乙独做需（x＋3）天，则乙每天完成 。 【答案】 根据题意，列方程得 +=1，解得 。 检验：当 时，。所以 是原方程的解。 答：规定日期是6天。 【讲评要点】 解决本题的关键是得到工作量“1”的等量关系；乙在整个工期内（x天）都在工作，故乙的工作量为 x×(1/(x＋3))，易错点是得到甲、乙两队各自工作时间时出错——乙工作时间是规定日期x天而非仅(x－2)天。 【追问】 本题为何不用“甲、乙合作的工作量”直接表示乙独自完成的部分？若把“合作2天”改成“合作1天”，方程会怎样变化？ 分析甲完工期、乙超期3天的效率关系，抓住“甲2天工作量＋乙规定日期工作量＝1”列方程，辨析乙工作时间并求解。 以工程问题为载体，重点训练“把总工作量看作1、用工作效率×工作时间表示工作量”的建模思路，突破“乙的工作时间为x天”这一易错点，深化对等量关系提取的能力。 三、交流反思 课堂小结 1. 知识小结 列分式方程解应用题，应该注意解题的六个步骤：审、设、列、解、验、答。 2. 方法提炼 列方程的关键是要在准确设元（可直接设，也可间接设）的前提下找出等量关系；解题过程中注意画图或列表帮助分析题意、找出等量关系。 3. 易错提醒 注意不要遗漏检验和作答；检验要兼顾“是否为分式方程的解”与“是否符合实际意义”。 回顾列分式方程解应用题的六个步骤，交流找等量关系与检验作答的注意点。 通过小结把零散的方法归纳为“审设列解验答”的清晰流程，强化“找等量关系”“双重检验”等核心要求，帮助学生形成完整的解题体系。 四、检测反馈 1. 小明从家里骑自行车到学校，每小时骑15 km，可早到10分钟；每小时骑12 km就会迟到5分钟。问他家到学校的路程是多少 km？设他家到学校的路程是x km，则据题意列出的方程是（　　） A. =　　B. = C. =　　D. = 答案：A（=。） 2. 某村计划新修水渠3 600米，为了让水渠尽快投入使用，实际工作效率是原计划工作效率的1.8倍，结果提前20天完成任务。若设原计划每天修水渠x米，则下面所列方程正确的是（　　） A. =　　B. -20= C. -=20　　D. +=20 答案：C（原计划 天，实际 天，提前20天，故 -=20。） 3. 某市今年起调整居民用水价格，每立方米水费上涨20%。小方家去年12月份的水费是26元，而今年5月份的水费是50元。已知小方家今年5月份的用水量比去年12月份多8立方米，设去年居民用水价格为x元/立方米，则所列方程为________。 所列方程为 　　　　　　。 答案：-=8（今年价1.2x，今年5月用水量减去去年12月用水量等于8。） 4. 一项工程，甲队单独做需40天完成，若乙队先做30天后，甲、乙两队一起合作20天恰好完成任务。请问：乙队单独做需要多少天才能完成任务？ 解：设乙队单独做需x天，则乙每天完成 。据题意：乙先做30天加合作20天的工作量之和为1，列方程 =1。 解得 =，即 ，检验符合实际，答：乙队单独做需100天。 答案：乙队单独做需100天。 5. 八年级学生到距离学校15千米的农科所参观，一部分学生骑自行车先走，过了40分钟后，其余同学乘汽车出发，结果两者同时到达。若汽车的速度是骑自行车同学速度的3倍，求骑自行车同学的速度。 解：设骑自行车同学的速度为x km/h，则汽车速度为3x km/h。自行车所用时间比汽车多用40分钟，即 小时，列方程 =。 解得 ，检验符合实际，答：骑自行车同学的速度为15 km/h。 答案：骑自行车同学的速度为15 km/h。 6. 某工厂承担了加工2 100个机器零件的任务，甲车间单独加工了900个零件后，由于任务紧急，要求乙车间与甲车间同时加工，结果比原计划提前12天完成任务。已知乙车间的工作效率是甲车间的1.5倍。求甲、乙两车间每天加工零件各多少件？ 解：设甲车间每天加工x件，则乙车间每天加工1.5x件。原计划甲独做2100件需 天；实际甲先做900件，剩余1200件由甲、乙合作，每天共加工件，提前12天： =12。 解得 ，则 ，检验符合实际。答：甲车间每天加工60件，乙车间每天加工90件。 答案：甲车间每天加工60件，乙车间每天加工90件。 独立完成选择题判断列式、填空列方程与行程、工程应用题的完整求解，并在“双重检验”后给出作答。 即时反馈列分式方程解实际问题多种题型的达成度，覆盖行程、工程、费用等类型，强化“找等量关系列方程”与“检验作答”两大易错点，针对性纠错。 五、布置作业 必做： 教科书P168练习第1、2题。 选做： 教科书P169习题18.5第3-8题。 记录作业内容。 分层作业，必做题巩固列分式方程解应用题的基本步骤，选做题注重综合与变式，兼顾不同层次学生。 板书设计 18.5　分式方程（第2课时） 1. 列分式方程解应用题的步骤 审 → 设 → 列 → 解 → 验 → 答 （验：方程的解 + 实际意义） 2. 常见应用题的等量关系 行程问题：路程=速度×时间 工程问题：工作量=效率×时间 数字问题：十进制数的表示法 顺水逆水：v顺=v静+v水 v逆=v静−v水 3. 例题　练习 列方程：找等量关系、设元 检验：解 + 实际意义 学生板演区 教学反思 本节课整堂精心铺垫，结合具体内容采用“问题情境——建立数学模型——解释应用与拓展”的模式展开，从实例引入分式方程的应用问题，让学生在自主探索与合作交流中建立数学模型，体会数学建模的价值。 列分式方程解应用题的步骤是本课主线，教学中先复习一元一次方程应用题的“审设列解答”，再类比提炼出分式方程的“审设列解验答”六步，突出“验”的两重含义（检验是否为分式方程的解，检验是否符合实际意义）；再通过行程、工程两类典型例题落实建模方法，梳理常见题型的等量关系，帮助学生突破“找等量关系”这一难点。 从课堂反馈看，学生对“找出等量关系并检根”的环节仍易忽视，后续宜安排适量变式练习与分层作业，重点训练列分式方程解实际问题的完整流程，针对找等量关系能力较弱的学生加强引导。 学科网（北京）股份有限公司 $