18.5 分式方程 教学设计 2026-2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦分式方程的概念、解法及实际应用，通过轮船航行等实际问题导入，衔接整式方程旧知，搭建“概念理解—解法探究—实际应用”的学习支架，引导学生逐步掌握分式方程知识。 资料以实际问题驱动培养数学眼光，通过对比整式方程发现分式方程特征，探究“无解”原因发展推理意识与运算能力，工程、行程问题应用强化模型意识。实例丰富，流程清晰，助力学生提升问题解决能力，为教师提供高效教学参考。

18.5 分式方程 第1课时 分式方程及其解法 课题 分式方程及其解法 课型 新授课 教学内容 教材第164-166页的内容 教学目标 1. 了解分式方程的概念. 2. 会用去分母的方法解可化为一元二次方程的简单分式方程. 3. 了解需要对分式方程的解进行检验的原因. 教学重难点 教学重点：分式方程的概念，解简单分式方程. 教学难点：对分式方程“无解”的理解. 教学活动 教 学 过 程 备 注 1.回顾旧知，引入新课 一艘轮船在静水中的最大航速是30 km/h,它以最大航速沿江顺流航行90 km所用时间,与以最大航速逆流航行60 km所用的时间相等.江水的流速是多少? 如果设江水的流速为v km/h.则轮船顺流航行90 km所用时间为 h，逆流航行60 km所用的时间为h.可得方程=.① 2.发现探究，学习新知 【问题1】仔细观察这个方程，未知数的位置有什么特点？ 【学生活动】学生独立思考并作答：未知数在分母中. 【追问1】方程，，与上面的方程有什么共同特征？ 【学生活动】学生观察并独立思考，尝试着进行概括，发现这几个方程的特征是分母中含有未知数. 【师生活动】师生共同概括出分式方程的概念——分母中含未知数的方程叫作分式方程. 【教师活动】教师指出我们以前学习的方程都是整式方程，它们的未知数不在分母中. 【追问2】你能再写出几个分式方程吗? 【学生活动】学生思考并作答. 【问题2】你能试着解分式方程=吗？ 【教师活动】教师提出问题，学生独立思考，并尝试解这个方程，学生代表将不同的解法展示在黑板上，学生相互交流. 【追问1】这些解法有什么共同特点? 【师生活动】学生讨论之后，教师总结，这些解法的共同特点是先去分母将分式方程转化为整式方程，再解整式方程. 【追问2】思考以下几个问题，明确解分式方程的方法和依据. (1)如何把它转化为整式方程? (2)怎样去分母? (3)在方程两边乘什么样的式子才能把每一个分母都约去? (4)这样做的依据是什么? 【学生活动】学生思考后得出结论:分母中含有未知数的方程，通过去分母就化为整式方程.利用等式的性质2可以在方程两边都乘同一个式子——各分母的最简公分母. 分式方程=各分母的最简公分母是(30+v)(30-v)，方程的解法如下： 解：方程两边乘(30+v)(30-v)，得90(30-v)=60(30+v).解得v=6. 【追问3】你得到的解v=6是分式方程=的解吗? 【学生活动】学生回答问题，相互补充学生进行检验：将v=6代入原方程中，左边==右边，因此v=6就是分式方程=的解.说明上述解分式方程的方法是有效的，进而得知：将分式方程去分母化为整式方程是解分式方程必要和有效的步骤. 【问题3】解分式方程. 【师生活动】教师提出问题，学生在独立思考后解此方程：在方程两边乘最简公分母（x+5）(x-5)去分母后,得整式方程x+5=10，解得x=5. 有的学生认为x=5是原分式方程的解，有的学生发现当x=5时，分式都没有意义，但不能解释其原因. 【追问1】整式方程的解x=5是分式方程的解吗？如何验证呢？ 【学生活动】学生先独立思考问题，然后相互交流.最后达成共识:x=5是原分式方程变形后整式方程的解，但不是原分式方程的解. 【追问2】上面两个分式方程的求解过程中，同样是去分母将分式方程化为整式方程，为什么整式方程90(30-v)=60(30+v)的解v=6是分式方程=的解，而整式方程x+5=10的解x=5却不是分式方程的解呢? 【师生活动】学生独立思考，然后小组交流，教师适时点拨.最后达成共识:在去分母的过程中，对原分式方程进行了变形，而这种变形是否引起分式方程解的变化，主要取决于所乘的最简公分母是否为0；对解进行检验时，主要有两种方式，其一是将整式方程的解代入原分式方程，看左右两边是否相等；其二是将整式方程的解代人最简公分母，看是否为0. 【问题4】回顾解分式方程=与的过程，你能概括出解分式方程的基本思路和一般步骤吗？解分式方程应该注意什么? 【学生活动】学生回答，并相互补充，最后达成共识: 解分式方程的关键是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”即方程两边乘最简公分母.得到整式方程的解后，要对其进行检验. 3.学以致用，应用新知 【例1】解方程. 解：方程两边乘x(x-3)，得2x=3x-9. 解得x=9. 检验：当x=9时，x(x-3)≠0. 所以，原分式方程的解为x=9. 【例2】解方程. 解：方程两边乘(x-1)(x+2)，得x(x+2)-(x-1)(x+2)=3. 解得x=1. 检验：当x=1时，(x-1)(x+2)=0,因此x=1不是原分式方程的解. 所以，原分式方程无解. 4.随堂训练，巩固新知 （1） 若关于x的方程＝的解为x＝1，则a等于（ ） A.1 B.－1 C.3 D.－3 答案：D （2）解分式方程： ①＝－2；②＋1＝；③＝1＋. 答案：①x＝ ②x=1 ③无解 5.课堂小结，自我完善 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题： 1.本节课学习了哪些主要内容？ 2.什么是分式方程？ 3.解分式方程的基本思路和步骤是什么？解分式方程时应注意什么？ 6.布置作业 教材P166练习，教材P169习题18.5第1,2题，教材P172复习题18第4题. 由实际问题引出分母中含有未知数的方程，让学生了解研究分式方程的必要性. 让学生在观察和思考的过程中，发现并概括出分式方程的本质特征，了解分式方程的概念，认识其本质属性——分母中含有未知数，同时为后续探索解分式方程的基本思路(转化为整式方程)和关键步骤(去分母)做好铺垫. 让学生在已有知识经验基础上，尝试解分式方程. 通过探究活动，学生探索出解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，并知道解决问题的关键是去分母. 让学生知道检验分式方程的解的方法将未知数的值代入原分式方程的两边，看左右两边的值是否相等. (1)让学生积累去分母的经验，去分母的通法是分式两边同乘最简公分母;(2)让生感受到在去分母解分式方程的过程中已经对原分式方程进行了变形，这种变形可能会使方程的解发生变化。 让学生了解分式方程产生增根的原因——当整式方程的解使得所乘最简公分母等于0时，相当于方程两边同时乘0，方程的解发生变化，此时出现了分母为0的情况. 让学生在解具体的分式方程后，反思解题思路和步骤，体会化归思想和程序化思想，积累解题经验. 通过例题帮助学生巩固、应用新知，熟悉本课重点，解分式方程应注意检验，例题包含方程有解和无解两种情况. 通过随堂练习，进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果. 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用. 板书设计 分式方程及其解法 1.分式方程：分母中含未知数的方程 2.分式方程的解法： 提纲挈领，重点突出. 教后反思 反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程，提升自身素质. 第2课时 分式方程的实际应用 课题 分式方程的实际应用 课型 新授课 教学内容 教材第167-168页的内容 教学目标 1. 能根据实际问题列分式方程. 2. 熟练的列分式方程解应用题. 教学重难点 教学重点：列分式方程解决实际问题. 教学难点：在实际问题中列方程，解决实际问题. 教学活动 教 学 过 程 备 注 1.回顾旧知，引入新课 上节课我们学习了分式方程的解法，请同学们求解下列方程： （1）；（2）. 【学生活动】学生根据上节课学习的分式方程的解法解题：（1）x=9（2）无解. 在解决实际问题时，有时需要列、解分式方程. 2.发现探究，学习新知 【问题1】A，B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30 kg，A型机器人搬运900 kg所用时间与B型机器人搬运600 kg所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少化工原料? 【师生活动】教师点拨，学生填空：要求两种机器人每小时分别搬运多少化工原料，又已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运30 kg，故可设B型机器人每小时搬运x kg，则A型机器人每小时搬运 x+30 kg.所以A型机器人搬运900 kg所用时间为 h，B型机器人搬运600 kg所用时间为 h. 【追问1】问题中的哪个相等关系可以用来列方程？ 【学生活动】学生探讨得出结论：A型机器人搬运900 kg所用时间与B型机器人搬运600 kg所用时间相等. 【追问2】请列出方程解题. 【师生活动】学生独立回答，教师点评.解：可设B型机器人每小时搬运x kg，则A型机器人每小时搬运(x+30)kg. 根据A型机器人搬运900 kg所用时间与B型机器人搬运600 kg所用时间相等，得 =. 方程两边乘x(x+30)，得900x=600(x+30). 解得x＝60. 检验：当x＝60时，x(x+30)≠0， 所以，原分式方程的解为x＝1，则x+30=90. 答：A型机器人每小时搬运90 kg，B型机器人每小时搬运60 kg. 【追问】你能归纳出列分式方程解应用题的一般步骤吗？ 【师生活动】学生讨论发言，最后教师总结列分式方程解应用题的一般步骤： （1）审：审题，找出题干中的已知量、未知量和相等关系； （2）设：根据题意设出未知数； （3）列：根据相等关系列分式方程； （4）解：将分式方程化为整式方程并解方程； （5）验：检验整式方程的解是否是分式方程的解，是否符合实际意义； （6）答：写出结论. 3.学以致用，应用新知 【例1】两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快？ 解：设乙队单独施工1个月能完成总工程的.记总工程量为1，根据工程的实际进度，得＋＋＝1. 方程两边乘6x，得2x＋x＋3＝6x.解得x＝1. 检验：当x＝1时，6x≠0，所以，原分式方程的解为x＝1. 由上可知，若乙队单独施工1个月可以完成全部任务，对比甲队1个月完成任务的，可知乙队施工速度快. 【例2】某次列车平均提速v km/h.用相同的时间内，列车提速前行驶s km，提速后比提速前多行驶50 km，提速前列车的平均速度为多少？ 解：设提速前这次列车的平均速度为x km/h,则提速前它行驶s km所用时间为h，提速后列车的平均速度为(x＋v )km/h ，提速后它行驶(s+50) km所用时间为h. 根据行驶时间的相等关系，得=. 方程两边乘x(x+v)，得s(x+v)=x(s+50). 解得x=. 检验：由v，s都是正数，得x=时x(x＋v)≠0. 所以，原分式方程的解为x=. 答:提速前列车的平均速度为km/h. 4.随堂训练，巩固新知 （1） 某公司承担了制作500套校服的任务，原计划每天制作x套，实际平均每天比原计划多制作了12套，因此提前4天完成任务.根据题意，下列方程正确的是（ ） A.－＝12 B.－＝12 C.－＝4 D.＋12＝ 答案：C （2）市政府计划对城区某道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队共同完成.已知甲队的工作效率是乙队工作效率的1.5倍，甲队改造480 m的道路比乙队改造同样长的道路少用2天.求乙工程队每天能改造道路的长度? 解：设乙工程队每天能改造道路的长度为x m，则甲工程队每天能改造道路的长度为1.5x m. 根据题意，得－＝2，解得x＝80. 经检验，x＝80是所列分式方程的解，且符合题意， 答：乙工程队每天能改造道路的长度为80 m. 5.课堂小结，自我完善 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题： 1.本节课学习了哪些主要内容？ 2.列分式方程解应用题的一般步骤是什么？ 6.布置作业 教材P168练习1,2，教材P169习题18.5第3-8题，教材P172复习题18第9-12题. 复习回顾分式方程的解法，巩固上节课内容，为本节课的学习打好基础，同时也体现了知识的连贯性. 通过具体的题目展示列分式方程解应用题的方法、步骤.在解应用题审题时应重点挖掘已知量、未知量、相等关系.教师引导学生根据题意设未知量，根据等量关系列方程. 学生自主解题，教师做出指导，展示解应用题的过程步骤.教师应强调分式方程的解既要满足公分母不为0，又要满足实际意义. 学生讨论，教师总结解题步骤，让学生对这类题目的求解方法、过程更加明晰、熟练.提升学生的概括和整体看待问题的能力. 通过例题帮助学生巩固、应用新知，熟悉本课重点，包括常见题型：工程问题和行程问题. 通过随堂练习，进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果. 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用. 板书设计 分式方程的实际应用 列分式方程解应用题的一般步骤： 提纲挈领，重点突出. 教后反思 反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程，提升自身素质. 学科网（北京）股份有限公司 $