2.7 探索勾股定理（2） 课件 2026-2027学年浙教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦勾股定理的逆定理，通过课前复习勾股定理搭建学习支架，引导学生动手画特定边长三角形、测量最大角，再经逻辑证明形成逆定理，衔接直角三角形判定与性质。 其亮点是采用探究式教学，画图测量培养几何直观（数学眼光），严谨证明发展推理能力（数学思维），实例含勾股数模型（数学语言），小结梳理知识联系。学生提升探究与推理能力，教师可直接用系统资源高效教学。

2.7 探索勾股定理（2） 2024浙教版 八年级上册 第2章 特殊三角形 学习目标 学习目标 1.体验勾股定理的逆定理的探索过程. 2.掌握勾股定理的逆定理. 3.会用勾股定理的逆定理解决简单的几何问题. a b c 课前复习 勾股定理 几何语言 变形 图示 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. . . . . 【复习】直角三角形的三边关系——勾股定理 学习新知 （1）请说出勾股定理。 （2）请说出勾股定理的逆命题。 勾股定理：直角三角形两条直角边长的 平方和等于斜边长的平方。 勾股定理的逆命题：如果三角形中两边 长的平方和等于第三边长的平方，那么 这个三角形是直角三角形。 这个逆命题正确吗？ 学习新知 （1）画一画：下列各组数中两个数的平方和等于第三个数的平方，分别以这些数为边长画出三角形。 ①3 cm，4 cm，5 cm；②1.5 cm，2 cm，2.5 cm；③5 cm，12 cm，13 cm。 3 4 5 D C A B 1.5 2 2.5 A B C A B C 5 12 13 学习新知 （2）量一量：用量角器分别测量上述各三角形中最大角的度数。 3 4 5 A B C ∠C=90° 1.5 2 2.5 A B C A B C 5 12 13 ∠C=90° ∠C=90° 由此你得到怎样的猜想？用命题的形式表述你的猜想。 学习新知 证明：如图，作△A'B′C′,使∠C′=90°,A′C′=b,B′C′=a， 则A′B′²=a²+b²=c²，即A′B′=c. 在△ABC和△A′B′C′中， ∵BC=a=B′C′， AC=b=A′C′， AB=c=A′B′， ∴△ABC≌△A′B′C′. ∴∠C=∠C′=90°. 【探究】已知：如图，在△ABC中，AB=c, BC=a, AC=b，a²+b²=c²，求证：∠C=90°. a D E b F ∟ A B C 学习新知 【新知】勾股定理的逆定理 （1）文字语言：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形. （2）符号语言： 已知a，b，c为一个三角形的三边长. a b c 学习新知 直角三角形的判定 有一个角为 90°的三角形是直角三角形； 两个角互余的三角形是直角三角形； 两边长的平方和等于第三边长的平方的三角形是直角三角形。 角 边 勾股定理的逆定理 学习新知 【分析】根据勾股定理的逆定理, 判断一个三角形是不是直角三角形, 只要看两条较短边的平方和是否等于最长边的平方. 【例1】判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形? (1) a=7，b=25，c=24. (2) a=13，b=11，c=9. 解:(1)最长边为25， ∵a2+c2=72+242=625 又∵b2=252 =625， ∴a2+c2=b2. ∴以7, 25, 24为边长的 三角形是直角三角形. (2)最长边为13， ∵b2+c2=112+92=202 又∵a2=132 =169， ∴b2+c2≠a2. ∴以13, 11, 9为边长的 三角形不是直角三角形. 学习新知 练习1（书本P83-课内练习-第1题 ）根据下列条件，分别判断以a，b，c为边的三角形是不是直角三角形。 （1）a＝20，b＝21，c＝29； （2）a＝5，b＝7，c＝8； （3）a＝，b＝，c＝2； 学习新知 练习1（书本P83-课内练习-第1题 ） 根据下列条件，分别判断以a，b，c为边的三角形是不是直角三角形。 （1）a＝20，b＝21，c＝29； 解：因为a2+b2＝2+212＝400+441=841， c2＝2＝841， 所以a2+b2＝c2， 所以以20，21，29为边的三角形是直角三角形。 学习新知 练习1（书本P83-课内练习-第1题 ） 根据下列条件，分别判断以a，b，c为边的三角形是不是直角三角形。 （2）a＝5，b＝7，c＝8； 因为a2+b2＝2+72＝25+49=74， c2＝2＝64， 所以a2+b2 c2， 所以以5，7，8为边的三角形不是直角三角形。 学习新知 练习1（书本P83-课内练习-第1题 ）根据下列条件，分别判断以a，b，c为边的三角形是不是直角三角形。 （3）a＝，b＝，c＝2； 因为b2+c2＝2+22＝3+4=7， a2＝2＝7， 所以b2+c2＝a2， 所以以，，2为边的三角形是直角三角形。 学习新知 学习新知 【例3】（书本P84-作业题B组-第4题）如图，在四边形 ABCD 中，AB＝3，BC＝4， CD＝12，AD＝13，∠B＝90°，求四边形 ABCD 的面积。 （勾股定理） （勾股定理的逆定理） 4 3 12 13 ┐ 解：连接AC, 因为∠B＝90°， 所以在Rt△ABC中， 在△ACD中， 因为AC2+CD2=52+122 =169=132=AD2， 所以△ACD是直角三角形， 所以S四边形ABCD=SRt△ABC+SRt△ACD= ， 。 学习新知 【例4】已知△ABC的三边长为a,b,c，且a=m²-n²，b=2mn，c=m²+n²（m>n,m,n是正整数）．△ABC是直角三角形吗？请证明你的判断. 学习新知 练习2 （书本P84-作业题B组-第5题 ）结合例5，你能说出互不相等的直角三角形的边长，且要求它们的边长均为整数吗？ 令m=2，n=1，则直角三角形的三边长为： a=m2-n2=22-12 =3， b=2mn=2×2×1=4， c=m2+n2=22+12 =5。 a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2，（m＞n，m，n 是正整数) 学习新知 练习2 （书本P84-作业题B组-第5题 ）结合例5，你能说出互不相等的直角三角形的边长，且要求它们的边长均为整数吗？ a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2，（m＞n，m，n 是正整数) 令m=3，n=2，则直角三角形的三边长为： a=m2-n2=32-22 =5， b=2mn=2×3×2=12， c=m2+n2=32+22 =13。 学习新知 练习2 （书本P84-作业题B组-第5题 ）结合例5，你能说出互不相等的直角三角形的边长，且要求它们的边长均为整数吗？ a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2，（m＞n，m，n 是正整数) 令m=4，n=1，则直角三角形的三边长为： a=m2-n2=42-12 =15， b=2mn=2×4×1=8， c=m2+n2=42+12 =17。 学习新知 练习2 （书本P84-作业题B组-第5题 ）结合例5，你能说出互不相等的直角三角形的边长，且要求它们的边长均为整数吗？ a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2，（m＞n，m，n 是正整数) 像3，4，5；5，12，13；8，15，17这样可以构成直角三角形三边的一组正整数叫做勾股数。 对于任意两个正整数m,n(m＞n),m²－n²，2mn，m²＋n²都是一组勾股数。 学习新知 【练习3】如图，以△ABC的每一条边为边作三个正方形.已知这三个正方形构成的图形中,绿色部分的面积与蓝色部分的面积相等，则△ABC是直角三角形吗﹖请证明你的判断. 【解析】设△ABC的三边BC=a,AC=b,AB=c 所以△ABC是直角三角形. 课堂小结 （1）本节课我们主要学习了什么内容？ （2）勾股定理的逆定理的内容是什么？ 它有什么作用？ 勾股定理 勾股定理逆定理 题设与结论 互换 直角三角形的性质 直角三角形的判定 数形结合 互逆 课堂小结 a b c 【解析】(1)在△ACD中，∵AC＝2，CD＝eq \r(3)，AD＝1， ∴CD2＋AD2＝(eq \r(3))2＋12＝4＝AC2， ∴∠ADC＝90°， ∴CD⊥AB. (2)在Rt△CDB中，CD＝eq \r(3)， DB＝AB－AD＝4－1＝3， 由勾股定理，得 BC2＝CD2＋DB2＝(eq \r(3))2＋32＝12. 在△ACB中，∵AC2＋BC2＝4＋12＝16＝AB2， ∴∠ACB＝90°，∴AC⊥BC. 【例2】如图，在△ABC中，AC＝2，CD＝eq \r(3)，AB＝4，AD＝1. 求证：(1)CD⊥AB. (2)AC⊥BC. $