2.7探索勾股定理（第1课时） 课件2026-2027学年浙教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦勾股定理的探索与应用，通过复习直角三角形判定方法搭建旧知基础，引导学生剪拼四个全等直角三角形纸片，观察面积关系发现定理，形成从已知到未知的学习支架。 其亮点是融合赵爽弦图、毕达哥拉斯证法等多种证明方式，结合动手拼图活动，培养几何直观与推理能力。例题联系零件两孔距离等实际问题，发展模型意识，助力学生理解应用，也为教师提供丰富教学资源。

第2章 特殊三角形 2.7探索勾股定理（第1课时） 探索勾股定理的逆定理，了解勾股定理及其逆定理之间的关系，发展推理能力。 在具体情境中,能运用勾股定理的逆定理解决实际问题,发展应用意识。 学习目标 直角三角形的判定方法： 有一个角是直角的三角形是直角三角形. 有两个角互余的三角形是直角三角形. 三角形一边上的中线等于这条边的一半的三角形 是直角三角形. 复习导入 03 新知讲解 合作学习 （1）剪四个全等的直角三角形纸片（图 2-34），把它们按图 2-35放入一个边长为c的正方形中。这样就拼成了一个形如图2-35的图形。 （2）设剪出的直角三角形纸片的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c。 分别计算图 2-35中的蓝色部分的面积和大、小两个正方形的面积。 （3）比较图2-35中蓝色部分和大、小两个正方形的面积，你发现了什么？ 你还有其他拼图方法得到这些结论吗？ 03 新知讲解 合作学习 S大正方形＝c2， S小正方形＝(b-a)2, ∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形， 03 新知探究 勾股定理： 直角三角形的三条边长的关系： 直角三角形两条直角边长的平方和等于斜边长的平方。 如果a，b为直角三角形的两条直角边的长，c为斜边的长，那么a2+b2=c2。 a b c 03 新知探究 注意： （1）可变形为， ，故已知直角三角形中任意两边的长，即可求第三边的长。 （2）勾股定理是直角三角形的特殊性质，所以其适用的前提是在直角三角形中。 如何证明直角三角形两条直角边长的平方和等于斜边长的平方？ 03 新知讲解 直角三角形的三条边长的关系： 直角三角形两条直角边长的平方和等于斜边长的平方。 a b c 03 新知讲解 在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”.我国古代把直角三角形中较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”. 勾 股 此结论被称为“勾股定理”. a b b c a b c a 证法1 让我们跟着我国汉代数学家赵爽拼图,再用所拼的图形证明命题吧. 03 新知探究 03 新知探究 a b c ∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形， 赵爽弦图 b-a ∵S大正方形＝c2， S小正方形＝(b-a)2, 证明： “赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲. 03 新知讲解 文字语言： 如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么 a2 + b2 = c2 几何语言： 在Rt△ABC中，∠C=90°， ∴a2 + b2 = c2. 直角三角形的性质定理： （勾股定理/毕达哥拉斯定理） 变式： a2＝ c2－ b2， b2＝ c2－ a2 几何 代数 勾股定理 勾股定理反应了直角三角形三边的关系，成为沟通几何和代数的桥梁. 03 新知讲解 证明 利用拼图来验证猜想： 1.准备4个全等的直角三角形（设直角三角形的两条直角边分别为a、b，斜边为c）. 2.你能用这四个直角三角形拼成一个以斜边c为边长的正方形吗？拼一拼算算看！ a b c 03 新知探究 证法2 毕达哥拉斯证法，请先用手中的四个全等的直角三角形按图示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧. 03 新知探究 a a a a b b b b c c c c ∴a2+b2+2ab=c2+2ab， ∴a2 +b2 =c2. 证明： S大正方形=4S直角三角形+ S小正方形 =4× ab+c2 =c2+2ab， ∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab, 03 新知讲解 赵爽拼图证明法 a b c b a2 + b2 c2 a 证法 1: a b c = 03 新知讲解 赵爽拼图证明法 a b c b－a 证法 2: = c2， = (b－a)2， = 4S三角形 + S小正方形， c2 = 4×ab + (b－a)2 = a2 + b2. 这样就证明了前面的猜想. 它表明了直角三角形三边之间的关系，我国把它称为勾股定理. 03 新知探究 a a b b c c ∴a2 + b2 = c2. 证法3 美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”. 如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证：a2 + b2 = c2. 03 新知探究 我国早在三千多年前就知道直角三角形的这个性质。古人称直角三角形的直角边中较短的一边为勾，较长的一边为股，斜边为弦，因此这一性质也称为勾股定理。 勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系，是数学中最著名的定理之一，在图形研究、生活生产实践中有着广泛的应用。 03 新知讲解 已知在△ABC中，∠C＝Rt∠，BC＝a，AC＝b，AB＝c。 （1）若a＝1，b＝2，求c； （2）若a＝15，c＝17，求b。 例1 c2=a2+b2=12 +22 =5 因为c>0,所以c= 解:(1)根据勾股定理，得 (2)根据勾股定理，得 因为b>0 , 所以b=8. =172 -152 =64. =(17＋15)(17－15) b2 = c2 -a2 03 新知讲解 如图是一个长方形零件图。根据所给的尺寸（单位：mm），求两孔中心A，B之间的距离。 例2 解：过A作铅垂线，过B作水平线，两线交于点C，则∠ACB＝90°， AC＝90－40＝50（mm）， BC＝160－40＝120（mm）。 在Rt△ACB中，由勾股定理，得AB2=AC2+BC2 =502+1202=16900（mm2）因为AB＞0，所以AB＝130（mm）。 答：两孔中心A，B之间的距离为130 mm。 分析：解决问题的关键是构造出含所求 线段的直角三角形，然后用勾股定理求解。 03 新知讲解 做一做 设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c. （1）已知a=6，c=10，求b； （2）已知a=5，b=12，求c； （3）已知c=25，b=15，求a. 解：由勾股定理得52+122=c2 ,c=13; 解：由勾股定理得62+b2=102, b=8; 解：由勾股定理得a2+152=252 ,a=20. 04 课堂练习 基础题 1．若一个直角三角形的两直角边的长分别为a，b，斜边长为c，则下列关于a，b，c的关系式中不正确的是(　　) A．b2＝c2－a2 B．a2＝c2－b2 C．b2＝a2－c2 D．c2＝a2＋b2 C 2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为(　　) A．5 B．6 C．8 D．10 C 04 课堂练习 基础题 3. 在 △ABC 中，∠C = 90°. (1) 若 a = 15，b = 8，则 c = ________. (2) 若 c = 13，b = 12，则 a = ________. 4. 若直角三角形中，有两边长是 5 和 7，则第三边 长的平方为_________. 17 5 74 或 24 04 课堂练习 5. 设直角三角形的两条直角边长分别为 a 和 b，斜边长为 c. （1）已知 a = 6，c = 10，求 b； （2）已知 a = 5，b = 12，求 c； （3）已知 b = 15，c = 25，求 a. 解：由勾股定理：（1） （2） （3） 05 课堂小结 勾股定理： 直角三角形两条直角边长的平方和等于斜边长的平方。 字母表示：a2+b2=c2，， 通过这节课，你了解到哪些数学知识？ 05 课堂小结 勾股定理 内容 在Rt△ABC中， ∠C=90°,a,b为直角边，c为斜边，则有a2+b2=c2. 注意 在直角三角形中 看清哪个角是直角 已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要分类讨论 证明 谢谢大家聆听 $