2.8 直角三角形全等的判定课件2026-2027学年浙教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“直角三角形全等的判定”，核心知识点为HL定理。课堂导入通过工人师傅用三角尺判断垂直、测量员确定距离等现实问题引发思考，旧知复习回顾一般三角形全等判定方法，引导学生探究直角三角形特有的简化判定条件，搭建从已知到未知的学习支架。 其亮点在于注重数学眼光与思维培养，新知探究通过画图验证活动让学生动手操作，直观感受HL定理的正确性，体现几何直观与空间观念。典例分析和变式训练强调推理过程，如例2通过等式性质证边相等再用HL判定全等，培养推理能力。课堂小结对比普通与直角三角形全等判定差异，用数学语言清晰梳理知识，帮助学生构建体系，既提升学生探究与应用能力，也为教师提供系统教学资源。

浙教版数学8年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月11日 2.8 直角三角形全等的判定 第2章　特殊三角形 2.8 直角三角形全等的判定 同步练习题 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 直角三角形特有的全等判定定理是（） A. SSS B. SAS C. ASA D. HL 2. HL判定定理的适用条件是（） A. 任意两边对应相等 B. 斜边和一条直角边对应相等 C. 两角一边对应相等 D. 三边对应相等 3. 下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（） A. 一条直角边和一个锐角对应相等 B. 斜边和一个锐角对应相等 C. 两个锐角对应相等 D. 两条直角边对应相等 4. 在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，AB=DE，AC=DF，则可判定两三角形全等的依据是（） A. HL B. SAS C. AAS D. ASA 5. 下列说法正确的是（） A. 所有直角三角形都全等 B. 斜边相等的两个直角三角形全等 C. HL定理只适用于直角三角形 D. 直角三角形全等只能用HL判定 二、填空题（每题4分，共20分） 6. 直角三角形全等的特殊判定方法：________和一条________对应相等的两个直角三角形全等，简称HL。 7. 普通三角形的全等判定方法SSS、SAS、ASA、AAS，________（填“同样适用”或“不适用”）于直角三角形。 8. 在Rt△ABC和Rt△ABD中，∠ACB=∠ADB=90°，AB为公共斜边，若补充条件________，即可用HL证明两三角形全等。 9. 判定直角三角形全等时，最少需要________组对应相等的边或角条件。 10. 两个直角三角形若斜边相等、一条直角边相等，则这两个三角形________。 三、解答题（共60分） 11.（18分）判断下列条件能否判定两个直角三角形全等，能的写出判定依据，不能的说明理由。 （1）两直角边对应相等；（2）斜边和一个锐角对应相等；（3）两个锐角对应相等。 12.（20分）已知：如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AC=AD。求证：Rt△ABC≌Rt△ABD。 要求：书写规范完整的证明过程，标注每一步推理依据。 13.（22分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC。求证：DE=DF。 参考答案及解析 选择题：1.D 2.B 3.C 4.A 5.C 解析：3. 两个锐角对应相等只能证明三角形相似，边长不一定相等，无法判定全等；5. 直角三角形既可以用HL判定，也可以用普通三角形四种全等方法判定。 填空题：6. 斜边、直角边 7. 同样适用 8. AC=AD（或BC=BD） 9. 两 10. 全等 解答题 11. 解：（1）能，依据SAS；（2）能，依据AAS；（3）不能，只有角度相等，无边对应相等，无法确定三角形大小，不能判定全等。 12. 证明：∵AC⊥BC，AD⊥BD（已知），∴∠C=∠D=90°，△ABC、△ABD均为直角三角形。在Rt△ABC和Rt△ABD中，AB=AB（公共斜边），AC=AD（已知），∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）。 13. 证明：∵AD⊥BC，BD=CD（已知），∴AD垂直平分BC，AB=AC（线段垂直平分线性质）。在Rt△ABD和Rt△ACD中，AB=AC，AD=AD，∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），∴∠BAD=∠CAD。又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF（角平分线的性质）。 课堂导入 "工人师傅为什么用三角尺就能判断窗框垂直？测量员仅用直角仪和一条边的长度如何确定距离？这背后的数学原理是什么？" 旧知复习 一般三角形全等的判定方法有哪些？ AAS ASA SAS SSS 直角三角形作为特殊三角形，是否可以用更简化的条件判定全等？ 观察三角尺：若两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等（如两把相同三角尺），它们是否一定全等？ 新知探究 课堂活动：画图验证HL定理 步骤1：每人画一个直角三角形△ABC，使∠C=90°，AC=5cm，AB=10cm。 10cm 5cm 步骤2：同桌交换图纸，尝试画出另一个△DEF，满足∠F=90°，DF=5cm，DE=10cm。 5cm 10cm 步骤3：剪下三角形重叠比较，观察是否完全重合。 A 返回 1． 如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC，则判定Rt△ABD≌Rt△CDB的依据是(　　) A．HL　 B．ASA C．SAS D．SSS 中考考法 5 返回 B 2． [2025金华期末]如图，AB⊥CD，垂足为O.添加下列一组条件后，不能判定Rt△AOC≌Rt△BOD的是(　　) A．AC＝BD，OA＝OB　　 B．OA＝OD，∠A＝∠B C．AC＝BD，OC＝OD D．AC＝BD，AC∥BD 中考考法 6 新知探究 已知：如图所示，在△ACB和△A'C'B'中，∠C＝∠C'＝90°，AB＝A'B'，AC＝A'C'。 求证：Rt△ABC≌Rt△A'B'C' 因为 AC＝A'C'，所以可考虑以 AC 为一边作一个直角三角形，使它和 Rt△A'B'C'全等，然后只要证明所作的直角三角形和Rt△ABC全等。 证明：如图，延长 BC至D，使 CD＝B'C'，连结AD。 由AC＝A'C'，∠ACD＝90°＝∠C'，得△ADC≌△A'B'C'（ SAS）， ∴AD＝A'B'，∵A'B'＝AB，∴AD＝AB。 又∵AC⊥BD，AC是等腰三角形ABD的高线， ∴BC＝CD。而AC＝AC（公共边）， 可得△ADC ≌△ABC（SSS），所以△ABC ≌△A'B'C'。 直角三角形全等的判定定理： 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边” “HL”）。 例1. 在课堂上，李老师发给每人一张印有Rt△ABC（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个Rt△A'B'C'，使得Rt△A'B'C'≌Rt△ABC．小宏同学先画出了∠MB'N之后，后续画图的主要过程如图所示．这种画图方法的依据是（       ） 典例分析 A ．SAS B．AAS C．ASA D．HL D 小宏第一步为截取BC=B'C' 小宏第二步为作线段AC=A'C' 变式训练 用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的∠AOB的两边上，分别取ON=OM，再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB．做法中用到证明△OMP与△ONP全等的理由是（       ） D A ．SAS B．AAS C．ASA D．HL 例2 如图，AD，BC相交于点O，AB=CD，AM⊥BC于点M，DN∥AM，与BC交于点N，BN=CM．求证：∠B=∠C． 典例分析 根据AM⊥BC于点M，DN∥AM得∠AMB=∠DNC=90°。根据BN=CM得BM=CN,进而可依据“HL”判定Rt△ABM和Rt△DCN全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论。 证明：∵AM⊥BC于点M，DN∥AM ∴∠AMB=∠DNC=90° ∵BN=CM，∴BN+MN=CM+MN ∴BM=CN 在Rt△ABM和Rt△DCN中 ∴Rt△ABM≌Rt△DCN(HL),∴∠B=∠C 变式训练 如图，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，BE=CF，连接BD、CD和AD，DB=DC．求证：AD是∠BAC的平分线． 证明：∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F ∴∠BED=∠CFD=90° 又∵BE=CF，BD=DC, ∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL) ∴DE=DF ∵DE=DF，DE⊥AB，DF⊥AC ∴点D在∠BAC的平分线上 ∴AD是∠BAC的平分线 先证明Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，得到DE=DF，再根据角平分线的判定即可求证，掌握以上知识点是解题的关键 例3 已知：如图所示，P是∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，D，E分别是垂足，且PD＝PE。求证：点P在∠AOB的平分线上。 做一做 证明：如图，作射线OP。由PD⊥OA，PE⊥OB， 可得∠PDO＝∠PEO＝90°。∵OP＝OP，PD＝PE， ∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）。 ∴∠1＝∠2，即点P在∠AOB的平分线上（角平分线的定义）。 如图所示，要证明点P在∠AOB的平分线上，可以转化为证明射线OP平分∠AOB。 1 2 角平分线性质定理的逆定理：角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。 3 cm 返回 3． 如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于点D，交AC于点E，连结BE.BC＝BD.若AC＝3 cm ，则AE＋DE＝________. 中考考法 13 4． 如图，点D，E分别在AB，AC上，∠ADC＝∠AEB＝90°，BE，CD相交于点O，OB＝OC.求证：∠1＝∠2. 中考考法 14 返回 中考考法 5． 返回 A 已知△ABC，两个完全一样的三角尺如图摆放，它们的一组对应直角边分别在AB，AC上，且这组对应边所对的顶点重合于点M，则点M一定在(　　) A．∠A的平分线上 　 B．AC边的高上 C．BC边的垂直平分线上 　 D．AB边的中线上 中考考法 16 6． 返回 22.5° 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，D为BC 上一点，DE⊥AB于点E，CD＝BE，则∠BAD等于________． 中考考法 17 7． 返回 如图，PA＝PB，∠1＋∠2＝180°.求证：OP平分∠AOB. 中考考法 18 8． 返回 D [2025杭州月考]如图，∠EBF，∠EAC的平分线BP，AP交于点P，PM⊥BE，PN⊥BF，垂足分别为M，N，连结CP，则下列结论中正确的是(　　) ①CP平分∠ACF；②∠ABC＋2∠APC＝180°； ③∠ACB＝2∠APB；④S△PAC＝S△MAP＋S△NCP. A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 中考考法 19 9． 返回 2或6或8 如图，CA⊥AB于点A，AB＝8，AC＝4，射线BM⊥AB于点B，一动点E从点A出发以2个单位/秒的速度沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点始终保持ED＝CB，当点E离开点A后，运动________秒时， △DEB与△BCA全等． 中考考法 20 10． 返回 115° 如图，作△ABC的两内角平分线与两外角平分线，其交点分别为点O与点D，连结OA，已知∠D＝65°，则∠BOC＝________，∠BAO＝________． 25° 中考考法 21 11． 在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB于点E，F在边AC上，BD＝DF. (1)如图①，若∠C＝90°，求证：△DCF≌△DEB； 中考考法 (2)如图②，求证：AB－AF＝2EB； 中考考法 所以△DAF≌△DAG(SAS)．所以DF＝DG. 因为BD＝DF，所以BD＝DG. 又因为DE⊥BG，所以BE＝GE. 所以AB－AG＝BG＝2EB，所以AB－AF＝2EB. 中考考法 (3)若AC＝8，AB＝10，BC＝6，直接写出DF的长． 返回 中考考法 课堂小结 普通三角形全等判定中没有“边边角（SSA）”，但直角三角形中，斜边与直角边构成的“SSA”即HL定理成立。 因直角固定了三角形的形状，确保唯一性。 HL定理的独特性 内容：若两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等，则它们全等。 特点： 直角三角形独有的判定方法，普通三角形不适用。 本质是“边边角（SSA）”在直角三角形中的特例（因直角固定了三角形的形状）。关系推直角”。 ②必须验证最长边的平方是否等于另两边的平方和。 斜边-直角边定理（HL） 01 03 04 02 【证明】因为∠ADC＝∠AEB＝90°，所以∠BDC＝∠CEB＝90°. 在△DOB和△EOC中，因为 所以△DOB≌△EOC(AAS)．所以OD＝OE. 在Rt△ADO和Rt△AEO中，因为 所以Rt△ADO≌Rt△AEO(HL)．所以∠1＝∠2. 【证明】过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为E，F. 因为∠1＋∠2＝180°，∠2＋∠PBF＝180°，所以∠1＝∠PBF. 在△PAE和△PBF中，因为 所以△PAE≌△PBF(AAS)．所以PE＝PF. 所以OP为∠AOB的平分线，即OP平分∠AOB. 【证明】因为AD平分∠BAC， DE⊥AB，∠C＝90°，所以CD＝DE. 在Rt△DCF和Rt△DEB中，因为 所以Rt△DCF≌Rt△DEB(HL)． 【证明】如图，在AB上截取AG＝AF，连结DG. 因为AD平分∠BAC，所以∠DAF＝∠DAG. 在△DAF和△DAG中， 因为 【解】DF＝. $