2.2 一元二次方程的解法 随堂练习2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 同步练（北师大版九年级数学上册2.2一元二次方程的解法），分层覆盖基础解法到综合应用，梯度设计助力从概念理解到问题解决，培养运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|直接开平方法、配方法、因式分解法|单选题1-4直接考查解法步骤，夯实运算能力| |中档|根的判别式、换元法初步|填空题12-13结合公式法与换元，培养抽象能力| |提升|实际应用、综合证明|解答题19-20涉及换元法与规律探究，发展模型意识与推理意识|

2.2 一元二次方程的解法 随堂练习2026-2027学年 北师大版九年级数学上册 一、单选题 1．一元二次方程的解是（   ） A． B． C． D．， 2．用配方法解方程，则配方正确的是（     ） A． B． C． D． 3．若关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（　　） A． B． C． D． 4．下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（    ） A． B． C． D． 5．若m为实数，，则P，Q的大小关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 6．下列方程能用因式分解法解的有（　　） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．已知方程的解是或，则方程的解是（    ） A． B． C． D． 8．小明运用配方法求解一元二次方程，其步骤如下，在进行最终验算时，发现所得结果有误，计算开始出现错误的步骤为（   ） 解：……① ，即……② ……③ ，……④ A．① B．② C．③ D．④ 9．学校艺术节需用红纸花3000朵，某班全体同学自愿承担这批红纸花的制作任务，在实际制作时，有10名同学因排练节目而没有参加，这样参加劳动的同学平均每人制花的数量比原定全班同学平均每人要完成的数量多15朵，设这个班级共有名同学，根据题意可得方程（   ） A． B． C． D． 10．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且关于的分式方程有正数解，则符合条件的整数（    ） A． B．0 C．1 D．2 二、填空题 11．把方程化成的形式，则m的值是________． 12．用换元法解关于的方程，如果设，那么原方程可化为关于的整式方程为______． 13．用公式法解方程时，应先找出对应的________，________，________，计算出________，可得方程的根是_________． 14．当__时，多项式有最大值？求出这个最大值是 __ ． 15．“通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方法，如：解方程，就可以利用该思维方式，设，将原方程转化为：这个熟悉的关于的一元二次方程，解出，再求，这种方法又叫“换元法”，请你用这种思维方式和换元法解方程：．方程的解为 _____． 三、解答题 16．解一元二次方程 (1) (2) (3) (4) 17．已知关于的一元二次方程 (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一根为正数，求实数的取值范围． 18．阅读与思考 配方法是数学中一种重要的思想方法，它是指将代数式的某一部分通过恒等变形化为一个完全平方式或几个完全平方式的和的形式，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题，在因式分解、最值问题中有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解：； ②求代数式的最小值： ， ∵是非负数，即， ∴，则代数式的最小值是． 请根据上述材料解决下列问题： (1)用配方法因式分解：__________； (2)求的最小值； (3)若，求的最小值． 19．阅读材料：为了解方程，我们可将看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过计算，该方程的解为，，然后分别解方程，，得原方程的解为，，，．我们通常把以上这种解决问题的方法叫做换元法，即把问题中的某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），它能将复杂的问题转化成简单的问题． 根据以上材料，解决下列问题： (1)方程的解为：________； (2)解方程：； (3)若实数满足，求的值． 20．观察下列等式： 第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，…… (1)按照你发现的规律，写出第5个等式： ． (2)若为正整数，，求的值． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C D D A C C A B A 1．【答案】D 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，掌握用直接开平方法解方程时，开平方要考虑正负两种情况，得到两个解是解题的关键． 通过直接开平方的方法求解方程，得到两个解． 【详解】解：∵ ∴ 当 时， 当 时， ∴方程的解为 , 故选：D． 2．【答案】C 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】移项后，在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配方为完全平方式，即可得到正确结果． 【详解】解： ． 3．【答案】D 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握求根公式是解题的关键；通过比较给出的求根公式与标准求根公式，确定系数a、b、c的值，从而得到原方程． 【详解】解：∵一元二次方程的标准求根公式为， 给出的根为， ∴比较分母：，∴； 比较分子：，∴； 根号内部分：， 但给出的根号内为 ， ∴ ，解得； ∴原方程为； 故选：D． 4．【答案】D 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】对于一元二次方程，当判别式时，方程有两个不相等的实数根，只需计算各选项的判别式即可判断． 【详解】解：选项A：，，方程没有两个不相等的实数根． 选项B：，，方程没有两个不相等的实数根． 选项C：，，方程没有两个不相等的实数根． 选项D：方程整理为，得，，方程有两个不相等的实数根． 5．【答案】A 【知识点】配方法的应用、整式的加减运算 【分析】本题考查比较两个代数式的大小．根据题意通常作差后判断符号．计算，利用配方法，再根据完全平方的非负性即可确定符号． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴，即：， 故选：A． 6．【答案】C 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、因式分解法解一元二次方程 【详解】解：方程可变形为，故①能用分解因式法求解； 方程可变形为，故②能用分解因式法求解； 方程可变形为，，无实数根，故不能用因式分解法求解； 方程可变形为，即，故④能用分解因式法求解． 综上，能用因式分解法求解的方程有3个． 7．【答案】C 【知识点】换元法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了求一元二次方程的解，解题的关键是掌握方程解的意义以及换元法． 通过变量替换，将新方程转化为已知方程的形式求解. 【详解】解：设，则方程化为， 的解为或， ∴或， 解得或， 故选：C． 8．【答案】A 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查配方法解一元二次方程的步骤，关键是在方程两边同时除以同一个不为0的数时，等式两边的每一项都要除以这个数． 【详解】解：原方程为， 方程两边同时除以2时，右边的也应除以2， 正确的步骤①应为， 而题目中步骤①写成了， 因此计算开始出现错误的步骤为①． 故选：A． 9．【答案】B 【知识点】分式方程的其它实际问题、解分式方程（化为一元二次） 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键． 设班级共有名同学，原定全班平均每人制作朵，实际参加人数为人，平均每人制作朵，根据题意，实际平均比原定多15朵，列方程即可． 【详解】解：设这个班级共有名同学，根据题意可得方程， 故选：B． 10．【答案】A 【知识点】根据分式方程解的情况求值、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】先利用判别式的意义得到且，再解把分式方程化为整式方程得到，利用分式方程有正数解可得到关于的不等式组，则可求得的取值范围，则可求得满足条件的整数的个数． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴且，解得且， 去分母得，解得， ∵分式方程有正数解， ∴且，解得且， ∴的范围为且，， ∴符合条件的整数的值是， 故选：A． 【点睛】本题主要考查根的判别式及分式方程的解法，求得的取值范围是解题的关键． 11．【答案】3 【知识点】解一元二次方程——配方法 【详解】解： ， ， ， ， ∴． 12．【答案】 【知识点】解分式方程（化为一元二次） 【分析】本题考查了换元法解分式方程，掌握换元法的计算是关键． 根据换元法计算即可． 【详解】解：设，则， ∴原分式方程变形得，， ∴化为整式方程为：， 故答案为： ． 13．【答案】 4 41 ， 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】找出，及的值，计算出根的判别式的值大于，代入求根公式即可求出解． 【详解】解：， ， ，，， ， ∴， 解得：，． 用公式法解方程时，应先找出对应的，，，计算出，可得方程的根是，． 14．【答案】 5 【知识点】配方法的应用 【分析】本题考查了配方法的应用，先整理得，再分析：因为，所以，即当时，多项式有最大值，且这个最大值为5，进行作答． 【详解】解： ， ∵， ∴， 则， 即当时，多项式有最大值，且这个最大值为5， 故答案为：，5． 15．【答案】， 【知识点】无理方程、换元法解一元二次方程 【分析】设，则原方程化为，求出的值，当时，，根据算术平方根具有非负性得出此时方程无解；当时，，求出，最后进行检验即可． 【详解】解：， 设，则原方程化为： ， ， 解得：，， 当时，， 算术平方根具有非负性，所以此方程无解； 当时，， 方程两边平方，得， 解得：，， 经检验，都是原方程的解． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了无理方程，解一元二次方程，用换元法解方程等知识点，能正确换元是解此题的关键，注意：解无理方程一定要进行检验． 16．【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、解一元二次方程——配方法、因式分解法解一元二次方程 【详解】（1）解：， 移项得， 开方得， 解得； （2）解：， 因式分解得， 即， 整理得， 解得； （3）解：， 整理得， 配方得， 即， 开方得， 解得； （4）解：， 因式分解得， ∴或， 解得． 17．【答案】(1)证明：， ， ， ， 方程总有两个实数根； (2) 【知识点】公式法解一元二次方程、根据判别式判断一元二次方程根的情况、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】（1）先求出判别式的值，再根据的意义即可得到结论； （2）利用因式分解法求得方程的根为，然后根据方程有一根为正数列出关于k的不等式并解答． 【详解】（1）略 （2）解：， ， 方程有一根为正数， ， ． 18．【答案】(1) (2) (3) 【知识点】平方差公式分解因式、配方法的应用 【分析】（）仿照①因式分解即可； （）仿照②解答即可； （）由已知得，即得，再仿照②解答即可求解； 本题考查了配方法的应用，因式分解，非负数的性质，掌握配方法是解题的关键． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解：， ∵是非负数，即， ∴， ∴代数式的最小值是； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵是非负数，即， ∴， ∴的最小值为． 19．【答案】(1)，，，； (2)，； (3)，． 【知识点】换元法解一元二次方程、解分式方程（化为一元二次） 【分析】本题考查了利用换元法解一元二次方程，分式方程，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）设，则原方程可化为，然后解得，，从而求出原方程的解； （）令，则原方程化为，解得，，再把的值代入解方程并检验即可； （）原式变形为，令，则原方程化为，解得，，再把的值代入解方程并检验即可． 【详解】（1）解：设，则原方程可化为， ∴，， ∴，， ∴，，，， 故答案为：，，，； （2）解：令， 则原方程化为， ∴，， 当时，， ∴，； 当时，无解， ∴原方程的解为，； （3）解：原式变形为， 令， 则原方程化为， ∴，， 当时，，无解， 当时，， ∴，， 经检验：，是原方程的解， ∴原方程的解为，． 20．【答案】(1) (2)10 【知识点】数字类规律探索、二次根式的应用、因式分解法解一元二次方程 【分析】（1）根据题干规律即可解答； （2）根据题干规律，列方程即可解答． 【详解】（1）解：根据题意可得第n个等式为， 所以第5个等式：； （2）解：， ， 解得或（舍去）． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $