2.2 一元二次方程的解法 第2课时 用配方法解较复杂的一元二次方程 备课包 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 分层递进设计，覆盖配方法从基础操作到综合应用，适配新授课巩固与能力提升，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |夯实基础|配方法步骤、直接配方解方程|含步骤填空（如第5题），强化运算能力| |能力提升|配方纠错、跨知识综合（如第10题直线象限）|接力游戏纠错（第9题），培养推理意识| |思维拓展|含参数配方|参数问题（第13题），发展创新意识|

同步练习2.2一元二次方程的解法 第2课时用配方法解较复杂的一元二次方程 夯实基础 1.一元二次方程 配方后可变形为() A. B C. D 2.小亮用配方法解方程 的部分过程如下： 把常数项移到方程的右边，得 第一步 二次项系数化为1，得 ①第二步 配方，得 ② 第三步 ①②处应分别填入的数是() A.3, B. C.3, D. 3.用配方法解一元二次方程 ,配方之后的方程是一 4.一元二次方程 的解为一· 5.用配方法解方程 (1)方程两边同时除以2，得一： （2)移项，得 (3)配方，得一： (4)方程两边开方，得 (5)解得： 6.解方程： 第1页（共8页） 7.用配方法解方程： 能力提升 8.用配方法解一元二次方程 ,得 ,则 的值为() A.11 B.3 c D. 9.老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式，用配方法求解一元二次方程，如图，老师把题目交给 一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学， 依次进行，最后完成计算.规则是每人只能看到前 一人传过来的式子.接力中，自己负责的式子出现错误的是( ) 老师 小明 小丽 小红 小亮 2x2-20x+25=0→ x2-10+2 5 x2-10x+25-25=- Px+5)2= 25 =0 549 x2=5 52 22 A.小明 B.小丽 C.小红 D.小亮 10.若方程 能配成 的形式，则直线 不经过第一 象限 11.下面是小聪同学用配方法解方程 的过程，请仔细阅读后，解答下面的问题. 解：移项，得 ① 二次项系数化为1，得 ② 配方，得 ,即 ③ 开方，得 .④ 第2页（共8页） .⑤ (1)小聪的解答过程是从第步开始出现错误的，错误的原因是； (2)用这种方法解方程： 12.定义新运算“※”：※ (1)3※ 的值为一： (2)求满足※※ ※ 的的值. 思维拓展 13.用配方法解一元二次方程 得 ，则的值为一 第3页（共8页） 答案详解 1.解：原方程移项可得： 故选： 2.解：由题知， 所以①②处应分别填入的数是，· 故选： 3.解： 第4页（共8页） 故答案为： 4.解：变形得： 5.解：用配方法解方程 (1)方程两边同时除以2，得 (2)移项，得 (3)配方，得 (4)方程两边开方，得 (5)解得： 故答案为：(1) ;（2) ；(3) ;(4) ;(5) 第5页（共8页） 6.解：这里 △ 7.解：原方程移项得 整理得， 解得 8.解：方程 变形得： 配方得： ,即 可得 则 故选： 9.解： 方程左右两边同时除以2可得： ,故小明正确 第6页（共8页） 由等式的性质可得 ,故小丽正确： 所以 故小红负责的式子出现错误： 故选：· 10.解： 又方程 能配成 的形式， , 直线 可以写成直线 直线 经过第一、二、四象限，不经过第一象限， 直线 不经过第三象限， 故答案为：三， 11.解：(1)小聪的解答过程是从第③步开始出现错误的，错误的原因是配方时方程右边没有加1； 故答案为：③：配方时方程右边没有加1： (2)原方程移项得 二次项系数化为1得 第7页（共8页） 配方得 ,即 开方得 所以 12.解：(1) ※ 米 故答案为：： (2) ※※ ※ ，※ 解得 13.解：两边平方得 展开左边得 整理得 原方程为 对比系数，可得 故答案为：3. 第8页（共8页） 第2课时　用配方法解较复杂的一元二次方程 【课堂引入】 【复习导入】 1．能用直接开平方法求解的一元二次方程有什么特点？试解下列方程：(1)(x＋3)2＝5；(2)x2＋6x＋9＝1，说一说这两个方程的求解过程有何异同？ 2．(1)回顾完全平方公式，并完成填空． ①x2＋8x＋16＝(x＋4)2； ②x2－12x＋36＝(x－6)2； ③x2＋bx＋＝(x＋)2. 观察并思考：各式中的常数项与一次项的系数有什么关系？ 教师点拨：常数项是一次项系数一半的平方． (2)根据方程x2＋6x＋9＝1的求解思路，你能解一元二次方程x2＋6x＋8＝0吗？ 【教学目标】 课题 第2课时　用配方法解较复杂的一元二次方程 授课人 素养目标 1.进一步掌握配方法解一元二次方程的步骤，并能灵活解答． 2．会用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程． 3．经历用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的过程，会用化归思想总结用配方法解一元二次方程的基本步骤. 教学重点 用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程. 教学难点 理解配方法. 授课类型 新授课 【课堂流程】 教学步骤 互动探究 设计意图 回顾 提出问题： 1．定义：通过配成完全平方式的方法得到一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法． 2．配方根据： (1)平方根的意义：如果x2＝a，那么x＝±； (2)完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2. 回顾以前学过的知识，为学习本课时打下基础. 活动1：创设情境、导入新课 【课堂引入】 (1)将下列各式填上适当的项，配成完全平方式(口头回答)． ①x2＋2x＋________＝(x＋________)2； ②x2－4x＋________＝(x－________)2； ③x2＋________＋36＝(x＋________)2； ④x2＋10x＋________＝(x＋________)2. (2)请同学们比较下列两个一元二次方程的联系与区别． ①x2＋6x＋8＝0； ②3x2＋18x＋24＝0. 探讨：方程②应如何去解呢？ 1.让学生回顾配方法，能熟练将二次项系数为1的二次三项式配成完全平方式． 2．让学生梳理用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤，夯实基础，为完善用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的步骤做准备. 活动2：实践探究、交流新知 【探究新知】 1．观察【课堂引入】中方程3x2＋18x＋24＝0，它与前面我们所解的方程有什么不同？你有什么想法？ 先让学生回答这个方程与前面我们所解的方程有什么不同，再动员学生思考如何把这个方程转化为前面我们所解的方程类型，教师提醒后，找一位同学尝试板书，然后教师投影演示． 2．用配方法解一元二次方程的步骤． 教师：下面请大家仔细观察教材例2的解题过程，你能说一说用配方法解一元二次方程的步骤吗？请同学们总结一下． 交流归纳： 用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程一般步骤大致概括如下： (1)化二次项系数为1； (2)配方，使原方程变为(x＋m)2－n＝0的形式； (3)移项，使方程变为(x＋m)2＝n的形式． (4)用直接开平方法解方程. 1.让学生在实践中逐步体会用配方法求解一元二次方程的一般步骤，在学生有了初步认识的基础上，教师再展示步骤，目的是引导学生掌握这种思想，而不是让学生死记硬背这些步骤．使他们在自主探索的过程中真正理解和掌握基本的数学知识、思想和方法， 2．探讨总结用配方法解一元二次方程的一般步骤，一方面可以培养学生归纳总结问题的能力及逻辑思维和语言表达能力，另一方面让学生能熟练掌握用配方法解一元二次方程的基本步骤，掌握每一步的原理，这样会增强学生对这个知识点的驾驭能力. 活动3：开放训练、体现应用 【典型例题】 例　(教材第38页例2)解方程：3x2＋8x－3＝0. 解：两边都除以3，得x2＋x－1＝0. 配方，得x2＋x＋(×)2－(×)2－1＝0， 即(x＋)2－＝0. 移项，得(x＋)2＝. 两边开平方，得x＋＝±， 即x＋＝或x＋＝－.所以x1＝，x2＝－3. 【变式训练】 解方程：3x2－6x－8＝0. 解：移项、二次项系数化为1，得x2－2x＝. 配方，得x2－2x＋1＝＋1， 即(x－1)2＝. ∴x－1＝±. ∴x1＝，x2＝. 引导学生合作交流，让学生熟悉利用配方法求解一元二次方程的步骤. 活动4：课堂检测 【随堂检测】 1．用配方法解下列方程时，配方有错误的是(D) A．x2－4x－1＝0可化为(x－2)2＝5 B．x2＋6x＋8＝0可化为(x＋3)2＝1 C．2x2－7x－6＝0可化为(x－)2＝ D．9x2＋4x＋2＝0可化为(3x＋2)2＝2 2．解下列方程： (1)(2)2x2＋10x－9＝0. (2)9y2－18y－4＝0. 解：（1）整理，得x2＋5x＝. 配方，得x2＋5x＋＝＋， 即(x＋)2＝. 由此可得x＋＝±， ∴x1＝，x2＝. (2)y1＝1＋，y2＝1－. 学以致用，通过课堂检测及时获知学生对所学知识的掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都有所收获、有所提高. 课堂小结 1.课堂小结： (1)核心思想：化归转化．用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程时，先将方程两边同时除以二次项系数，把方程转化为二次项系数为1的形式，再沿用“移项→配方→开方→求解”的步骤，体现了“化未知为已知”的化归思想． (2)关键步骤与易错提醒：配方的核心是在方程两边加上一次项系数一半的平方．易错点：①除以二次项系数时，常数项也要同步除以该系数；②配方时要注意符号，确保等式两边变形一致，避免漏加或符号错误． 2．布置作业： 教材第39页随堂练习第1题，教材第45页习题2.2第1题. 注重课堂小结，形成知识网络，激发学生参与课堂总结的主动性. 教学反思 　本节课聚焦用配方法解二次项系数不为 1 的一元二次方程，教学中以 “化归” 思想为核心，引导学生先将方程两边同除以二次项系数，转化为已学的二次项系数为 1 的形式，再逐步完成配方、开方求解，帮助学生构建 “化未知为已知” 的解题思维体系。课堂整体思路清晰，学生能够理解将复杂方程转化为基础方程的核心解题逻辑，基本掌握配方法的整体解题框架。 但在实操解题过程中，学生的运算规范性与细节把控仍存在明显短板。多数学生虽懂原理，但机械运算、忽视等式基本性质：在统一二次项系数时，常常只对二次项、一次项进行化简，遗漏常数项同除，造成方程变形不等价；在配方环节，对一次项系数的符号判断不准确，对 “一次项系数一半的平方” 计算失误，且容易出现只在方程左边配方、右边漏加的典型错误，直接导致完全平方式构造错误，最终开方求解出现偏差，充分反映出学生重步骤记忆、轻原理理解的问题，几何等式变形的严谨性较为欠缺。 后续教学中，我将进一步细化教学流程，拆解每一步解题要点，摒弃笼统讲解的方式。通过正误对比、易错题组专项训练，突出 “化系数为 1、移项变号、对等配方、规范开方” 四大核心步骤，引导学生系统梳理完整解题流程。同时注重强化原理讲解，让学生知其然更知其所以然，深刻理解每一步变形的依据。持续规范学生解题书写，针对性纠正运算陋习，逐步提升学生代数运算的准确性、严谨性与解题规范性。 反思，更进一步提升. 学科网（北京）股份有限公司 $