12.3 频率与概率&12.4 随机事件的独立性（分层作业练题型）高二数学沪教版必修第三册

**基本信息** 该同步练习以分层设计为核心，通过A组基础巩固、B组能力进阶、C组思维拔高及高考拓展，构建从单一知识点到综合应用的递进式知识巩固路径，适配新授课差异化教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|计算频率、频率与概率关系、事件独立性判断等基础题型|聚焦概念理解与基础运算，如用频率估算概率的实际问题，培养数据意识| |B组|独立事件与互斥事件综合、概率应用问题|多知识点交叉，如结合电路、传球游戏的情境题，发展推理能力| |C组|复杂概率模型、创新情境问题|含策略优化（如答题顺序）、多步概率计算，提升数学思维| |拓展|高考真题及模拟题|对接高考题型，如独立事件概率计算、实际应用案例，强化应用意识|

分层作业 12.3 频率与概率&12.4 随机事件的独立性 目 录 A组 巩固过关 题型01计算频率 题型02频率与概率的关系 题型03用频率估算概率 题型04事件独立性的判断 题型05求独立事件的概率 题型06 独立事件与互斥事件 题型07独立事件的实际应用 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 ( 题型0 1 )计算频率 1．某校为了解高一学生的月阅读时间（单位：小时），得到如下数据：已知阅读时间在内的频率为0.1，在内的频率为0.2，在内的频率为0.4，在内的频率为0.2，在内的频率为0.1，若月阅读时间不低于15小时的学生共有90人，则根据上述数据，该校高一学生总人数为（    ） A．200 B．300 C．400 D．500 2．现有一个容量为50的样本，其数据的频数分布表如下表所示： 组号 1 2 3 4 5 频数 9 12 9 8 则第3组的频数和频率分别是（    ） A．12，0.06 B．12，0.24 C．18，0.09 D．18，0.36 3．某班学生在一次数学考试中成绩分布如下表： 分数段 人数 2 5 6 8 分数段 人数 12 6 4 2 那么分数在的频率和分数不满110分的频率分别是（精确到0.01）（   ） A．0.18，0.47 B．0.47，0.18 C．0.18，0.50 D．0.38，0.75 4．工厂对某车间某一天生产的产品采用随机抽样的方法抽到一个容量为40的样本数据，分组后，各组的频数如下表： 分组 频数 4 6 10 4 已知样本数据在范围内的频率为，则样本数据在范围内的频率为（   ） A．0.70 B．0.50 C．0.25 D．0.20 5．某池塘中饲养了A､B两种不同品种的观赏鱼，假设鱼群在池塘里是均匀分布的.在池塘的东､南､西三个采样点捕捞得到如下数据（单位：尾），若在采样点北捕捞到20尾鱼，则品种A约有（    ） 采样点 品种A 品种B 东 20 9 南 7 3 西 17 8 A．6尾 B．10尾 C．13尾 D．17尾 ( 题型0 2 )频率与概率的关系 6．某人将一枚硬币连续掷了10次，6次正面朝上，若事件A表示“抛掷一枚硬币，正面朝上”，则事件A的（   ） A．频率为，概率为 B．频率为，概率为 C．频率为，概率为 D．频率为，概率为 7．气象台预报“本市明天中心城区的降雨概率为30%，郊区的降雨概率为70%.”基于这些信息，关于明天降雨情况的描述最为准确的是（    ） A．整个城市明天的平均降雨概率为50% B．明天如果住在郊区不带伞出门将很可能淋雨 C．只有郊区可能出现降雨，而中心城区将不会有降雨 D．如果明天降雨，郊区的降雨量一定比中心城区多 8．把一枚质地均匀的硬币连续抛掷次，其中有次正面朝上，次反面朝上，则掷一次硬币正面朝上的概率为________． 9．种子发芽率是指在规定条件和时间内长成的正常幼苗数占供检种子数的百分率．种子发芽率的测定通常是在实验室内进行，随机取600粒种子置于发芽床上，通常以100粒种子为一个重复，根据不同种类的种子控制相应的温度、水分、光照等条件，再到规定的时间鉴定正常幼苗的数量，最后计算出种子的发芽率．下表是猕猴桃种子的发芽试验结果： 种子粒数 100 100 100 100 100 100 发芽粒数 79 78 81 79 80 82 发芽率 根据表格分析猕猴桃种子的发芽率约为__________． ( 题型0 3 )用频率估算概率 10．某项球类比赛按三局两胜的赛制进行，甲、乙两队进行此项比赛．已知每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4．现用计算机产生1～5之间的随机数，当出现1，2或3时，表示此局比赛甲获胜，当出现4或5时，表示此局比赛乙获胜．在一次试验中，产生了20组随机数如下： 125  432  354  534  443  512  541  334  151  314 525  332  152  344  114  453  345  423  123  423 根据以上数据，利用随机模拟试验，估计甲获胜的概率为（   ） A．0.144 B．0.432 C．0.6 D．0.648 11．一个不透明的袋子里装有红､白两种小球，除颜色外其余完全相同，总计20个．进行有放回的重复摸球（每次摸一个）试验，多次试验后，摸到红球的频率稳定在0.6附近，则红球的个数约为（    ） A．6 B．8 C．12 D．14 12．我国古代的数学名著《数书九章》中记载了“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得粒内夹谷粒，则这批米内夹谷的石数约为（   ） A． B． C． D． 13．在调查运动员是否服用过兴奋剂的时候，给出两个问题作答，无关紧要的问题是：“你的身份证号码的尾数是奇数吗？”敏感的问题是：“你服用过兴奋剂吗？”然后要求被调查的运动员掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则回答第二个问题．由于回答哪一个问题只有被测试者自己知道，所以应答者一般乐意如实地回答问题．如我们把这种方法用于300个被调查的运动员，得到80个“是”的回答，则这群人中服用过兴奋剂的百分率大约为（    ） A．4.33% B．3.33% C．3.44% D．4.44% 14．在一个袋子中装有大小与质地均相同的红色和黄色小球共5个，小明每次从中抽取一个观察颜色后并放回，进行100次后统计发现，红色小球出现了58次，黄色小球出现了42次．则袋中红球最有可能有__________个． ( 题型0 4 )事件独立性的判断 15．抛掷一枚质地均匀的骰子，观察朝上的点数，设事件“朝上的点数为1或6”，事件“朝上的点数为奇数”，事件“朝上的点数为2或4”，事件“朝上的点数为偶数”，下列说法正确的是（   ） A．A与D互斥 B．A与B相互独立 C．B与C互为对立事件 D．C与D相互独立 16．先后抛掷一枚骰子两次，记事件甲为“第一次的点数为奇数”，事件乙为“第二次的点数为偶数”，事件丙为“两次点数之和是8”，事件丁为“两次点数之和为7”，这四个事件中，相互独立的是（   ） A．甲与丙 B．甲与丁 C．乙与丙 D．丙与丁 17．林下调研区划分出块独立的菌菇监测样地，编号为，每块样地被随机选中的概率均为．调研人员先后两次独立选取样地开展观测（有放回地选取，两次选取互不影响），记录每次选中的样地编号．设事件为“第一次选取选中的菌菇监测样地的编号为”，事件为“第二次选取选中的菌菇监测样地的编号为偶数”，事件为“两次选取选中的样地编号之和为”，事件为“两次选取中，恰有一次选中编号不大于的菌菇监测样地”，则不正确的是（    ） A．与相互独立 B．与相互独立 C．与相互独立 D．与相互独立 18．某光伏仓库中有4块外观完全一致的光伏组件，其中低效组件2块（编号1，2），高效组件2块（编号3，4）.从中不放回依次抽取两块组件，设事件：取出两块组件发电等级不同，事件：第一次取出低效组件，事件：第二次取出低效组件，事件：取出两块组件发电等级相同.则下列说法不正确的是（   ） A．与相互独立 B．与相互独立 C．与相互独立 D．与相互独立 19．袋中装有标号分别为1～8的8个大小形状相同的小球（仅编号不同），从中随机抽取一个小球，记事件“取出的小球编号为奇数”，“取出的小球编号为偶数”，“取出的小球编号大于4”，“取出的小球编号小于4”，则下列结论正确的是（   ） A．与不是互斥事件 B．与不是对立事件 C．与是相互独立事件 D．与是相互独立事件 20．抛掷两枚质地均匀的正四面体骰子（标记为Ⅰ号和Ⅱ号），分别观察底面上的数字（各面分别印有“1”“2”“3”“4”四个数字）.设事件“两个数字之和是5”，“两个数字之积不小于6”. (1)用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件； (2)求事件及事件的概率，判断这两个事件是否独立，并说明理由. ( 题型0 5 )求独立事件的概率 21．已知A，B为两个相互独立的随机事件，若，且，则（    ） A． B． C． D． 22．甲、乙两个转盘均标有数字1，2，3，甲转盘指向1的概率为p，指向2，3的概率相等；乙转盘指向1的概率为q，指向2，3的概率相等，其中．现独立地转动两转盘各一次，若“甲转盘指向1”与“两个转盘指向相同的数字”相互独立，则（    ） A． B． C． D． 23．事件与事件相互独立，若 ，则 （   ） A． B． C． D． 24．已知事件，相互独立，，，则（    ） A． B． C． D． 25．在如图所示的电路图中，开关闭合与断开的概率分别是和，、闭合与断开的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为____________. 26．A，B，C，D四位同学按逆时针方向站在正方形的四个顶点，进行传球游戏．持球者将球传给相邻顶点的人的概率均为，传给不相邻顶点的人的概率为．例如，A传给B，D的概率均为，传给C的概率为，若游戏开始时球在A手里，则经过3次传球后，球回到A手里的概率为多少？ ( 题型0 6 )独立事件与互斥事件 27．已知事件和事件的概率，，下列结论中不正确的是（    ） A．若事件和事件独立，则 B．若事件和事件独立，则 C．若事件和事件互斥，则 D．若事件和事件互斥，则 28．已知，是随机事件，若，且，则下列结论正确的是（    ） A． B．，为对立事件 C．，相互独立 D． 29．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则不正确的是（    ） A．乙发生的概率为 B．丙发生的概率为 C．甲与丁相互独立 D．丙与丁互为对立事件 30．当一个不均匀的骰子滚动的时候，出现偶数的概率是奇数的3倍.骰子滚动了两次则出现的数字之和为偶数的概率是_______. 31．某产品的质量检验过程依次为进货检验（IQC）、生产过程检验（IPQC）、出货检验（OQC） 三个环节．已知某产品IQC的单独通过率为，IPQC的单独通过率为，规定上一类检验不通过则不进入下一类检验，未通过可修复后再检验一次（修复后无需从头检验，通过率不变且每类检验最多两次），且各类检验间相互独立，则一件该产品能进入OQC环节的概率为_________． 32．目前，新冠还在散发，防疫任重道远，经济下行，就业压力大，为此，国家大力提倡大学生自主创业.小李大学毕业后在同一城市开了，两家小店，每家店各有2名员工.五一期间，假设每名员工请假的概率都是，且是否请假互不影响.若某店的员工全部请假，而另一家店没有人请假，则调剂1人到该店以维持正常运转，否则该店就关门停业. (1)求有员工被调剂的概率； (2)求至少有一家店停业的概率. ( 题型0 7 )独立事件的实际应用 33．已知甲､乙两人参加闯关活动，活动一共设置两关.甲每关闯关成功的概率均为，乙每关闯关成功的概率均为，且甲､乙两人闯关成功与否互不影响，则甲､乙两人总共至少有三关闯关成功的概率是__________. 34．黔东南州强大的“村字号”IP带动了周边县市旅游井喷式增长，2026年五一假期，台江县借势“村BA”和苗族姊妹节，接待游客60.31万人次，旅游综合收入7.78亿元.在一次“村BA”篮球决赛中，分别来自于两支决赛队伍的甲乙两名运动员，进行三分投篮比赛活动.甲投篮命中的概率为，乙投篮命中的概率为．在每次投篮活动中，甲和乙投中与否互不影响，各轮结果也互不影响.在每一轮比赛中甲乙都投中的概率为，甲乙都投不中的概率为． (1)求，的值； (2)求甲乙两名运动员在两轮投篮活动中恰好投中3个球的概率． 35．甲、乙两人独立地破译一份密码，已知甲能破译的概率是，甲、乙都能破译的概率是. (1)求乙能破译的概率； (2)求恰有一人能成功破译的概率； (3)求密码被成功破译的概率. 36．某连锁超市在店庆期间，针对线上、线下两种消费渠道推出抽奖活动．已知顾客线上抽奖中奖的概率为，线下抽奖中奖的概率为，且两种渠道抽奖结果相互独立． (1)若某顾客在两种渠道各抽奖1次，求该顾客恰好有1次中奖的概率； (2)若某顾客连续3天只参与线上抽奖，每天抽奖1次，求该顾客恰好有2天中奖的概率； (3)商场设置“终极幸运奖”，规则为先参与2次线下抽奖，再参与2次线上抽奖，若这4次抽奖中至少有3次中奖，则可获得该奖项，求顾客获得“终极幸运奖”的概率． 37．为筹备“2025浙江省城市篮球联赛（浙BA）”城市争霸赛，某市级联队面向社会公开选拔战术助理教练，选拔流程包括两轮测试，重点考察选手的篮球知识储备与临场战术应对能力：第一轮为战术理解测试：从5道经典战术分析题中任选2题作答，若两题均答对得40分，其余情况得0分；第二轮为实战应变测试：从5道实战应变题中任选2题作答，每答对1题得30分，答错得0分；若两轮总成绩不低于60分，选手将获得面试资格，且进入正式教练团队备选名单.现有两位候选人甲与乙参加此次测试，甲对两轮题目中每道题的答对概率均为0.5；乙第一轮测试题仅掌握其中4题（掌握的题必答对，未掌握的题必答错），乙第二轮每题答对的概率为0.4；所有测试中，每项成功与否互不影响. (1)求甲两轮测试总分为30分的概率； (2)求乙在第一轮测试中得40分的概率； (3)试判断谁更有可能进入正式教练团队备选名单？ 1．某小区为了调查本小区业主对物业服务满意度的真实情况，对本小区业主进行了调查，调查中问了两个问题1：你的手机尾号是不是奇数？问题2：你是否满意物业的服务？调查者设计了一个随机化装置，其中装有大小、形状和质量完全相同的白球和红球，每个被调查者随机从装置中摸到红球和白球的可能性相同，其中摸到白球的业主回答第一个问题，摸到红球的业主回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不要做，由于问题的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题别人并不知道，因此被调查者可以毫无顾虑地给出符合实际情况的答案.已知某小区80名业主参加了问卷，且有48名业主回答了“是”，由此估计本小区对物业满意服务的百分比大约为（    ） A．10% B．20% C．35% D．70% 2．某市四所高中的足球队（分别记为“甲队”“乙队”“丙队”“丁队”）进行单循环比赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各队的积分排列名次，积分规则为每队胜一场得分，平一场得分，负一场得分.若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，则在比赛结束时，下列说法不正确的是（    ） A．甲队积分为分的概率为 B．四支球队的积分总和可能为分 C．丙队积分为分的概率为 D．甲队胜场且乙队胜场的概率为 3．在世界杯期间，有3种不同的纪念品：纪念品A（大力神杯模型）、纪念品B（官方用球）、纪念品C（官方吉祥物）．甲、乙、丙三位球迷独立随机地选择纪念品，对于每个人来说，每种纪念品选与不选都是等可能的．则至少有一种纪念品被甲、乙、丙三人都选中的概率为______． 4．某同学制作了一个质地均匀的正四面体形骰子，在其中三个面分别写上一个数字1、2、3，第四个面写了三个数字1，2，3，随机抛掷一次，事件表示向下的面上有数字1，事件表示向下的面上有数字2，事件表示向下的面上有数字3，则（    ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件互斥 D．事件与事件相互独立 5．已知随机事件，，发生的概率均为，且两两独立，那么这三个事件同时发生的概率可能为（    ） A． B． C． D． 6．某人有一把雨伞用于上下班，如果一天上班时他在家而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿伞去办公室，如果一天下班时他在办公室而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿伞回家.如果天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且与过去情况相互独立.现在这把雨伞在家里，那么连续上班两天，他两天都不淋雨的概率为________. 7．甲、乙、丙三人进行乒乓球挑战赛，挑战规则如下：累计负两场者被淘汰，比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为，则甲或乙最终获胜的概率为_______. 8．已知两个相同的正四面体的四个面分别标有数字1，2，3，4，某人每次同时投掷这两个正四面体，规定每次两个正四面体的底面上的数字之和为所得数字，共投掷3次，则3次所得数字之积能被10整除的概率为__________. 9．小明参加一项积分晋级赛，规则如下：初始积分为10分，每场比赛胜则加5分，负则减5分，平则积分不变；当积分达到0分（淘汰出局）或20分（晋级成功）时终止比赛，否则继续比赛；若三场比赛后仍未终止，则判定为晋级成功并终止比赛.已知每场比赛结果相互独立，小明每场比赛胜、负、平的概率分别为，，，则比赛终止时小明积分为0分的概率为________. 1．甲、乙、丙3名运动员击中目标的概率分别为，，.若他们3人分别向目标各发一枪，且他们相互之间没有影响，则以下说法不正确的是（    ） A．三枪都命中的概率为 B．至少有一枪命中目标的概率为 C．若要连续命中两枪的概率最大，则应该让甲打第2枪 D．若要连续命中两枪的概率最大，则应该让丙打第2枪 2．甲乙两人进行棋类比赛，每局比赛胜者得个积分，负者得个积分，记两人积分之差的绝对值为时比赛结束且积分多者获胜.已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛结果相互独立，则比赛结束时总局数不多于局且甲获胜的概率为________. 3．某平台推出答题赢会员活动，共设置3道独立题目，每位用户可自主安排答题顺序.规则如下：连续答对2题可获得7天会员；连续答对3题可获得30天会员；其余情况均不获得会员.已知甲答对题1的概率为，答对题2的概率为，答对题3的概率为，各题答对与否相互独立. (1)若，且甲按题题题3的顺序答题，求甲获得30天会员的概率. (2)若，且第一次答题2，则要使甲获得会员的概率最大，应如何安排其他两次答题顺序？ (3)若在答题中，仅当题3位于中间的顺序时，甲获得会员的概率最大，求的取值范围. 4．某平台推出答题赢会员活动，共设置3道独立题目，每位用户可自主安排答题顺序．规则如下：连续答对2题可获得7天会员；连续答对3题可获得30天会员；其余情况均不获得会员．已知甲答对题1的概率为，答对题2的概率为，答对题3的概率为，各题答对与否相互独立． (1)若，且甲按题1→题2→题3的顺序答题，求甲获得30天会员的概率． (2)若，要使甲获得会员的概率最大，应如何安排答题顺序？ (3)若在答题中，仅当题3位于中间的顺序时，甲获得会员的概率最大，求的取值范围． 1．（2025·上海·高考真题）已知事件A、B相互独立，事件A发生的概率为，事件B发生的概率为，则事件发生的概率为（   ） A． B． C． D．0 2．（2023·天津·高考真题）把若干个黑球和白球（这些球除颜色外无其它差异）放进三个空箱子中，三个箱子中的球数之比为．且其中的黑球比例依次为．若从每个箱子中各随机摸出一球，则三个球都是黑球的概率为_________；若把所有球放在一起，随机摸出一球，则该球是白球的概率为_________． 3．（2024·上海·高考真题）有四种礼盒，前三种里面分别仅装有中国结、记事本、笔袋，第四个礼盒里面三种礼品都有，现从中任选一个盒子，设事件：所选盒中有中国结，事件：所选盒中有记事本，事件：所选盒中有笔袋，则（    ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件互斥 D．事件与事件相互独立 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 12.3 频率与概率&12.4 随机事件的独立性 ( 题型0 1 )计算频率 1．【答案】B 【详解】因为月阅读时间不低于15小时的学生频率为，频数为90， 故总人数为人． 2． 【答案】B 【详解】第3组的频数，频率为. 故选：B 3． 【答案】A 【详解】分数在的频率为：． 分数不满110分的频率为：． 故选：A． 4． 【答案】D 【详解】由题意得，解得， 所以， 所以样本数据在范围内的频率为. 故选：D. 5． 【答案】C 【详解】解：因为鱼群在池塘里是均匀分布的， 所以品种A约所占比为：， 所以在采样点北捕捞到20尾鱼，则品种A约有尾， 故选：C ( 题型0 2 )频率与概率的关系 6．【答案】B 【详解】事件A的频率为，概率为． 7．【答案】B 【详解】对于A，中心城区面积和郊区面积不一定相同，故整个城市明天的平均降雨概率不一定为50%，故A错误； 对于B，明天郊区的降雨概率比中心城区的降雨概率大，故B正确； 对于C，不管郊区还是中心城区都可能会出现降雨，故C错误； 对于D，降雨量并不取决于降雨概率，反而是降雨时长以及有效覆盖面积（即下雨的区域在该所参考区域的面积）会影响降雨量，故D错误. 故选：B. 8．【答案】/ 【详解】抛掷一枚质地均匀的硬币，结果只有两种，正面朝上和反面朝上， 且两种结果出现的可能性相同， 所以掷一次硬币正面朝上的概率是． 9． 【答案】 【详解】由表格中的数据，结合频率与概率的关系可知，该猕猴桃种子的发芽率约为． 故答案为：． ( 题型0 3 )用频率估算概率 10．【答案】C 【详解】由题意，表示甲获胜的数有125，432，512，334，151，314，332，152，114，423，123，423共12组数，故估计该场比赛甲获胜的概率为． 11．【答案】C 【详解】． 12．【答案】C 【详解】因为粒内夹谷粒， 所以估计这批米内夹谷的概率为， 设这批米内夹谷的石数为，则， 即这批米内夹谷的石数约为石. 故选：C. 13．【答案】B 【详解】因为抛硬币出现正面朝上的概率为，大约有150人回答第一个问题， 又身份证号码的尾数是奇数或偶数是等可能的， 在回答第一个问题的150人中大约有一半人，即75人回答了“是”， 共有80个“是”的回答，故回答服用过兴奋剂的人有5人， 因此我们估计这群人中，服用过兴奋剂的百分率大约为3.33%. 故选：B 14．【答案】3 【详解】红色出现的频率为，所以红球出现的概率应接近， 设袋子中红球的个数为， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，最接近， 所以袋中红球最有可能有3个. 故答案为：3. ( 题型0 4 )事件独立性的判断 15．【答案】B 【详解】对于A，当朝上的点数为6时，事件同时发生，不互斥，A错误； 对于B，，则，相互独立，B正确； 对于C，当朝上的点数为6时，事件同时不发生，不对立，C错误； 对于D，事件，，，不独立，D错误. 16．【答案】B 【详解】先后抛掷一枚骰子两次，总的样本空间有个等可能结果. 第一次的点数为奇数有1，3，5共3种等可能结果，故， 第二次的点数为偶数有2，4，6共3种等可能结果，故， 两次点数之和为8有共5种等可能结果，， 两次点数之和为7有共6种等可能结果，， 对于A，第一次为奇数，两次和为8有共2种等可能结果，故， 又， 所以，所以甲与丙不相互独立，故A错误； 对于B，第一次为奇数，两次和为7有共3种等可能结果，故， 又， 所以，所以甲与丁相互独立，故B正确； 对于C，第二次为偶数，两次和为8有共3种等可能结果，故， 又， 所以，所以乙与丙不相互独立，故C错误； 对于D，两次和为8与两次之和为7不会同时发生，故， 又， 所以，所以丙与丁不相互独立，故D错误. 17．【答案】C 【详解】有放回抽取，总情况数种。 ，， 对于A，，，满足，所以与相互独立，A正确； 对于B，事件：两次和为，组合，共种，， 事件：第一次是且和为，则第二次必须是，仅，种，， ，满足，与相互独立，B正确； 对于C：事件：恰有一次编号（为；为）， 符合的组合：第一次第二次（）+第一次第二次（），共种，， ：和为且恰一次，符合的组合：中，恰一次的是全部组（每组都一个一个），共种， ，，与相互不独立，C错误； 对于D，：第一次且恰一次，所以第二次必须，共种（第二次）， ，，满足，与相互独立，D正确． 18．【答案】A 【详解】从4块组件中不放回依次抽取两块组件，有，，，，，，，，，，，，共12个基本事件， 包含，，，，，，，，共8个基本事件，所以， 包含，，，，，，共6个基本事件，所以 包含，，，，，共6个基本事件，所以， 包含，，，共4个基本事件，所以， ，故A错误； ，故B正确； ，故C正确； ，故D正确. 19．【答案】C 【详解】由题意从中任取一个球的样本空间为， 事件可表示为，事件可表示为，事件可表示为， 事件可表示为， 且，所以与互斥；与互为对立事件；AB错， ， ，，，，， 故，， 即与是相互独立事件，与不是相互独立事件，C对，D错. 20．【答案】(1)，其中x为Ⅰ号骰子点数，y为Ⅱ号骰子点数.   .   . (2)相互独立，理由如下： ，由古典概型公式可得：.   因为，所以.   所以事件A与事件B相互独立. 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 ( 题型0 5 )求独立事件的概率 21．【答案】B 【详解】由题意得：， 又，所以，所以， 所以，所以， 所以. 22．【答案】B 【详解】设事件E表示“甲转盘指向1”，事件F表示“两个转盘指向相同的数字”， 则，， ． 由事件E与事件F相互独立，得． 因为，所以， 即，整理得． 因为，所以． 23．【答案】A 【详解】因为事件与事件相互独立， 所以， 则， 即， 设，则， 结合，代入公式可得， 解得或． 因为概率的范围为， 所以， 则． 24．【答案】B 【详解】设，由得. ∵ 事件相互独立， ∴ . 又∵ ，代入得， 整理得，解得或. ∵ 事件概率满足，故舍去， ∴ . 25．【答案】/ 【详解】记事件开关闭合，事件开关闭合，事件开关闭合， 若灯亮，则开关闭合，开关、至少闭合一个， 故所求事件的概率为. 26．【答案】 【详解】从任意顶点出发，传给相邻顶点的概率为，传给不相邻顶点的概率为， 每次传球为相互独立事件.3次传球从出发最终回到， 所有符合的路径共6种，分别为，， ，，，； 路径的概率为； 路径的概率为； 路径的概率为； 路径的概率为； 路径的概率为； 路径的概率为； 经过3次传球后，球回到手里的概率. ( 题型0 6 )独立事件与互斥事件 27．【答案】C 【详解】对于A：因为事件和事件独立，所以，A正确； 对于B：由A，，所以，B正确； 对于C：若事件和事件互斥，则，所以，C错误； 对于D：若事件和事件互斥，则，D正确. 28．【答案】A 【详解】，是随机事件，，且， 对于A， ，即， ，即， 又，故，A正确； 对于BCD，因为， 所以，由于，， 则，所以，不是对立事件； 又，所以，不是相互独立事件，故BCD错误正确. 故选：A 29．【答案】A 【详解】设A为事件“第一次取出的球的数字是奇数”，B为事件“第二次取出的球的数字是偶数”，C为事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，D为事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则，故A错； ，故B对； 而，故C对； 两次取出的数字之和要么为奇数，要么为偶数，故丙与丁互为对立事件，故D正确. 故选：A 30．【答案】/ 【详解】根据题意可得出现偶数的概率为，出现奇数的概率为， 则骰子滚动了两次，两次都是偶数的概率为， 两次都是奇数的概率为， 则两次出现的数字之和为偶数的概率是. 故答案为： 31．【答案】/0.9 【详解】设表示第i次通过进货检验，表示第i次通过生产过程检验（），C表示该产品能进入出货检验环节，由题意得 ． 故答案为：. 32．【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）记事件“家小店有名员工请假”， “家小店有名员工请假”，其中， 由题设知，事件，相互独立，且， ， 记事件“有员工被调剂”，则， 且，互斥，所以， 故有员工被调剂的概率为； （2）记事件“至少有1家店停业”，则， 且，，互斥， 所以， 故至少有一家店停业的概率为. ( 题型0 7 )独立事件的实际应用 33．【答案】/ 【详解】设事件“甲有关闯关成功”，“乙有关闯关成功”，， 则，， ，， 设甲、乙两人总共至少有三关闯关成功的事件为，则， . 故答案为：. 34．【答案】(1)， (2) 【分析】 【详解】（1）由题可知，所以 所以，是方程的两根，又，所以， （2）由（1）知，甲每轮投中的概率为，乙每轮投中的概率为 所以甲在两轮中恰好投中一个球的概率为， 投中两个球的概率为； 乙在两轮中恰好投中一个球的概率为， 投中两个球的概率为 所以甲乙两名运动员在两轮活动中恰好投中3个球的概率为． 35．【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设事件为“甲能破译”，事件为“乙能破译” 根据题意已知：甲能破译的概率，， 由于两人独立，所以，代入可得. 所以乙能破译的概率为. （2）恰有一人能成功破译”包含两种互斥的情况： 甲能破译，乙不能破译（即），甲不能破译，乙能破译（即）. 则,， 所以所求概率为. （3）密码被成功破译，则甲、乙两人中至少有一人能破译， 对立事件为甲、乙两人都不能破译，， 所以所求概率为. 36．【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）设顾客在线上抽奖中奖为事件A, 线下抽奖中奖为事件B, 设某顾客在两种渠道各抽奖1次，恰好有1次中奖为事件C, 则. （2）设第次线上抽奖中奖为事件， 设某顾客连续3天只参与线上抽奖，每天抽奖1次，恰好中奖两次为事件D， 则. （3）设顾客获得终极幸运奖为事件E，则线上恰好中一次且线下两次全中，或线上两次全中且线下恰好中一次，或者线上线下均两次全中， 则. 37．【答案】(1) (2) (3)乙 【分析】 【详解】（1）设“甲两轮总分得30分”为事件，“甲第一轮答错一题得0分， 第二轮答对一题得30分”为事件；“甲当第一轮答错两题得0分，第二轮答对一题得30分”为事件. 则； （2）对第一轮的5个问题进行编号：，第一轮从5个问题中任选两题作答， 则有共10种， 设乙只能答对4个问题的编号为：，则乙在第一轮得40分，有 共6种， 则乙在第一轮得40分的概率为：； （3）由（2）知，乙在第一轮得40分的概率为，则乙在第一轮得0分的概率为：， 依题意，两人能够晋级复赛，即两轮总分不低于60分， 当第一轮答对两题得40分，第二轮答对一题得30分时， 甲和乙晋级复赛的概率分别为：； ； 当第一轮答对两题得40分，第二轮答对两题得60分时， 甲和乙获得面试资格的概率分别为： ； 当第一轮答错一题得0分，第二轮答对两题得60分时， 甲和乙获得面试资格的概率分别为： 当第一轮答错两题得0分，第二轮答对两题得60分时， 甲获得面试资格的概率分别为：， 甲获得面试资格的概率为：； 乙获得面试资格的概率为： 乙更有机会获得面试资格，进入正式教练团队备选名单. 1．【答案】D 【详解】由两个问题被问的概率相等，故约有40人回答了第一个问题， 由手机尾号为奇数和偶数的概率相等，故40人中约有20人回答“是”， 根据有48名业主回答了“是”，则约有28人在第二个问题中回答“是”， 又第二个问题被问到的人数同样约为40人， 故本小区对物业满意服务的百分比大约为. 故选：D 2．【答案】C 【详解】四支队伍进行单循环比赛，共比赛场， 分别是甲与乙，甲与丙，甲与丁，乙与丙，乙与丁，丙与丁，每支球队比赛三场. 对于A，甲队积分为分，即甲队三场比赛全胜， 所以甲队积分为分的概率为，故A正确； 对于B，若甲队三场比赛全胜，则甲队得9分，乙队、丙队、丁队各剩余两场比赛，如果全部是平局，则乙队、丙队、丁队各得2分， 则总积分为分，故B正确； 对于C，丙队积分为分有2种情况，即胜1平0负2或者胜0平3负0， 若为胜1平0负2，则概率为， 若为胜0平3负0，则概率为， 所以丙队积分为分的概率为，故C错误； 对于D，甲队胜场且乙队胜场有3类情况： 第一种：甲胜乙，则甲已经胜一场，乙已经负一场，甲还需对丙、丁胜一场， 乙需对丙、丁全胜，则概率为， 第二种：甲平乙，则甲还需对丙、丁全胜，乙需对丙、丁全胜， 则概率为， 第三种：甲负乙，则甲已经负一场，乙已经胜一场，则甲还需对丙、丁全胜， 乙需对丙、丁胜一场，则概率为， 所以甲队胜场且乙队胜场的概率为，故D正确. 3．【答案】 【详解】由题意知，A同时被甲、乙、丙选中的概率为， B同时被甲、乙、丙选中的概率为， C同时被甲、乙、丙选中的概率为， 所以至少有一种纪念品被三人都选中的概率：． 4．【答案】B 【详解】由题意可得，，， 对于A，表示向下的面同时有数字1和2，即面4，所以，故A错误； 对于B，的情况只有面4，故， 又，满足，故B正确； 对于C，表示同时有数字1、2和3，即面4，所以，故C错误； 对于D，表示向下的面有数字2或3，包含面2、面3、面4，共3个面， 故，表示向下的面有数字1，且有数字2或3，即面4， 故，所以， 不满足独立事件定义，故D错误． 5．【答案】C 【详解】由两两相互独立得到， 设， 则 ，解得， 又考虑， 解得，综上得． 【点睛】利用概率的非负性和事件并集的概率上限，结合独立性条件逐步缩小范围. 6．【答案】 【详解】：我们按行程顺序（第一天上班→第一天下班→第二天上班）分步计算，初始状态雨伞在家，要求全程不淋雨（下雨时必须有伞才不淋雨）： 第一天上班：人在家、伞在家，无论下不下雨都不淋雨，分两种情况： 情况1：第一天上班不下雨，概率，伞留在家，人到办公室； 若第一天下班下雨，概率：人在办公室、伞在家，无伞淋雨，不符合要求； 若第一天下班不下雨，概率：人回家，伞仍在家，第二天上班无论下不下雨都不淋雨，该分支贡献概率：； 情况2：第一天上班下雨，概率，带伞到办公室，伞在办公室，人到办公室； 若第一天下班不下雨，概率：人回家，伞留办公室，第二天上班只有不下雨才不淋雨（概率），该分支贡献概率：； 若第一天下班下雨，概率：带伞回家，伞回到家，第二天上班无论下不下雨都不淋雨，该分支贡献概率：； 总概率：把所有符合条件的分支相加： 7．【答案】/0.5625 【详解】记甲、乙最终获胜的事件分别为，由赛制规则及初始对阵（甲、乙首先比赛，丙轮空）可知，甲与乙在赛程中地位完全相同，故甲获胜的概率与乙获胜的概率相等， 即，所求概率为. 记事件为甲输，事件为乙输，事件为丙输， 则甲赢的基本事件包括，，，，，，，， 所以，甲赢的概率. 所以. 8．【答案】 【详解】根据题意，每次投掷得到情形A：掷出5点，情形B：掷出偶数点，情形C：掷出3或7点的概率分别为， 于是3次投掷均没有5的概率为，3次投掷均没有偶数的概率为，3次投掷既没有5也没有偶数的概率为， 因此根据容斥原理，3次投掷既有5也有偶数的概率为. 9．【答案】 【详解】要计算比赛终止时小明积分为0分的概率，仅需考虑三场以内终止且得到0分的所有情况： 情况1：第二场比赛终止，得到0分： 初始积分10分，要第二场得到0分，必须前两场两连败：第一场负，积分变为（未终止），第二场再负，积分变为（终止）； 概率为：； 情况2：第三场比赛终止，得到0分： 前两场未终止，且前两场结束后积分为5分，第三场负得到0分， 积分为5分说明总变化为，只能是1负1平，共两种排列且两种排列都不会在前两场提前终止， 前两场得到5分的概率为：，第三场负的概率为，因此该情况概率： ； 总概率为两种情况相加：. 1．【答案】C 【详解】对于A：三枪全中的概率，A正确； 对于B，三枪都不中的概率，故至少有一枪命中目标的概率为，B正确； 对于C、D：设1，2枪连续命中的概率为，2，3枪连续命中的概率为， 三枪都中的概率为，则由题意至少连续两枪命中的概率， 若甲在第2枪：乙在第1枪，丙在第3枪，，若甲在第2枪：乙在第3枪，丙在第1枪，，即甲在第2枪，连续命中两枪的概率为， 同理：若乙在第2枪，连续命中两枪的概率为 ， 若丙在第2枪：连续命中两枪的概率为 ， 因此丙在第2枪时概率最大，C错误，D正确. 2．【答案】 【详解】设比赛结束时，一共比赛局，由题设可得， 再设其中甲胜局，得分为，则乙胜局，得分为，则， 解该不定方程，得可为. 设表示第局甲胜，表示第局乙胜. 若比赛三局，比赛结束且甲获胜，则甲胜三局，概率为； 若比赛五局，比赛结束，则甲胜4局，乙胜1局，概率为: ； 若比赛七局，比赛结束，则甲胜5局，乙胜2局，概率为: . 则比赛结束时总局数不多于局且甲获胜的概率为：. 3．【答案】(1) (2)要使甲获得会员的概率最大，应按题2→题1→题3的顺序答题. (3) 【分析】 【详解】（1）甲获得30天会员的概率为. （2）当时，各种答题顺序的情况如下： 按题2→题1→题3的顺序答题，甲获得会员的概率为； 按题2→题3→题1的顺序答题，甲获得会员的概率为； 因为，所以要使甲获得会员的概率最大，应按题2→题1→题3的顺序答题. （3）根据对称性知只需考虑位于中间的顺序的题. 若题1位于中间的顺序，则甲获得会员的概率 若题2位于中间的顺序，则甲获得会员的概率； 若题3位于中间的顺序，则甲获得会员的概率 因为，所以只需满足即可，即，解得. 因为，所以的取值范围为. 4．【答案】(1) (2)应按题2→题1→题3或按题3→题1→题2的顺序答题 (3) 【分析】 【详解】（1）甲获得30天会员的概率为． （2）当时，各种答题顺序的情况如下： 按题1→题2→题3的顺序答题，甲获得会员的概率为； 按题1→题3→题2的顺序答题，甲获得会员的概率为； 按题2→题1→题3的顺序答题，甲获得会员的概率为； 按题2→题3→题1的顺序答题，甲获得会员的概率为； 按题3→题1→题2的顺序答题，甲获得会员的概率为； 按题3→题2→题1的顺序答题，甲获得会员的概率为 因为，所以要使甲获得会员的概率最大，应按题2→题1→题3或按题3→题1→题2的顺序答题． （3）根据对称性知只需考虑位于中间的顺序的题． 若题1位于中间的顺序，则甲获得会员的概率； 若题2位于中间的顺序，则甲获得会员的概率； 若题3位于中间的顺序，则甲获得会员的概率. 因为，所以只需满足即可，即，解得． 因为，所以的取值范围为． 1．【答案】B 【详解】因为相互独立，故， 故选：B. 2．【答案】 / 【分析】 【详解】设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为，所以总数为， 所以甲盒中黑球个数为，白球个数为； 乙盒中黑球个数为，白球个数为； 丙盒中黑球个数为，白球个数为； 记“从三个盒子中各取一个球，取到的球都是黑球”为事件，所以， ； 记“将三个盒子混合后取出一个球，是白球”为事件， 黑球总共有个，白球共有个， 所以，． 故答案为：；． 3．【答案】B 【详解】选项A，事件和事件可以同时发生，即第四个礼盒中可以既有中国结，又有记事本，事件与事件不互斥，A错误； 选项B，，，， ，B正确； 选项C，事件与事件可以同时发生，即第四个礼盒中可以既有中国结，又有记事本或笔袋，C错误； 选项D，，，， ， 与不独立，故D错误． 故选：B． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 12.3 频率与概率&12.4 随机事件的独立性 目 录 A组 巩固过关 题型01计算频率 题型02频率与概率的关系 题型03用频率估算概率 题型04事件独立性的判断 题型05求独立事件的概率 题型06 独立事件与互斥事件 题型07独立事件的实际应用 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 ( 题型0 1 )计算频率 1．某校为了解高一学生的月阅读时间（单位：小时），得到如下数据：已知阅读时间在内的频率为0.1，在内的频率为0.2，在内的频率为0.4，在内的频率为0.2，在内的频率为0.1，若月阅读时间不低于15小时的学生共有90人，则根据上述数据，该校高一学生总人数为（    ） A．200 B．300 C．400 D．500 【答案】B 【详解】因为月阅读时间不低于15小时的学生频率为，频数为90， 故总人数为人． 2．现有一个容量为50的样本，其数据的频数分布表如下表所示： 组号 1 2 3 4 5 频数 9 12 9 8 则第3组的频数和频率分别是（    ） A．12，0.06 B．12，0.24 C．18，0.09 D．18，0.36 【答案】B 【详解】第3组的频数，频率为. 故选：B 3．某班学生在一次数学考试中成绩分布如下表： 分数段 人数 2 5 6 8 分数段 人数 12 6 4 2 那么分数在的频率和分数不满110分的频率分别是（精确到0.01）（   ） A．0.18，0.47 B．0.47，0.18 C．0.18，0.50 D．0.38，0.75 【答案】A 【详解】分数在的频率为：． 分数不满110分的频率为：． 故选：A． 4．工厂对某车间某一天生产的产品采用随机抽样的方法抽到一个容量为40的样本数据，分组后，各组的频数如下表： 分组 频数 4 6 10 4 已知样本数据在范围内的频率为，则样本数据在范围内的频率为（   ） A．0.70 B．0.50 C．0.25 D．0.20 【答案】D 【详解】由题意得，解得， 所以， 所以样本数据在范围内的频率为. 故选：D. 5．某池塘中饲养了A､B两种不同品种的观赏鱼，假设鱼群在池塘里是均匀分布的.在池塘的东､南､西三个采样点捕捞得到如下数据（单位：尾），若在采样点北捕捞到20尾鱼，则品种A约有（    ） 采样点 品种A 品种B 东 20 9 南 7 3 西 17 8 A．6尾 B．10尾 C．13尾 D．17尾 【答案】C 【详解】解：因为鱼群在池塘里是均匀分布的， 所以品种A约所占比为：， 所以在采样点北捕捞到20尾鱼，则品种A约有尾， 故选：C ( 题型0 2 )频率与概率的关系 6．某人将一枚硬币连续掷了10次，6次正面朝上，若事件A表示“抛掷一枚硬币，正面朝上”，则事件A的（   ） A．频率为，概率为 B．频率为，概率为 C．频率为，概率为 D．频率为，概率为 【答案】B 【详解】事件A的频率为，概率为． 7．气象台预报“本市明天中心城区的降雨概率为30%，郊区的降雨概率为70%.”基于这些信息，关于明天降雨情况的描述最为准确的是（    ） A．整个城市明天的平均降雨概率为50% B．明天如果住在郊区不带伞出门将很可能淋雨 C．只有郊区可能出现降雨，而中心城区将不会有降雨 D．如果明天降雨，郊区的降雨量一定比中心城区多 【答案】B 【详解】对于A，中心城区面积和郊区面积不一定相同，故整个城市明天的平均降雨概率不一定为50%，故A错误； 对于B，明天郊区的降雨概率比中心城区的降雨概率大，故B正确； 对于C，不管郊区还是中心城区都可能会出现降雨，故C错误； 对于D，降雨量并不取决于降雨概率，反而是降雨时长以及有效覆盖面积（即下雨的区域在该所参考区域的面积）会影响降雨量，故D错误. 故选：B. 8．把一枚质地均匀的硬币连续抛掷次，其中有次正面朝上，次反面朝上，则掷一次硬币正面朝上的概率为________． 【答案】/ 【详解】抛掷一枚质地均匀的硬币，结果只有两种，正面朝上和反面朝上， 且两种结果出现的可能性相同， 所以掷一次硬币正面朝上的概率是． 9．种子发芽率是指在规定条件和时间内长成的正常幼苗数占供检种子数的百分率．种子发芽率的测定通常是在实验室内进行，随机取600粒种子置于发芽床上，通常以100粒种子为一个重复，根据不同种类的种子控制相应的温度、水分、光照等条件，再到规定的时间鉴定正常幼苗的数量，最后计算出种子的发芽率．下表是猕猴桃种子的发芽试验结果： 种子粒数 100 100 100 100 100 100 发芽粒数 79 78 81 79 80 82 发芽率 根据表格分析猕猴桃种子的发芽率约为__________． 【答案】 【详解】由表格中的数据，结合频率与概率的关系可知，该猕猴桃种子的发芽率约为． 故答案为：． ( 题型0 3 )用频率估算概率 10．某项球类比赛按三局两胜的赛制进行，甲、乙两队进行此项比赛．已知每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4．现用计算机产生1～5之间的随机数，当出现1，2或3时，表示此局比赛甲获胜，当出现4或5时，表示此局比赛乙获胜．在一次试验中，产生了20组随机数如下： 125  432  354  534  443  512  541  334  151  314 525  332  152  344  114  453  345  423  123  423 根据以上数据，利用随机模拟试验，估计甲获胜的概率为（   ） A．0.144 B．0.432 C．0.6 D．0.648 【答案】C 【详解】由题意，表示甲获胜的数有125，432，512，334，151，314，332，152，114，423，123，423共12组数，故估计该场比赛甲获胜的概率为． 11．一个不透明的袋子里装有红､白两种小球，除颜色外其余完全相同，总计20个．进行有放回的重复摸球（每次摸一个）试验，多次试验后，摸到红球的频率稳定在0.6附近，则红球的个数约为（    ） A．6 B．8 C．12 D．14 【答案】C 【详解】． 12．我国古代的数学名著《数书九章》中记载了“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得粒内夹谷粒，则这批米内夹谷的石数约为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为粒内夹谷粒， 所以估计这批米内夹谷的概率为， 设这批米内夹谷的石数为，则， 即这批米内夹谷的石数约为石. 故选：C. 13．在调查运动员是否服用过兴奋剂的时候，给出两个问题作答，无关紧要的问题是：“你的身份证号码的尾数是奇数吗？”敏感的问题是：“你服用过兴奋剂吗？”然后要求被调查的运动员掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则回答第二个问题．由于回答哪一个问题只有被测试者自己知道，所以应答者一般乐意如实地回答问题．如我们把这种方法用于300个被调查的运动员，得到80个“是”的回答，则这群人中服用过兴奋剂的百分率大约为（    ） A．4.33% B．3.33% C．3.44% D．4.44% 【答案】B 【详解】因为抛硬币出现正面朝上的概率为，大约有150人回答第一个问题， 又身份证号码的尾数是奇数或偶数是等可能的， 在回答第一个问题的150人中大约有一半人，即75人回答了“是”， 共有80个“是”的回答，故回答服用过兴奋剂的人有5人， 因此我们估计这群人中，服用过兴奋剂的百分率大约为3.33%. 故选：B 14．在一个袋子中装有大小与质地均相同的红色和黄色小球共5个，小明每次从中抽取一个观察颜色后并放回，进行100次后统计发现，红色小球出现了58次，黄色小球出现了42次．则袋中红球最有可能有__________个． 【答案】3 【详解】红色出现的频率为，所以红球出现的概率应接近， 设袋子中红球的个数为， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，最接近， 所以袋中红球最有可能有3个. 故答案为：3. ( 题型0 4 )事件独立性的判断 15．抛掷一枚质地均匀的骰子，观察朝上的点数，设事件“朝上的点数为1或6”，事件“朝上的点数为奇数”，事件“朝上的点数为2或4”，事件“朝上的点数为偶数”，下列说法正确的是（   ） A．A与D互斥 B．A与B相互独立 C．B与C互为对立事件 D．C与D相互独立 【答案】B 【详解】对于A，当朝上的点数为6时，事件同时发生，不互斥，A错误； 对于B，，则，相互独立，B正确； 对于C，当朝上的点数为6时，事件同时不发生，不对立，C错误； 对于D，事件，，，不独立，D错误. 16．先后抛掷一枚骰子两次，记事件甲为“第一次的点数为奇数”，事件乙为“第二次的点数为偶数”，事件丙为“两次点数之和是8”，事件丁为“两次点数之和为7”，这四个事件中，相互独立的是（   ） A．甲与丙 B．甲与丁 C．乙与丙 D．丙与丁 【答案】B 【详解】先后抛掷一枚骰子两次，总的样本空间有个等可能结果. 第一次的点数为奇数有1，3，5共3种等可能结果，故， 第二次的点数为偶数有2，4，6共3种等可能结果，故， 两次点数之和为8有共5种等可能结果，， 两次点数之和为7有共6种等可能结果，， 对于A，第一次为奇数，两次和为8有共2种等可能结果，故， 又， 所以，所以甲与丙不相互独立，故A错误； 对于B，第一次为奇数，两次和为7有共3种等可能结果，故， 又， 所以，所以甲与丁相互独立，故B正确； 对于C，第二次为偶数，两次和为8有共3种等可能结果，故， 又， 所以，所以乙与丙不相互独立，故C错误； 对于D，两次和为8与两次之和为7不会同时发生，故， 又， 所以，所以丙与丁不相互独立，故D错误. 17．林下调研区划分出块独立的菌菇监测样地，编号为，每块样地被随机选中的概率均为．调研人员先后两次独立选取样地开展观测（有放回地选取，两次选取互不影响），记录每次选中的样地编号．设事件为“第一次选取选中的菌菇监测样地的编号为”，事件为“第二次选取选中的菌菇监测样地的编号为偶数”，事件为“两次选取选中的样地编号之和为”，事件为“两次选取中，恰有一次选中编号不大于的菌菇监测样地”，则不正确的是（    ） A．与相互独立 B．与相互独立 C．与相互独立 D．与相互独立 【答案】C 【详解】有放回抽取，总情况数种。 ，， 对于A，，，满足，所以与相互独立，A正确； 对于B，事件：两次和为，组合，共种，， 事件：第一次是且和为，则第二次必须是，仅，种，， ，满足，与相互独立，B正确； 对于C：事件：恰有一次编号（为；为）， 符合的组合：第一次第二次（）+第一次第二次（），共种，， ：和为且恰一次，符合的组合：中，恰一次的是全部组（每组都一个一个），共种， ，，与相互不独立，C错误； 对于D，：第一次且恰一次，所以第二次必须，共种（第二次）， ，，满足，与相互独立，D正确． 18．某光伏仓库中有4块外观完全一致的光伏组件，其中低效组件2块（编号1，2），高效组件2块（编号3，4）.从中不放回依次抽取两块组件，设事件：取出两块组件发电等级不同，事件：第一次取出低效组件，事件：第二次取出低效组件，事件：取出两块组件发电等级相同.则下列说法不正确的是（   ） A．与相互独立 B．与相互独立 C．与相互独立 D．与相互独立 【答案】A 【详解】从4块组件中不放回依次抽取两块组件，有，，，，，，，，，，，，共12个基本事件， 包含，，，，，，，，共8个基本事件，所以， 包含，，，，，，共6个基本事件，所以 包含，，，，，共6个基本事件，所以， 包含，，，共4个基本事件，所以， ，故A错误； ，故B正确； ，故C正确； ，故D正确. 19．袋中装有标号分别为1～8的8个大小形状相同的小球（仅编号不同），从中随机抽取一个小球，记事件“取出的小球编号为奇数”，“取出的小球编号为偶数”，“取出的小球编号大于4”，“取出的小球编号小于4”，则下列结论正确的是（   ） A．与不是互斥事件 B．与不是对立事件 C．与是相互独立事件 D．与是相互独立事件 【答案】C 【详解】由题意从中任取一个球的样本空间为， 事件可表示为，事件可表示为，事件可表示为， 事件可表示为， 且，所以与互斥；与互为对立事件；AB错， ， ，，，，， 故，， 即与是相互独立事件，与不是相互独立事件，C对，D错. 20．抛掷两枚质地均匀的正四面体骰子（标记为Ⅰ号和Ⅱ号），分别观察底面上的数字（各面分别印有“1”“2”“3”“4”四个数字）.设事件“两个数字之和是5”，“两个数字之积不小于6”. (1)用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件； (2)求事件及事件的概率，判断这两个事件是否独立，并说明理由. 【答案】(1)，其中x为Ⅰ号骰子点数，y为Ⅱ号骰子点数.   .   . (2)相互独立，理由如下： ，由古典概型公式可得：.   因为，所以.   所以事件A与事件B相互独立. 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 ( 题型0 5 )求独立事件的概率 21．已知A，B为两个相互独立的随机事件，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得：， 又，所以，所以， 所以，所以， 所以. 22．甲、乙两个转盘均标有数字1，2，3，甲转盘指向1的概率为p，指向2，3的概率相等；乙转盘指向1的概率为q，指向2，3的概率相等，其中．现独立地转动两转盘各一次，若“甲转盘指向1”与“两个转盘指向相同的数字”相互独立，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设事件E表示“甲转盘指向1”，事件F表示“两个转盘指向相同的数字”， 则，， ． 由事件E与事件F相互独立，得． 因为，所以， 即，整理得． 因为，所以． 23．事件与事件相互独立，若 ，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为事件与事件相互独立， 所以， 则， 即， 设，则， 结合，代入公式可得， 解得或． 因为概率的范围为， 所以， 则． 24．已知事件，相互独立，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，由得. ∵ 事件相互独立， ∴ . 又∵ ，代入得， 整理得，解得或. ∵ 事件概率满足，故舍去， ∴ . 25．在如图所示的电路图中，开关闭合与断开的概率分别是和，、闭合与断开的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为____________. 【答案】/ 【详解】记事件开关闭合，事件开关闭合，事件开关闭合， 若灯亮，则开关闭合，开关、至少闭合一个， 故所求事件的概率为. 26．A，B，C，D四位同学按逆时针方向站在正方形的四个顶点，进行传球游戏．持球者将球传给相邻顶点的人的概率均为，传给不相邻顶点的人的概率为．例如，A传给B，D的概率均为，传给C的概率为，若游戏开始时球在A手里，则经过3次传球后，球回到A手里的概率为多少？ 【答案】 【详解】从任意顶点出发，传给相邻顶点的概率为，传给不相邻顶点的概率为， 每次传球为相互独立事件.3次传球从出发最终回到， 所有符合的路径共6种，分别为，， ，，，； 路径的概率为； 路径的概率为； 路径的概率为； 路径的概率为； 路径的概率为； 路径的概率为； 经过3次传球后，球回到手里的概率. ( 题型0 6 )独立事件与互斥事件 27．已知事件和事件的概率，，下列结论中不正确的是（    ） A．若事件和事件独立，则 B．若事件和事件独立，则 C．若事件和事件互斥，则 D．若事件和事件互斥，则 【答案】C 【详解】对于A：因为事件和事件独立，所以，A正确； 对于B：由A，，所以，B正确； 对于C：若事件和事件互斥，则，所以，C错误； 对于D：若事件和事件互斥，则，D正确. 28．已知，是随机事件，若，且，则下列结论正确的是（    ） A． B．，为对立事件 C．，相互独立 D． 【答案】A 【详解】，是随机事件，，且， 对于A， ，即， ，即， 又，故，A正确； 对于BCD，因为， 所以，由于，， 则，所以，不是对立事件； 又，所以，不是相互独立事件，故BCD错误正确. 故选：A 29．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则不正确的是（    ） A．乙发生的概率为 B．丙发生的概率为 C．甲与丁相互独立 D．丙与丁互为对立事件 【答案】A 【详解】设A为事件“第一次取出的球的数字是奇数”，B为事件“第二次取出的球的数字是偶数”，C为事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，D为事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则，故A错； ，故B对； 而，故C对； 两次取出的数字之和要么为奇数，要么为偶数，故丙与丁互为对立事件，故D正确. 故选：A 30．当一个不均匀的骰子滚动的时候，出现偶数的概率是奇数的3倍.骰子滚动了两次则出现的数字之和为偶数的概率是_______. 【答案】/ 【详解】根据题意可得出现偶数的概率为，出现奇数的概率为， 则骰子滚动了两次，两次都是偶数的概率为， 两次都是奇数的概率为， 则两次出现的数字之和为偶数的概率是. 故答案为： 31．某产品的质量检验过程依次为进货检验（IQC）、生产过程检验（IPQC）、出货检验（OQC） 三个环节．已知某产品IQC的单独通过率为，IPQC的单独通过率为，规定上一类检验不通过则不进入下一类检验，未通过可修复后再检验一次（修复后无需从头检验，通过率不变且每类检验最多两次），且各类检验间相互独立，则一件该产品能进入OQC环节的概率为_________． 【答案】/0.9 【详解】设表示第i次通过进货检验，表示第i次通过生产过程检验（），C表示该产品能进入出货检验环节，由题意得 ． 故答案为：. 32．目前，新冠还在散发，防疫任重道远，经济下行，就业压力大，为此，国家大力提倡大学生自主创业.小李大学毕业后在同一城市开了，两家小店，每家店各有2名员工.五一期间，假设每名员工请假的概率都是，且是否请假互不影响.若某店的员工全部请假，而另一家店没有人请假，则调剂1人到该店以维持正常运转，否则该店就关门停业. (1)求有员工被调剂的概率； (2)求至少有一家店停业的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）记事件“家小店有名员工请假”， “家小店有名员工请假”，其中， 由题设知，事件，相互独立，且， ， 记事件“有员工被调剂”，则， 且，互斥，所以， 故有员工被调剂的概率为； （2）记事件“至少有1家店停业”，则， 且，，互斥， 所以， 故至少有一家店停业的概率为. ( 题型0 7 )独立事件的实际应用 33．已知甲､乙两人参加闯关活动，活动一共设置两关.甲每关闯关成功的概率均为，乙每关闯关成功的概率均为，且甲､乙两人闯关成功与否互不影响，则甲､乙两人总共至少有三关闯关成功的概率是__________. 【答案】/ 【详解】设事件“甲有关闯关成功”，“乙有关闯关成功”，， 则，， ，， 设甲、乙两人总共至少有三关闯关成功的事件为，则， . 故答案为：. 34．黔东南州强大的“村字号”IP带动了周边县市旅游井喷式增长，2026年五一假期，台江县借势“村BA”和苗族姊妹节，接待游客60.31万人次，旅游综合收入7.78亿元.在一次“村BA”篮球决赛中，分别来自于两支决赛队伍的甲乙两名运动员，进行三分投篮比赛活动.甲投篮命中的概率为，乙投篮命中的概率为．在每次投篮活动中，甲和乙投中与否互不影响，各轮结果也互不影响.在每一轮比赛中甲乙都投中的概率为，甲乙都投不中的概率为． (1)求，的值； (2)求甲乙两名运动员在两轮投篮活动中恰好投中3个球的概率． 【答案】(1)， (2) 【分析】 【详解】（1）由题可知，所以 所以，是方程的两根，又，所以， （2）由（1）知，甲每轮投中的概率为，乙每轮投中的概率为 所以甲在两轮中恰好投中一个球的概率为， 投中两个球的概率为； 乙在两轮中恰好投中一个球的概率为， 投中两个球的概率为 所以甲乙两名运动员在两轮活动中恰好投中3个球的概率为． 35．甲、乙两人独立地破译一份密码，已知甲能破译的概率是，甲、乙都能破译的概率是. (1)求乙能破译的概率； (2)求恰有一人能成功破译的概率； (3)求密码被成功破译的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设事件为“甲能破译”，事件为“乙能破译” 根据题意已知：甲能破译的概率，， 由于两人独立，所以，代入可得. 所以乙能破译的概率为. （2）恰有一人能成功破译”包含两种互斥的情况： 甲能破译，乙不能破译（即），甲不能破译，乙能破译（即）. 则,， 所以所求概率为. （3）密码被成功破译，则甲、乙两人中至少有一人能破译， 对立事件为甲、乙两人都不能破译，， 所以所求概率为. 36．某连锁超市在店庆期间，针对线上、线下两种消费渠道推出抽奖活动．已知顾客线上抽奖中奖的概率为，线下抽奖中奖的概率为，且两种渠道抽奖结果相互独立． (1)若某顾客在两种渠道各抽奖1次，求该顾客恰好有1次中奖的概率； (2)若某顾客连续3天只参与线上抽奖，每天抽奖1次，求该顾客恰好有2天中奖的概率； (3)商场设置“终极幸运奖”，规则为先参与2次线下抽奖，再参与2次线上抽奖，若这4次抽奖中至少有3次中奖，则可获得该奖项，求顾客获得“终极幸运奖”的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）设顾客在线上抽奖中奖为事件A, 线下抽奖中奖为事件B, 设某顾客在两种渠道各抽奖1次，恰好有1次中奖为事件C, 则. （2）设第次线上抽奖中奖为事件， 设某顾客连续3天只参与线上抽奖，每天抽奖1次，恰好中奖两次为事件D， 则. （3）设顾客获得终极幸运奖为事件E，则线上恰好中一次且线下两次全中，或线上两次全中且线下恰好中一次，或者线上线下均两次全中， 则. 37．为筹备“2025浙江省城市篮球联赛（浙BA）”城市争霸赛，某市级联队面向社会公开选拔战术助理教练，选拔流程包括两轮测试，重点考察选手的篮球知识储备与临场战术应对能力：第一轮为战术理解测试：从5道经典战术分析题中任选2题作答，若两题均答对得40分，其余情况得0分；第二轮为实战应变测试：从5道实战应变题中任选2题作答，每答对1题得30分，答错得0分；若两轮总成绩不低于60分，选手将获得面试资格，且进入正式教练团队备选名单.现有两位候选人甲与乙参加此次测试，甲对两轮题目中每道题的答对概率均为0.5；乙第一轮测试题仅掌握其中4题（掌握的题必答对，未掌握的题必答错），乙第二轮每题答对的概率为0.4；所有测试中，每项成功与否互不影响. (1)求甲两轮测试总分为30分的概率； (2)求乙在第一轮测试中得40分的概率； (3)试判断谁更有可能进入正式教练团队备选名单？ 【答案】(1) (2) (3)乙 【分析】 【详解】（1）设“甲两轮总分得30分”为事件，“甲第一轮答错一题得0分， 第二轮答对一题得30分”为事件；“甲当第一轮答错两题得0分，第二轮答对一题得30分”为事件. 则； （2）对第一轮的5个问题进行编号：，第一轮从5个问题中任选两题作答， 则有共10种， 设乙只能答对4个问题的编号为：，则乙在第一轮得40分，有 共6种， 则乙在第一轮得40分的概率为：； （3）由（2）知，乙在第一轮得40分的概率为，则乙在第一轮得0分的概率为：， 依题意，两人能够晋级复赛，即两轮总分不低于60分， 当第一轮答对两题得40分，第二轮答对一题得30分时， 甲和乙晋级复赛的概率分别为：； ； 当第一轮答对两题得40分，第二轮答对两题得60分时， 甲和乙获得面试资格的概率分别为： ； 当第一轮答错一题得0分，第二轮答对两题得60分时， 甲和乙获得面试资格的概率分别为： 当第一轮答错两题得0分，第二轮答对两题得60分时， 甲获得面试资格的概率分别为：， 甲获得面试资格的概率为：； 乙获得面试资格的概率为： 乙更有机会获得面试资格，进入正式教练团队备选名单. 1．某小区为了调查本小区业主对物业服务满意度的真实情况，对本小区业主进行了调查，调查中问了两个问题1：你的手机尾号是不是奇数？问题2：你是否满意物业的服务？调查者设计了一个随机化装置，其中装有大小、形状和质量完全相同的白球和红球，每个被调查者随机从装置中摸到红球和白球的可能性相同，其中摸到白球的业主回答第一个问题，摸到红球的业主回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不要做，由于问题的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题别人并不知道，因此被调查者可以毫无顾虑地给出符合实际情况的答案.已知某小区80名业主参加了问卷，且有48名业主回答了“是”，由此估计本小区对物业满意服务的百分比大约为（    ） A．10% B．20% C．35% D．70% 【答案】D 【详解】由两个问题被问的概率相等，故约有40人回答了第一个问题， 由手机尾号为奇数和偶数的概率相等，故40人中约有20人回答“是”， 根据有48名业主回答了“是”，则约有28人在第二个问题中回答“是”， 又第二个问题被问到的人数同样约为40人， 故本小区对物业满意服务的百分比大约为. 故选：D 2．某市四所高中的足球队（分别记为“甲队”“乙队”“丙队”“丁队”）进行单循环比赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各队的积分排列名次，积分规则为每队胜一场得分，平一场得分，负一场得分.若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，则在比赛结束时，下列说法不正确的是（    ） A．甲队积分为分的概率为 B．四支球队的积分总和可能为分 C．丙队积分为分的概率为 D．甲队胜场且乙队胜场的概率为 【答案】C 【详解】四支队伍进行单循环比赛，共比赛场， 分别是甲与乙，甲与丙，甲与丁，乙与丙，乙与丁，丙与丁，每支球队比赛三场. 对于A，甲队积分为分，即甲队三场比赛全胜， 所以甲队积分为分的概率为，故A正确； 对于B，若甲队三场比赛全胜，则甲队得9分，乙队、丙队、丁队各剩余两场比赛，如果全部是平局，则乙队、丙队、丁队各得2分， 则总积分为分，故B正确； 对于C，丙队积分为分有2种情况，即胜1平0负2或者胜0平3负0， 若为胜1平0负2，则概率为， 若为胜0平3负0，则概率为， 所以丙队积分为分的概率为，故C错误； 对于D，甲队胜场且乙队胜场有3类情况： 第一种：甲胜乙，则甲已经胜一场，乙已经负一场，甲还需对丙、丁胜一场， 乙需对丙、丁全胜，则概率为， 第二种：甲平乙，则甲还需对丙、丁全胜，乙需对丙、丁全胜， 则概率为， 第三种：甲负乙，则甲已经负一场，乙已经胜一场，则甲还需对丙、丁全胜， 乙需对丙、丁胜一场，则概率为， 所以甲队胜场且乙队胜场的概率为，故D正确. 3．在世界杯期间，有3种不同的纪念品：纪念品A（大力神杯模型）、纪念品B（官方用球）、纪念品C（官方吉祥物）．甲、乙、丙三位球迷独立随机地选择纪念品，对于每个人来说，每种纪念品选与不选都是等可能的．则至少有一种纪念品被甲、乙、丙三人都选中的概率为______． 【答案】 【详解】由题意知，A同时被甲、乙、丙选中的概率为， B同时被甲、乙、丙选中的概率为， C同时被甲、乙、丙选中的概率为， 所以至少有一种纪念品被三人都选中的概率：． 4．某同学制作了一个质地均匀的正四面体形骰子，在其中三个面分别写上一个数字1、2、3，第四个面写了三个数字1，2，3，随机抛掷一次，事件表示向下的面上有数字1，事件表示向下的面上有数字2，事件表示向下的面上有数字3，则（    ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件互斥 D．事件与事件相互独立 【答案】B 【详解】由题意可得，，， 对于A，表示向下的面同时有数字1和2，即面4，所以，故A错误； 对于B，的情况只有面4，故， 又，满足，故B正确； 对于C，表示同时有数字1、2和3，即面4，所以，故C错误； 对于D，表示向下的面有数字2或3，包含面2、面3、面4，共3个面， 故，表示向下的面有数字1，且有数字2或3，即面4， 故，所以， 不满足独立事件定义，故D错误． 5．已知随机事件，，发生的概率均为，且两两独立，那么这三个事件同时发生的概率可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由两两相互独立得到， 设， 则 ，解得， 又考虑， 解得，综上得． 【点睛】利用概率的非负性和事件并集的概率上限，结合独立性条件逐步缩小范围. 6．某人有一把雨伞用于上下班，如果一天上班时他在家而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿伞去办公室，如果一天下班时他在办公室而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿伞回家.如果天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且与过去情况相互独立.现在这把雨伞在家里，那么连续上班两天，他两天都不淋雨的概率为________. 【答案】 【详解】：我们按行程顺序（第一天上班→第一天下班→第二天上班）分步计算，初始状态雨伞在家，要求全程不淋雨（下雨时必须有伞才不淋雨）： 第一天上班：人在家、伞在家，无论下不下雨都不淋雨，分两种情况： 情况1：第一天上班不下雨，概率，伞留在家，人到办公室； 若第一天下班下雨，概率：人在办公室、伞在家，无伞淋雨，不符合要求； 若第一天下班不下雨，概率：人回家，伞仍在家，第二天上班无论下不下雨都不淋雨，该分支贡献概率：； 情况2：第一天上班下雨，概率，带伞到办公室，伞在办公室，人到办公室； 若第一天下班不下雨，概率：人回家，伞留办公室，第二天上班只有不下雨才不淋雨（概率），该分支贡献概率：； 若第一天下班下雨，概率：带伞回家，伞回到家，第二天上班无论下不下雨都不淋雨，该分支贡献概率：； 总概率：把所有符合条件的分支相加： 7．甲、乙、丙三人进行乒乓球挑战赛，挑战规则如下：累计负两场者被淘汰，比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为，则甲或乙最终获胜的概率为_______. 【答案】/0.5625 【详解】记甲、乙最终获胜的事件分别为，由赛制规则及初始对阵（甲、乙首先比赛，丙轮空）可知，甲与乙在赛程中地位完全相同，故甲获胜的概率与乙获胜的概率相等， 即，所求概率为. 记事件为甲输，事件为乙输，事件为丙输， 则甲赢的基本事件包括，，，，，，，， 所以，甲赢的概率. 所以. 8．已知两个相同的正四面体的四个面分别标有数字1，2，3，4，某人每次同时投掷这两个正四面体，规定每次两个正四面体的底面上的数字之和为所得数字，共投掷3次，则3次所得数字之积能被10整除的概率为__________. 【答案】 【详解】根据题意，每次投掷得到情形A：掷出5点，情形B：掷出偶数点，情形C：掷出3或7点的概率分别为， 于是3次投掷均没有5的概率为，3次投掷均没有偶数的概率为，3次投掷既没有5也没有偶数的概率为， 因此根据容斥原理，3次投掷既有5也有偶数的概率为. 9．小明参加一项积分晋级赛，规则如下：初始积分为10分，每场比赛胜则加5分，负则减5分，平则积分不变；当积分达到0分（淘汰出局）或20分（晋级成功）时终止比赛，否则继续比赛；若三场比赛后仍未终止，则判定为晋级成功并终止比赛.已知每场比赛结果相互独立，小明每场比赛胜、负、平的概率分别为，，，则比赛终止时小明积分为0分的概率为________. 【答案】 【详解】要计算比赛终止时小明积分为0分的概率，仅需考虑三场以内终止且得到0分的所有情况： 情况1：第二场比赛终止，得到0分： 初始积分10分，要第二场得到0分，必须前两场两连败：第一场负，积分变为（未终止），第二场再负，积分变为（终止）； 概率为：； 情况2：第三场比赛终止，得到0分： 前两场未终止，且前两场结束后积分为5分，第三场负得到0分， 积分为5分说明总变化为，只能是1负1平，共两种排列且两种排列都不会在前两场提前终止， 前两场得到5分的概率为：，第三场负的概率为，因此该情况概率： ； 总概率为两种情况相加：. 1．甲、乙、丙3名运动员击中目标的概率分别为，，.若他们3人分别向目标各发一枪，且他们相互之间没有影响，则以下说法不正确的是（    ） A．三枪都命中的概率为 B．至少有一枪命中目标的概率为 C．若要连续命中两枪的概率最大，则应该让甲打第2枪 D．若要连续命中两枪的概率最大，则应该让丙打第2枪 【答案】C 【详解】对于A：三枪全中的概率，A正确； 对于B，三枪都不中的概率，故至少有一枪命中目标的概率为，B正确； 对于C、D：设1，2枪连续命中的概率为，2，3枪连续命中的概率为， 三枪都中的概率为，则由题意至少连续两枪命中的概率， 若甲在第2枪：乙在第1枪，丙在第3枪，，若甲在第2枪：乙在第3枪，丙在第1枪，，即甲在第2枪，连续命中两枪的概率为， 同理：若乙在第2枪，连续命中两枪的概率为 ， 若丙在第2枪：连续命中两枪的概率为 ， 因此丙在第2枪时概率最大，C错误，D正确. 2．甲乙两人进行棋类比赛，每局比赛胜者得个积分，负者得个积分，记两人积分之差的绝对值为时比赛结束且积分多者获胜.已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛结果相互独立，则比赛结束时总局数不多于局且甲获胜的概率为________. 【答案】 【详解】设比赛结束时，一共比赛局，由题设可得， 再设其中甲胜局，得分为，则乙胜局，得分为，则， 解该不定方程，得可为. 设表示第局甲胜，表示第局乙胜. 若比赛三局，比赛结束且甲获胜，则甲胜三局，概率为； 若比赛五局，比赛结束，则甲胜4局，乙胜1局，概率为: ； 若比赛七局，比赛结束，则甲胜5局，乙胜2局，概率为: . 则比赛结束时总局数不多于局且甲获胜的概率为：. 3．某平台推出答题赢会员活动，共设置3道独立题目，每位用户可自主安排答题顺序.规则如下：连续答对2题可获得7天会员；连续答对3题可获得30天会员；其余情况均不获得会员.已知甲答对题1的概率为，答对题2的概率为，答对题3的概率为，各题答对与否相互独立. (1)若，且甲按题题题3的顺序答题，求甲获得30天会员的概率. (2)若，且第一次答题2，则要使甲获得会员的概率最大，应如何安排其他两次答题顺序？ (3)若在答题中，仅当题3位于中间的顺序时，甲获得会员的概率最大，求的取值范围. 【答案】(1) (2)要使甲获得会员的概率最大，应按题2→题1→题3的顺序答题. (3) 【分析】 【详解】（1）甲获得30天会员的概率为. （2）当时，各种答题顺序的情况如下： 按题2→题1→题3的顺序答题，甲获得会员的概率为； 按题2→题3→题1的顺序答题，甲获得会员的概率为； 因为，所以要使甲获得会员的概率最大，应按题2→题1→题3的顺序答题. （3）根据对称性知只需考虑位于中间的顺序的题. 若题1位于中间的顺序，则甲获得会员的概率 若题2位于中间的顺序，则甲获得会员的概率； 若题3位于中间的顺序，则甲获得会员的概率 因为，所以只需满足即可，即，解得. 因为，所以的取值范围为. 4．某平台推出答题赢会员活动，共设置3道独立题目，每位用户可自主安排答题顺序．规则如下：连续答对2题可获得7天会员；连续答对3题可获得30天会员；其余情况均不获得会员．已知甲答对题1的概率为，答对题2的概率为，答对题3的概率为，各题答对与否相互独立． (1)若，且甲按题1→题2→题3的顺序答题，求甲获得30天会员的概率． (2)若，要使甲获得会员的概率最大，应如何安排答题顺序？ (3)若在答题中，仅当题3位于中间的顺序时，甲获得会员的概率最大，求的取值范围． 【答案】(1) (2)应按题2→题1→题3或按题3→题1→题2的顺序答题 (3) 【分析】 【详解】（1）甲获得30天会员的概率为． （2）当时，各种答题顺序的情况如下： 按题1→题2→题3的顺序答题，甲获得会员的概率为； 按题1→题3→题2的顺序答题，甲获得会员的概率为； 按题2→题1→题3的顺序答题，甲获得会员的概率为； 按题2→题3→题1的顺序答题，甲获得会员的概率为； 按题3→题1→题2的顺序答题，甲获得会员的概率为； 按题3→题2→题1的顺序答题，甲获得会员的概率为 因为，所以要使甲获得会员的概率最大，应按题2→题1→题3或按题3→题1→题2的顺序答题． （3）根据对称性知只需考虑位于中间的顺序的题． 若题1位于中间的顺序，则甲获得会员的概率； 若题2位于中间的顺序，则甲获得会员的概率； 若题3位于中间的顺序，则甲获得会员的概率. 因为，所以只需满足即可，即，解得． 因为，所以的取值范围为． 1．（2025·上海·高考真题）已知事件A、B相互独立，事件A发生的概率为，事件B发生的概率为，则事件发生的概率为（   ） A． B． C． D．0 【答案】B 【详解】因为相互独立，故， 故选：B. 2．（2023·天津·高考真题）把若干个黑球和白球（这些球除颜色外无其它差异）放进三个空箱子中，三个箱子中的球数之比为．且其中的黑球比例依次为．若从每个箱子中各随机摸出一球，则三个球都是黑球的概率为_________；若把所有球放在一起，随机摸出一球，则该球是白球的概率为_________． 【答案】 / 【分析】 【详解】设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为，所以总数为， 所以甲盒中黑球个数为，白球个数为； 乙盒中黑球个数为，白球个数为； 丙盒中黑球个数为，白球个数为； 记“从三个盒子中各取一个球，取到的球都是黑球”为事件，所以， ； 记“将三个盒子混合后取出一个球，是白球”为事件， 黑球总共有个，白球共有个， 所以，． 故答案为：；． 3．（2024·上海·高考真题）有四种礼盒，前三种里面分别仅装有中国结、记事本、笔袋，第四个礼盒里面三种礼品都有，现从中任选一个盒子，设事件：所选盒中有中国结，事件：所选盒中有记事本，事件：所选盒中有笔袋，则（    ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件互斥 D．事件与事件相互独立 【答案】B 【详解】选项A，事件和事件可以同时发生，即第四个礼盒中可以既有中国结，又有记事本，事件与事件不互斥，A错误； 选项B，，，， ，B正确； 选项C，事件与事件可以同时发生，即第四个礼盒中可以既有中国结，又有记事本或笔袋，C错误； 选项D，，，， ， 与不独立，故D错误． 故选：B． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $