12.4 随机事件的独立性（题型专练）数学沪教版2020必修第三册

12.4 随机事件的独立性 题型一 独立事件的判断 1．袋内有质地均匀且大小相同的3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用A表示“第一次摸得白球”，用B表示“第二次摸得白球”，则A与B是（    ） A．互斥事件 B．相互独立事件 C．对立事件 D．不相互独立事件 2．将一颗骰子先后郑两次，甲表示事件“第一次向上点数为1”，乙表示事件“第二次向上点数为2”，丙表示事件“两次向上点数之和为8”，丁表示事件“两次向上点数之和为7”，则（    ） A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立 3．坛子中放有3个白球、2个黑球，从中不放回地取球2次，每次取1个球，用表示“第一次取得白球”，表示“第二次取得白球”，则和是（    ） A．互斥的事件 B．相互独立的事件 C．对立的事件 D．不相互独立的事件 4．抛掷两枚质地均匀的硬币，设“第一枚正面朝上”，“第二枚反面朝上”，则事件与事件 （    ） A．相互独立 B．互为对立事件 C．互斥 D．相等 5．掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现偶数点”，“第二枚出现奇数点”，则与的关系为（    ） A．互斥 B．互为对立 C．相互独立 D．相等 6．已知下列各组事件： ①抛掷1枚质地均匀的骰子一次，事件M：出现的点数为奇数，事件N：出现的点数为偶数； ②袋中有除颜色外完全相同的5个白球5个黄球，依次不放回地摸两次，事件M：第1次摸到白球，事件N：第2次摸到白球； ③分别抛掷2枚相同的硬币，事件M：第1枚为正面朝上，事件N：两枚朝上的结果相同； ④一枚硬币抛掷两次，事件M：第一次为正面朝上，事件N：第二次为反面朝上． 其中M、N是独立事件的序号为 ． 7．分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A是“第一枚为正面朝上”，事件B是“第二枚为正面朝上”，事件C是“两枚结果相同”，则下列事件具有相互独立性的有 （用数字①②③作答） ①事件A与事件B；②事件A与事件C；③事件C与事件B. 8．下列A，为独立事件的是 （写出所有正确选项的序号）． ①投掷骰子一次，A：投出点数为3，：投出点数为2； ②投掷骰子两次，A：第一次投出点数为3，：第二次投出点数为5； ③从一副52张牌中，随机不放回地依次抽取2张，A：第一张抽中7，：第二张抽中7； ④从一副52张牌中，随机有放回地依次抽取2张，A：第一张抽中红桃，：第二张抽中黑桃． 题型二 独立事件与互斥事件 1．已知，，，则事件与的关系是（    ） A．与互斥不对立 B．与对立 C．与相互独立 D．与既互斥又独立 2．有4个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中不放回的随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是4”，则下列选项错误的是（   ） A．甲与丙相互独立 B．甲与乙相互独立 C．丙与丁互斥 D．乙与丁互斥 3．某科研小组共60名成员，他们需要完成甲、乙、丙、丁四个科研项目，科研成员随机参与，且每个人可以参与一个或多个项目．若参与甲项目的有30人，参与乙项目的有10人，参与丙项目的有20人，参与丁项目的有30人，参与了甲项目或乙项目的共有40人，同时参与了甲项目和丙项目的有10人，参与了甲项目或丁项目的共有60人，则下列说法正确的是（   ） A．参与甲项目与参与乙项目不互斥 B．参与甲项目与参与丁项目互斥但不对立 C．参与丙项目与参与丁项目不相互独立 D．参与甲项目与参与丙项目相互独立 4．已知是两个概率大于0的随机事件，则下列说法错误的是（    ） A．若是对立事件，则是互斥事件 B．若事件相互独立，则与也相互独立 C．若事件相互独立，则与不互斥 D．若事件互斥，则与相互独立 题型三 独立事件的乘法公式 1．假设，，且A与B相互独立，则下列说法正确的个数为（    ） ①        ②    ③        ④        ⑤ A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知随机事件A、B发生的概率分别为 ，则下列说法不正确的是（   ） A．若A与B互斥，则 B．若A与B相互独立，则 C．若 ，则事件与B相互独立 D．若，则 3．已知事件 相互独立，事件 发生的概率为 ，事件 发生的概率为 ，则 “两个事件 至少有一个发生” 的概率为（     ） A． B． C． D．1 4．如图，甲乙做游戏，两人通过划拳（剪刀、石头、布）比赛决胜谁首先到达第3格，并规定从0格出发，每次划拳赢的一方往右前进一格，输的一方原地不动，平局时两人都往右前进一格．如果一方连续赢两次，那么他将额外获得右前进一格的奖励，除非已经到达第3格，当有任何一方到达第3格时游戏结束，则游戏结束时恰好划拳3次的概率为（    ） 0 1 2 3 A． B． C． D． 5．已知事件与相互独立，，，则 . 6．有甲、乙、丙三个开关和A，B，C三盏灯，各开关对灯的控制互不影响．当甲闭合时A，B亮，当乙闭合时B，C亮，当丙闭合时A，C亮．若甲、乙、丙闭合的概率分别为，，，且相互独立，则在A亮的条件下，B也亮的概率为 ． 7．甲､乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲､乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则甲两轮活动中恰好猜对一个成语的概率为 ；“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率为 ． 题型四 独立事件的实际应用 1．已知某导弹拦截目标的命中率为，为提高拦截成功率，决定同时发射三枚导弹拦截同一目标，若这三枚导弹彼此间互不干扰，则拦截成功的概率为（   ） A． B． C． D． 2．如图，某电子元件由，，三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测试，，，三种部件不能正常工作的概率分别为，，，各个部件是否正常工作相互独立，则该电子元件能正常工作的概率是（ ） A． B． C． D． 3．甲、乙、丙三人独立参加体育达标测试，已知甲、乙、丙各自通过测试的概率分别为，，，且他们是否通过测试互不影响.若三人中只有甲通过测试的概率为，则甲、丙二人中至少有一人通过测试的概率为（   ）. A． B． C． D． 4．概率论起源于博弈游戏17世纪，曾有一个“赌金分配”的问题：博弈水平相当的甲、乙两人进行博弈游戏每局比赛都能分出胜负，没有平局双方约定，各出赌金180枚金币，先赢3局者可获得全部赎金；但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2局，乙赢了1局.问这360枚金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率”的知识，合理地给出了赌金分配方案.该分配方案是（    ） A．甲180枚，乙180枚 B．甲288枚，乙72枚 C．甲240枚，乙120枚 D．甲270枚，乙90枚 5．概率论起源于博弈游戏17世纪，曾有一个“赌金分配”的问题：博弈水平相当的甲､乙两人进行博弈游戏每局比赛都能分出胜负，没有平局.双方约定，各出赌金150枚金币，先赢3局者可获得全部赎金；但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2局，乙赢了1局.向这300枚金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率”的知识，合理地给出了赌金分配方案.该分配方案是（   ） A．甲150枚，乙150枚 B．甲225枚，乙75枚 C．甲200枚，乙100枚 D．甲240枚，乙60枚 6．电信网络诈骗作为一种新型犯罪手段，已成为社会稳定和人民安全的重大威胁．2023年11月17日外交部发言人毛宁表示，一段时间以来，中缅持续加强打击电信诈骗等跨境违法犯罪合作，取得显著成效．此前公安部通过技术手段分析电信诈骗严重的地区，在排查过程，若某地区有10人接到诈骗电话，则对这10人随机进行核查，只要有一人被骗取钱财，则将该地区确定为“诈骗高发区”．假设每人被骗取钱财的概率为且相互独立，若当时，至少排查了9人才确定该地区为“诈骗高发区”的概率取得最大值，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．2020年1月，教育部发布《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（简称“强基计划”），明确从2020年起强基计划取代原有的高校自主招生方式．某高校笔试环节要求考生参加三个科目考核，考生通过三个科目的笔试考核才能进入面试环节．考生甲通过三个科目的笔试考核的概率分别为，且每个科目考核相互独立，则甲顺利进入面试环节的概率为（    ） A． B． C． D． 8．小华玩一种跳棋游戏，一个箱子中装有大小质地均相同的且标有的10个小球，每次随机抽取一个小球并放回，规定：若每次取到号码小于或等于5的小球，则前进1步，若每次取到号码大于5的小球，则前进2步．每次抽取小球互不影响，记小华一共前进步的概率为，则 ， ．（用表示） 9．在如图所示的电路图中，开关，，正常工作的概率分别为，，，且是相互独立的，则灯亮的概率是 10．连续抛掷一颗质地均匀的正方体骰子两次（正方体六个面上的点数分别为），记录抛掷结果向上的点数.设事件：第一次点数为1，事件：两次点数之和为，若事件与事件互斥，则的最小值为 ；若事件与事件相互独立，则的值为 . 11．一个材质均匀的抽奖转盘被等分为10个扇形区域，分别标有数字1至10．玩家进行以下操作： 第一轮：转动转盘一次，记录数字n（不考虑指针落在交界线的情况），若n为质数，则获得一个抽奖币，否则获得一个普通币； 第二轮：若第一轮获得抽奖币，可从抽奖池随机抽取奖励（抽奖池中包含1个一等奖、3个二等奖、6个三等奖）；若获得普通币，则从普通池中随机抽取奖励（普通池中包含2个安慰奖、8个谢谢参与）． 第三轮：若第二轮抽到一等奖或二等奖，则可再次转动转盘，若此次数字与第一轮数字之和为偶数，则额外获得终极大奖． 则玩家最终获得终极大奖的概率为 ． 12．甲、乙、丙3人打台球，约定：第1局甲、乙对打，且由甲开球，丙轮空；此后每局的胜者与轮空者进行下一局对打，并由轮空者开球.假设甲、乙、丙3人打台球的水平相同，且开球者获胜的概率为，每局台球的结果相互独立. (1)求前3局中甲、乙、丙各自轮空1局的概率； (2)求前4局中甲参与了3局的概率； (3)求第4局是甲、乙对打的概率. 13．甲､乙､丙三人结伴去游乐园玩射击游戏，其中甲射击一次击中目标的概率为，甲､乙两人各射击一次且都击中目标的概率为，乙､丙两人各射击一次且都击中目标的概率为，已知任意两次射击互不影响. (1)分别计算乙，丙两人各射击一次且击中目标的概率； (2)求甲､乙､丙各射击一次且恰有一人击中目标的概率； (3)若想击中目标的概率不低于，甲至少需要射击多少次？（参考数据） 题型一 独立事件的判断与性质 1．假定生男生女是等可能的，设事件：一个家庭中既有男孩又有女孩；事件家庭中最多有一个女孩.针对下列两种情形：①家庭中有2个小孩；②家庭中有3个小孩，下面说法正确是（    ）. A．①中事件与事件相互独立､②中的事件与事件相互独立 B．①中事件与事件不相互独立､②中的事件与事件相互独立 C．①中事件与事件相互独立､②中的事件与事件不相互独立 D．①中事件与事件不相互独立､②中的事件与事件不相互独立 2．正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素，加上它们的多种变体，一直是科学､艺术､哲学灵感的源泉之一.如图，一个正八面体八个面分别标有数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记“得到的点数为奇数”为事件，记“得到的点数不大于4”为事件，记“得到的点数为质数”为事件，则下列说法正确的是（    ）    A．事件与互斥 B． C．事件与相互独立 D． 3．一口袋中有3个红球和3个白球，从中不放回地取出个，设事件：取出的个球既有红球又有白球，事件：取出的个球最多有一个红球，则（    ） A．当时事件与事件相互独立，当时事件与事件相互独立 B．当时事件与事件不相互独立，当时事件与事件相互独立 C．当时事件与事件相互独立，当时事件与事件不相互独立 D．当时事件与事件不相互独立，当时事件与事件不相互独立 4．对于一个古典概型的样本空间和事件、、、，其中，，，，，，，，则（    ）（注：表示集合的元素个数） A．与不互斥 B．与互斥但不对立 C．与互斥 D．与相互独立 题型二 概率的计算 1．甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首次比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场比赛轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都是，则甲最终获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 2．已知某音响设备由五个部件组成，A电视机，B影碟机，C线路，D左声道和E右声道，其中每个部件能否正常工作相互独立，各部件正常工作的概率如图所示.能听到声音，当且仅当A与B至少有一个正常工作，C正常工作，D与E中至少有一个正常工作.则听不到声音的概率为（    ）    A．0.19738 B．0.00018 C．0.01092 D．0.09828 3．小张和小王两个小朋友玩游戏，已知小张手中有3张黑色牌和3张红色牌，小王手中有3张黑色牌和2张红色牌，游戏规则：两位小朋友同时出示一张牌，若两张牌同色，则小张胜，小张获得这两张牌，若两张牌异色，则小王胜，小王获得这两张牌，按上述玩法进行两次后，小王手中有7张牌的概率为（   ） A． B． C． D． 4．袋子里有大小相同的3个红球和2个白球，每次从袋子里随机取出一个球，若取出的是红球则放回袋子，若取出的是白球则不放回袋子.记为取了次后白球恰好全部取出的概率，则（   ） A． B． C． D． 5．在体育比赛中，近年来一个新型的赛制“双败赛制”赢得了许多赛事的青睐.传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的资格，而在双败赛制下，每人或者每个队伍只有失败了两场才会淘汰出局，因此更有容错率.假设最终进入半决赛的有四支队伍，传统的淘汰赛制下，会将他们四支队伍两两分组进行比赛，胜者进入总决赛，总决赛的胜者即为最终的冠军；双败赛制下，两两分组，胜者进入胜者组，败者进入败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入总决赛，败者进入败者组，之前进入败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，最后总决赛的胜者即为冠军（赛制流程图如图所示）.双败赛制下会发生一个有意思的事情，在胜者组中的胜者只要输一场比赛即总决赛就无法拿到冠军，但是其他的队伍却有一次失败的机会，近年来从败者组杀上来拿到冠军的不在少数，因此很多人戏谑这个赛制对强者不公平，是否真的如此呢？这里我们简单研究一下两个赛制：假设四支队伍分别为，其中对阵其他三个队伍时获胜的概率均为，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜的概率均为，最初分组时，同组，同组.    (1)若，在淘汰赛赛制下，获得冠军的概率分别为多少？ (2)分别计算两种赛制下获得冠军的概率（用表示），并分析一下双败赛制下对队伍的影响，是否如很多人质疑的“对强者不公平”？ 6．现有一个质地均匀的正面体骰子，个面分别标有数字1到. (1)当时，设计一种“点数游戏”：任意抛掷两次这个骰子，观察骰子与桌面接触的面上的数字的乘积，这个乘积记为游戏结果.甲、乙两人玩这种“点数游戏”，规定每次游戏结果大于5时甲获胜，游戏结果小于5时乙获胜. ①写出此试验的样本空间； ②试判断这种游戏是否公平？并说明理由； ③若约定先获胜3次“点数游戏”者赢得比赛，并获得100元奖金.当甲获胜2次，乙获胜1次时，“点数游戏”因意外而中止，现决定将100元奖金分给甲、乙两人.请以此时甲和乙最终获胜的概率之比为标准，分配两人的奖金数量； (2)当时，任意抛掷一次这个骰子，以它与桌面接触的面上的数字为试验结果.请构造适当的事件，使成立，但不满足两两独立.请说明理由. 7．2025年6月23日雷霆队以大比分战胜步行者队捧起奥布莱恩杯.众所周知，总决赛采取7场4胜制，当两队大比分战成，第5场比赛被称为“天王山之战”.现假设甲乙两支队伍闯入总决赛，首战甲获胜的概率为，每场结束后，败方在下一场获胜的概率提高为，每场比赛结果相互独立. (1)求两场后双方战成的概率； (2)若首战乙胜，求再战三场双方战至后甲在“天王山之战”中获胜的概率； (3)求甲乙不需要进行第七场比赛的概率. 8．某游戏公司开发了一款游戏，共有两关，公司组织了水平相当的位玩家测试这款游戏．玩家按预先指定的顺序依次上场，每位玩家的测试都是相互独立的．他们通过第一关测试的概率都为，通过第二关测试的概率都为．若玩家通不过第一关测试，则他下场，由下一位玩家继续上场测试，若玩家通过第一关测试，则继续第二关的测试，若第二关测试通过，则游戏测试终止，若第二关测试通不过，则下一位玩家直接从第二关开始测试．当时，求第位玩家终止测试的概率（用含的式子表示）． 1．现有甲、乙、丙、丁四支球队进行单循环比赛，即每两支球队在比赛中都要相遇且仅相遇一次，最后按各队的积分排名（积分多者名次靠前，积分同者名次并列）积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，若每场比赛中每队胜，平，负的概率都为，则在比赛结束时，甲队胜2场且乙队胜2场的概率为（   ） A． B． C． D． 2．由杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司推出，该公司是一家专注于人工智能（）的中国初创公司．其模型于2024年年底发布，此模型足以媲美，一经推出便成为全球热门话题．利用进行学习已经成为一种学生自主学习的全新方式，但是目前市场各种模型运算参差不齐．技术人员对n个模型进行测试，测试由m道题组成，每个模型都对这道题逐一进行求解．若一道题至少有个模型未解对，则称此题为难题；若一个模型至少解出了道题，则该模型测试成绩合格．如果测试至少有个模型成绩合格，且测试中至少有道题为难题，那么的最小值为（   ） A．6 B．9 C．18 D．27 3．甲、乙、丙三人进行扳手腕比赛，累计负两场者淘汰，甲、乙两人先进行比赛，丙轮空，每次比赛的胜者与轮空者进行比赛，负者轮空，直到有1人被淘汰，剩余两人继续比赛，直到其中1人淘汰，另1人最终获胜，比赛结束.假设每场比赛没有平局，甲、乙比赛，甲获胜的概率为，甲、丙比赛，甲获胜的概率为，乙、丙比赛，乙获胜的概率为，则甲与乙比赛负1场且最终甲获胜的概率为 . 4．若事件满足，，同时成立，则称事件两两独立，现抛掷一枚质地均匀的骰子，观察面朝上的数字， 得到样本空间， 若事件， 事件， 则可以构造事件 (填一个满足条件的集合即可)， 使得成立， 但不满足事件两两独立. 5．某商场为鼓励大家消费，举行摸奖活动，规则如下：凭购物小票一张，每满58元摸奖一次，从装有除颜色外完全相同的1个红球和4个白球的箱子中一次性随机摸出两个小球，若两球中含有红球，则为中奖，否则为不中奖.每次摸奖完毕后，把小球放回箱子中.甲､乙共有购物小票一张，购物金额为m元，两人商量，先由一人摸奖，若中奖，则继续摸奖，若不中奖，就由对方接着摸奖，并通过掷一枚质地均匀的硬币决定第一次由谁摸奖. (1)若，求这两人中奖的概率； (2)若，求第一次由甲摸奖，最后一次也是甲摸奖的概率. 6．为评估大气污染防治效果，调查区域空气质量状况，某调研机构从两地区一年的数据中随机抽取了相同20天的观测数据，得到两地区的空气质量指数如下图所示：    根据空气质量指数，将空气质量状况分为以下三个等级： 空气质量指数 空气质量状况 优良 轻中度污染 重度污染 (1)试估计地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的天数； (2)假设两地区空气质量状况相互独立，记事件：“地区空气质量等级优于地区空气质量等级”．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求事件的概率； (3)若从空气质量角度选择生活地区居住，你建议选择两地区哪个地区．（只需写出结论） 7．甲、乙、丙、丁4名棋手进行象棋比赛，赛程如下面的框图所示，其中编号为的方框表示第场比赛，方框中是进行该场比赛的两名棋手，第场比赛的胜者称为“胜者”，负者称为“负者”，第6场为决赛，获胜的人是冠军.已知甲每场比赛获胜的概率均为 ，而乙、丙、丁相互之间胜负的可能性相同. （Ⅰ）求甲获得冠军的概率； （Ⅱ）求乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 12.4 随机事件的独立性 题型一 独立事件的判断 1．袋内有质地均匀且大小相同的3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用A表示“第一次摸得白球”，用B表示“第二次摸得白球”，则A与B是（    ） A．互斥事件 B．相互独立事件 C．对立事件 D．不相互独立事件 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】写出某事件的对立事件、判断所给事件是否是互斥关系、独立事件的判断 【分析】根据给定条件，利用互斥事件、相互独立事件的定义判断即得. 【详解】依题意，有放回地摸球，事件A与B可以同时发生，因此事件A与B不互斥，更不对立，AC错误； 显然，，因此A与B是相互独立事件，B正确，D错误. 故选：B 2．将一颗骰子先后郑两次，甲表示事件“第一次向上点数为1”，乙表示事件“第二次向上点数为2”，丙表示事件“两次向上点数之和为8”，丁表示事件“两次向上点数之和为7”，则（    ） A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】独立事件的判断 【分析】根据相互独立事件概率公式，即可判断选项. 【详解】由题意知，，，， 由于，所以甲与丁相互独立． 故选：B 3．坛子中放有3个白球、2个黑球，从中不放回地取球2次，每次取1个球，用表示“第一次取得白球”，表示“第二次取得白球”，则和是（    ） A．互斥的事件 B．相互独立的事件 C．对立的事件 D．不相互独立的事件 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】确定所给事件的对立关系、判断所给事件是否是互斥关系、独立事件的判断 【分析】根据互斥事件、对立事件、相互独立事件的知识确定正确答案. 【详解】设白球编号为，黑球的编号为， 从坛子中不放回地取球2次，基本事件有， ，, ，所以和是不相互独立的事件. 基本事件包括“第次取到白球，第次取到白球”，即和可以同时发生， 所以和不是互斥，也不是对立事件. 故选：D 4．抛掷两枚质地均匀的硬币，设“第一枚正面朝上”，“第二枚反面朝上”，则事件与事件 （    ） A．相互独立 B．互为对立事件 C．互斥 D．相等 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】互斥事件与对立事件关系的辨析、判断所给事件是否是互斥关系、独立事件的判断 【分析】根据互斥事件、对立事件和独立事件的定义即可判断. 【详解】显然事件A和事件B不相等，故D错误； 由于事件A和事件B能同时发生， 所以不为互斥事件，也不为对立事件，故B、C错误； 因为事件A是否发生与事件B无关，事件B是否发生也与事件A无关， 故事件A和事件B相互独立，故A正确. 故选：A. 5．掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现偶数点”，“第二枚出现奇数点”，则与的关系为（    ） A．互斥 B．互为对立 C．相互独立 D．相等 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】确定所给事件的对立关系、判断所给事件是否是互斥关系、独立事件的判断 【分析】根据事件的定义和独立事件概率乘法公式可判断出结果. 【详解】对于AB，，即事件与可以同时发生， 与不是互斥、对立事件，AB错误； 对于C，，，，， 与相互独立，C正确； 对于D，与不是同一事件，与不相等，D错误. 故选：C. 6．已知下列各组事件： ①抛掷1枚质地均匀的骰子一次，事件M：出现的点数为奇数，事件N：出现的点数为偶数； ②袋中有除颜色外完全相同的5个白球5个黄球，依次不放回地摸两次，事件M：第1次摸到白球，事件N：第2次摸到白球； ③分别抛掷2枚相同的硬币，事件M：第1枚为正面朝上，事件N：两枚朝上的结果相同； ④一枚硬币抛掷两次，事件M：第一次为正面朝上，事件N：第二次为反面朝上． 其中M、N是独立事件的序号为 ． 【答案】③④ 【难度】0.85 【知识点】独立事件的判断 【分析】根据独立事件的概念与性质逐一分析即可. 【详解】①：， ，故事件不是独立事件； ②：事件的发生对事件有影响，故事件不是独立事件； ③：， ，故事件是独立事件； ④：第一次的结果对第二次的结果不影响，故事件是独立事件. 故答案为：③④. 7．分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A是“第一枚为正面朝上”，事件B是“第二枚为正面朝上”，事件C是“两枚结果相同”，则下列事件具有相互独立性的有 （用数字①②③作答） ①事件A与事件B；②事件A与事件C；③事件C与事件B. 【答案】①②③ 【难度】0.65 【知识点】计算古典概型问题的概率、独立事件的判断 【分析】利用古典概型分别求得事件的概率，再利用独立事件的概率公式逐一判断即可得解. 【详解】依题意，， ， 对于①，，所以与是相互独立本件； 对于②，，所以与是相互独立事件； 对于③，，所以与是相互独立事件. 故答案为：①②③. 8．下列A，为独立事件的是 （写出所有正确选项的序号）． ①投掷骰子一次，A：投出点数为3，：投出点数为2； ②投掷骰子两次，A：第一次投出点数为3，：第二次投出点数为5； ③从一副52张牌中，随机不放回地依次抽取2张，A：第一张抽中7，：第二张抽中7； ④从一副52张牌中，随机有放回地依次抽取2张，A：第一张抽中红桃，：第二张抽中黑桃． 【答案】②④ 【难度】0.85 【知识点】计算古典概型问题的概率、有放回与无放回问题的概率、独立事件的判断 【分析】利用独立事件的判定条件即可得到①③中A，不为独立事件；②④中A，为独立事件 【详解】①投掷骰子一次，A：投出点数为3，：投出点数为2 则，则，则A，不为独立事件； ②投掷骰子两次，A：第一次投出点数为3，：第二次投出点数为5 则，则，则A，为独立事件； ③从一副52张牌中，随机不放回地依次抽取2张， A：第一张抽中7，：第二张抽中7； 则， 则，则A，不为独立事件； ④从一副52张牌中，随机有放回地依次抽取2张， A：第一张抽中红桃，：第二张抽中黑桃． 则， 则，则A，为独立事件. 故答案为：②④ 题型二 独立事件与互斥事件 1．已知，，，则事件与的关系是（    ） A．与互斥不对立 B．与对立 C．与相互独立 D．与既互斥又独立 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】独立事件的乘法公式、互斥事件的概率加法公式、相互独立事件与互斥事件 【分析】利用计算出，可得到则能得到与不互斥，不对立；再利用算出即可得到答案 【详解】由可得， 因为，则与不互斥，不对立， 由可得， 因为，所以与相互独立 故选：C 2．有4个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中不放回的随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是4”，则下列选项错误的是（   ） A．甲与丙相互独立 B．甲与乙相互独立 C．丙与丁互斥 D．乙与丁互斥 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】独立事件的乘法公式、判断所给事件是否是互斥关系、相互独立事件与互斥事件、独立事件的判断 【分析】分别列出甲、乙、丙、丁可能的情况，然后根据独立事件、互斥事件的定义判断即可. 【详解】由题意可得两次取球所有可能情况为，，，，，， ，，，，，共种情况； 第一次取出的球的数字是1，所有可能为，，共3种情况； 第二次取出的球的数字是2，所有可能为，，共3种情况； 则两次取出球的数字之和为，的所有可能为，，，共种情况； 两次取出球的数字之和为，所有可能为，共种情况； 记“第一次取出的球的数字是1”为，“第二次取出的球的数字是2”为， “两次取出的球的数字之和是5”为，“两次取出的球的数字之和是4”为， 则，，，. A：当出现情况时，甲丙同时发生，则， 故甲丙相互独立，故A正确； B：当出现情况时，甲乙同时发生，则， 故甲乙不相互独立，故B错误； C：由不可能同时发生，故丙与丁互斥，故C正确； D：由于两次不可能都取2，故乙丁不能同时发生，则乙与丁互斥，故D正确； 故选：B. 3．某科研小组共60名成员，他们需要完成甲、乙、丙、丁四个科研项目，科研成员随机参与，且每个人可以参与一个或多个项目．若参与甲项目的有30人，参与乙项目的有10人，参与丙项目的有20人，参与丁项目的有30人，参与了甲项目或乙项目的共有40人，同时参与了甲项目和丙项目的有10人，参与了甲项目或丁项目的共有60人，则下列说法正确的是（   ） A．参与甲项目与参与乙项目不互斥 B．参与甲项目与参与丁项目互斥但不对立 C．参与丙项目与参与丁项目不相互独立 D．参与甲项目与参与丙项目相互独立 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】相互独立事件与互斥事件、独立事件的判断 【分析】A选项，根据甲乙项目的参加情况得到，即可得到参与甲项目与参与乙项目互斥；B选项，根据甲丁项目的参加情况得到，即可得到参与甲项目与参与丁项目互斥且对立；C选项，根据参与甲项目与参与丁项目对立和得到，然后得到，，，最后利用乘法公式判断；D选项，利用乘法公式判断即可. 【详解】设总人数为，记参与甲，乙，丙，丁项目分别为事件， 由题意可得，故， 故参与甲项目与参与乙项目互斥，故A错误； 由题意可得，，故， 故参与甲项目与参与丁项目互斥且对立，故B错误； 由题意得， 故，， 故，故参与丙项目与参与丁项目相互独立，故C错误； ， 故参与甲项目与参与丙项目相互独立，故D正确． 故选：D． 4．已知是两个概率大于0的随机事件，则下列说法错误的是（    ） A．若是对立事件，则是互斥事件 B．若事件相互独立，则与也相互独立 C．若事件相互独立，则与不互斥 D．若事件互斥，则与相互独立 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】互斥事件与对立事件关系的辨析、相互独立事件与互斥事件 【分析】根据互斥，对立事件的定义，以及事件的相互独立性，即可判断选项. 【详解】A.两个事件是对立事件，则一定是互斥事件，故A正确； B.若事件相互独立，则与也相互独立，故B正确； C.若事件相互独立，则与可以同时发生，不互斥，故C正确； D. 若事件互斥，则与不能同时发生，即事件是否发生，对另一个事件是有影响的，所以两个事件不相互独立，故D错误. 故选：D 题型三 独立事件的乘法公式 1．假设，，且A与B相互独立，则下列说法正确的个数为（    ） ①        ②    ③        ④        ⑤ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】独立事件的乘法公式、相互独立事件与互斥事件 【分析】根据相互独立事件的概念和乘法公式，以及互斥事件的概念，逐个判定，即可求解. 【详解】由，，且事件与相互独立，则与相互独立，与相互独立，则，所以①不正确，③正确； 又由，所以④正确； 由，所以⑤不正确； 又由事件与不一定时互斥事件，所以与不一定相等， 所以②不正确. 故选：B. 2．已知随机事件A、B发生的概率分别为 ，则下列说法不正确的是（   ） A．若A与B互斥，则 B．若A与B相互独立，则 C．若 ，则事件与B相互独立 D．若，则 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】独立事件的乘法公式、互斥事件的概率加法公式、利用互斥事件的概率公式求概率、独立事件的判断 【分析】根据互斥事件概率加法公式计算可判断A，利用独立事件的概率公式以及并事件的概率公式可判断B；利用独立事件的概念可判断C；由交事件的定义可判断D. 【详解】对于A，若与互斥，则，故A正确； 对于B，若与相互独立，则， 所以，，故B正确； 对于C，若，且， 所以，事件与相互独立，故C正确； 对于D，若，则，所以，故D错误. 故选：D 3．已知事件 相互独立，事件 发生的概率为 ，事件 发生的概率为 ，则 “两个事件 至少有一个发生” 的概率为（     ） A． B． C． D．1 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】独立事件的乘法公式、事件的运算及其含义 【分析】由事件 相互独立，可得，再利用概率求和公式求解即可. 【详解】 因为事件 相互独立，所以 则“两个事件 至少有一个发生” 的概率为, 故选：C 4．如图，甲乙做游戏，两人通过划拳（剪刀、石头、布）比赛决胜谁首先到达第3格，并规定从0格出发，每次划拳赢的一方往右前进一格，输的一方原地不动，平局时两人都往右前进一格．如果一方连续赢两次，那么他将额外获得右前进一格的奖励，除非已经到达第3格，当有任何一方到达第3格时游戏结束，则游戏结束时恰好划拳3次的概率为（    ） 0 1 2 3 A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】独立事件的乘法公式、相互独立事件与互斥事件、独立事件的实际应用 【分析】游戏结束时，有可能是甲到达第3格，也有可能是乙到达第3格，根据每一步的情况，结合独立事件和互斥事件概率公式，即可求解. 【详解】设事件“第次划拳甲赢”为，事件“第次划拳甲平局”为，事件“第次划拳甲输”为， 则， 则游戏结束时恰好划拳3次的概率为 故选：D 5．已知事件与相互独立，，，则 . 【答案】0.92/ 【难度】0.85 【知识点】独立事件的乘法公式、互斥事件的概率加法公式 【分析】首先利用独立事件的乘法公式求出，再根据加法公式求出. 【详解】因为与相互独立，所以， 所以. 故答案为： 6．有甲、乙、丙三个开关和A，B，C三盏灯，各开关对灯的控制互不影响．当甲闭合时A，B亮，当乙闭合时B，C亮，当丙闭合时A，C亮．若甲、乙、丙闭合的概率分别为，，，且相互独立，则在A亮的条件下，B也亮的概率为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】独立事件的实际应用、计算条件概率 【分析】若AB同时亮，则可能闭合甲开关或不闭合甲开关且同时闭合乙，丙开关. 若A亮，则闭合甲或者丙开关.则所求概率为AB同时亮概率与A亮概率之商. 【详解】设事件M为A灯亮，事件N为B灯亮，事件X为开关甲闭合，事件Y为开关乙闭合，事件Z为开关丙闭合，则所求概率为 . 其中， ， 所以. 故答案为： 7．甲､乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲､乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则甲两轮活动中恰好猜对一个成语的概率为 ；“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率为 ． 【答案】 /0.375 【难度】0.65 【知识点】独立事件的实际应用 【分析】由相互独立事件的概率公式可得空1；分甲对2个乙对一个和甲对1个乙对2个两种情况，根据相互独立事件概率乘法公式分别计算，然后可得. 【详解】解：设分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件，分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件．根据独立事件的性质，可得 设A=“两轮活动‘星队’猜对3个成语”，则，且与互斥，与，与分别相互独立， 所以 因此，“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率是． 故答案为：, 题型四 独立事件的实际应用 1．已知某导弹拦截目标的命中率为，为提高拦截成功率，决定同时发射三枚导弹拦截同一目标，若这三枚导弹彼此间互不干扰，则拦截成功的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】独立事件的乘法公式、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】由对立事件和独立事件概率公式即可计算. 【详解】“拦截成功”的对立事件是“三枚导弹都拦截失败”， 一枚导弹拦截目标的命中率为，失败的概率为， 三枚导弹都拦截目标失败的概率为， 因此拦截成功的概率为. 故选：A 2．如图，某电子元件由，，三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测试，，，三种部件不能正常工作的概率分别为，，，各个部件是否正常工作相互独立，则该电子元件能正常工作的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】独立事件的乘法公式、利用对立事件的概率公式求概率 【详解】设上半部分正常工作为事件，下半部分正常工作为事件，该电子元件能正常工作为事件，根据相互独立事件的概率公式求出、，即可求出、，再根据对立事件及独立事件的概率公式计算可得. 【分析】设上半部分正常工作为事件，下半部分正常工作为事件，该电子元件能正常工作为事件， 则，， ，所以， 所以， 即该电子元件能正常工作的概率是. 故选：B 3．甲、乙、丙三人独立参加体育达标测试，已知甲、乙、丙各自通过测试的概率分别为，，，且他们是否通过测试互不影响.若三人中只有甲通过测试的概率为，则甲、丙二人中至少有一人通过测试的概率为（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】独立事件的乘法公式、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】根据给定条件，利用相互独立事件的概率公式，结合对立事件的概率列式求解. 【详解】由三人中只有甲通过测试的概率为，得，解得， 所以甲、丙两人中至少有一人通过测试的概率. 故选：A 4．概率论起源于博弈游戏17世纪，曾有一个“赌金分配”的问题：博弈水平相当的甲、乙两人进行博弈游戏每局比赛都能分出胜负，没有平局双方约定，各出赌金180枚金币，先赢3局者可获得全部赎金；但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2局，乙赢了1局.问这360枚金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率”的知识，合理地给出了赌金分配方案.该分配方案是（    ） A．甲180枚，乙180枚 B．甲288枚，乙72枚 C．甲240枚，乙120枚 D．甲270枚，乙90枚 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】独立事件的乘法公式、独立事件的实际应用 【分析】利用独立事件的概率公式进行求解即可. 【详解】根据题意，甲、乙两人每局获胜的概率均为， 假设两人继续进行比赛， 甲获取360枚金币有：第四局甲赢，或第四局甲输，第五局甲赢， 故概率为， 乙获取360枚金币有：第四、五局乙都赢， 故概率为， 则甲应该获得枚金币，乙应该获得枚金币， 故选：D 5．概率论起源于博弈游戏17世纪，曾有一个“赌金分配”的问题：博弈水平相当的甲､乙两人进行博弈游戏每局比赛都能分出胜负，没有平局.双方约定，各出赌金150枚金币，先赢3局者可获得全部赎金；但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2局，乙赢了1局.向这300枚金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率”的知识，合理地给出了赌金分配方案.该分配方案是（   ） A．甲150枚，乙150枚 B．甲225枚，乙75枚 C．甲200枚，乙100枚 D．甲240枚，乙60枚 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】独立事件的乘法公式、独立事件的实际应用 【分析】根据题意，求得甲乙获胜的概率均为，且游戏最多再进行2局即可分出胜负，求得甲获胜的概率，进而得到答案. 【详解】由题可知，对单独每一局游戏，甲乙获胜的概率均为， 若游戏继续进行，最多再进行2局即可分出胜负， ①第四局甲赢，比赛结束，甲胜出，概率为； ②第四局乙赢，第五局甲赢，比赛结束，甲胜出，概率为； ③第四局乙赢，第五局乙赢，比赛结束，乙胜出，概率为； 则甲胜出的概率为，则甲应该分得赌金的， 所以枚，乙分得赌金枚. 故选：B. 6．电信网络诈骗作为一种新型犯罪手段，已成为社会稳定和人民安全的重大威胁．2023年11月17日外交部发言人毛宁表示，一段时间以来，中缅持续加强打击电信诈骗等跨境违法犯罪合作，取得显著成效．此前公安部通过技术手段分析电信诈骗严重的地区，在排查过程，若某地区有10人接到诈骗电话，则对这10人随机进行核查，只要有一人被骗取钱财，则将该地区确定为“诈骗高发区”．假设每人被骗取钱财的概率为且相互独立，若当时，至少排查了9人才确定该地区为“诈骗高发区”的概率取得最大值，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】独立事件的实际应用 【分析】根据相互独立事件同时发生的概率写出概率公式，再用导数的方法确定的值. 【详解】设至少排查了9人才确定该地区为“诈骗高发区”的概率为， 则. 因为：. 由，得：. 所以在上递增，在上递减. 所以当时，取得最大值.即. 故选：B 7．2020年1月，教育部发布《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（简称“强基计划”），明确从2020年起强基计划取代原有的高校自主招生方式．某高校笔试环节要求考生参加三个科目考核，考生通过三个科目的笔试考核才能进入面试环节．考生甲通过三个科目的笔试考核的概率分别为，且每个科目考核相互独立，则甲顺利进入面试环节的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】独立事件的实际应用 【分析】记甲通过三个科目的笔试考核分别为事件，根据相互独立事件的概率乘法公式计算可得答案. 【详解】记甲通过三个科目的笔试考核分别为事件， 显然为相互独立事件， 则事件“甲通过三个科目的笔试考核”相当于事件， 所求概率． 故选：A． 8．小华玩一种跳棋游戏，一个箱子中装有大小质地均相同的且标有的10个小球，每次随机抽取一个小球并放回，规定：若每次取到号码小于或等于5的小球，则前进1步，若每次取到号码大于5的小球，则前进2步．每次抽取小球互不影响，记小华一共前进步的概率为，则 ， ．（用表示） 【答案】 / （） 【难度】0.65 【知识点】独立事件的乘法公式、利用互斥事件的概率公式求概率 【分析】根据题意由互斥事件概率加法公式和相互独立事件乘法公式求得，求出递推公式，即可得解. 【详解】由题意，前进1步的概率和前进2步的概率都是，所以， 所以； 当时，其前进步是由两部分组成：第一部分先前进步，再前进1步，其概率为； 第二部分先前进步，再前进2步，其概率为，所以. 故答案为： ；（） 9．在如图所示的电路图中，开关，，正常工作的概率分别为，，，且是相互独立的，则灯亮的概率是 【答案】 【难度】0.65 【知识点】独立事件的乘法公式、互斥事件的概率加法公式、利用互斥事件的概率公式求概率 【分析】灯亮即开关闭合，且，至少有一个闭合，结合对立事件和独立事件的概率可解得结果. 【详解】设“开关，，闭合”分别为事件，，，则灯亮这一事件为，且，，相互独立，互斥， 所以， 故答案为：. 10．连续抛掷一颗质地均匀的正方体骰子两次（正方体六个面上的点数分别为），记录抛掷结果向上的点数.设事件：第一次点数为1，事件：两次点数之和为，若事件与事件互斥，则的最小值为 ；若事件与事件相互独立，则的值为 . 【答案】 8 7 【难度】0.65 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、计算古典概型问题的概率、独立事件的判断 【分析】根据互斥事件和独立事件的概念可解. 【详解】因为事件与事件互斥，所以它们不能同时发生， 所以两次点数之和为至少为8，才能保证第一次点数不为1， 所以的最小值为8； 因为事件与事件相互独立，所以， 当时，第一次点数不可能为1，此时， 当时，，又，所以， 又时，对应概率分别为， 所以的值为7. 故答案为：8，7. 11．一个材质均匀的抽奖转盘被等分为10个扇形区域，分别标有数字1至10．玩家进行以下操作： 第一轮：转动转盘一次，记录数字n（不考虑指针落在交界线的情况），若n为质数，则获得一个抽奖币，否则获得一个普通币； 第二轮：若第一轮获得抽奖币，可从抽奖池随机抽取奖励（抽奖池中包含1个一等奖、3个二等奖、6个三等奖）；若获得普通币，则从普通池中随机抽取奖励（普通池中包含2个安慰奖、8个谢谢参与）． 第三轮：若第二轮抽到一等奖或二等奖，则可再次转动转盘，若此次数字与第一轮数字之和为偶数，则额外获得终极大奖． 则玩家最终获得终极大奖的概率为 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】独立事件的乘法公式 【分析】记事件A=抽中质数，事件B=抽中一等奖或二等奖．事件C=第三轮与第一轮数字之和为偶数，D=获得终极大奖，根据求解即可. 【详解】记事件A=抽中质数，事件B=抽中一等奖或二等奖．事件C=第三轮与第一轮数字之和为偶数，D=获得终极大奖. 由题意知， 由于，， 且第三轮中无论n是奇质数还是偶质数，第二轮后转盘独立， 事件C的概率恒为（奇偶数各5个）， 故． 故答案为： 12．甲、乙、丙3人打台球，约定：第1局甲、乙对打，且由甲开球，丙轮空；此后每局的胜者与轮空者进行下一局对打，并由轮空者开球.假设甲、乙、丙3人打台球的水平相同，且开球者获胜的概率为，每局台球的结果相互独立. (1)求前3局中甲、乙、丙各自轮空1局的概率； (2)求前4局中甲参与了3局的概率； (3)求第4局是甲、乙对打的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.4 【知识点】利用互斥事件的概率公式求概率、独立事件的实际应用 【分析】（1）分第2局甲轮空，第3局乙轮空；和第2局乙轮空，第3局甲轮空两种情况分别计算即可； （2）分甲第2局轮空，第3局轮空，第4局轮空三种情况分别计算即可； （3）第4局是甲、乙对打，有两种情况：情况一，第2局为甲、丙对打，第3局为乙、丙对打；情况二，第2局为乙、丙对打，第3局为甲、丙对打.分别计算两种情况下第4局为甲、乙对打的概率. 【详解】（1）若第2局甲轮空，第3局乙轮空，其概率为. 若第2局乙轮空，第3局甲轮空，其概率为. 故所求概率为. （2）分三种情况. 第一种情况：甲第2局轮空，则其他3局都参与了. 因为甲第2局轮空，所以第3局一定有甲参与，且由甲开球，而要参与第4局，则第3局甲胜， 其概率为. 第二种情况：甲第3局轮空，则其他3局都参与了. 因为甲第3局轮空，所以第4局一定有甲参与，且第2局甲负， 其概率为. 第三种情况：甲第4局轮空，则其他3局都参与了. 其概率为. 故所求概率为. （3）第4局是甲、乙对打，分两种情况讨论： 情况一：第1局甲胜，第2局丙胜，第3局乙胜. 此时第2局为甲丙对打，第3局为乙丙对打（甲轮空），第4局为甲乙对打. 其概率为. 情况二：第1局乙胜，第2局丙胜，第3局甲胜. 此时第2局为乙丙对打，第3局为甲丙对打（乙轮空），第4局为甲乙对打. 其概率为. 故所求概率为 13．甲､乙､丙三人结伴去游乐园玩射击游戏，其中甲射击一次击中目标的概率为，甲､乙两人各射击一次且都击中目标的概率为，乙､丙两人各射击一次且都击中目标的概率为，已知任意两次射击互不影响. (1)分别计算乙，丙两人各射击一次且击中目标的概率； (2)求甲､乙､丙各射击一次且恰有一人击中目标的概率； (3)若想击中目标的概率不低于，甲至少需要射击多少次？（参考数据） 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.4 【知识点】独立事件的乘法公式、独立重复试验的概率问题、互斥事件的概率加法公式、对数的运算性质的应用 【分析】（1）利用相互独立事件的概率公式计算可得； （2）记甲、乙、丙各射击一次恰有一人击中目标为事件，根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得； （3）设甲射击次，则至少有一次击中目标的概率为，令，根据指数函数的性质及对数的运算性质计算可得； 【详解】（1）令甲射击一次击中目标为事件，乙射击一次击中目标为事件，丙射击一次击中目标为事件， 所以，所以， ，所以， 所以乙射击一次击中目标的概率为，丙射击一次击中目标的概率为； （2）令甲、乙、丙各射击一次恰有一人击中目标为事件， 所以 ， 所以甲、乙、丙各射击一次恰有一人击中目标的概率； （3）设甲射击次数，则至少有一次击中目标的概率为， 令， 所以， 又为正整数，所以，即甲至少要射击次. 题型一 独立事件的判断与性质 1．假定生男生女是等可能的，设事件：一个家庭中既有男孩又有女孩；事件家庭中最多有一个女孩.针对下列两种情形：①家庭中有2个小孩；②家庭中有3个小孩，下面说法正确是（    ）. A．①中事件与事件相互独立､②中的事件与事件相互独立 B．①中事件与事件不相互独立､②中的事件与事件相互独立 C．①中事件与事件相互独立､②中的事件与事件不相互独立 D．①中事件与事件不相互独立､②中的事件与事件不相互独立 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】计算古典概型问题的概率、独立事件的判断 【分析】分别写出①②对应的样本空间，再利用相互独立事件计算判断. 【详解】若家庭中有两个小孩，样本空间为(男,男)，(男,女)，(女,男)，(女,女)，共4种情况， (男,女)，(女,男)(男,男)，(男,女)，(女,男)(男,女)，(女,男)， 则，，，事件与事件不相互独立，AC错误； 若家庭中有三个小孩，样本空间为(男,男,男)，(男,男,女)，(男,女,男)，(女,男,男)， (男,女,女)，(女,男,女)，(女,女,男)，(女,女,女)，共8种情况， (男,男,女)，(男,女,男)，(女,男,男)，(男,女,女)，(女,男,女)，(女,女,男)， (男,男,男)，(男,男,女)，(男,女,男)，(女,男,男)，(男,男,女)，(男,女,男)，(女,男,男)， ，，，事件与事件相互独立，B正确，D错误. 故选：B 2．正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素，加上它们的多种变体，一直是科学､艺术､哲学灵感的源泉之一.如图，一个正八面体八个面分别标有数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记“得到的点数为奇数”为事件，记“得到的点数不大于4”为事件，记“得到的点数为质数”为事件，则下列说法正确的是（    ）    A．事件与互斥 B． C．事件与相互独立 D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、计算古典概型问题的概率、独立事件的判断 【分析】利用古典概型来计算各事件概率，利用独立事件的定义，利用对立事件概念即可判断各选项. 【详解】对于A，事件B为“得到的点数不大于4”，即得到的点数为， 事件C为“得到的点数为质数”，即得到的点数为，显然得到点数为时， 事件B与事件C同时发生，所以事件与不互斥，故A错误； 对于B，事件A为“得到的点数为奇数”， 事件B为“得到的点数不大于4”， 故得到点数为，表示事件发生，即，故B正确； 对于C，由事件A为“得到的点数为奇数”，则， 事件C为“得到的点数为质数”， 则， 而得到点数为，表示事件发生，即， 此时，所以事件与事件不相互独立，故C错误； 对于D，而得到点数为，表示事件发生，即， 所以，故D错误， 故选：B. 3．一口袋中有3个红球和3个白球，从中不放回地取出个，设事件：取出的个球既有红球又有白球，事件：取出的个球最多有一个红球，则（    ） A．当时事件与事件相互独立，当时事件与事件相互独立 B．当时事件与事件不相互独立，当时事件与事件相互独立 C．当时事件与事件相互独立，当时事件与事件不相互独立 D．当时事件与事件不相互独立，当时事件与事件不相互独立 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】组合数的计算、独立事件的判断 【分析】根据题意，分别求得和时，事件对应的概率，结合和的关系，即可得到答案. 【详解】当时，， 则，所以当2时，事件与事件不相互独立； 当时，， 则，所以当时，事件与事件相互独立. 故选：B. 4．对于一个古典概型的样本空间和事件、、、，其中，，，，，，，，则（    ）（注：表示集合的元素个数） A．与不互斥 B．与互斥但不对立 C．与互斥 D．与相互独立 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】确定所给事件的对立关系、判断所给事件是否是互斥关系、独立事件的判断 【分析】由已知条件结合事件的运算判断事件间的互斥、对立关系，根据的关系判断事件是否独立. 【详解】对于A，因为，，， 则，故A、B互斥，A错误； 对于B，因为，所以A、D互斥且对立，B错误； 对于C，因为，，A、D对立， 则，C与D不互斥，C错误； 对于D，由，，， 所以，即A与C相互独立，D正确. 故选：D. 题型二 概率的计算 1．甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首次比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场比赛轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都是，则甲最终获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】独立事件的乘法公式、互斥事件的概率加法公式、独立事件的实际应用 【分析】设甲失败的事件为,乙失败的事件为,丙失败的事件为,甲最终获胜事件为，根据题意列出的所有可能，结合独立事件乘法公式即可求解. 【详解】设甲失败的事件为,乙失败的事件为,丙失败的事件为,甲最终获胜事件为， 则甲最终获胜的概率为 . 故选：D. 【点睛】关键点睛：将甲最终获胜事件拆解为互斥事件的和，利用加法公式、乘法公式进一步得解. 2．已知某音响设备由五个部件组成，A电视机，B影碟机，C线路，D左声道和E右声道，其中每个部件能否正常工作相互独立，各部件正常工作的概率如图所示.能听到声音，当且仅当A与B至少有一个正常工作，C正常工作，D与E中至少有一个正常工作.则听不到声音的概率为（    ）    A．0.19738 B．0.00018 C．0.01092 D．0.09828 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】独立事件的乘法公式、独立事件的实际应用 【分析】首先根据独立事件概率公式求能听到声音的概率，再利用对立事件概率公式，即可求解. 【详解】设能听到声音为事件， 则 , 所以听不到声音的概率. 故选：A 3．小张和小王两个小朋友玩游戏，已知小张手中有3张黑色牌和3张红色牌，小王手中有3张黑色牌和2张红色牌，游戏规则：两位小朋友同时出示一张牌，若两张牌同色，则小张胜，小张获得这两张牌，若两张牌异色，则小王胜，小王获得这两张牌，按上述玩法进行两次后，小王手中有7张牌的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】独立事件的乘法公式、计算古典概型问题的概率 【分析】用独立事件概率的乘法原理计算即可. 【详解】进行两次后，小王手中有7张牌意味着小王这两次都赢了， 第一次总事件数为种，小王赢的事件数是种， 则第一次小王赢的概率是， 第一次赢之后小张有5张牌，第一种情况是有2张黑色牌，3张红色牌， 小王有4张黑色牌，有2张红色牌， 第二次总事件数为种，小王赢的事件数是种， 则第二次小王赢的概率是： 第二种情况是有3张黑色牌，2张红色牌，小王有3张黑色牌，有3张红色牌， 第二次总事件数为种，小王赢的事件数是种， 则第二次小王赢的概率是： 出现第一种情况是第一次小王出红色牌，概率是， 出现第二种情况是第一次小王出黑色牌，概率是， 则两次均赢的概率为：. 故小王手中有7张牌的概率为. 故选：D. 4．袋子里有大小相同的3个红球和2个白球，每次从袋子里随机取出一个球，若取出的是红球则放回袋子，若取出的是白球则不放回袋子.记为取了次后白球恰好全部取出的概率，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】独立事件的乘法公式、有放回与无放回问题的概率、利用概率的加法公式计算古典概型的概率 【分析】根据题意，利用独立事件的概率乘法公式求出的表达式，根据选项作差计算，逐项判断即可. 【详解】设事件为第一个白球在次取出，且第二个白球在第次取出，其中， 则， 所以. 故，又， 故时，，即，， 时，，即，，故A错误，B正确； ，又， 故时，，即，， 时，，即，，故C，D错误. 故选：B. 5．在体育比赛中，近年来一个新型的赛制“双败赛制”赢得了许多赛事的青睐.传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的资格，而在双败赛制下，每人或者每个队伍只有失败了两场才会淘汰出局，因此更有容错率.假设最终进入半决赛的有四支队伍，传统的淘汰赛制下，会将他们四支队伍两两分组进行比赛，胜者进入总决赛，总决赛的胜者即为最终的冠军；双败赛制下，两两分组，胜者进入胜者组，败者进入败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入总决赛，败者进入败者组，之前进入败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，最后总决赛的胜者即为冠军（赛制流程图如图所示）.双败赛制下会发生一个有意思的事情，在胜者组中的胜者只要输一场比赛即总决赛就无法拿到冠军，但是其他的队伍却有一次失败的机会，近年来从败者组杀上来拿到冠军的不在少数，因此很多人戏谑这个赛制对强者不公平，是否真的如此呢？这里我们简单研究一下两个赛制：假设四支队伍分别为，其中对阵其他三个队伍时获胜的概率均为，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜的概率均为，最初分组时，同组，同组.    (1)若，在淘汰赛赛制下，获得冠军的概率分别为多少？ (2)分别计算两种赛制下获得冠军的概率（用表示），并分析一下双败赛制下对队伍的影响，是否如很多人质疑的“对强者不公平”？ 【答案】(1)获得冠军的概率为，获得冠军的概率为. (2)在淘汰赛赛制下，获得冠军的概率为；在“双败赛制”赛制下，获得冠军的概率为；双败赛制对强者更有利 【难度】0.4 【知识点】独立事件的乘法公式、互斥事件的概率加法公式 【分析】（1）利用独立事件的概率公式进行求解即可； （2）首先利用独立事件的概率公式分别求出两种赛制下获得冠军的概率，再利用作差法比较大小即可. 【详解】（1）结合题意可得获得冠军：组获胜，再由与组胜者决赛并胜出， 所以获得冠军的概率为. 结合题意可得获得冠军：组获胜，再由与组胜者决赛并胜出， 所以获得冠军的概率为. （2）在淘汰赛赛制下，获得冠军的概率为. 在“双败赛制”赛制下，讨论进入胜者组､败者组两种情况： 当进入胜者组，若在胜者组失败，后两局都胜，方可得冠军；若在胜者组胜利，后一局（与败者组胜者比赛）胜，方可得冠军， 此时获得冠军的概率为； 当进入败者组，后三局都胜，方可得冠军， 此时获得冠军的概率为. 综上，获得冠军的概率为. 令， 则， 由得. 若A为强队，则，此时. 即，所以. 所以双败赛制对强者更有利. 6．现有一个质地均匀的正面体骰子，个面分别标有数字1到. (1)当时，设计一种“点数游戏”：任意抛掷两次这个骰子，观察骰子与桌面接触的面上的数字的乘积，这个乘积记为游戏结果.甲、乙两人玩这种“点数游戏”，规定每次游戏结果大于5时甲获胜，游戏结果小于5时乙获胜. ①写出此试验的样本空间； ②试判断这种游戏是否公平？并说明理由； ③若约定先获胜3次“点数游戏”者赢得比赛，并获得100元奖金.当甲获胜2次，乙获胜1次时，“点数游戏”因意外而中止，现决定将100元奖金分给甲、乙两人.请以此时甲和乙最终获胜的概率之比为标准，分配两人的奖金数量； (2)当时，任意抛掷一次这个骰子，以它与桌面接触的面上的数字为试验结果.请构造适当的事件，使成立，但不满足两两独立.请说明理由. 【答案】(1)①答案见解析；②公平，理由见解析；③甲分配奖金元，乙分配奖金元 (2)答案见解析 【难度】0.4 【知识点】游戏的公平性、写出样本空间、计算古典概型问题的概率、独立事件的判断 【分析】（1）①用列举法写出样本空间即可得；②由古典概型概率公式计算两者获胜的概率是否相等即可判断；③按甲、乙继续比赛赢得比赛的概率比值进行奖金分配，由于甲、乙要分出比赛输赢至多需要再进行2次“点数游戏”，即可确认输赢，由列举法写出样本空间计算概率后可得； （2）当时，任意抛掷一次这个骰子的样本空间，所以，构造事件，然后计算概率检验. 【详解】（1）①； ②记“游戏结果大于5”为事件，则事件包含的样本点包括： ，所以， 又，则甲获胜的概率为， 故乙获胜的概率为， 所以甲、乙获胜的概率相等，这种游戏是公平的； ③由于甲、乙要分出比赛输赢至多需要再进行2次“点数游戏”， 假设再进行2次“点数游戏”， 则2次“点数游戏”比赛结果的样本空间： （甲胜，甲胜），（甲胜，乙胜），（乙胜，甲胜），（乙胜，乙胜）， 所以， 记“甲赢得比赛”为事件，则事件包含的样本点包括： （甲胜，甲胜），（甲胜，乙胜），（乙胜，甲胜），所以， 则， 所以“乙赢得比赛”的概率为， 所以甲分配奖金元，乙分配奖金元； （2）当时，任意抛掷一次这个骰子的样本空间， 所以， 构造事件， 则， 则， ，， 所以， ， 即且不满足两两独立，满足题意． 7．2025年6月23日雷霆队以大比分战胜步行者队捧起奥布莱恩杯.众所周知，总决赛采取7场4胜制，当两队大比分战成，第5场比赛被称为“天王山之战”.现假设甲乙两支队伍闯入总决赛，首战甲获胜的概率为，每场结束后，败方在下一场获胜的概率提高为，每场比赛结果相互独立. (1)求两场后双方战成的概率； (2)若首战乙胜，求再战三场双方战至后甲在“天王山之战”中获胜的概率； (3)求甲乙不需要进行第七场比赛的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.4 【知识点】独立事件的乘法公式、独立重复试验的概率问题、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）按照独立事件的概率可得； （2）记所求事件为，包含的所有结果：，按照独立事件的概率可得； （3）只进行四场比赛的结果对应的概率，只进行五场比赛甲获胜的结果；只进行六场比赛甲获胜的结果：即可计算出甲乙不需要进行第七场比赛的概率. 【详解】（1）设事件“第场比赛甲获胜”，事件“第场比赛乙获胜”， 事件“两场后双方战成1：1”， 所以 故有. （2）记所求事件为，包含的所有结果： 所以 （3）记为只进行场比赛的概率 ①只进行四场比赛的结果：则对应的概率为 ②只进行五场比赛甲获胜的结果：， 乙获胜的结果： ③只进行六场比赛甲获胜的结果： ， ， ，， 乙获胜的结果： ， ， ，， 6场比赛甲获胜的概率 对应乙获胜的概率所以 综上，甲乙不需要进行第七场比赛的概率为 8．某游戏公司开发了一款游戏，共有两关，公司组织了水平相当的位玩家测试这款游戏．玩家按预先指定的顺序依次上场，每位玩家的测试都是相互独立的．他们通过第一关测试的概率都为，通过第二关测试的概率都为．若玩家通不过第一关测试，则他下场，由下一位玩家继续上场测试，若玩家通过第一关测试，则继续第二关的测试，若第二关测试通过，则游戏测试终止，若第二关测试通不过，则下一位玩家直接从第二关开始测试．当时，求第位玩家终止测试的概率（用含的式子表示）． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】独立事件的乘法公式、互斥事件的概率加法公式 【分析】根据题意考虑当且第位玩家终止测试时，第位玩家必通过第二关测试，可分为前面位玩家都没有通过第一关测试，以及前面位玩家中恰有一人通过第一关测试，求得相应概率，即可求得答案. 【详解】设第位玩家终止测试的概率为． 当且第位玩家终止测试时，第位玩家必通过第二关测试． 若前面位玩家都没有通过第一关测试，其概率为， 若前面位玩家中人第位玩家才通过第一关测试， 则前面位玩家无人通过第一关测试，其概率为， 第位玩家通过第一关测试，但没有通过第二关测试，其概率为， 第位玩家到第位玩家中都没有通过第二关测试，其概率为． 所以前面位玩家中恰有一人通过第一关测试的概率为： ， ， 因此，第位玩家终止测试的概率为． 【点睛】方法点睛：本题综合考查了概率的计算问题，解答时要能综合应用独立事件的乘法公式以及互斥事件加法公式进行求解，关键是要明确第位玩家终止测试时前面位玩家的测试情况. 1．现有甲、乙、丙、丁四支球队进行单循环比赛，即每两支球队在比赛中都要相遇且仅相遇一次，最后按各队的积分排名（积分多者名次靠前，积分同者名次并列）积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，若每场比赛中每队胜，平，负的概率都为，则在比赛结束时，甲队胜2场且乙队胜2场的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】独立事件的乘法公式、互斥事件的概率加法公式 【分析】根据甲队胜2场分3种情况，甲胜乙丙，甲胜乙丁，甲胜丙丁，讨论求解. 【详解】甲队胜2场且乙队胜2场，分下面3种情况： 若甲胜乙丙，乙胜丙丁，概率为， 若甲胜乙丁，乙胜丙丁，概率为， 若甲胜丙丁，乙胜丙丁，甲平乙或甲胜丙丁，乙胜甲丙或甲胜丙丁，乙胜甲丁， 其概率为， 所以甲队胜2场且乙队胜2场的概率为. 故选：C. 2．由杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司推出，该公司是一家专注于人工智能（）的中国初创公司．其模型于2024年年底发布，此模型足以媲美，一经推出便成为全球热门话题．利用进行学习已经成为一种学生自主学习的全新方式，但是目前市场各种模型运算参差不齐．技术人员对n个模型进行测试，测试由m道题组成，每个模型都对这道题逐一进行求解．若一道题至少有个模型未解对，则称此题为难题；若一个模型至少解出了道题，则该模型测试成绩合格．如果测试至少有个模型成绩合格，且测试中至少有道题为难题，那么的最小值为（   ） A．6 B．9 C．18 D．27 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】独立事件的乘法公式、利用不等式求值或取值范围 【分析】设有个模型合格，道题为难题，得到，再结合，求得范围即可求解. 【详解】设有个模型合格，道题为难题，则， 依题意有， 所以 所以， 同理 ， 要使两式有整数解，则，所以． 当时，若3个模型生答题情况如下表： 题目1 题目2 题目3 1 √ √ × 2 √ × √ 3 √ × × 则有2个模型合格，2个难题，符合题意，所以的最小值为9． 故选：B 3．甲、乙、丙三人进行扳手腕比赛，累计负两场者淘汰，甲、乙两人先进行比赛，丙轮空，每次比赛的胜者与轮空者进行比赛，负者轮空，直到有1人被淘汰，剩余两人继续比赛，直到其中1人淘汰，另1人最终获胜，比赛结束.假设每场比赛没有平局，甲、乙比赛，甲获胜的概率为，甲、丙比赛，甲获胜的概率为，乙、丙比赛，乙获胜的概率为，则甲与乙比赛负1场且最终甲获胜的概率为 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】独立事件的乘法公式 【分析】根据题意，列举出“甲与乙比赛负1场且最终甲获胜”的所有基本事件，利用独立事件的概率乘法公式计算出相应概率. 【详解】设甲乙比赛中甲胜乙负为事件，甲负乙胜为事件；甲丙比赛中甲胜丙负为事件，甲负丙胜为事件;乙丙比赛中乙胜丙负为事件，乙负丙胜为事件. 设甲与乙比赛负1场且最终甲获胜为事件， 则 故答案为： 4．若事件满足，，同时成立，则称事件两两独立，现抛掷一枚质地均匀的骰子，观察面朝上的数字， 得到样本空间， 若事件， 事件， 则可以构造事件 (填一个满足条件的集合即可)， 使得成立， 但不满足事件两两独立. 【答案】（答案不唯一） 【难度】0.4 【知识点】独立事件的乘法公式、计算古典概型问题的概率 【分析】根据相互独立事件以及“两两相互”的定义对问题进行分析，先判断相互独立，确定构造事件，使“与”或“与”不相互独立，根据事件包含的基本事件的个数进行分类讨论，由此求得符合题意的时间. 【详解】元素或有且仅有一个属于C，剩余的中任选两个属于，都满足条件要求． 因为，，，则， 若不满足事件两两独立，只需构造事件， 使得和至少有一个成立， 设事件包含的基本事件个数为（且），（且）， 当成立时，有，得， 所以或． （i）若，则，， 此时，，满足， 又，，，； ，，，， 又因为，所以事件两两独立，不满足要求， （ii）若，则， 因为，，所以必有且、且两种情况． 当且时，，，， 所以，， 所以若事件两两独立，则存在事件使得且， 此时，，不符合题意，所以不可能两两独立． 所以构造集合使得，且均满足题意， 故满足要求的为：、、、、、． 当且时，同理符合要求的集合为：、、、、、． 故答案为：（答案不唯一） 【点睛】关键点点晴：本题的关键在于设事件包含的基本事件个数为（且），（且），根据题设得到或，再利用古典概率公式及条件，即可求解. 5．某商场为鼓励大家消费，举行摸奖活动，规则如下：凭购物小票一张，每满58元摸奖一次，从装有除颜色外完全相同的1个红球和4个白球的箱子中一次性随机摸出两个小球，若两球中含有红球，则为中奖，否则为不中奖.每次摸奖完毕后，把小球放回箱子中.甲､乙共有购物小票一张，购物金额为m元，两人商量，先由一人摸奖，若中奖，则继续摸奖，若不中奖，就由对方接着摸奖，并通过掷一枚质地均匀的硬币决定第一次由谁摸奖. (1)若，求这两人中奖的概率； (2)若，求第一次由甲摸奖，最后一次也是甲摸奖的概率. 【答案】(1) (2) 【难度】0.4 【知识点】独立事件的乘法公式、互斥事件的概率加法公式、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）先列举样本点，再应用古典概型公式计算即可. （2）应用相互独立事件的概率是概率乘积公式计算. 【详解】（1）记1个红球为个白球分别为. 则从箱子中随机摸出两球，样本点有：，共10个样本点 其中含有红球的为：，共4个样本点， 所以在一次摸奖中，中奖概率为. 当时，甲､乙两人只能摸奖一次，所以他们中奖的概率为. （2）当时，他们可以摸奖4次. 记事件第次由甲摸奖为，记第一次由甲摸奖，最后一次也是甲摸奖为事件， 则， 所以 6．为评估大气污染防治效果，调查区域空气质量状况，某调研机构从两地区一年的数据中随机抽取了相同20天的观测数据，得到两地区的空气质量指数如下图所示：    根据空气质量指数，将空气质量状况分为以下三个等级： 空气质量指数 空气质量状况 优良 轻中度污染 重度污染 (1)试估计地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的天数； (2)假设两地区空气质量状况相互独立，记事件：“地区空气质量等级优于地区空气质量等级”．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求事件的概率； (3)若从空气质量角度选择生活地区居住，你建议选择两地区哪个地区．（只需写出结论） 【答案】(1) (2) (3)建议选择地区居住 【难度】0.4 【知识点】独立事件的乘法公式、根据折线统计图解决实际问题、利用互斥事件的概率公式求概率 【分析】（1）从地区选出的20天中随机选出一天，这一天空气质量状况为“优良”的频率为，由此估计地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的频率为0.75，从而能求出地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的天数． （2）记表示事件：“地区空气质量等级为优良”，表示事件：“地区空气质量等级为轻中度污染”，表示事件：“地区空气质量等级为轻中度污染”，表示事件：“地区空气质量等级为重度污染”，则与独立，与独立，与互斥，．由此能求出事件的概率． （3）从空气质量角度，建议选择地区居住． 【详解】（1）从A地区选出的20天中随机选出一天，这一天空气质量状况为“优良”的频率为， 估计A地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的频率为0.75， A地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的天数约为天． （2）记表示事件：“A地区空气质量等级为优良”， 表示事件：“A地区空气质量等级为轻中度污染”， 表示事件：“B地区空气质量等级为轻中度污染”， 表示事件：“B地区空气质量等级为重度污染”， 则与独立，与独立，与互斥，． 所以． 由所给数据得发生的频率分别为． 故， 所以事件的概率． （3）从空气质量角度，建议选择A地区居住． 【点睛】关键点点睛：第一小问比较常规，第三小问是属于开放性试题言之有理即可，关键是第二问要利用互斥加法公式以及独立乘法公式. 7．甲、乙、丙、丁4名棋手进行象棋比赛，赛程如下面的框图所示，其中编号为的方框表示第场比赛，方框中是进行该场比赛的两名棋手，第场比赛的胜者称为“胜者”，负者称为“负者”，第6场为决赛，获胜的人是冠军.已知甲每场比赛获胜的概率均为 ，而乙、丙、丁相互之间胜负的可能性相同. （Ⅰ）求甲获得冠军的概率； （Ⅱ）求乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）. 【难度】0.4 【知识点】独立事件的乘法公式、利用互斥事件的概率公式求概率 【分析】（Ⅰ）甲获得冠军，有三种途径，第一种连胜三场，第二种先胜一场，然后输一场胜两场，第三种先输一场，再连赢三场，求三种情况的概率之和即可. （Ⅱ）如果甲进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇，有三种可能，甲乙、乙丙、乙丁，求三种情况的概率之和即可. 【详解】（Ⅰ）甲获得冠军，则甲参加的比赛结果有三种情况： 1胜3胜6胜；1负4胜5胜6胜；1胜3负5胜6胜. 所以甲获得冠军的概率为. （Ⅱ）若乙的决赛对手是甲，则两人参加的比赛结果有两种情况： 甲：1胜3胜，乙：1负4胜5胜； 甲：1负4胜5胜，乙：1胜3胜. 所以甲与乙在决赛相遇的概率为. 若乙的决赛对手是丙，则两人只可能在第3场和第6场相遇，两人参加的比赛的结果有两种情况： 乙：1胜3胜，丙：2胜3负5胜； 乙：1胜3负5胜，丙：2胜3胜. 同时考虑甲在第4场和第5场的结果，乙与丙在第3场和第6场相遇的概率为 . 丁与丙的情况相同，所以乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率为 . 【点睛】本题考查概率的概念、事件的关系以及概率的运算性质，属于难题. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $