专题02 二次函数的应用（期中真题汇编，浙江专用）九年级数学上学期

**基本信息** 聚焦二次函数应用，汇编浙江多校期中真题，覆盖方程关系与实际问题，梯度设计适配九年级期中复习 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择|10|二次函数与方程交点、图像对称轴|结合运动轨迹（如小球滑行）考图像分析| |填空|6|判别式、交点坐标|通过抛物线部分图像求方程解| |解答|22|利润最值、几何应用|以“奶龙”公仔销售、足球射门为情境，综合考建模与运算|

专题02 二次函数的应用 考点01 二次函数与一元二次方程 考点02 实际问题与二次函数 考点01 二次函数与一元二次方程 1．C 2．A 3．D 4．B 5．B 6．A 7．【答案】 【分析】 把代入抛物线求出y值，即可得到抛物线与y轴的交点坐标． 【详解】 将代入抛物线得： ∴抛物线与y轴的交点坐标为． 故答案为：． 【点睛】 本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是熟练掌握二次函数图象与坐标轴的交点的求解方法． 8．【答案】 【分析】 根据一元二次方程根的判别式，即可求得． 【详解】 解：∵二次函数的图象与轴无交点， ∴无实数根， ∴， 解得 故答案为： 【点睛】 本题考查二次函数与一元二次方程的关系、一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 9．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查待定系数法求二次函数解析式及抛物线与x轴的交点坐标，解题的关键是利用函数图象上点的坐标特征列方程求解，以及将抛物线与x轴交点问题转化为解一元二次方程． （1）将已知点代入函数解析式，列方程组求出的值，得到二次函数表达式； （2）令，解一元二次方程，得到抛物线与x轴的另一个交点坐标． (1) 小问详解： 解：将点，分别代入，得： 即 ， 将代入，解得， 二次函数的表达式为； (2) 小问详解： 解：令，则， 整理为，因式分解得， 解得， 已知一个交点为，故另一个交点坐标为． 10．【答案】（1）；（2），且 【分析】 本题考查分式的化简及含参数的二次函数与坐标轴交点取值问题． （1）先对括号内的分式进行加法运算，再将除法转化为乘法，通过因式分解和约分化简即可； （2）先确定函数与坐标轴交点的情况，再根据交点个数要求列出条件求解m的取值范围即可． 【详解】 解：（1）原式 ． （2）∵二次函数的图象与坐标轴有三个交点， ∴抛物线与x轴有两个交点，与y轴有一个交点， ∴，， 即，解得，且． 故答案为：，且． 11．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征及求代数式的值，解题的关键是将点代入函数解析式求值． 将交点坐标代入抛物线方程，得到关于的方程，进而求出代数式的值． 【详解】 解：抛物线 与轴的一个交点为， ， 即， ． 故答案为：． 12．【答案】（1） 证明：令，得， 无论为何值，该抛物线与轴一定有交点；     （2）1或5      【分析】 本题考查了二次函数与一元二次方程综合． （1）令，得，证明即可； （2）令，得，根据根与系数的关系可得进而得到根据得到求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：令，得， 该抛物线与轴交于点A，B，且， 整理，得，解得或． 13．【答案】， 【分析】 本题考查二次函数的图象性质，二次函数与一元二次方程的关系，由图知，抛物线与x轴交于，代入求出m的值，再解方程即可． 【详解】 解：由图知，抛物线与x轴交于点， 将代入，得， ∴， ∴原方程为， 解得：，． 故答案为：，． 【详解】 14．【答案】（1）     （2）二次函数的与轴的交点坐标为，      【分析】 此题考查了待定系数法求二次函数解析式，求二次函数与x轴的交点坐标. （1）根据待定系数法求解析式即可； （2）令，解一元二次方程即可得到点坐标． (1) 小问详解： 由题意得： ，解得： ，              故抛物线的表达式为：； (2) 小问详解： 令，则， 即， 解得或，                       该二次函数与轴的交点坐标为，． 15．【答案】（1）21     （2）函数与轴没有交点， 理由：， ， 函数与轴没有交点；     （3），      【分析】 此题考查了二次函数和x轴的交点问题，二次函数的性质，二次函数和一元二次方程，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）将和分别代入和，得到，，然后利用完全平方公式的变形求解即可； （2）根据判别式结合求解即可； （3）首先求出函数与x轴的交点坐标为和，然后根据题意得到 ，进而求解即可． (1) 小问详解： 解：把代入，把代入，得 ， ， ； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 函数与轴的交点坐标为和 函数与轴的交点坐标为和 ，即 ，解得 （舍）或 ，． 16．【答案】（1）开口向上，顶点坐标为     （2），     （3）或      【分析】 本题考查了将二次函数的解析式化为顶点式，二次函数的定义，二次函数与轴的交点问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）将抛物线的解析式化为顶点式，即可得解； （2）令，则，求解即可； （3）根据二次函数的性质即可得解． (1) 小问详解： 解：∵， 所以抛物线的开口向上，抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为； (2) 小问详解： 解：当时，， 解得，， 所以抛物线与轴的交点坐标为，； (3) 小问详解： 解：∵抛物线的开口向上，抛物线与轴的交点坐标为，， ∴当时，的取值范围为或． 17．【答案】（1），     （2）      【分析】 本题考查了二次函数与x轴交点的求法、二次函数在指定区间内的取值范围，解题的关键是掌握因式分解法解一元二次方程、二次函数的顶点性质及区间端点值的计算． （1）令二次函数值为0，解一元二次方程得到交点横坐标，根据点的左右位置确定A、B坐标； （2）将二次函数化为顶点式确定对称轴与顶点纵坐标，计算区间端点对应的函数值，通过比较得出n的取值范围． (1) 小问详解： 解：令，则， 因式分解得， 解得，． ∵点A在点B左侧， ∴，． (2) 小问详解： 解：， ∴抛物线顶点坐标为，对称轴为直线， 当时，， 当时，， 当时，， ∴的取值范围是． 18．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数综合—面积问题，一次函数的应用，勾股定理，先求出，得到，直线的解析式为，作轴，交于点，连接、，设，则，求出，从而可得，由二次函数的性质可得当时，的值最大，为，再结合，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】 解：在中，当时，，即， 当时，，解得，，即，， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得 ， 解得： ， ∴直线的解析式为， 如图，作轴，交于点，连接、， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的值最大，为， ∵， ∴此时的值也最大，为， 故答案为：． 19．【答案】（1） 证明：∵， ∴的函数图像与x轴一定有2个交点．     （2）或     （3）      【分析】 本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系、二次函数的性质、二次函数最值等知识点，熟练掌握分类讨论是解答本题的关键． （1）利用一元二次方程判别式判断抛物线与x轴一定有2个交点即可证明结论； （2）先求出抛物线图像与x轴的交点为和，根据条件列出关于n的两个不等式组，最后解出n的范围即可； （3）根据条件得到抛物线的对称轴为直线，分三种情况讨论函数最大值与最小值的差为8，求出m值即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴． 令，则，即，， ∴函数图像与x轴交点为和两点． ∵点，都在该二次函数的图像上，且， ① ，即， ② ，即． 综上所述，或． (3) 小问详解： 解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线． ①若，即， 则当时，，当时，， ∴， ∴（舍去），（不符题意舍去）． ②若， 则当时，，当时，， ∵，不符合题意，舍去． ③若时， 则当时，，当时，， ∴，∴，（舍去）． 综上所述， ． 考点02 实际问题与二次函数 1．B 2．C 3．A 4．A 5．【答案】（1）     （2）降价元      【分析】 本题考查了二次函数与一元二次方程的实际应用，正确理解题意即可； （1）由题意得：，即可求解； （2）解方程即可； (1) 小问详解： 解：由题意得：； (2) 小问详解： 解：当时，， 解得：； ∵该商店为了尽快减少库存， ∴． 答：每件玩具应降价元． 6．【答案】（1）     （2）     （3）当每箱苹果的销售价为55元时，可以获得最大利润1125元      【分析】 本题考查了一次函数应用和二次函数的应用． （1）根据平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱，即可列出关系式； （2）根据销售利润平均每天销售量每箱利润，列出平均每天的销售利润w与销售价x之间的函数关系式； （3）根据二次函数的性质求最大利润． (1) 小问详解： 解：由题意得：， 化简得：； (2) 小问详解： 解：由题意得： ， 即该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式为； (3) 小问详解： 解：， ∵， ∴抛物线开口向下， 对称轴为直线， ∵，w随x的增大而增大， ∴当时，w的最大值为1125元， ∴当每箱苹果的销售价为55元时，可以获得1125元的最大利润． 7．【答案】（1）     （2）球不能进球门     （3）      【分析】 本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题解决． （1）用待定系数法即可求解； （2）当时，，即可求解； （3）移动后的抛物线为，把点代入上式求出n，同理把代入函数表达式求出n，进而求解． (1) 小问详解： 解：由题意得，抛物线的顶点为， 设抛物线为， 把代入得， ， 抛物线表达式为； (2) 小问详解： 解：由题意，当时，， 球不能进球门； (3) 小问详解： 解：设小明带球向正后方移动n米，则移动后的抛物线为， 把点代入得：， 舍去或， 把点代入得：， 舍去或， ． 8．【答案】（1）40     （2）     （3）该种健身球销售单价定为36元时，每天的销售利润最大，最大利润是392元      【分析】 本题考查一次函数的实际应用与二次函数的最值问题，解题的关键是根据利润公式列出函数关系式，并利用二次函数的性质求最值． （1）将销售单价代入销量关系式，计算对应的销售量； （2）根据“利润=（单价-成本）×销量”列出利润与单价的函数表达式； （3）将二次函数配方为顶点式，结合自变量取值范围求最大利润． (1) 小问详解： 解：在销量关系式中，令，则，故答案为：40； (2) 小问详解： 解：由题意得： ； (3) 小问详解： 解：将配方为顶点式： ，且36在范围内， 当时，取得最大值，最大值为392元． 9．【答案】（1）抛物线的解析式为     （2） 位置如下图所示： 点P的坐标为      【分析】 本题考查二次函数的实际应用，涉及求二次函数解析式，求一次函数解析式，根据对称性求线段的最值等知识，解题的关键是： （1）设抛物线的解析式为，将代入即可求解； （2）点B关于y轴的对称点，则，求出直线与y轴的交点坐标即可． (1) 小问详解： 解：抛物线的对称轴与y轴重合， 设抛物线的解析式为， ， ， 将代入，得： ， 解得 ， ∴抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：抛物线的解析式为，点B到对称轴的距离是1， 当时，， ， 作点B关于y轴的对称点，则，， ， 当共线时，拉杆长度之和最短， 设直线的解析式为， 将，代入，得 ， 解得 ， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点P的坐标为，位置如下图所示： 10．【答案】（1）     （2）当销售单价定为40元时，每周利润最大为1600元      【分析】 （1）设销售单价提高x元，则每组销售量为个，单个公仔利润为元，根据题意列出式子即可； （2）函数开口向下，存在最大值，根据顶点表示的含义进行计算即可求解． 该题主要考查二次函数的应用，正确进行计算是解题关键． (1) 小问详解： 解：设销售单价提高x元，则每组销售量为个，单个公仔利润为元． ∴每组销售利润． ∵售量不能为负， ∴． 答：； (2) 小问详解： 函数，开口方向向下，对称轴为 故时，利润最大，最大利润， 此时销售单价为元． 当销售单价定为40元时，每周利润最大为1600元． 11．【答案】（1）     （2）      【分析】 此题考查了二次函数解析式，矩形面积，解题的关键是画出平面图． （1）设抛物线的函数表达式是，求出，代入求出函数表达式是． （2）由（1）可得，可设以为顶点的抛物线，把代入可得，再由对称性即可求解． (1) 小问详解： 解：设抛物线的函数表达式是， ∵高为， 底面圆的直径为， ∴， 把代入， 解得， ∴函数表达式是， (2) 小问详解： 当时，， 点， 设以为顶点的抛物线， ，解得（不符题意，舍去）． ． 12．【答案】（1）     （2） 解：此次击球越过球网并落在对方区域内（含边界）；理由如下： ∵， 当时，， 网球越过球网， 当时，， 网球落在对方区域； 此次击球越过球网并落在对方区域内．      【分析】 本题考查二次函数的实际应用，读懂题意，正确地求出函数解析式，是解题的关键： （1）设出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出时，y的值，时，y的值，即可求解． (1) 小问详解： 解：网球飞行过程中在点处达到最高， 设抛物线的解析式为：， 把代入，得：， 解得：， 抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 略 13．【答案】（1）     （2）     （3）当每只玩具的销售价为35元时，可以获得最大毛利润，最大毛利润是750元      【分析】 本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用． （1）平均每天销售量原来的销售量相对于30元的单价提高的价格； （2）销售利润单价的利润平均每天的销售量，代入即可得出与的函数关系式； （3）根据题中所给的自变量的取值，结合（2）得到的关系式，即可求得二次函数的最值． (1) 小问详解： 解：由题意得：； (2) 小问详解： 解：由题意得：； (3) 小问详解： 解：， ， 抛物线开口向下，当时，随的增大而增大， 规定每件售价不得高于35元， 当时，取得最大值为750元，即当每只玩具的销售价为35元时，可以获得最大毛利润，最大毛利润是750元． 14．【答案】（1）当每份售价上涨10元时，可实现每天利润3000元     （2）每份售价定为70元时，每天利润最大，最大利润为3200元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，理解题意是解题关键． （1）设每份“特色菜”的售价上涨x元（x为正整数），根据题意列一元二次方程求解即可； （2）根据物价局规定可得，再列出关于的二次函数，求出最值即可． (1) 小问详解： 解：根据题意，每份售价为元，销售量为份． 利润 令，得． 整理得：，解得， 售价不能高于75元，即，， ∴舍去． 答：当每份售价上涨10元时，可实现每天利润3000元． (2) 小问详解： 解： ， ，抛物线开口向下，函数有最大值， ∵，且x为正整数，对称轴为直线在取值范围内， ∴当时，（元）．此时售价为（元） 答：每份售价定为70元时，每天利润最大，最大利润为3200元． 15．【答案】（1）     （2） 该男生在此项考试中不能得满分，理由如下： 当时，， 解得或（舍） ， 该男生在此项考试中不能得满分．      【分析】 此题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求抛物线的解析式，计算抛物线与坐标轴的交点，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意得到抛物线的顶点坐标为，过点，设抛物线的解析式为，利用待定系数法求解； （2）求出抛物线与x轴正半轴交点即可判断． (1) 小问详解： 解：由题意得，抛物线的顶点坐标为，过点， 设抛物线的解析式为， 解得， 拋物线的解析式为； (2) 小问详解： 略 16．【答案】（1）     （2）第5天的销售利润为18000元     （3） 不能，理由如下： 由（2）可得， ∵，， ∴当时，w最大，最大值， ∵， ∴最大利润不能超过18000元．      【分析】 本题考查二次函数、一次函数的应用． （1）根据表中数据可知y是x的一次函数，然后用待定系数法求函数解析式； （2）设总利润为w元，根据总利润每个纪念品的利润销售量列出函数解析式，再根据题意列方程，解方程即可； （3）根据函数的性质求最值即可得出结论． (1) 小问详解： 解：由表格信息可知y是x的一次函数，设y关于x的函数表达式为， 把和代入可得： ， 解得： ， ∴y关于x的函数表达式为； (2) 小问详解： 设总利润为w元， 则， 当时，则， 解得：， ∴第5天的销售利润为18000元， 答：第5天的销售利润为18000元； (3) 小问详解： 略 17．【答案】（1）     （2）当销售单价为46元时，每天获得的利润最大，最大利润是3840元      【分析】 本题主要考查了二次函数的实际应用，求一次函数解析式，正确列出每天利润关于销售单价的二次函数关系式是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）设每天获取的利润为W，根据利润（销售单价进价）销售量列出W关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可． (1) 小问详解： 解：设y与x之间的函数关系式为， 由题意得， ， ∴ ， ∴y与x之间的函数关系式为； (2) 小问详解： 解：设每天获取的利润为W， 由题意得， ， ∵规定每天“奶昔包”的销售量不低于240件， ∴， ∴， ∵， ∴当时，W最大，最大为， ∴当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是元． 18．【答案】（1）S关于x的函数表达式为，S的最大值为1200平方米     （2）最多可以购买1400株牡丹      【分析】 （1）设，则，面积为S平方米，由矩形面积公式得到S与x的函数关系式，配成顶点式求出函数的最大值即可； （2）设种植牡丹的面积为a平方米，则种植芍药的面积为平方米，由题意列出不等式求得种植牡丹面积的最大值，即可解答． (1) 小问详解： 解：设， 则， ∴面积为， ∵，墙足够长， ∴当时，S有最大值是1200， 即最大面积为1200平方米． (2) 小问详解： 解：设种植牡丹的面积为a平方米，则种植芍药的面积为平方米， 由题意，得， 解得：， 即牡丹最多种植700平方米， （株）， 答：最多可以购买1400株牡丹． 【点睛】 本题考查二次函数的应用、一元一次不等式的应用，熟练掌握矩形面积公式列函数解析式，二次函数与面积综合，总面积与每株面积和株数的关系，总价与单价和株数的关系列不等式，是解题的关键． 19．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查二次函数的应用，根据题意正确理解抛物线的图象是解题的关键． （1）根据题意，结合图2可知，设抛物线的表达式为，该抛物线过点、、顶点在原点处，利用待定系数法求出解析式即可； （2）根据题意得，点和点关于轴对称，则点的纵坐标为，代入抛物线的表达式解出点的横坐标，计算的长度即可． (1) 小问详解： 解：根据题意，结合图2，得： 以点为坐标原点、所在直线为轴建立平面直角坐标系，，塔高到轴的距离为， 则该抛物线过点、、顶点在原点处， 设抛物线的表达式为， 则 解得， 因此，抛物线的表达式为， 答：抛物线的表达式为； (2) 小问详解： 解：根据题意得，在离地面273米处修建一条空中玻璃栈道， 则点和点关于轴对称， 点的纵坐标为， 将代入抛物线的表达式得， ， 解得， 则, 答：空中栈道的长为． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次函数的应用 2大高频考点概览 考点01 二次函数与一元二次方程 考点02 实际问题与二次函数 考点01 二次函数与一元二次方程 1．（25-26学年九上·浙江舟山·期中）抛物线与轴的交点坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查抛物线与坐标轴的交点，将代入解析式求出对应的y值即可． 【详解】 解：当时，， 抛物线与轴的交点坐标是， 故选C． 2．（25-26学年九上·浙江杭州观成中学·期中）如图，二次函数与轴交于点、，与轴交于点，其中．则下列结论： ①；②方程没有实数根；③； ④． 其中错误的个数有（       ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【分析】 本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象开口，对称轴直线，最值的计算方法是关键． 根据题意得到图象开口向上，对称轴直线为，，则，当时，代入计算可判定① ；根据二次函数与直线的位置关系可判定② ；根据题意得到，可判定③ ；根据函数最小值的大小可判定④ ；由此即可求解． 【详解】 解：二次函数与轴交于点、，图象开口向上， ∴对称轴直线为，， ∴， 当时，， ∴，即， ∴， ∴，故① 正确； 图象开口向上，对称轴直线为， ∴当时，函数有最小值，最小值轴的下方， ∴抛物线与直线两个不同的交点， ∴方程有两个不相等的实数根，故② 错误； ∵二次函数与轴交于点，其中， ∴当，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，，故③ 正确； 当时，函数有最小值，最小值为，， ∴， ∴，故④ 正确； 综上所述，正确的有① ③ ④ ，错误的有② ， ∴错误的有1个， 故选：A ． 3．（25-26学年九上·浙江杭州星澜中学·期中）抛物线与直线相交于如图所示的，两点，则不等式的解集为（     ） A.  B.  C.  D. 或 【答案】D 【分析】 本题考查了二次函数和不等式、二次函数与一次函数的交点，根据二次函数和一次函数的图象和性质即可求解，解题的关键是利用图象解决问题． 【详解】 解：等价于， 由图象可知，不等式的解集为或， 故选：． 4．（25-26学年九上·浙江金华·期中）二次函数的图象与轴的交点坐标是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，代入求值是关键． 根据二次函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】 解：当时，． ∴二次函数的图象与y轴的交点坐标是． 故选：B． 5．（25-26学年九上·浙江绍兴元培·期中）若抛物线与x轴有两个交点，则m的取值范围是（        ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 直接利用抛物线与x轴交点个数与的关系进而求出答案． 【详解】 解：因为抛物线与x轴有两个交点， 所以一元二次方程有两个不相等的实数根， 所以， 解得：． 故应选B． 【点睛】 本题主要考查了一元二次方程与二次函数的关系： 当抛物线与x轴有2个交点时，一元二次方程有两个不相等的实数根； 当抛物线与x轴有1个交点时，一元二次方程有两个相等的实数根； 当抛物线与x轴没有交点时，一元二次方程没有实数根． 6．（25-26学年九上·浙江湖州第四中学·期中）二次函数的图象的对称轴是（     ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】A 【分析】 本题考查了二次函数的性质和图象，会由交点式得到函数图象与x轴的交点坐标是解题的关键．由交点式得到函数图象与x轴的交点坐标，然后利用对称性得到对称轴． 【详解】 解：∵， ∴函数图象与x轴的交点坐标为，， ∴函数图象的对称轴为直线， 故选：A． 7．（25-26学年九上·浙江湖州第四中学·期中）已知抛物线 ， 它与 轴的交点坐标为　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 把代入抛物线求出y值，即可得到抛物线与y轴的交点坐标． 【详解】 将代入抛物线得： ∴抛物线与y轴的交点坐标为． 故答案为：． 【点睛】 本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是熟练掌握二次函数图象与坐标轴的交点的求解方法． 8．（25-26学年九上·浙江绍兴一中·期中）若二次函数的图象与轴无交点，则的取值范围是　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据一元二次方程根的判别式，即可求得． 【详解】 解：∵二次函数的图象与轴无交点， ∴无实数根， ∴， 解得 故答案为： 【点睛】 本题考查二次函数与一元二次方程的关系、一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 9．（25-26学年九上·浙江山海联盟协作学校·期中）已知二次函数的图象经过点，． （1）求该二次函数的表达式． （2）求出二次函数的图象与轴的另一个交点坐标． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查待定系数法求二次函数解析式及抛物线与x轴的交点坐标，解题的关键是利用函数图象上点的坐标特征列方程求解，以及将抛物线与x轴交点问题转化为解一元二次方程． （1）将已知点代入函数解析式，列方程组求出的值，得到二次函数表达式； （2）令，解一元二次方程，得到抛物线与x轴的另一个交点坐标． (1) 小问详解： 解：将点，分别代入，得： 即 ， 将代入，解得， 二次函数的表达式为； (2) 小问详解： 解：令，则， 整理为，因式分解得， 解得， 已知一个交点为，故另一个交点坐标为． 10．（25-26学年九上·浙江舟山五校联盟·期中）（1）化简： （2）已知二次函数与坐标轴有3个交点，求m的取值范围． 【答案】（1）；（2），且 【分析】 本题考查分式的化简及含参数的二次函数与坐标轴交点取值问题． （1）先对括号内的分式进行加法运算，再将除法转化为乘法，通过因式分解和约分化简即可； （2）先确定函数与坐标轴交点的情况，再根据交点个数要求列出条件求解m的取值范围即可． 【详解】 解：（1）原式 ． （2）∵二次函数的图象与坐标轴有三个交点， ∴抛物线与x轴有两个交点，与y轴有一个交点， ∴，， 即，解得，且． 故答案为：，且． 11．（25-26学年九上·浙江舟山五校联盟·期中）已知抛物线与x轴的一个交点为，则代数式的值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征及求代数式的值，解题的关键是将点代入函数解析式求值． 将交点坐标代入抛物线方程，得到关于的方程，进而求出代数式的值． 【详解】 解：抛物线 与轴的一个交点为， ， 即， ． 故答案为：． 12．（25-26学年九上·浙江湖州第四中学·期中）已知抛物线（a是常数）． （1）求证：无论a为何值，该抛物线与x轴一定有交点； （2）若该抛物线与轴交于点A，B，且，求的值． 【答案】（1） 证明：令，得， 无论为何值，该抛物线与轴一定有交点；     （2）1或5      【分析】 本题考查了二次函数与一元二次方程综合． （1）令，得，证明即可； （2）令，得，根据根与系数的关系可得进而得到根据得到求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：令，得， 该抛物线与轴交于点A，B，且， 整理，得，解得或． 13．（25-26学年九上·浙江杭州星澜中学·期中）已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为　　　　　． 【答案】， 【分析】 本题考查二次函数的图象性质，二次函数与一元二次方程的关系，由图知，抛物线与x轴交于，代入求出m的值，再解方程即可． 【详解】 解：由图知，抛物线与x轴交于点， 将代入，得， ∴， ∴原方程为， 解得：，． 故答案为：，． 【详解】 14．（25-26学年九上·浙江舟山·期中）已知二次函数经过和． （1）求该二次函数的表达式． （2）求该二次函数与轴的交点坐标． 【答案】（1）     （2）二次函数的与轴的交点坐标为，      【分析】 此题考查了待定系数法求二次函数解析式，求二次函数与x轴的交点坐标. （1）根据待定系数法求解析式即可； （2）令，解一元二次方程即可得到点坐标． (1) 小问详解： 由题意得： ，解得： ，              故抛物线的表达式为：； (2) 小问详解： 令，则， 即， 解得或，                       该二次函数与轴的交点坐标为，． 15．（25-26学年九上·浙江金华·期中）设函数，，其中． （1）若函数的图象过点，函数的图象过点，求的值； （2）若，判断函数与轴的交点个数，说明理由； （3）若函数和函数与轴的交点均相同，求，的值． 【答案】（1）21     （2）函数与轴没有交点， 理由：， ， 函数与轴没有交点；     （3），      【分析】 此题考查了二次函数和x轴的交点问题，二次函数的性质，二次函数和一元二次方程，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）将和分别代入和，得到，，然后利用完全平方公式的变形求解即可； （2）根据判别式结合求解即可； （3）首先求出函数与x轴的交点坐标为和，然后根据题意得到 ，进而求解即可． (1) 小问详解： 解：把代入，把代入，得 ， ， ； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 函数与轴的交点坐标为和 函数与轴的交点坐标为和 ，即 ，解得 （舍）或 ，． 16．（25-26学年九上·浙江名校共同体·期中）已知抛物线． （1）写出该抛物线的开口方向和顶点坐标； （2）求抛物线与轴的交点坐标 （3）当时，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）开口向上，顶点坐标为     （2），     （3）或      【分析】 本题考查了将二次函数的解析式化为顶点式，二次函数的定义，二次函数与轴的交点问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）将抛物线的解析式化为顶点式，即可得解； （2）令，则，求解即可； （3）根据二次函数的性质即可得解． (1) 小问详解： 解：∵， 所以抛物线的开口向上，抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为； (2) 小问详解： 解：当时，， 解得，， 所以抛物线与轴的交点坐标为，； (3) 小问详解： 解：∵抛物线的开口向上，抛物线与轴的交点坐标为，， ∴当时，的取值范围为或． 17．（25-26学年九上·浙江发展协作共同体·期中）若二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧）． （1）求，两点的坐标． （2）若是抛物线上一点，且，求的取值范围． 【答案】（1），     （2）      【分析】 本题考查了二次函数与x轴交点的求法、二次函数在指定区间内的取值范围，解题的关键是掌握因式分解法解一元二次方程、二次函数的顶点性质及区间端点值的计算． （1）令二次函数值为0，解一元二次方程得到交点横坐标，根据点的左右位置确定A、B坐标； （2）将二次函数化为顶点式确定对称轴与顶点纵坐标，计算区间端点对应的函数值，通过比较得出n的取值范围． (1) 小问详解： 解：令，则， 因式分解得， 解得，． ∵点A在点B左侧， ∴，． (2) 小问详解： 解：， ∴抛物线顶点坐标为，对称轴为直线， 当时，， 当时，， 当时，， ∴的取值范围是． 18．（25-26学年九上·浙江舟山五校联盟·期中）如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，则P点到直线的距离的最大值是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数综合—面积问题，一次函数的应用，勾股定理，先求出，得到，直线的解析式为，作轴，交于点，连接、，设，则，求出，从而可得，由二次函数的性质可得当时，的值最大，为，再结合，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】 解：在中，当时，，即， 当时，，解得，，即，， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得 ， 解得： ， ∴直线的解析式为， 如图，作轴，交于点，连接、， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的值最大，为， ∵， ∴此时的值也最大，为， 故答案为：． 19．（25-26学年九上·浙江杭州大关中学·期中）已知二次函数的解析式为． （1）求证：该二次函数图象与x轴一定有2个交点； （2）若，点，都在该二次函数的图像上，且，求n的取值范围； （3）当时，函数最大值与最小值的差为8，求m的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴的函数图像与x轴一定有2个交点．     （2）或     （3）      【分析】 本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系、二次函数的性质、二次函数最值等知识点，熟练掌握分类讨论是解答本题的关键． （1）利用一元二次方程判别式判断抛物线与x轴一定有2个交点即可证明结论； （2）先求出抛物线图像与x轴的交点为和，根据条件列出关于n的两个不等式组，最后解出n的范围即可； （3）根据条件得到抛物线的对称轴为直线，分三种情况讨论函数最大值与最小值的差为8，求出m值即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴． 令，则，即，， ∴函数图像与x轴交点为和两点． ∵点，都在该二次函数的图像上，且， ① ，即， ② ，即． 综上所述，或． (3) 小问详解： 解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线． ①若，即， 则当时，，当时，， ∴， ∴（舍去），（不符题意舍去）． ②若， 则当时，，当时，， ∵，不符合题意，舍去． ③若时， 则当时，，当时，， ∴，∴，（舍去）． 综上所述， ． 考点02 实际问题与二次函数 1．（25-26学年九上·浙江发展协作共同体·期中）地面上一个小球被推开后笔直滑行，滑行的距离s与时间t的函数关系如图中的部分抛物线所示（其中P是该抛物线的顶点），则下列说法正确的是（　　） A. 小球滑行12秒停止 B. 小球滑行6秒停止 C. 小球滑行6秒回到起点 D. 小球滑行12秒回到起点 【答案】B 【分析】 根据函数图象结合s与t的关系式得出答案． 【详解】 解：如图所示：滑行的距离要s与时间t的函数关系可得， 当t=6秒时，滑行距离最大，即此时小球停止． 故选：B． 【点睛】 此题主要考查了二次函数的应用，正确数形结合分析是解题关键． 2．（25-26学年九上·浙江温州教育联盟·期中）如图1，，点D在线段上，交射线于点E，连接，设，的面积为y．若y关于x的函数图像如图2所示，则图1中的长是（       ） A. 7 B.  C. 14 D. 15 【答案】C 【分析】 本题考查了从函数图像获取信息，解题的关键是数形结合，由函数图像可知，当D是中点，即时，，再根据三角形的面积可求出m，即可得解． 【详解】 解：由函数图像可知，当D是中点，即时，，则，， ， ， ， ， ， ， ， 解得， ， 故选：． 3．（25-26学年九上·浙江台州·期中）如果某型号飞机降落后滑行的距离（单位：米）关于滑行的时间（单位：秒）的函数解析式是，则该飞机着陆后滑行最长时间为（     ）秒． A. 18 B. 9 C. 6 D.  【答案】A 【分析】 本题考查了二次函数在实际问题中的应用，将化为顶点式，根据二次函数的性质可得答案． 【详解】 解：， ∵，抛物线开口向下， ∴当时，s有最大值，此时． ∵飞机滑行到最大距离时停下来，此时时间也为最大值， ∴， 故选：A． 4．（25-26学年九上·浙江舟山·期中）如图，已知线段和线段，．点先沿着线段从点匀速运动到点，再沿着射线方向以同样的速度运动；点出发的同时点从点出发，以相同的速度沿着射线的方向运动；当时，对于，两点间的距离的变化情况，下列说法正确的是（       ） A. 先变大，最后不变 B. 先变小，最后不变 C. 先变小后变大，最后不变 D. 先变大后变小，最后不变 【答案】A 【分析】 本题考查二次函数的应用、勾股定理，利用二次函数的性质求解是解答的关键． 设，，运动时间为t，速度为1，分点D在线段上和点D在射线上两种情况，结合勾股定理和二次函数的性质求解即可． 【详解】 解：设，，运动时间为t，速度为1， ①当点D在线段上时，， 此时， 则， ∵，对称轴， ∴当时，随t增大而增大， 即当时，随t的增大而增大； ②当点D在射线上时，， 此时， ∴， 即的值不变， 综上，选项A说法正确，符合题意， 故选：A． 5．（25-26学年九上·浙江绍兴元培·期中）某商店销售一批玩具，平均每天可售出件，每件盈利元．为了扩大销售，增加盈利，商店决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件玩具每降价2元，商店平均每天可多售出3件．设每件玩具降价x元，每天的盈利为y元． （1）求y关于x的函数表达式． （2）该商店为了尽快减少库存，且每天要盈利元，则每件玩具应降价多少元． 【答案】（1）     （2）降价元      【分析】 本题考查了二次函数与一元二次方程的实际应用，正确理解题意即可； （1）由题意得：，即可求解； （2）解方程即可； (1) 小问详解： 解：由题意得：； (2) 小问详解： 解：当时，， 解得：； ∵该商店为了尽快减少库存， ∴． 答：每件玩具应降价元． 6．（25-26学年九上·浙江杭州观成中学·期中）某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格出售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱． （1）求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）（）之间的函数关系式． （2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式． （3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1）     （2）     （3）当每箱苹果的销售价为55元时，可以获得最大利润1125元      【分析】 本题考查了一次函数应用和二次函数的应用． （1）根据平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱，即可列出关系式； （2）根据销售利润平均每天销售量每箱利润，列出平均每天的销售利润w与销售价x之间的函数关系式； （3）根据二次函数的性质求最大利润． (1) 小问详解： 解：由题意得：， 化简得：； (2) 小问详解： 解：由题意得： ， 即该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式为； (3) 小问详解： 解：， ∵， ∴抛物线开口向下， 对称轴为直线， ∵，w随x的增大而增大， ∴当时，w的最大值为1125元， ∴当每箱苹果的销售价为55元时，可以获得1125元的最大利润． 7．（25-26学年九上·浙江杭州大关中学·期中）佩奇和朋友们一起踢足球，球射向球门的路线呈抛物线形．佩奇从球门正前方的A处射门，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点B，此时球离地面，球门高为 （1）求该抛物线对应的函数表达式． （2）通过计算判断佩奇此次射门能否射入球门内． （3）点D为上一点，且，若射门路线的形状和大小、最大高度均保持不变，当时佩奇带球向正后方移动再射门，足球恰好经过区域（含点O和），直接写出n的取值范围． 【答案】（1）     （2）球不能进球门     （3）      【分析】 本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题解决． （1）用待定系数法即可求解； （2）当时，，即可求解； （3）移动后的抛物线为，把点代入上式求出n，同理把代入函数表达式求出n，进而求解． (1) 小问详解： 解：由题意得，抛物线的顶点为， 设抛物线为， 把代入得， ， 抛物线表达式为； (2) 小问详解： 解：由题意，当时，， 球不能进球门； (3) 小问详解： 解：设小明带球向正后方移动n米，则移动后的抛物线为， 把点代入得：， 舍去或， 把点代入得：， 舍去或， ． 8．（25-26学年九上·浙江山海联盟协作学校·期中）某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个22元，市场调查发现，该种健身球每天的销售量（个）与销售单价（元）有如下关系：，设这种健身球每天的销售利润为元． （1）如果销售单价定为30元，那么该种健身球每天的销售量是___________个． （2）求与之间的函数表达式． （3）当该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）40     （2）     （3）该种健身球销售单价定为36元时，每天的销售利润最大，最大利润是392元      【分析】 本题考查一次函数的实际应用与二次函数的最值问题，解题的关键是根据利润公式列出函数关系式，并利用二次函数的性质求最值． （1）将销售单价代入销量关系式，计算对应的销售量； （2）根据“利润=（单价-成本）×销量”列出利润与单价的函数表达式； （3）将二次函数配方为顶点式，结合自变量取值范围求最大利润． (1) 小问详解： 解：在销量关系式中，令，则，故答案为：40； (2) 小问详解： 解：由题意得： ； (3) 小问详解： 解：将配方为顶点式： ，且36在范围内， 当时，取得最大值，最大值为392元． 9．（25-26学年九上·浙江湖州第四中学·期中）如图①，是一座抛物线型拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在C处，对称轴与水平线垂直，，点A在抛物线上，且点A到对称轴的距离，点B在抛物线上，点B到对称轴的距离是1． （1）求抛物线的表达式； （2）如图②，为更加稳固，小星想在上找一点P，加装拉杆，同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小星找到点P的位置并求出坐标． 【答案】（1）抛物线的解析式为     （2） 位置如下图所示： 点P的坐标为      【分析】 本题考查二次函数的实际应用，涉及求二次函数解析式，求一次函数解析式，根据对称性求线段的最值等知识，解题的关键是： （1）设抛物线的解析式为，将代入即可求解； （2）点B关于y轴的对称点，则，求出直线与y轴的交点坐标即可． (1) 小问详解： 解：抛物线的对称轴与y轴重合， 设抛物线的解析式为， ， ， 将代入，得： ， 解得 ， ∴抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：抛物线的解析式为，点B到对称轴的距离是1， 当时，， ， 作点B关于y轴的对称点，则，， ， 当共线时，拉杆长度之和最短， 设直线的解析式为， 将，代入，得 ， 解得 ， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点P的坐标为，位置如下图所示： 10．（25-26学年九上·浙江舟山·期中）近期，动漫形象“奶龙”在网络上爆火．某网店销售一款“奶龙”公仔，每个的进价为20元，在销售过程中调查发现，当销售单价为30元时，每周平均可卖出120个．如果调整销售单价，每涨价1元，每周平均少卖出4个．若现提价销售，设销售单价提高元，每周的销售利润为元． （1）求关于的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围． （2）当销售单价定为多少时，该网店每周的利润最大？并求出最大利润． 【答案】（1）     （2）当销售单价定为40元时，每周利润最大为1600元      【分析】 （1）设销售单价提高x元，则每组销售量为个，单个公仔利润为元，根据题意列出式子即可； （2）函数开口向下，存在最大值，根据顶点表示的含义进行计算即可求解． 该题主要考查二次函数的应用，正确进行计算是解题关键． (1) 小问详解： 解：设销售单价提高x元，则每组销售量为个，单个公仔利润为元． ∴每组销售利润． ∵售量不能为负， ∴． 答：； (2) 小问详解： 函数，开口方向向下，对称轴为 故时，利润最大，最大利润， 此时销售单价为元． 当销售单价定为40元时，每周利润最大为1600元． 11．（25-26学年九上·浙江浙派联盟·期中）某品牌水果冻的高为，底面为直径是的圆，两个水果冻倒装在一个长方体盒子内，如图为横断示意图，水果冻的截面可以近似地看成两条抛物线，交点为．以左侧抛物线的顶点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求以为顶点的抛物线的函数表达式． （2）若点的横坐标为，求的长． 【答案】（1）     （2）      【分析】 此题考查了二次函数解析式，矩形面积，解题的关键是画出平面图． （1）设抛物线的函数表达式是，求出，代入求出函数表达式是． （2）由（1）可得，可设以为顶点的抛物线，把代入可得，再由对称性即可求解． (1) 小问详解： 解：设抛物线的函数表达式是， ∵高为， 底面圆的直径为， ∴， 把代入， 解得， ∴函数表达式是， (2) 小问详解： 当时，， 点， 设以为顶点的抛物线， ，解得（不符题意，舍去）． ． 12．（25-26学年九上·浙江绍兴一中·期中）2024年我国运动员在巴黎奥运会上夺得网球项目女子单打金牌，实现了中国在该项目上的突破．已知网球比赛场地长为24米（其中A，B为边界点），球场中心的球网高度为1米，建立如图①所示的平面直角坐标系．运动员从点处击球，网球飞行路线呈抛物线形状，网球飞行过程中在点处达到最高． （1）求抛物线的解析式； （2）判断此次击球是否越过球网并落在对方区域内（含边界），并说明理由； 【答案】（1）     （2） 解：此次击球越过球网并落在对方区域内（含边界）；理由如下： ∵， 当时，， 网球越过球网， 当时，， 网球落在对方区域； 此次击球越过球网并落在对方区域内．      【分析】 本题考查二次函数的实际应用，读懂题意，正确地求出函数解析式，是解题的关键： （1）设出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出时，y的值，时，y的值，即可求解． (1) 小问详解： 解：网球飞行过程中在点处达到最高， 设抛物线的解析式为：， 把代入，得：， 解得：， 抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 略 13．（25-26学年九上·浙江温州教育联盟·期中）某玩具批发商销售每只进价为20元的玩具，市场调查发现，若以每只30元的价格销售，则平均每天销售60只；若销售价每提高1元/只，则平均每天就少销售2只．设销售价为x元/只，平均每天的销售量为y只． （1）求y与x之间的函数关系式． （2）求该批发商平均每天的销售毛利润W（元）与销售价x（元/只）之间的函数关系式． （3）物价部门规定每只售价不得高于35元，当每只玩具的销售价为多少元时，可以获得最大毛利润？最大毛利润是多少元？（注：每只毛利润=每只销售价−每只进价） 【答案】（1）     （2）     （3）当每只玩具的销售价为35元时，可以获得最大毛利润，最大毛利润是750元      【分析】 本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用． （1）平均每天销售量原来的销售量相对于30元的单价提高的价格； （2）销售利润单价的利润平均每天的销售量，代入即可得出与的函数关系式； （3）根据题中所给的自变量的取值，结合（2）得到的关系式，即可求得二次函数的最值． (1) 小问详解： 解：由题意得：； (2) 小问详解： 解：由题意得：； (3) 小问详解： 解：， ， 抛物线开口向下，当时，随的增大而增大， 规定每件售价不得高于35元， 当时，取得最大值为750元，即当每只玩具的销售价为35元时，可以获得最大毛利润，最大毛利润是750元． 14．（25-26学年九上·浙江舟山名校协作体·期中）某旅游村一家特色菜馆，希望在五一节期间获得好的收益．经测算知，某“特殊菜”的成本价为每份30元，若每份卖50元，平均每天将销售120份；若价格每提高1元，则平均每天少销售2份．五一节期间，为了更好地维护景区形象，物价局规定每份“特色菜”售价不能高于75元．设每份“特色菜”的售价上涨元（为正整数），每天的销售利润为元． （1）当每份“特色菜”的售价上涨多少元时，菜馆才能实现每天销售利润3000元？ （2）五一节期间，求每份“特色菜”的售价定为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少元？ 【答案】（1）当每份售价上涨10元时，可实现每天利润3000元     （2）每份售价定为70元时，每天利润最大，最大利润为3200元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，理解题意是解题关键． （1）设每份“特色菜”的售价上涨x元（x为正整数），根据题意列一元二次方程求解即可； （2）根据物价局规定可得，再列出关于的二次函数，求出最值即可． (1) 小问详解： 解：根据题意，每份售价为元，销售量为份． 利润 令，得． 整理得：，解得， 售价不能高于75元，即，， ∴舍去． 答：当每份售价上涨10元时，可实现每天利润3000元． (2) 小问详解： 解： ， ，抛物线开口向下，函数有最大值， ∵，且x为正整数，对称轴为直线在取值范围内， ∴当时，（元）．此时售价为（元） 答：每份售价定为70元时，每天利润最大，最大利润为3200元． 15．（25-26学年九上·浙江名校共同体·期中）掷实心球是中考体育考试项目之一．图1是一名男生在掷实心球，球的行进路线可近似看作抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示．掷出时，起点处高度为．当水平距离为4m时，实心球行进至最高点处． （1）求关于的函数表达式． （2）若实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于时，则该男生可得满分，请问此次投掷是否能得满分，说明理由． 【答案】（1）     （2） 该男生在此项考试中不能得满分，理由如下： 当时，， 解得或（舍） ， 该男生在此项考试中不能得满分．      【分析】 此题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求抛物线的解析式，计算抛物线与坐标轴的交点，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意得到抛物线的顶点坐标为，过点，设抛物线的解析式为，利用待定系数法求解； （2）求出抛物线与x轴正半轴交点即可判断． (1) 小问详解： 解：由题意得，抛物线的顶点坐标为，过点， 设抛物线的解析式为， 解得， 拋物线的解析式为； (2) 小问详解： 略 16．（25-26学年九上·浙江舟山五校联盟·期中）中国元素几乎遍布卡塔尔世界杯的每一个角落，某特许商品专卖店销售中国制造的纪念品，深受大家喜爱．自世界杯开赛以来，其销量不断增加，该商品销售第x天（，且x为整数）与该天销售量y（件）之间满足函数关系如表所示： 第x天 1 2 3 4 5 6 7 … 销售量y（件） 220 240 260 280 300 320 340 … 为回馈顾客，该商家将此纪念品的价格不断下调，其销售单价z（元）与第x天（且x为整数）成一次函数关系且满足．已知该纪念品成本价为20元/件． （1）求y关于x的函数表达式； （2）求这20天中第几天销售利润为18000元； （3）这20天中，最大利润能否超过18000元？如果能求出最大利润，如果不能说明理由． 【答案】（1）     （2）第5天的销售利润为18000元     （3） 不能，理由如下： 由（2）可得， ∵，， ∴当时，w最大，最大值， ∵， ∴最大利润不能超过18000元．      【分析】 本题考查二次函数、一次函数的应用． （1）根据表中数据可知y是x的一次函数，然后用待定系数法求函数解析式； （2）设总利润为w元，根据总利润每个纪念品的利润销售量列出函数解析式，再根据题意列方程，解方程即可； （3）根据函数的性质求最值即可得出结论． (1) 小问详解： 解：由表格信息可知y是x的一次函数，设y关于x的函数表达式为， 把和代入可得： ， 解得： ， ∴y关于x的函数表达式为； (2) 小问详解： 设总利润为w元， 则， 当时，则， 解得：， ∴第5天的销售利润为18000元， 答：第5天的销售利润为18000元； (3) 小问详解： 略 17．（25-26学年九上·浙江宁波鄞州区·期中）某蛋糕店出售网红“奶昔包”，成本为30元/件，每天的销售量（件）与销售单价（元）之间存在一次函数关系，当以40元每件出售时，每天可以卖出300件，当以55元每件出售时，每天可以卖出150件． （1）求与之间的函数关系式； （2）如果规定每天“奶昔包”的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1）     （2）当销售单价为46元时，每天获得的利润最大，最大利润是3840元      【分析】 本题主要考查了二次函数的实际应用，求一次函数解析式，正确列出每天利润关于销售单价的二次函数关系式是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）设每天获取的利润为W，根据利润（销售单价进价）销售量列出W关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可． (1) 小问详解： 解：设y与x之间的函数关系式为， 由题意得， ， ∴ ， ∴y与x之间的函数关系式为； (2) 小问详解： 解：设每天获取的利润为W， 由题意得， ， ∵规定每天“奶昔包”的销售量不低于240件， ∴， ∴， ∵， ∴当时，W最大，最大为， ∴当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是元． 18．（25-26学年九上·浙江杭州星澜中学·期中）某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的矩形花园，用一道篱笆把花园分为甲、乙两块（如图所示），花园里种满牡丹和芍药．学校已订购篱笆120米（恰好用完）． （1）设，整个花园的面积为S，求S关于x的函数表达式，并求出S的最大值； （2）在花园面积最大的条件下，甲，乙两块内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，已知牡丹每株售价25元，芍药每株售价15元，学校计划购买费用不超过5万元，求最多可以购买多少株牡丹？ 【答案】（1）S关于x的函数表达式为，S的最大值为1200平方米     （2）最多可以购买1400株牡丹      【分析】 （1）设，则，面积为S平方米，由矩形面积公式得到S与x的函数关系式，配成顶点式求出函数的最大值即可； （2）设种植牡丹的面积为a平方米，则种植芍药的面积为平方米，由题意列出不等式求得种植牡丹面积的最大值，即可解答． (1) 小问详解： 解：设， 则， ∴面积为， ∵，墙足够长， ∴当时，S有最大值是1200， 即最大面积为1200平方米． (2) 小问详解： 解：设种植牡丹的面积为a平方米，则种植芍药的面积为平方米， 由题意，得， 解得：， 即牡丹最多种植700平方米， （株）， 答：最多可以购买1400株牡丹． 【点睛】 本题考查二次函数的应用、一元一次不等式的应用，熟练掌握矩形面积公式列函数解析式，二次函数与面积综合，总面积与每株面积和株数的关系，总价与单价和株数的关系列不等式，是解题的关键． 19．（25-26学年九上·浙江杭州高桥·期中）“杭州之门”（如图1）刷新杭州新高度，同时也为杭州亮起一张新名片．它的轮廓可以看作一条优美的抛物线，为了结构的稳固性，在距离地面处，有一条跨度的钢拱连桥连接东西双塔．如图2，，，塔高，以点为坐标原点、所在直线为轴建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的表达式； （2）为让更多游客一览杭州风采，小明同学向杭州市旅游局建议在离地面273米处修建一条空中玻璃栈道供游客观光，求空中栈道的长. 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查二次函数的应用，根据题意正确理解抛物线的图象是解题的关键． （1）根据题意，结合图2可知，设抛物线的表达式为，该抛物线过点、、顶点在原点处，利用待定系数法求出解析式即可； （2）根据题意得，点和点关于轴对称，则点的纵坐标为，代入抛物线的表达式解出点的横坐标，计算的长度即可． (1) 小问详解： 解：根据题意，结合图2，得： 以点为坐标原点、所在直线为轴建立平面直角坐标系，，塔高到轴的距离为， 则该抛物线过点、、顶点在原点处， 设抛物线的表达式为， 则 解得， 因此，抛物线的表达式为， 答：抛物线的表达式为； (2) 小问详解： 解：根据题意得，在离地面273米处修建一条空中玻璃栈道， 则点和点关于轴对称， 点的纵坐标为， 将代入抛物线的表达式得， ， 解得， 则, 答：空中栈道的长为． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次函数的应用 2大高频考点概览 考点01 二次函数与一元二次方程 考点02 实际问题与二次函数 考点01 二次函数与一元二次方程 1．（25-26学年九上·浙江舟山·期中）抛物线与轴的交点坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·浙江杭州观成中学·期中）如图，二次函数与轴交于点、，与轴交于点，其中．则下列结论： ①；②方程没有实数根；③； ④． 其中错误的个数有（       ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3．（25-26学年九上·浙江杭州星澜中学·期中）抛物线与直线相交于如图所示的，两点，则不等式的解集为（     ） A.  B.  C.  D. 或 4．（25-26学年九上·浙江金华·期中）二次函数的图象与轴的交点坐标是（　　） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·浙江绍兴元培·期中）若抛物线与x轴有两个交点，则m的取值范围是（        ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·浙江湖州第四中学·期中）二次函数的图象的对称轴是（     ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 7．（25-26学年九上·浙江湖州第四中学·期中）已知抛物线 ， 它与 轴的交点坐标为　　　　　　　　　　　　． 8．（25-26学年九上·浙江绍兴一中·期中）若二次函数的图象与轴无交点，则的取值范围是　　　　　　． 9．（25-26学年九上·浙江山海联盟协作学校·期中）已知二次函数的图象经过点，． （1）求该二次函数的表达式． （2）求出二次函数的图象与轴的另一个交点坐标． 10．（25-26学年九上·浙江舟山五校联盟·期中）（1）化简： （2）已知二次函数与坐标轴有3个交点，求m的取值范围． 11．（25-26学年九上·浙江舟山五校联盟·期中）已知抛物线与x轴的一个交点为，则代数式的值为　　　　　　． 12．（25-26学年九上·浙江湖州第四中学·期中）已知抛物线（a是常数）． （1）求证：无论a为何值，该抛物线与x轴一定有交点； （2）若该抛物线与轴交于点A，B，且，求的值． 13．（25-26学年九上·浙江杭州星澜中学·期中）已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为　　　　　． 14．（25-26学年九上·浙江舟山·期中）已知二次函数经过和． （1）求该二次函数的表达式． （2）求该二次函数与轴的交点坐标． 15．（25-26学年九上·浙江金华·期中）设函数，，其中． （1）若函数的图象过点，函数的图象过点，求的值； （2）若，判断函数与轴的交点个数，说明理由； （3）若函数和函数与轴的交点均相同，求，的值． 16．（25-26学年九上·浙江名校共同体·期中）已知抛物线． （1）写出该抛物线的开口方向和顶点坐标； （2）求抛物线与轴的交点坐标 （3）当时，请直接写出的取值范围． 17．（25-26学年九上·浙江发展协作共同体·期中）若二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧）． （1）求，两点的坐标． （2）若是抛物线上一点，且，求的取值范围． 18．（25-26学年九上·浙江舟山五校联盟·期中）如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，则P点到直线的距离的最大值是　　　　　　． 19．（25-26学年九上·浙江杭州大关中学·期中）已知二次函数的解析式为． （1）求证：该二次函数图象与x轴一定有2个交点； （2）若，点，都在该二次函数的图像上，且，求n的取值范围； （3）当时，函数最大值与最小值的差为8，求m的值． 考点02 实际问题与二次函数 1．（25-26学年九上·浙江发展协作共同体·期中）地面上一个小球被推开后笔直滑行，滑行的距离s与时间t的函数关系如图中的部分抛物线所示（其中P是该抛物线的顶点），则下列说法正确的是（　　） A. 小球滑行12秒停止 B. 小球滑行6秒停止 C. 小球滑行6秒回到起点 D. 小球滑行12秒回到起点 2．（25-26学年九上·浙江温州教育联盟·期中）如图1，，点D在线段上，交射线于点E，连接，设，的面积为y．若y关于x的函数图像如图2所示，则图1中的长是（       ） A. 7 B.  C. 14 D. 15 3．（25-26学年九上·浙江台州·期中）如果某型号飞机降落后滑行的距离（单位：米）关于滑行的时间（单位：秒）的函数解析式是，则该飞机着陆后滑行最长时间为（     ）秒． A. 18 B. 9 C. 6 D.  4．（25-26学年九上·浙江舟山·期中）如图，已知线段和线段，．点先沿着线段从点匀速运动到点，再沿着射线方向以同样的速度运动；点出发的同时点从点出发，以相同的速度沿着射线的方向运动；当时，对于，两点间的距离的变化情况，下列说法正确的是（       ） A. 先变大，最后不变 B. 先变小，最后不变 C. 先变小后变大，最后不变 D. 先变大后变小，最后不变 5．（25-26学年九上·浙江绍兴元培·期中）某商店销售一批玩具，平均每天可售出件，每件盈利元．为了扩大销售，增加盈利，商店决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件玩具每降价2元，商店平均每天可多售出3件．设每件玩具降价x元，每天的盈利为y元． （1）求y关于x的函数表达式． （2）该商店为了尽快减少库存，且每天要盈利元，则每件玩具应降价多少元． 6．（25-26学年九上·浙江杭州观成中学·期中）某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格出售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱． （1）求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）（）之间的函数关系式． （2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式． （3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？ 7．（25-26学年九上·浙江杭州大关中学·期中）佩奇和朋友们一起踢足球，球射向球门的路线呈抛物线形．佩奇从球门正前方的A处射门，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点B，此时球离地面，球门高为 （1）求该抛物线对应的函数表达式． （2）通过计算判断佩奇此次射门能否射入球门内． （3）点D为上一点，且，若射门路线的形状和大小、最大高度均保持不变，当时佩奇带球向正后方移动再射门，足球恰好经过区域（含点O和），直接写出n的取值范围． 8．（25-26学年九上·浙江山海联盟协作学校·期中）某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个22元，市场调查发现，该种健身球每天的销售量（个）与销售单价（元）有如下关系：，设这种健身球每天的销售利润为元． （1）如果销售单价定为30元，那么该种健身球每天的销售量是___________个． （2）求与之间的函数表达式． （3）当该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 9．（25-26学年九上·浙江湖州第四中学·期中）如图①，是一座抛物线型拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在C处，对称轴与水平线垂直，，点A在抛物线上，且点A到对称轴的距离，点B在抛物线上，点B到对称轴的距离是1． （1）求抛物线的表达式； （2）如图②，为更加稳固，小星想在上找一点P，加装拉杆，同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小星找到点P的位置并求出坐标． 10．（25-26学年九上·浙江舟山·期中）近期，动漫形象“奶龙”在网络上爆火．某网店销售一款“奶龙”公仔，每个的进价为20元，在销售过程中调查发现，当销售单价为30元时，每周平均可卖出120个．如果调整销售单价，每涨价1元，每周平均少卖出4个．若现提价销售，设销售单价提高元，每周的销售利润为元． （1）求关于的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围． （2）当销售单价定为多少时，该网店每周的利润最大？并求出最大利润． 11．（25-26学年九上·浙江浙派联盟·期中）某品牌水果冻的高为，底面为直径是的圆，两个水果冻倒装在一个长方体盒子内，如图为横断示意图，水果冻的截面可以近似地看成两条抛物线，交点为．以左侧抛物线的顶点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求以为顶点的抛物线的函数表达式． （2）若点的横坐标为，求的长． 12．（25-26学年九上·浙江绍兴一中·期中）2024年我国运动员在巴黎奥运会上夺得网球项目女子单打金牌，实现了中国在该项目上的突破．已知网球比赛场地长为24米（其中A，B为边界点），球场中心的球网高度为1米，建立如图①所示的平面直角坐标系．运动员从点处击球，网球飞行路线呈抛物线形状，网球飞行过程中在点处达到最高． （1）求抛物线的解析式； （2）判断此次击球是否越过球网并落在对方区域内（含边界），并说明理由； 13．（25-26学年九上·浙江温州教育联盟·期中）某玩具批发商销售每只进价为20元的玩具，市场调查发现，若以每只30元的价格销售，则平均每天销售60只；若销售价每提高1元/只，则平均每天就少销售2只．设销售价为x元/只，平均每天的销售量为y只． （1）求y与x之间的函数关系式． （2）求该批发商平均每天的销售毛利润W（元）与销售价x（元/只）之间的函数关系式． （3）物价部门规定每只售价不得高于35元，当每只玩具的销售价为多少元时，可以获得最大毛利润？最大毛利润是多少元？（注：每只毛利润=每只销售价−每只进价） 14．（25-26学年九上·浙江舟山名校协作体·期中）某旅游村一家特色菜馆，希望在五一节期间获得好的收益．经测算知，某“特殊菜”的成本价为每份30元，若每份卖50元，平均每天将销售120份；若价格每提高1元，则平均每天少销售2份．五一节期间，为了更好地维护景区形象，物价局规定每份“特色菜”售价不能高于75元．设每份“特色菜”的售价上涨元（为正整数），每天的销售利润为元． （1）当每份“特色菜”的售价上涨多少元时，菜馆才能实现每天销售利润3000元？ （2）五一节期间，求每份“特色菜”的售价定为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少元？ 15．（25-26学年九上·浙江名校共同体·期中）掷实心球是中考体育考试项目之一．图1是一名男生在掷实心球，球的行进路线可近似看作抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示．掷出时，起点处高度为．当水平距离为4m时，实心球行进至最高点处． （1）求关于的函数表达式． （2）若实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于时，则该男生可得满分，请问此次投掷是否能得满分，说明理由． 16．（25-26学年九上·浙江舟山五校联盟·期中）中国元素几乎遍布卡塔尔世界杯的每一个角落，某特许商品专卖店销售中国制造的纪念品，深受大家喜爱．自世界杯开赛以来，其销量不断增加，该商品销售第x天（，且x为整数）与该天销售量y（件）之间满足函数关系如表所示： 第x天 1 2 3 4 5 6 7 … 销售量y（件） 220 240 260 280 300 320 340 … 为回馈顾客，该商家将此纪念品的价格不断下调，其销售单价z（元）与第x天（且x为整数）成一次函数关系且满足．已知该纪念品成本价为20元/件． （1）求y关于x的函数表达式； （2）求这20天中第几天销售利润为18000元； （3）这20天中，最大利润能否超过18000元？如果能求出最大利润，如果不能说明理由． 17．（25-26学年九上·浙江宁波鄞州区·期中）某蛋糕店出售网红“奶昔包”，成本为30元/件，每天的销售量（件）与销售单价（元）之间存在一次函数关系，当以40元每件出售时，每天可以卖出300件，当以55元每件出售时，每天可以卖出150件． （1）求与之间的函数关系式； （2）如果规定每天“奶昔包”的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少？ 18．（25-26学年九上·浙江杭州星澜中学·期中）某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的矩形花园，用一道篱笆把花园分为甲、乙两块（如图所示），花园里种满牡丹和芍药．学校已订购篱笆120米（恰好用完）． （1）设，整个花园的面积为S，求S关于x的函数表达式，并求出S的最大值； （2）在花园面积最大的条件下，甲，乙两块内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，已知牡丹每株售价25元，芍药每株售价15元，学校计划购买费用不超过5万元，求最多可以购买多少株牡丹？ 19．（25-26学年九上·浙江杭州高桥·期中）“杭州之门”（如图1）刷新杭州新高度，同时也为杭州亮起一张新名片．它的轮廓可以看作一条优美的抛物线，为了结构的稳固性，在距离地面处，有一条跨度的钢拱连桥连接东西双塔．如图2，，，塔高，以点为坐标原点、所在直线为轴建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的表达式； （2）为让更多游客一览杭州风采，小明同学向杭州市旅游局建议在离地面273米处修建一条空中玻璃栈道供游客观光，求空中栈道的长. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $