专题01 二次函数的概念和性质（期中真题汇编，浙江专用）九年级数学上学期

**基本信息** 浙江多校九年级期中真题汇编，聚焦二次函数四大核心考点，通过概念辨析、实际应用（如销售利润、跳伞运动）及动态变换题，实现基础巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|约20题|二次函数概念、图象性质|结合销售利润（考点01第2题）、几何图形面积（考点01第6题）等实际情境| |填空|约15题|顶点坐标、平移变换|设计“倍点”新定义题型（考点02第4题），考查抽象思维| |解答|约20题|综合性质、动态应用|融合函数与几何（如考点04第16题高脚杯倾斜问题），体现数学建模|

专题01 二次函数的概念和性质 考点01 二次函数的概念 考点02 二次函数y=ax²的图象和性质 考点03 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 考点04 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 考点01 二次函数的概念 1．B 2．A 3．A 4．C 5．D 6．C 7．C 考点02 二次函数y=ax²的图象和性质 1．C 2．B 3．B 4．【答案】（1）①；② 点的坐标或     （2）2或   − 14      【分析】 本题考查解一元一次方程，二次函数性质，解一元二次方程，根的判别式等． （1）①设，点，根据题意列式计算即可求出本题答案；②设点，列式，整理得，解出即可； （2）设点，再列式，利用根的判别式即可求出本题答案． (1) 小问详解： 解：①∵直线上的点是点的“2倍点”， ∴设，点， ，解得：， ②∵点在抛物线上， ∴设点，，即，解得，． 点的坐标或； (2) 小问详解： 解：∵，若在抛物线上存在唯一的点是点的“倍点”， ∴设点， 有唯一解， 即， ，解得，． 即的值为2或． 考点03 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 1．A 2．A 3．D 4．D 5．C 6．A 7．D 8．B 9．B 10．C 11．D 12．A 【点睛】 本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握平移规律是解答本题的关键． 按“上加下减常数项，左加右减自变量”的规律平移即可得出所求函数的解析式． 13．A 14．B 15．C 16．B 17．B 18．D 19．D 20．【答案】 【分析】 本题考查二次函数的顶点式，解题的关键是掌握二次函数顶点式的顶点坐标规律． 二次函数的顶点式为，其顶点坐标为，据此分析给定的函数式即可得出顶点坐标． 【详解】 解： 二次函数是顶点式形式，其中顶点坐标为． 故答案为：． 21．【答案】y=2x2+1 【分析】直接利用二次函数图象平移规律得出平移后解析式． 【详解】解： 将抛物线y=2x2向上平移1个单位得到的抛物线是 ： y=2x2+1 . 故答案为： y=2x2+1 . 【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键． 22．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的性质，二次函数的顶点式，理解抛物线的顶点式是解题的关键．根据抛物线的顶点形式直接回答即可． 【详解】 解：抛物线的顶点坐标为， 抛物线的顶点坐标为， 故答案为：． 23．【答案】 【分析】 此题考查了抛物线平移的规律：左加右减，上加下减，熟记平移的规律是解题的关键，根据规律直接得到答案． 【详解】 抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位， 则平移后抛物线的解析式为, 故答案为． 24．【答案】 【分析】 根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】 解：将抛物线y＝x2向下平移2个单位后所得新抛物线的表达式为y＝x2-2． 故答案是：y＝x2-2． 【点睛】 本题主要考查了二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答本题的关键． 25．【答案】 【分析】 本题主要考查了二次函数的平移，掌握二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”是解题的关键． 根据二次函数图象的平移规律解答即可． 【详解】 解：抛物线先向左平移1个单位，由“左加右减”原则，x变为，得到；再向下平移2个单位，由“上加下减”原则，减去2，得到． 故答案为． 26．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数图象的平移，根据二次函数图象平移的规则“左加右减，上加下减”进行计算即可得解，熟练掌握二次函数图象的平移法则是解此题的关键． 【详解】 解：二次函数的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位后，所得图象的函数表达式是， 故答案为：． 27．【答案】 【分析】 本题主要考查了比较二次函数值的大小，将点A和点B的横坐标代入抛物线解析式，分别求出和的值，再比较大小即可． 【详解】 解：将代入得： ， 将点代入得： ； 则， 所以． 故答案为：． 28．【答案】（1）对称轴为直线，顶点坐标为     （2）      【分析】 本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是会由二次函数的顶点式得知二次函数的性质． （1）根据顶点式即可求解； （2）利用开口方向和对称轴及自变量的取值即可求得y的取值范围． (1) 小问详解： 解：∵， ∴对称轴为直线，顶点坐标为 (2) 小问详解： 解：∵，， ∴抛物线开口向上， ∴当时，函数最小值为， ∵ ∴y的取值上界由处的函数值决定， 将代入，得， ∴当时，y的取值范围， 故答案为：． 29．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的性质． 由二次函数解析式可知抛物线开口向下，顶点在区间内，最大值在顶点处取得，最小值在端点处取得，计算端点值后比较得到范围． 【详解】 二次函数的顶点坐标为 ，且，故抛物线开口向下． 当时，顶点在区间内，因此最大值． 当时，； 当时，； 比较得最小值， 故的取值范围是 ． 故答案为：． 30．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查了二次函数的图象和性质． （1）根据交点式求解即可； （2）根据二次函数的平移规律作答即可； （3）根据抛物线的图象与轴最多有一个公共点得到，将化为顶点式，根据顶点式的性质分时，时，两种情况作答即可． (1) 小问详解： 解：由题意得：； (2) 小问详解： 解：∵抛物线是抛物线向下平移一个单位后得到的函数解析式， ∴在之间， 即， 故答案为：； (3) 小问详解： 解：， ∵抛物线的图象与轴最多有一个公共点， ∴， ∴． ， ①时，当时，，所以． ②时，当时，，无解． 综上所述，． 31．【答案】 【分析】 本题考查二次函数图象及性质，解一元一次不等式等．根据题意利用二次函数对称性可知，即，再由题意可得 ，解出即可得到本题答案． 【详解】 解：∵二次函数的图象上存在点与点， ∴二次函数对称轴为直线， ∴，即， ∵， ∴ ， 解第三个不等式为：， 解第二个不等式为：， 再结合第一个不等式即：且， ∴的取值范围为：， 故答案为：． 考点04 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 1．B 2．C 3．D 4．B 5．C 6．D 7．D 8．C 9．B 10．C 11．D 12．C 13．D 14．C 15．B 16．A 17．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）将两点坐标代入二次函数解析式得到关于b与c的方程组，求出方程组的解即可得到b与c的值； （2）二次函数解析式化为顶点形式，即可求出顶点坐标． (1) 小问详解： 解：将代入二次函数解析式得： ， 解得： ； (2) 小问详解： 二次函数解析式为， 则顶点坐标为． 【点睛】 此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 18．【答案】向下 【分析】 本题考查二次函数的图象，根据二次函数二次项系数的符号判断开口方向即可． 【详解】 解：二次函数中，二次项系数，故抛物线的开口向下． 故答案为：向下． 19．【答案】（1）该抛物线的对称轴为直线；     （2）      【分析】 本题主要考查了二次函数的图象和性质： （1）把解析式化为顶点式，即可求解； （2）根据二次函数的性质，即可求解． (1) 小问详解： 解：， ∴该抛物线的对称轴为直线； (2) 小问详解： 解：∵抛物线的对称轴为直线，， ∴抛物线开口向上， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵， ∴． 20．【答案】 【分析】 本题考查二次函数图象的性质，解答本题的关键是求解抛物线的对称轴．根据题意可以求得抛物线的对称轴，可得，从而可以求得相应的y的值． 【详解】 解：∵点，是函数图象上两点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴当时， ∴， 故答案为：． 21．【答案】 【分析】 本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；由题意易得，然后根据二次函数的性质可进行求解． 【详解】 解：由二次函数可知：开口向上，对称轴为直线， ∵点到轴的距离不大于2， ∴， ∴当时，有最小值，最小值为， ∴当时，则有，当时，则有， ∴的取值范围为； 故答案为． 22．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）由题意可设，然后把点代入进行求解即可； （2）先得出图象，然后根据图象可进行求解． (1) 小问详解： 解：由题意可设，把点代入得： ，解得：， ∴二次函数表达式为； (2) 小问详解： 解：由（1）函数解析式可得图象如下： ∴由函数图象可知：当时，自变量的取值范围是； 故答案为． 23．【答案】1 【分析】 本题主要考查二次函数的解析式，掌握待定系数法是解题的关键． 将点代入函数解析式，得到关于的方程，解方程即可． 【详解】 ∵二次函数的图象过点， ∴代入解析式，得， 即， 移项得， 解得． 故答案为：1． 24．【答案】 【分析】 本题考查二次函数的对称轴，掌握知识点是解题的关键． 根据二次函数的对称轴公式求解即可． 【详解】 解：对于二次函数，其对称轴为直线． ∴函数的对称轴为． 故答案为：． 25．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．将点代入抛物线表达式，得到关于的方程，解一元一次方程即可． 【详解】 解：因为抛物线经过， 则， 解得， 故答案为：． 26．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了分式的化简求值，二次函数的最值问题，熟练掌握运算法则和知识点是解题的关键． （1）先将括号内的分式通分化简，再将除法运算转化为乘法运算即可； （2）先对二次函数进行配方即可求出最小值，再代入求解． (1) 小问详解： 解： ， ∴． (2) 小问详解： 解：， ∴二次函数的最小值为3，即， ∴． 27．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了求二次函数关系式，二次函数图象的性质， 对于（1），将代入关系式可得答案； 对于（2），先求出抛物线的对称轴，再根据题意可得，进而求出，然后根据关系式求出答案． (1) 小问详解： 解：把点代入得， 解得； (2) 小问详解： 解：由（1）得该抛物线的对称轴为， ∵B为线段的中点， ∴， 解得， 即， 把代入， 得． ∴点A的坐标是． 28．【答案】2 【分析】 本题考查了二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据二次函数对称轴公式得出与的关系，再利用根与系数的关系求解另一个根． 【详解】 解：二次函数的对称轴为直线， ， ， 已知的一个解是，设另一个根为， ， ， 故答案为：2 29．【答案】（1） 画出函数图象，如下：      （2）      【分析】 本题主要考查了画二次函数图象，二次函数的图象和性质： （1）先确定抛物线的顶点坐标，再求出抛物线与x轴的交点坐标，与y轴的交点坐标，然后利用描点法画二次函数图象； （2）直接观察图象，即可得出结论． (1) 小问详解： 解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为 当时，， 当时，， 解得：， ∴抛物线与y轴交于点，与x轴交于点； (2) 小问详解： 解：由图得时，x的取值范围是． 30．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解决本题的关键． 通过观察表格中y值相同的点，确定二次函数的对称轴，再利用对称性求m的值． 【详解】 解：由表格数据可知，当和时，y的值均为， ∴二次函数的对称轴为直线． ∴点关于直线的对称点为， ∴当时，，即． 故答案为：． 31．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题主要考查了待定系数法，二次函数的图象与性质， （1）采用待定系数法即可求解二次函数关系式； （2）先求出平移后点B的坐标，然后把坐标代入解析式即可； （3）分为，时，时，建立方程解题即可． (1) 小问详解： 解：设二次函数的解析式为，把代入得， 解得， ∴； (2) 小问详解： 解：点B平移后的点的坐标为， 则，解得或（舍）， ∴m的值为； (3) 小问详解： 解：当时， ∴最大值与最小值的差为，解得：不符合题意，舍去； 当时， ∴最大值与最小值的差为，符合题意； 当时， 最大值与最小值的差为，解得或，不符合题意； 综上所述，n的取值范围为． 32．【答案】（1）     （2）①；②      【分析】 （1）根据解析式可知抛物线与轴交于点，而与关于抛物线的对称轴对称，即可求得对称轴为直线； （1）① 根据（1）的结论得出，则抛物线解析式为，将点代入解析式，待定系数法求解析式即可求解； ② 令，求得抛物线与轴的交点坐标，进而根据以及，即可求得不等式的解集． (1) 小问详解： 解：由，令，解得： ∴抛物线与轴交于点， 而与关于抛物线的对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为直线； (2) 小问详解： 解：∵抛物线的对称轴为直线； ∴，即， ∴抛物线解析式为， ∵抛物线还经过点： ∴ 解得：， ∴抛物线解析式为， 令，即， 解得： ∵，抛物线开口向上， ∴当时，． 【点睛】 本题考查了根据对称性求对称轴，待定系数法求二次函数解析式，图象法求不等式的解集，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 33．【答案】3 【分析】 本题考查二次函数的性质、乘法公式的应用，灵活运用乘法公式是解答的关键．先由已知条件，结合完全平方公式得到，，两式相减，利用平方差公式得到，进而求得，则，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】 解：由得，即； 由得， 即， 由得，则， ∴或， ∴或， ∴， ∵，， ∴当时，k有最小值，最小值为， 故答案为：3． 34．【答案】（1）     （2）①；②     （3）      【分析】 （1）根据“三倍点”的定义，即可求得答案； （2）① 将点代入，可得的值，再将代入，解方程即可； ② 利用二次函数的顶点式求得和的值，即可求得答案； （3）由题意可得，三倍点所在的直线为，将在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，转化为在的范围内，二次函数和至少有一个交点，即转化为在内与x轴至少有一个交点求解即可． (1) 小问详解： 根据定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，可得． 故答案为：． (2) 小问详解： ① 将点代入，得：， 解得：， ∴， 将代入，得：， 解得：， ∴函数图象上的“三倍点”坐标为． ② ∵， ∴， 当时，， 当时，， ∴， ∴． (3) 小问详解： 由题意得，三倍点所在的直线为， 在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”， 即在的范围内，二次函数和至少有一个交点， 令，整理得：， 即转化为在内与x轴至少有一个交点， 函数的对称轴为,开口向上， 当时，;当时，;当时，; ① 当与x轴交点的横坐标x，满足时， 则有 即 解得：; ② 当与x轴的交点的横坐标x，满足时， 则有 即 解得：; 综上，的取值范围为：． 【点睛】 本题考查了二次函数的图像与性质，待定系数法求函数解析式，根的判别式的应用和新定义“三倍点”的理解与应用，根据“三倍点”的定义结合二次函数的相关性质是解题的关键． 35．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数与几何的综合，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，构造辅助线是解题的关键．过点C作直线轴，过点B作于点M，过点D作于点N，利用正方形的性质，同角的余角相等，通过证明，列方程组求出点的坐标，然后利用待定系数法求出的值． 【详解】 解：过点C作直线轴，过点B作于点M，过点D作于点N，如图所示： ， ∴和都是直角三角形， 设点C的坐标为， ∵点B，D的坐标分别为， ， ∵四边形是正方形， ， 在中，， 又， ， 在和中， ， ， ， ∴ ， 解此方程组得： ， ∴点C的坐标为， ∵点C在抛物线的图象上， ∴， 解得：． 故答案为：． 36．【答案】（1）     （2）6     （3） 解：∵点，在该二次函数图象上， ∴， ， ∴ ， ∴当时，即， 解得：， ∵，且， ∴， 即．      【分析】 本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）把代入二次函数解析式得，然后配成顶点式即可求解； （2）由题意易得该二次函数与x轴的交点坐标为，则有该二次函数的对称轴为直线，然后根据二次函数的对称性可进行求解； （3）由题意易得，，则有，然后根据二次函数的性质可进行求解． (1) 小问详解： 解：当时，则二次函数的解析式为， 化为顶点式为， ∴二次函数图象的顶点坐标为； (2) 小问详解： 解：令时，则有，解得：， ∴该二次函数与x轴的交点坐标为， ∴该二次函数的对称轴为直线， 由与x轴平行的直线交该二次函数图象于A，B两点，可知：二次函数图象上的A，B两点关于二次函数的对称轴对称， ∵点B的横坐标为， ∴点B到对称轴的距离为， 根据对称的性质可知：； (3) 小问详解： 略 37．【答案】（1）上，     （2）     （3）      【分析】 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象及其性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）当时，；当时，，可得对称轴，由表中数据，利用待定系数法即可求得的值，即可判断开口方向； （2）由表中数据，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式； （3）利用二次函数图象上点的坐标特征求出当和时的值，结合顶点的坐标，即可求解． (1) 小问详解： 解：当时，；当时，， 二次函数图象的对称轴为直线， 将，，代入， 得： ， 解得： ， 二次函数的表达式为； ∵， ∴二次函数的图象开口向上， 故答案为：上，； (2) 小问详解： 由（1）可知二次函数的表达式为； (3) 小问详解： 解：当时，； 当时，． 又二次函数图象的顶点坐标为，抛物线开口向上， 当时，随增大而减小，当时，随增大而增大， 当时，． 故答案为：． 38．【答案】（1）     （2）     （3）或      【分析】 本题考查了二次函数的图象和性质，理解题意是解决本题的关键． （1）将代入二次函数解析式，并转化为顶点式即可求解； （2）根据一元二次方程的根的判别式进行求解即可； （3）根据题意分为两种情况：当时和当或时，进行求解即可． (1) 小问详解： 解：当时， ， ∴抛物线的顶点坐标为； (2) 小问详解： 解：在中，， ∴ 当时，抛物线与轴只有一个交点， ∴ 解得； (3) 小问详解： 解： ∴二次函数的对称轴为直线，函数开口向上，顶点坐标为， 情况1：，即，最小值； 当到1距离更远时，最大值， 此时 ， 解得：或（舍去）． 当到距离更远时，最大值， 此时 ， 解得：（舍去）或． 情况2：或， 当时：在范围内，随增大而增大， 则，， 则， 解得， 解得：（舍去，因）． 当时：在范围内，随增大而减小， 则，， 则， 解得：（舍去，因）． 综上所述，或． 39．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的性质、抛物线平移规律及因式分解，解题的关键是因式分解简化解析式，结合平移和取值范围求参数． 先因式分解抛物线解析式，利用平移规律得平移后解析式，代入已知点建立与关系；根据开口方向和取值范围，结合单调性求，进而得． 【详解】 解：抛物线向右平移6个单位后解析式为． ∵过点，代入得， ，即，化简得． 将代入，得 ． ∴，开口向下，对称轴， ∵时，对称轴在区间内，顶点为最大值点． 顶点（最大值点）坐标为： ，， 给定取值范围 ，且最小值为 0，最大值为6． 由于开口向下，顶点为最大值：（因为，所以）： ∴， ∴． 故答案为：． 40．【答案】 【分析】 本题考查的是抛物线与x轴的交点，熟知抛物线与x轴的交点与一元二次方程根的关系是解答此题的关键． 设的两根为，由二次函数的图象可知，；设方程的两根为m，n，再根据根与系数的关系即可得出结论． 【详解】 解：设的两根为， 对称轴在的负半轴， ，， ， ∴由二次函数的图象可知； 设方程的两根为m，n， 则 ∵ ∴， ∵ ∴ 即 故答案为： 41．【答案】（1）； （2）方法一：；； 方法二：；； （3）或 【分析】 本题考查了二次函数综合运用，涉及到函数作图、方案探究等，理解题意，逐次求解是解题的关键． （1）根据表格数据即可求函数表达式； （2）方案一：；将点的坐标代入抛物线表达式即可求解；方案二：同方案一； （3）由题意知：，，为等边三角形，过点C作，则，由（2）知，对于抛物线，求出，，进而求解． 【详解】 解：（1）由表格数据可猜测， 故答案为：； （2）方法一：点， 将点的坐标代入函数表达式得：； 则， 方法二：点， 将点的坐标代入抛物线表达式得：， 解得：； （3）由题意知：，，为等边三角形， 过点C作， 则， 当时， 则， 由（2）知， 对于抛物线，可知，， 则， 解得：． 当时， 则， 由（2）知， 对于抛物线，可知，， 则， 解得：． 综上，或． 42．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题主要考查的是二次函数性质，二次函数与轴的交点，熟练利用二次函数的性质是解题的关键． （1）根据题意可得，列方程即可解答； （2）根据题意可得，利用二次函数的性质即可解答． （3）根据点是二次函数图象上的任意一点，满足，得到二次函数图象开口向上，即，，由此列得，根据二次函数的性质解答． (1) 小问详解： 解：∵二次函数图象与轴有且只有1个交点 ∴， 得或 ∵    ∴； (2) 小问详解： ∵在上， 又抛物线的对称轴为， ∴当时，y有最小值，此时， 当时，y有最大值，此时， ∴所有“亲密点”的y的取值范围是 (3) 小问详解： ∵点是二次函数图象上的任意一点，满足 ∴二次函数图象开口向上，即， ∵对称轴为直线， ∴顶点坐标为， ∴ ∵， ∴． 43．【答案】（1）     （2）的最大值与最小值之差为9．     （3）或．      【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，求出函数解析式是解题的关键． （1）由题意先设顶点式，再代入，即可求解； （2）由题意得，由于开口向上，那么当时，有最小值1；由于横坐标为的点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离1，则当时，取得最大值，即可求解； （3）① 若点在轴的左侧，点在轴的右侧，则 ，由于恒成立，所以，再分别解不等式和不等式组；② 若点在轴的右侧，点在轴的左侧，则 ，由于恒成立，则，再分别解不等式和不等式组即可． (1) 小问详解： 解：因为对称轴为直线， 所以设， 因为图象经过点， 所以， 解得， 所以二次函数的表达式为； (2) 小问详解： 解：因为点到轴的距离不大于2，所以， 因为该函数二次项系数为1大于0， 所以当时，有最小值1； 因为横坐标为的点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离1， 所以当时，取得最大值为， 因为， 所以的最大值与最小值之差为9； (3) 小问详解： 解：二次函数图象的对称轴为直线， ① 若点在轴的左侧，点在轴的右侧， 所以 ，解得：， 因为恒成立，所以，解得， 所以． ② 若点在轴的右侧，点在轴的左侧， 所以 ，解得：， 因为恒成立，所以，解得， 所以， 综上所述，的取值范围是或． 44．【答案】（1），顶点坐标为     （2）      【分析】 本题考查了求二次函数解析式，求顶点坐标，以及利用二次函数的性质解不等式． （1）将，代入求出解析式，化为顶点式求顶点坐标即可； （2）先求出与x轴的交点横坐标，然后结合二次函数的性质求解即可． (1) 小问详解： 解：∵二次函数（，为常数）的图像经过点，， ∴ ， 解得： ， ∴二次函数表达式为， ∴顶点坐标为； (2) 小问详解： 解：当时，， 解得或， 当时，， ∵抛物线开口向上， ∴当时，x的取值范围为． 45．【答案】 【分析】 本道题考查了二次函数图象的性质，解题的关键是掌握二次函数图象的性质． 先根据题意画出的图象，即可得出有两个不相等的实数根时，k的取值范围． 【详解】 解：当，的图象在轴上方， 此时， 此时的图象是函数在轴上方部分的图象， 当时，的图象在轴下方， 此时 此时的图象是函数在轴下方部分与轴对称的图象， 的顶点纵坐标是， 函数在轴下方部分与轴对称的图象的顶点纵坐标是， 的图象如下图， 观察图象可得当时， 函数图象在直线的上方时，纵坐标相同的点有两个， 函数图象在直线上时，纵坐标相同的点有三个， 函数图象在x轴与直线之间的部分，纵坐标相同的点有四个， 若有两个不相等的实数根， 则函数图象应该在的上边， ∴． 故答案为：． 46．【答案】（1）顶点坐标为；     （2）①；②      【分析】 （1）由，即可求解； （2）① 该函数图象向右平移3个单位后得到，图象经过原点，则，即可求解； ② 先求出抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，再分三种情况：当时，当时，当时，即可求解． (1) 小问详解： ， 该抛物线的顶点坐标为； (2) 小问详解： ①该函数图象向右平移3个单位后得到， 经过原点． ， ； ②∵， ∴抛物线的表达式为：， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，， ∵时，二次函数的最大值与最小值的差为4， i）当时，当时函数有最大值2，当时函数有最小值； ∴， 解得：舍去； ii）当时，当时函数有最大值2，当时函数有最小值， ∴，符合题意； iii）当时，当时函数有最大值，当时函数有最小值， ∴， 解得（不合题意，舍去）， 综上， 【点睛】 本题考查的是二次函数综合运用，涉及到待定系数法求函数表达式、函数的最值等，分类求解和数形结合是解题的关键． 47．【答案】 【分析】 本题主要考查了二次函数综合、一次函数与几何综合等知识点，灵活运用所学知识是解题的关键． 依据题意，先求出，然后求出直线的解析式，进而求出，同理可求出直线的解析式，则，求出抛物线解析式进而求出，作交延长线于点H，再利用勾股定理求解即可． 【详解】 解：如图2：∵二次函数为过原点， ∴，解得：． ∴二次函数为． ∴． ∵直线与x轴成角， 设直线的解析式为，把点代入得，解得b＝1， ∴直线的解析式为． 联立方程组 ，解得： 或 （不符合题意舍去）． ∴， 同理可求出直线的解析式为， ∴． 把代入， ∴． ∴． ∴抛物线解析式为． 联立 ， ∴． ∵幼苗是越长越张开， ∴，不合题意，舍去． ∴． 作交延长线于点H， ∴． 故答案为：． 48．【答案】 【分析】 先利用抛物线的对称轴求出，得到抛物线解析式为，再计算出自变量为和对应的函数值，然后利用函数图象写出直线与抛物线在时有公共点时的范围即可． 【详解】 解：如图，关于的一元二次方程的解就是抛物线与直线的交点的横坐标．由题意可知，， 二次函数， 该抛物线的顶点坐标为， 当时，； 当时，． 由图象可知，时，抛物线与直线在的范围内有交点． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了抛物线与轴的交点，把求二次函数与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程． 49．【答案】（1） 证明：由题意得， ， 则， 整理得， ， ∴该方程有两个不相等的实数根， ∴这两个函数图像有2个交点， ∴函数与是“关联函数”；     （2）     （3）      【分析】 本题考查了新定义，涉及二次函数的图象与性质，二次函数图象与一次函数图象的交点问题，一元二次方程的根的判别式等知识点． （1）联立两个函数解析式，得到一元二次方程，再由根的判别式判断一元二次方程根的情况，即可判断两个函数图像是否有交点，即可证明； （2）由题意得，则，再利用二次函数的性质求解最值； （3）由题意得，则，则当时，取得最大值，当时，；，则，由题意得有三个整数值，即为，故，再解不等式即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图， 由题意得， ∴， ∴ ∵， ∴当时，取得最大值为， ∴“关联函数”与的“最优关联距离” 为； (3) 小问详解： 解：如图： 由题意得， ∴， ∴ ∵， ∴当时，取得最大值， 当时，；， ∴ ∵“关联函数”与恰有三个“最优关联点”， ∴有三个整数值，即为，如图： ∴， 解得 ∴“关联函数”与恰有三个“最优关联点”，求的取值范围． 50．【答案】（1）1，，     （2）15      【分析】 本题是二次函数综合题．考查了运用待定系数法求直线及抛物线的解析式、三角形的面积等知识，掌握数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度是解题的关键． （1）根据待定系数法求解即可，然后令，求出方程的解，即可求出A、B的坐标； （2）分别求出直线、直线的解析式，根据可得的解析式，可得出、的坐标，即可得线段的长度，然后根据三角形的面积公式求出，最后根据一次函数的性质求解即可． (1) 小问详解： 解：把代入， 得， 解得， ∴， 当时，， 解得，， ∴，； (2) 小问详解： 解：， 设直线的解析式为， ，解得 ， 直线的解析式为， ， 同理得：直线的解析式为， ∵， 设的解析式为， ， ，解得， 的解析式为， ， 线段的长度为， ∴， ∴随m的增大而增大， 又 当时，有最大值为， 即面积的最大值为15． 51．【答案】4 【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，一元二次方程根的判别式，完全平方公式的应用等知识，先求出顶点坐标为，设直线的方程为（平行于轴），与抛物线方程联立，并整理得，设A、B的横坐标为，，根据根与系数的关系得出，，根据完全平方公式的变形求出，则，结合已知可得出，设 ，则，解得或，然后分别检验求解即可． 【详解】 解：∵， ∴顶点坐标为， 设直线的方程为（平行于轴）， 与抛物线方程联立，并整理得， 设A、B的横坐标为，， ∴，， ∴， ∴， ∵点到直线的距离为，， ∴， 设 ，则，解得或， 当时，，与有两个交点矛盾， 故，则． 故答案为：4． 52．【答案】（1）或     （2）      【分析】 本题重点考查了二次函数的图像与性质，时，当时，取得最小值，，在对称轴左侧，即时，随着的增大而减小，在对称轴右侧，即时，随着的增大而增大；时，当时，取得最大值，，在对称轴左侧，即时，随着的增大而增大，在对称轴右侧，即时，随着的增大而减小，同时还考查了一元二次方程的求解，熟练掌握二次函数的图像与性质是本题求解的关键． （1）将点代入抛物线方程，得到关于的一元二次方程，即可求得的值． （2）将点代入抛物线方程，得到，整理得到关于的二次函数即，得到对称轴为，此抛物线，开口向上，故在时，随着的增大而减小，求得，在时，随着的增大而增大，求得，综合得到的取值范围为． (1) 小问详解： 解：将点代入抛物线方程， 得到， 故或． 答：的值为或． (2) 小问详解： 解：将点代入抛物线方程， 得到， 即， 此抛物线对称轴为直线， 当时，随着的增大而减小，得到的取值范围为， 在时，随着的增大而增大，的取值范围为， 综合得到当时，的取值范围为． 答：当时，的取值范围为． 53．【答案】（1）     （2） 证明：，函数表达式可以改写成， ， ∴， ；     （3）      【分析】 （）利用待定系数法和对称轴公式解答即可； （）利用配方法可得，即得，得到，进而得到，即可求证； （）由得抛物线开口向上，顶点坐标为，即得当时，函数的最小值为，即得到函数的最大值为，再把代入可得，，进而得到，，且两个等号至少有一个可取，即得到，，最后把的最大值代入计算即可求解； 本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握相关知识是解题的关键． (1) 小问详解： 解：∵函数图象过点， ∴， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：∵， ∴抛物线开口向上，顶点坐标为， ∴当时，函数的最小值为， ∵函数的最大值与最小值差为， ∴函数的最大值为， 把代入，得， 解得，， ∵， ∴，，且两个等号至少有一个可取， ∴，， ∴的最大值． 54．【答案】（1）①②     （2）      【分析】 本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）① 将代入解析式即可得出结果；② 根据二次函数的增减性分类讨论进行求解即可； （2）求出抛物线的对称轴，根据二次函数的增减性进行判断即可． (1) 小问详解： 解：① 当时，； ② ∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远函数值越小， 当时： ①时，当时，函数值最小为； 当时，函数值最大为，则， 解得或（舍去）； ② 当时，当时，函数值最小为； 当时，函数值最大为，则，不符合题意； ③ 当时，当时，函数值最小为； 当时，函数值最大为，则， 解得，均不满足，故舍去； 综上：； (2) 小问详解： ∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远函数值越小， ∵和是抛物线上的两个点，且， ∴， 解得． 55．【答案】（1）     （2），     （3）或      【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质、勾股定理、勾股定理逆定理、待定系数法求二次函数的解析式、矩形的性质、二次函数的综合等知识点，熟练掌握以上知识点，采用数形结合与分类讨论的思想解题，是解此题的关键． （1）作交于点D，则，得到 ，由二次函数的性质可得 ，即可得出点B的坐标， （2）设抛物线的解析式为，将代入抛物线得：，求出a的值，即可得出抛物线解析式，联立 ．即可求出点C的坐标． （3）根据题意得 ，，分两种情况：当点D在点C的左侧时；当点D在点C的右侧时，分别计算即可得到答案． (1) 小问详解： 如图1，作交于点D， ∵， ∴， ∴， ∵、B为二次函数与x轴的交点， ∴、B关于直线对称， ∴， ∴， ∴． (2) 小问详解： 设抛物线解析式为， 将代入抛物线得：， 解得：， ∴抛物线解析式为， 联立 ， 解得：，（不符合题意，舍去）， 当时，， ∴． (3) 小问详解： ∵点是线段上的一个动点，过点作轴的平行线交直线于点，交抛物线于点， ∴，， 如图2，当点D在点C左侧时， ， ∴， ∴， ∴当时，矩形的面积随着的增大而增大， 如图3，当点D在点C右侧时， ， ∴， ∵， ∴当时，矩形的面积随着的增大而增大． 综上所述，当或时，矩形的面积随着的增大而增大． 56．【答案】或 【分析】 本题考查的是求解二次函数的解析式，二次函数与角度问题. 连接，取，连接交抛物线于，证明，，可得，即，求解直线为，再进一步解答即可；如图，关于直线对称的，证明，可得，同理可得：的解析式为：，记直线与抛物线的交点为，再进一步求解即可. 【详解】 解：令，则， 令，则， 解得或， ∴，，， 如图，连接，取，连接交抛物线于， ∵，，， ∴，，而， ∴，， ∴， ∴，即， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为， 联立得， 解得：（舍去）或； 关于直线对称的， ∴，，， ∴， ∴， 同理可得：的解析式为：，记直线与抛物线的交点为， ∴， 联立得， 解得：（舍去）或；， 综上：点横坐标是或. 故答案为：或. 57．【答案】3 【分析】 本题考查二次函数的综合应用，根据题意，画出图形，数形结合确定最大值和最小值，进行求解即可． 【详解】 解：画出，的图象如下： 令，解得或， 当时，； 当时，； 当时，， 由图可知：当时，有最小值为； 当时，有最大值为； ∴y的最小值与最大值的和为； 故答案为：3． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二次函数的概念和性质 4大高频考点概览 考点01 二次函数的概念 考点02 二次函数y=ax²的图象和性质 考点03 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 考点04 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 考点01 二次函数的概念 1．（25-26学年九上·浙江温州教育联盟·期中）下列函数中，y是x的二次函数的是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·浙江杭州大关中学·期中）已知某种产品的成本价为30元/千克，经市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：．设这种产品每天的销售利润为w（元），则w与x之间的函数表达式为（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·浙江湖州第四中学·期中）下列关于的函数中，是二次函数的是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·浙江浙派联盟·期中）跳伞运动员在打开降落伞之前，下落的路程（米）与所经过的时间（秒）之间的关系为．则表格中的值为（       ） （秒） 0 1 2 3 4 … （米） 0 20 … A. 40 B. 50 C. 80 D. 160 5．（25-26学年九上·浙江舟山名校协作体·期中）下列函数中，关于的二次函数的是（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·浙江绍兴元培·期中）如图，有一块正方形的花圃，正中间有一块圆形水池．从圆周上的点到正方形边上点的最短距离为．记正方形内除水池外的面积为，圆的半径为，则关于的函数表达式是（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·浙江舟山五校联盟·期中）已知函数是关于的二次函数，则满足条件的的值为（     ） A.  B.  C.  D.  考点02 二次函数y=ax²的图象和性质 1．（25-26学年九上·浙江发展协作共同体·期中）若二次函数的图象经过点，则的值为（     ） A.  B.  C. 2 D. 4 2．（25-26学年九上·浙江台州·期中）二次函数的图象经过下列点中的（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·浙江宁波鄞州区·期中）抛物线开口方向是（   ） A. 向上 B. 向下 C. 向左 D. 向右 4．（25-26学年九上·浙江浙派联盟·期中）在平面直角坐标系中，对于点，，若满足，则称，两点互为“倍点”． （1）已知直线上的点是点的“2倍点”， ①若点在轴上，求点的横坐标． ②若点在抛物线上，求点的坐标． （2）已知，若在抛物线上存在唯一的点是点的“倍点”，求的值． 考点03 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 1．（25-26学年九上·浙江浙派联盟·期中）二次函数图象的顶点坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·浙江绍兴元培·期中）抛物线的顶点坐标是（　　） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·浙江杭州观成中学·期中）已知二次函数的顶点坐标为，若点，，在函数图象上，则，，的大小关系是（） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·浙江杭州大关中学·期中）关于二次函数的图象，下列结论不正确的是（       ） A. 抛物线的开口向上 B. 当时，y随x的增大而减小 C. 对称轴是直线 D. 抛物线与y轴交于点 5．（25-26学年九上·浙江山海联盟协作学校·期中）已知关于的二次函数，当时，随的增大而减小，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D. 0 6．（25-26学年九上·浙江山海联盟协作学校·期中）将抛物线向左平移1个单位，再向上平移2个单位，所得新抛物线的表达式为（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·浙江杭州星澜中学·期中）对于抛物线 ，下列说法错误的是（     ） A. 对称轴是直线 B. 函数的最大值是3 C. 开口向下，顶点坐标 D. 当时，随的增大而增大. 8．（25-26学年九上·浙江杭州星澜中学·期中）将抛物线的图象先向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，得到的抛物线的解析式是（　　） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·浙江舟山·期中）已知点，，都在二次函数的图象上，则，，从小到大排列（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·浙江绍兴一中·期中）对于抛物线，下列判断正确的是（     ） A. 抛物线的开口向上 B. 抛物线的顶点坐标是 C. 对称轴为直线 D. 当时， 11．（25-26学年九上·浙江温州教育联盟·期中）抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年九上·浙江名校共同体·期中）二次函数的图像先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得的二次函数表达式为（     ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年九上·浙江发展协作共同体·期中）将二次函数的图象先向右平移4个单位，再向上平移3个单位所得图象的函数表达式为（     ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年九上·浙江绍兴元培·期中）若抛物线向左平移1个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线，则平移前的抛物线表达式是（       ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年九上·浙江舟山五校联盟·期中）关于二次函数，下列说法正确的是（       ） A. 图象的开口向上 B. 图象的对称轴为直线 C. 图象顶点坐标为 D. 当时，随的增大而增大 16．（25-26学年九上·浙江宁波鄞州区·期中）若点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（       ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年九上·浙江杭州高桥·期中）将抛物线y＝2x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位后得到的抛物线的解析式为(       ) A. y＝2﹣2 B. y＝2﹣2 C. y＝2﹣1 D. y＝2+1 18．（25-26学年九上·浙江绍兴一中·期中）点在二次函数的图象上，则的大小关系是（     ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年九上·浙江台州·期中）顶点为，开口向下，形状与函数的图象相同的抛物线所对应的函数是（ ） A.  B.  C.  D.  20．（25-26学年九上·浙江山海联盟协作学校·期中）二次函数的图象的顶点坐标是　　　　　　　　　　　． 21．（25-26学年九上·浙江舟山·期中）将抛物线y=2x2向上平移1个单位得到的抛物线是　　　　　　　　. 22．（25-26学年九上·浙江金华·期中）抛物线的顶点坐标是　　　　　　． 23．（25-26学年九上·浙江绍兴一中·期中）把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为　　　　　　． 24．（25-26学年九上·浙江温州教育联盟·期中）将抛物线向下平移2个单位，所得抛物线的表达式是　　　　　　． 25．（25-26学年九上·浙江杭州观成中学·期中）把抛物线先向左平移1个单位，再向下平移2个单位后得到的抛物线解析式是：　　　　　　． 26．（25-26学年九上·浙江杭州大关中学·期中）将二次函数的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位后，所得图象的函数表达式是　　　　　　． 27．（25-26学年九上·浙江台州·期中）若点，在抛物线上，则，的大小关系为：　　　　　　． 28．（25-26学年九上·浙江绍兴一中·期中）已知二次函数． （1）求该抛物线的对称轴和顶点坐标； （2）当时，请直接写出的取值范围__________． 29．（25-26学年九上·浙江名校共同体·期中）二次函数，当时，的取值范围是　　　　　　　　　　　． 30．（25-26学年九上·浙江台州·期中）已知抛物线与轴交于，两点． （1）若，，求该抛物线解析式； （2）若抛物线与轴交于，两点，则，，，的大小关系是______； （3）已知抛物线的图象与轴最多有一个公共点，若的最小值为3，求的值． 31．（25-26学年九上·浙江浙派联盟·期中）二次函数的图象上存在点与点，当时，满足，则的取值范围为　　　　　． 考点04 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 1．（25-26学年九上·浙江杭州观成中学·期中）二次函数的顶点坐标是（   ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·浙江山海联盟协作学校·期中）已知点在二次函数的图象上，则的大小关系是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·浙江名校共同体·期中）已知二次函数的图象如图所示，则下列选项正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·浙江发展协作共同体·期中）已知二次函数（为常数，且）的图象上有四点，，，，则，，的大小关系是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·浙江杭州大关中学·期中）如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线，给出以下结论： ； 若，为函数图象上的两点，则； 对于任意实数t，总有； 若，则有； 若关于x的一元二次方程有整数根，则p的值有2个， 其中正确的有（       ）个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6．（25-26学年九上·浙江山海联盟协作学校·期中）在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，抛物线的对称轴是直线，若，则t的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·浙江湖州第四中学·期中）点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·浙江杭州星澜中学·期中）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④若，则，其中正确结论的个数为（       ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4 9．（25-26学年九上·浙江杭州星澜中学·期中）已知二次函数（m为常数）的图象经过点，则，的大小关系是（　　） A.  B.  C.  D. 与m的值有关 10．（25-26学年九上·浙江杭州高桥·期中）平面内两点、在二次函数图象上，则的最小整数值是（     ） A.  B. 0 C. 1 D. 2 11．（25-26学年九上·浙江名校共同体·期中）已知关于的二次函数，则下列说法不正确的是（     ） A. 当时，随的增大而增大，则 B. 当时，随的增大而增大，则 C. 当时，点在函数图像上，则 D. 当时，点在函数图像上，则 12．（25-26学年九上·浙江绍兴元培·期中）通过卫星导航系统可以实时规划路径，如图1，灯塔B位于A地正东方向，C地位于A地的北偏东，4海里处．船只P从A地出发，驶向C地，在行驶过程中，设的长为x，为y，y关于x的函数图像（如图2所示）与y轴交于点，最低点，且经过．则下列选项正确的是（       ） A. 的面积是 B.  C. 点在该函数图像上 D.  13．（25-26学年九上·浙江宁波鄞州区·期中）已知抛物线（a，b，c为常数，）的顶点坐标为，与y轴的交点在x轴上方，则下列结论正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年九上·浙江金华·期中）已知抛物线，当时，的最小值为，最大值为，则的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年九上·浙江绍兴一中·期中）已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论中： ①；②；③；④若为任意实数，则有；⑤当图象经过点时，方程的两根为，其中正确的结论有（     ） A. ①②③ B. ②③⑤ C. ②④⑤ D. ②③④ 16．（25-26学年九上·浙江舟山五校联盟·期中）图1是放在水平桌面上的高脚杯的截面图，杯体是抛物线状（杯体厚度不计），点C是该抛物线的顶点，，D是的中点．当高脚杯中装满红酒时，液面，此时最大深度（液面到最低点的距离）为．现将高脚杯绕点F缓慢倾斜倒出部分红酒，当倾斜角时停止，此时液面为，如图2所示，则此时酒杯内红酒的最大深度是（       ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年九上·浙江发展协作共同体·期中）已知二次函数经过点与． （1）求b，c的值． （2）求该二次函数图象的顶点坐标． 18．（25-26学年九上·浙江绍兴元培·期中）二次函数的开口方向是　　　　　　　　（填“向上”或“向下”）． 19．（25-26学年九上·浙江湖州第四中学·期中）已知抛物线． （1）求该抛物线的对称轴； （2）若点和在该抛物线上，试比较和的大小． 20．（25-26学年九上·浙江杭州星澜中学·期中）已知点，是函数图象上两点，则当时，函数值　　　　　　　　． 21．（25-26学年九上·浙江杭州高桥·期中）点是二次函数图象上一点，已知点到轴的距离不大于2，则的取值范围为　　　　　　. 22．（25-26学年九上·浙江杭州高桥·期中）已知二次函数图象经过、、三点. （1）求二次函数表达式； （2）结合图象直接写出时，自变量的取值范围是______. 23．（25-26学年九上·浙江浙派联盟·期中）已知二次函数的图象过点，则的值为　　　　　． 24．（25-26学年九上·浙江温州教育联盟·期中）抛物线（a为常数，）的对称轴是　　　　　　． 25．（25-26学年九上·浙江舟山名校协作体·期中）若抛物线经过点，则　　　　　　　　　　　 26．（25-26学年九上·浙江舟山名校协作体·期中）已知 （1）化简T． （2）若a为二次函数的最小值，求此时的T值． 27．（25-26学年九上·浙江绍兴元培·期中）已知抛物线经过点． （1）求a的值． （2）过y轴上一点A，作y轴的垂线，交该抛物线于B，C两点，且点B为线段的中点．求点A的坐标． 28．（25-26学年九上·浙江绍兴元培·期中）已知的一个解是，二次函数的对称轴是直线，则方程的另一个解是　　　　　　　　． 29．（25-26学年九上·浙江绍兴元培·期中）已知二次函数． （1）在直角坐标系中画出该函数图象． （2）结合图象，写出使的x的取值范围． 30．（25-26学年九上·浙江宁波鄞州区·期中）已知二次函数中的x和y满足下表： x ．．． 0 1 2 3 4 5 ．．． y ．．． m 4 ．．． 由表格数据可求m的值为　　　　　　　． 31．（25-26学年九上·浙江杭州观成中学·期中）已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）若点向上平移2个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； （3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 32．（25-26学年九上·浙江杭州大关中学·期中）已知二次函数(，是常数，且)的图象经过点． （1）求该函数图象的对称轴； （2）若该函数图象还经过点 ①求该函数的解析式； ②当时，直接写出的取值范围． 33．（25-26学年九上·浙江山海联盟协作学校·期中）已知，，且，设，则，k的最小值为　　　　　　　　　　　． 34．（25-26学年九上·浙江湖州第四中学·期中）【定义】若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：，，等都是“三倍点”． 【背景】已知二次函数（为常数）， （1）若记“三倍点”的横坐标为，则点的坐标可表示为             ； （2）若该函数经过点； ①求出该函数图象上的“三倍点”坐标； ②在范围中，记二次函数的最大值为，最小值为，求 的值； （3）在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，直接写出的取值范围． 35．（25-26学年九上·浙江湖州第四中学·期中）如图，在正方形中，点B，D的坐标分别为，点C在抛物线的图象上，则b的值为　　　　　． 36．（25-26学年九上·浙江杭州星澜中学·期中）已知二次函数（a为常数）． （1）当时，求该二次函数图象的顶点坐标． （2）与x轴平行的直线交该二次函数图象于A，B两点，且点B的横坐标为，求的长． （3）若，点，在该二次函数图象上，试说明． 37．（25-26学年九上·浙江杭州星澜中学·期中）二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值如下表： x … 0 1 2 … y … 2 7 … （1）二次函数的图象开口向        ，对称轴为直线        ． （2）求该二次函数的解析式． （3）直接写出当时，求y的取值范围        ． 38．（25-26学年九上·浙江舟山·期中）已知二次函数． （1）当时，求抛物线的顶点坐标； （2）当为何值时，抛物线与轴只有一个交点； （3）在中，记的最大值为，最小值为，若时，求的值． 39．（25-26学年九上·浙江发展协作共同体·期中）已知抛物线，当时，的取值范围是．若将该抛物线向右平移6个单位后经过点，则的值是　　　　　　　　　　　　　　． 40．（25-26学年九上·浙江发展协作共同体·期中）已知二次函数和正比例函数的图象如图所示，则方程的两根之和　　　　　　　　　　　0（填“”“”或“”）． 41．（25-26学年九上·浙江发展协作共同体·期中）【背景材料】 在微项目实践课上，探究小组用两个互相垂直的直尺制作了一个“T”形尺，并用它对二次函数图象的相关性质进行研究． 把“”形尺按如图方式摆放，水平宽的中点为，图象的顶点为，测得为厘米时，为厘米． 【建立模型】 （1）探究小组先对的图象进行多次测量，测得与的部分数据如表： 0 1 2 3 ．．． 0 1 4 9 ．．． 猜想：与的关系式是___________ （2）探究小组又对多个二次函数的图象进行了测量研究，发现测得的与也存在类似的关系式，并针对二次函数的情况进行了推理验证．请从下表中任选一种方法（在“”内打“√”）补全其推理过程．（根据需要，选用字母表示答案） ☐方法1 ☐方法2 如图，将二次函数图象平移，使顶点移到原点的位置，则．所以点的坐标为___________，将点的坐标代入，得到与的关系式是_________． 如图，顶点的横坐标加个单位，纵坐标加个单位得到点的坐标，所以点的坐标为___________；将点的坐标代入，得到与的关系式是_________． 【应用模型】 （3）二次函数图象的顶点为，且经过，两点．若轴，，为等边三角形，求的值． 42．（25-26学年九上·浙江绍兴元培·期中）已知二次函数． （1）若该二次函数图象与x轴有且只有1个交点，求a的值． （2）在（1）的基础上，若点在抛物线上，且到y轴的距离小于或等于2，那么我们称点P是y轴的“亲密点”，求所有“亲密点”的y的取值范围． （3）若点和点在该函数图象上，点是二次函数图象上的任意一点，满足，求的取值范围． 43．（25-26学年九上·浙江宁波鄞州区·期中）已知二次函数（为常数）的图象经过点，对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）若此函数图象上有一点到轴的距离不大于2，求的最大值与最小值之差； （3）已知点在该二次函数的图像上且位于轴的两侧，若恒成立，求的取值范围． 44．（25-26学年九上·浙江宁波鄞州区·期中）二次函数（，为常数）的图像经过点，． （1）求二次函数的表达式，并写出该二次函数图像的顶点坐标； （2）求当时，的范围． 45．（25-26学年九上·浙江杭州大关中学·期中）二次函数的图象如图，若有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　　　　　　． 46．（25-26学年九上·浙江山海联盟协作学校·期中）已知二次函数（为常数且）． （1）求该抛物线的顶点坐标． （2）若该函数图象向右平移3个单位后恰经过原点． ①求的值． ②当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，求的取值范围． 47．（25-26学年九上·浙江湖州第四中学·期中）用数学的眼光观察世界，你会发现生活中处处有数学；用数学的思维思考世界，你就能探索现实世界的奥秘．我校和思项目化小组在研究“植物生长”课题时发现：一棵生长的幼苗可以近似看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成（如图1）．小数同学在观察研究幼苗叶片生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线都可以看作是二次函数图象的一部分，如图2，该二次函数图象经过坐标系的原点，已知直线与水平线的夹角为，三天后，点D长到与点P同一水平位置的点时，叶尖Q落在射线上，如图3所示，则此时幼苗叶子的长度为　　　　　　． 48．（25-26学年九上·浙江舟山·期中）二次函数的图象如图所示，对称轴为直线．若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有解，则的取值范围是　　　　　　． 49．（25-26学年九上·浙江杭州高桥·期中）定义：若两个函数图象有交点，则称这两个函数为“关联函数”，两个函数图象构成的封闭图形（含边界）叫做“关联区域”，如图1，与是关联函数，阴影部分是关联区域，如图2，过关联区域内一点作轴平行线，分别交函数图象于、两点，当线段长度最大时，该距离叫做“最优关联距离”，若此时为整数，则称点为“最优关联点”， （1）证明：函数与是“关联函数”； （2）求“关联函数”与的“最优关联距离”； （3）若“关联函数”与恰有三个“最优关联点”，求的取值范围. 50．（25-26学年九上·浙江绍兴一中·期中）如图1，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于点、两点（点在的左侧），与轴交于点，且过点． （1）求的值和点，点的坐标； （2）如图2，点是抛物线第四象限上的点，且，直线交轴于点，连结，过点作交轴于点，连结，求面积的最大值． 51．（25-26学年九上·浙江绍兴一中·期中）已知抛物线的顶点为，直线平行于轴，且与抛物线交于、两点，点到直线的距离为，若，则　　　　　　　　　　． 52．（25-26学年九上·浙江温州教育联盟·期中）已知抛物线（m为常数），请回答下列问题： （1）点在该抛物线上，求m的值． （2）若该抛物线经过点，当时，求k的取值范围． 53．（25-26学年九上·浙江名校共同体·期中）已知关于的二次函数（为常数） （1）若函数图象过点，对称轴为直线，求的值； （2）若函数表达式可以改写成，求证：； （3）设，在（）的条件下，当时，函数的最大值与最小值差为，求的最大值． 54．（25-26学年九上·浙江发展协作共同体·期中）已知关于的二次函数． （1）当时． ①求该函数的表达式． ②当时，该函数的最大值与最小值的差是3，求的值． （2）若和是抛物线上的两个点，且，求的取值范围． 55．（25-26学年九上·浙江舟山五校联盟·期中）如图1，在平面直角坐标系内，抛物线的顶点坐标为，与直线交于点和点． （1）直接写出点的坐标； （2）求抛物线的解析式，并求出点的坐标； （3）如图2，点是线段上的一个动点，过点作轴的平行线交直线于点，交抛物线于点，以为一边，在的右侧作矩形，且．当矩形的面积随着的增大而增大时，求的取值范围． 56．（25-26学年九上·浙江舟山五校联盟·期中）如图，已知抛物线的图象与轴交于点和点，与轴交于点．点是抛物线上的一动点，且满足，则点横坐标是　　　　　　． 57．（25-26学年九上·浙江宁波鄞州区·期中）已知y是和值中较小的一个，其中，，则当时，y的最小值与最大值的和为　　　　　． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二次函数的概念和性质 4大高频考点概览 考点01 二次函数的概念 考点02 二次函数y=ax²的图象和性质 考点03 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 考点04 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 考点01 二次函数的概念 1．（25-26学年九上·浙江温州教育联盟·期中）下列函数中，y是x的二次函数的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查二次函数的定义，掌握该知识点是解题的关键． 根据二次函数的定义，形如（）的函数是二次函数，逐一判断各选项． 【详解】 解：∵二次函数要求自变量的最高次数为2，且二次项系数． 选项A：，的次数为1，不符合； 选项B：，的最高次数为2，且二次项系数为，符合； 选项C：，的次数为1，不符合； 选项D：，的次数为，不符合． 故选B． 2．（25-26学年九上·浙江杭州大关中学·期中）已知某种产品的成本价为30元/千克，经市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：．设这种产品每天的销售利润为w（元），则w与x之间的函数表达式为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 利用这种产品每天的销售利润等于每千克的销售利润乘以每天的销售量，即可得出w与x之间的函数表达式． 【详解】 解：根据题意得，， 即， 故选：A． 【点睛】 本题考查根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出w与x之间的函数表达式是解题的关键． 3．（25-26学年九上·浙江湖州第四中学·期中）下列关于的函数中，是二次函数的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查二次函数的定义，掌握定义是解决问题的关键．根据二次函数定义进行分析即可． 【详解】 解：A、是二次函数，故此选项符合题意； B、中x的最高次是1次，不是二次函数，故此选项不符合题意； C、中x的次数为，故此选项不符合题意； D、，x的最高次是1次，不是二次函数，故此选项不符合题意． 故选：A． 4．（25-26学年九上·浙江浙派联盟·期中）跳伞运动员在打开降落伞之前，下落的路程（米）与所经过的时间（秒）之间的关系为．则表格中的值为（       ） （秒） 0 1 2 3 4 … （米） 0 20 … A. 40 B. 50 C. 80 D. 160 【答案】C 【分析】 此题考查了二次函数解析式，掌握待定系数法是解题的关键． 根据给定关系式，利用表中时 的条件求出常数 ，再代入计算的值． 【详解】 ∵ ，且当 时，， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 当 时，， ∴ ． 故选：C． 5．（25-26学年九上·浙江舟山名校协作体·期中）下列函数中，关于的二次函数的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义，形如（其中）的函数是二次函数． 根据二次函数的定义逐一判断即可． 【详解】 解：A．，分母有未知数，不是二次函数； B． ，最高次项次数不为2，不是二次函数； C． ，时最高次项次数不为2，不是二次函数； D． ，符合二次函数的定义，是二次函数； 故选：D． 6．（25-26学年九上·浙江绍兴元培·期中）如图，有一块正方形的花圃，正中间有一块圆形水池．从圆周上的点到正方形边上点的最短距离为．记正方形内除水池外的面积为，圆的半径为，则关于的函数表达式是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数的应用，根据题意得，正方形的边长为，然后通过面积差即可求解，掌握二次函数的应用是解题的关键． 【详解】 解：根据题意得，正方形的边长为， ∴， 故选：． 7．（25-26学年九上·浙江舟山五校联盟·期中）已知函数是关于的二次函数，则满足条件的的值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义可得且，解之即可，掌握二次函数的定义是解题的关键． 【详解】 解：∵函数是关于的二次函数， ∴且， 解得， 故选：． 考点02 二次函数y=ax²的图象和性质 1．（25-26学年九上·浙江发展协作共同体·期中）若二次函数的图象经过点，则的值为（     ） A.  B.  C. 2 D. 4 【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是将点的横坐标代入函数解析式求解纵坐标． 将点的横坐标代入二次函数，计算对应的函数值即为的值． 【详解】 解：∵点在二次函数的图象上， ∴将代入解析式得，． 故选：C． 2．（25-26学年九上·浙江台州·期中）二次函数的图象经过下列点中的（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．将各点横坐标分别代入函数表达式，求出函数值，判断与纵坐标是否相等，若相等，则图象经过该点，否则，不经过． 【详解】 A．，时，，与点的纵坐标不相等，不在函数图象上； B．，时，，与点的纵坐标相等，在函数图象上； C．，时，，与点的纵坐标不相等，不在函数图象上； D．，时，，与点的纵坐标不相等，不在函数图象上； 故选：B． 3．（25-26学年九上·浙江宁波鄞州区·期中）抛物线开口方向是（   ） A. 向上 B. 向下 C. 向左 D. 向右 【答案】B 【分析】 根据抛物线的解析式和二次函数的性质，可以解答本题． 【详解】 ∵ ∴抛物线的开口向下． 故选：B． 【点睛】 本题考查了二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 4．（25-26学年九上·浙江浙派联盟·期中）在平面直角坐标系中，对于点，，若满足，则称，两点互为“倍点”． （1）已知直线上的点是点的“2倍点”， ①若点在轴上，求点的横坐标． ②若点在抛物线上，求点的坐标． （2）已知，若在抛物线上存在唯一的点是点的“倍点”，求的值． 【答案】（1）①；② 点的坐标或     （2）2或   − 14      【分析】 本题考查解一元一次方程，二次函数性质，解一元二次方程，根的判别式等． （1）①设，点，根据题意列式计算即可求出本题答案；②设点，列式，整理得，解出即可； （2）设点，再列式，利用根的判别式即可求出本题答案． (1) 小问详解： 解：①∵直线上的点是点的“2倍点”， ∴设，点， ，解得：， ②∵点在抛物线上， ∴设点，，即，解得，． 点的坐标或； (2) 小问详解： 解：∵，若在抛物线上存在唯一的点是点的“倍点”， ∴设点， 有唯一解， 即， ，解得，． 即的值为2或． 考点03 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 1．（25-26学年九上·浙江浙派联盟·期中）二次函数图象的顶点坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 此题考查二次函数顶点式的顶点坐标求法，熟记公式是解题关键． 根据二次函数的顶点式 的顶点坐标为 ，直接读出即可． 【详解】 ∵ 二次函数是顶点式， ∴ 对比，得, ， ∴ 顶点坐标为 ． 故选：A． 2．（25-26学年九上·浙江绍兴元培·期中）抛物线的顶点坐标是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了二次函数的顶点坐标，根据二次函数的顶点式即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】 解：抛物线的顶点坐标是， 故选：． 3．（25-26学年九上·浙江杭州观成中学·期中）已知二次函数的顶点坐标为，若点，，在函数图象上，则，，的大小关系是（） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了比较二次函数值的大小，二次函数图象的性质，先根据抛物线的顶点坐标和确定二次函数的解析式，再分别将这三个点的坐标代入解析式，即可求解． 【详解】 解：∵二次函数的顶点坐标为，且， ∴二次函数为， 当时，， 当时，， 当时，， ∵， ∴． 故选：D． 4．（25-26学年九上·浙江杭州大关中学·期中）关于二次函数的图象，下列结论不正确的是（       ） A. 抛物线的开口向上 B. 当时，y随x的增大而减小 C. 对称轴是直线 D. 抛物线与y轴交于点 【答案】D 【分析】 根据解析式可得开口方向，对称轴，增减性，令，可得抛物线与轴交点坐标，进而即可求解． 【详解】 解：∵二次函数中， ∴抛物线开口向上，对称轴为， 当时，y随x的增大而减小，故A，B，C选项正确； 令，，即抛物线与轴交于点， 故D选项不正确， 故选：D． 【点睛】 本题考查了二次函数图象的性质，与轴的交点坐标，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 5．（25-26学年九上·浙江山海联盟协作学校·期中）已知关于的二次函数，当时，随的增大而减小，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D. 0 【答案】C 【分析】 本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数顶点式的单调性规律． 先确定二次函数的开口方向与对称轴，再结合单调性的条件，分析对称轴与的位置关系，从而求出的取值范围． 【详解】 解：∵二次函数的开口向下，对称轴为， 又∵当时，随的增大而减小， ∴对称轴， ∴． 故选：C． 6．（25-26学年九上·浙江山海联盟协作学校·期中）将抛物线向左平移1个单位，再向上平移2个单位，所得新抛物线的表达式为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了二次函数图象的平移，掌握平移法则：左加右减，上加下减，是解题的关键； 根据二次函数平移法则：左加右减，上加下减． 【详解】 解：∵抛物线向左平移1个单位， ∴x替换为，得； ∵再向上平移2个单位， ∴整体加2，得． ∴新抛物线表达式为． 故选：A． 7．（25-26学年九上·浙江杭州星澜中学·期中）对于抛物线 ，下列说法错误的是（     ） A. 对称轴是直线 B. 函数的最大值是3 C. 开口向下，顶点坐标 D. 当时，随的增大而增大. 【答案】D 【分析】 本题考查了二次函数的性质，抛物线是顶点式，可得对称轴是直线，函数的最大值是3，开口向下，顶点坐标，当时，随的增大而减小；即可得． 【详解】 解：A、对于抛物线，对称轴是直线，选项说法正确，不符合题意； B、对于抛物线，函数的最大值是3，选项说法正确，不符合题意； C、对于抛物线，开口向下，顶点坐标，选项说法正确，不符合题意； D、对于抛物线，当时，随的增大而减小，选项说法错误，符合题意； 故选：D． 8．（25-26学年九上·浙江杭州星澜中学·期中）将抛物线的图象先向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，得到的抛物线的解析式是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了二次函数图象的平移，根据“左加右减，上加下减”的平移规律可得答案． 【详解】 解：根据平移规律可知，得到的抛物线的解析式是， 故选：B． 9．（25-26学年九上·浙江舟山·期中）已知点，，都在二次函数的图象上，则，，从小到大排列（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查比较二次函数的函数值大小，根据二次函数的增加性，进行判断即可． 【详解】 解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线； ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵点，，，， ∴； 故选B． 10．（25-26学年九上·浙江绍兴一中·期中）对于抛物线，下列判断正确的是（     ） A. 抛物线的开口向上 B. 抛物线的顶点坐标是 C. 对称轴为直线 D. 当时， 【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握的图象与性质是解题的关键． 根据的图象与性质判断即可． 【详解】 解：由解析式可得，抛物线的顶点坐标是，对称轴为直线， 故B错误，不符合题意；C正确，符合题意； ∵， ∴抛物线开口向下，故A错误，不符合题意； 当时，，故D错误，不符合题意， 故选：C． 11．（25-26学年九上·浙江温州教育联盟·期中）抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据二次函数的图象与性质可进行求解． 【详解】 解：由抛物线可知：开口向上，对称轴为直线， 该二次函数上所有的点满足离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越小， ∵，，， 而，，， ∴点离对称轴最近，点离对称轴最远， ∴； 故选：D． 12．（25-26学年九上·浙江名校共同体·期中）二次函数的图像先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得的二次函数表达式为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【点睛】 本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握平移规律是解答本题的关键． 按“上加下减常数项，左加右减自变量”的规律平移即可得出所求函数的解析式． 【详解】 解：∵向左平移2个单位， ∴； ∵再向下平移1个单位， ∴． 故选A． 13．（25-26学年九上·浙江发展协作共同体·期中）将二次函数的图象先向右平移4个单位，再向上平移3个单位所得图象的函数表达式为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了二次函数图象的平移规律，解题的关键是掌握“左加右减、上加下减”的平移法则（针对函数顶点式，左右平移改变x的取值，上下平移改变常数项）． 根据二次函数平移法则，原函数为顶点式，向右平移4个单位需将x替换为，再向上平移3个单位需在解析式末尾加3，进而得到平移后的函数表达式． 【详解】 解：二次函数图象平移遵循“左加右减、上加下减”法则， 原函数可化为顶点式， 向右平移4个单位后，解析式变为． 再向上平移3个单位后，解析式为． 故选：A． 14．（25-26学年九上·浙江绍兴元培·期中）若抛物线向左平移1个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线，则平移前的抛物线表达式是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了抛物线的平移，熟练掌握“上加下减，左加右减”是解题的关键．通过逆向平移操作，将平移后的抛物线向下平移3个单位，再向右平移1个单位，得到平移前的抛物线表达式即可． 【详解】 解：∵ 抛物线向左平移1个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线， ∴ 平移前的抛物线表达式为：， 故选：B． 15．（25-26学年九上·浙江舟山五校联盟·期中）关于二次函数，下列说法正确的是（       ） A. 图象的开口向上 B. 图象的对称轴为直线 C. 图象顶点坐标为 D. 当时，随的增大而增大 【答案】C 【分析】 本题考查抛物线顶点式的性质． 根据抛物线顶点式的性质分析开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性即可判断各个选项是否符合题意． 【详解】 解：∵ ， ，图象的开口向下，故 A 错误，不符合题意； 对称轴为，故 B 错误，不符合题意； 顶点坐标为，故C正确，符合题意； 当时，随增大而减小，故 D 错误，不符合题意． 故选： C． 16．（25-26学年九上·浙江宁波鄞州区·期中）若点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查比较二次函数值的大小关系，根据二次函数的增减性进行判断即可． 【详解】 解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴； 故选B． 17．（25-26学年九上·浙江杭州高桥·期中）将抛物线y＝2x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位后得到的抛物线的解析式为(       ) A. y＝2﹣2 B. y＝2﹣2 C. y＝2﹣1 D. y＝2+1 【答案】B 【分析】原抛物线的顶点坐标为(0，0)，根据平移规律得平移后抛物线顶点坐标为(1，﹣2)，根据抛物线的顶点式求解析式. 【详解】解：抛物线形平移不改变解析式的二次项系数，平移后顶点坐标为(1，﹣2)， ∴平移后抛物线解析式为y＝2(x﹣1)2﹣2. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，掌握二次函数图象与几何变换是解题的关键. 18．（25-26学年九上·浙江绍兴一中·期中）点在二次函数的图象上，则的大小关系是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了抛物线的对称性，增减性，熟练掌握性质是解题的关键．根据二次函数的增减性，计算点与对称轴的距离，解答即可 【详解】 解：根据题意，二次函数为，开口向下，对称轴为， 故离对称轴越远处的点的函数值越小， 又，，， 距离由近到远依次为、、， 故， 故选：D． 19．（25-26学年九上·浙江台州·期中）顶点为，开口向下，形状与函数的图象相同的抛物线所对应的函数是（ ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】可设抛物线解析式为y＝a（x＋6）2，再由条件可求得a的值，可求得答案． 【详解】∵顶点为（−6，0）， ∴可设抛物线解析式为y＝a（x＋6）2， ∵开口向下，形状与函数y＝x2的图象相同， ∴a＝−， ∴抛物线解析式为y＝−（x＋6）2， 故选D． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x−h）2＋k中，顶点坐标为（h，k），对称轴为x＝h． 20．（25-26学年九上·浙江山海联盟协作学校·期中）二次函数的图象的顶点坐标是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查二次函数的顶点式，解题的关键是掌握二次函数顶点式的顶点坐标规律． 二次函数的顶点式为，其顶点坐标为，据此分析给定的函数式即可得出顶点坐标． 【详解】 解： 二次函数是顶点式形式，其中顶点坐标为． 故答案为：． 21．（25-26学年九上·浙江舟山·期中）将抛物线y=2x2向上平移1个单位得到的抛物线是　　　　　　　　. 【答案】y=2x2+1 【分析】直接利用二次函数图象平移规律得出平移后解析式． 【详解】解： 将抛物线y=2x2向上平移1个单位得到的抛物线是 ： y=2x2+1 . 故答案为： y=2x2+1 . 【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键． 22．（25-26学年九上·浙江金华·期中）抛物线的顶点坐标是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的性质，二次函数的顶点式，理解抛物线的顶点式是解题的关键．根据抛物线的顶点形式直接回答即可． 【详解】 解：抛物线的顶点坐标为， 抛物线的顶点坐标为， 故答案为：． 23．（25-26学年九上·浙江绍兴一中·期中）把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为　　　　　　． 【答案】 【分析】 此题考查了抛物线平移的规律：左加右减，上加下减，熟记平移的规律是解题的关键，根据规律直接得到答案． 【详解】 抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位， 则平移后抛物线的解析式为, 故答案为． 24．（25-26学年九上·浙江温州教育联盟·期中）将抛物线向下平移2个单位，所得抛物线的表达式是　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】 解：将抛物线y＝x2向下平移2个单位后所得新抛物线的表达式为y＝x2-2． 故答案是：y＝x2-2． 【点睛】 本题主要考查了二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答本题的关键． 25．（25-26学年九上·浙江杭州观成中学·期中）把抛物线先向左平移1个单位，再向下平移2个单位后得到的抛物线解析式是：　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了二次函数的平移，掌握二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”是解题的关键． 根据二次函数图象的平移规律解答即可． 【详解】 解：抛物线先向左平移1个单位，由“左加右减”原则，x变为，得到；再向下平移2个单位，由“上加下减”原则，减去2，得到． 故答案为． 26．（25-26学年九上·浙江杭州大关中学·期中）将二次函数的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位后，所得图象的函数表达式是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数图象的平移，根据二次函数图象平移的规则“左加右减，上加下减”进行计算即可得解，熟练掌握二次函数图象的平移法则是解此题的关键． 【详解】 解：二次函数的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位后，所得图象的函数表达式是， 故答案为：． 27．（25-26学年九上·浙江台州·期中）若点，在抛物线上，则，的大小关系为：　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了比较二次函数值的大小，将点A和点B的横坐标代入抛物线解析式，分别求出和的值，再比较大小即可． 【详解】 解：将代入得： ， 将点代入得： ； 则， 所以． 故答案为：． 28．（25-26学年九上·浙江绍兴一中·期中）已知二次函数． （1）求该抛物线的对称轴和顶点坐标； （2）当时，请直接写出的取值范围__________． 【答案】（1）对称轴为直线，顶点坐标为     （2）      【分析】 本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是会由二次函数的顶点式得知二次函数的性质． （1）根据顶点式即可求解； （2）利用开口方向和对称轴及自变量的取值即可求得y的取值范围． (1) 小问详解： 解：∵， ∴对称轴为直线，顶点坐标为 (2) 小问详解： 解：∵，， ∴抛物线开口向上， ∴当时，函数最小值为， ∵ ∴y的取值上界由处的函数值决定， 将代入，得， ∴当时，y的取值范围， 故答案为：． 29．（25-26学年九上·浙江名校共同体·期中）二次函数，当时，的取值范围是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的性质． 由二次函数解析式可知抛物线开口向下，顶点在区间内，最大值在顶点处取得，最小值在端点处取得，计算端点值后比较得到范围． 【详解】 二次函数的顶点坐标为 ，且，故抛物线开口向下． 当时，顶点在区间内，因此最大值． 当时，； 当时，； 比较得最小值， 故的取值范围是 ． 故答案为：． 30．（25-26学年九上·浙江台州·期中）已知抛物线与轴交于，两点． （1）若，，求该抛物线解析式； （2）若抛物线与轴交于，两点，则，，，的大小关系是______； （3）已知抛物线的图象与轴最多有一个公共点，若的最小值为3，求的值． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查了二次函数的图象和性质． （1）根据交点式求解即可； （2）根据二次函数的平移规律作答即可； （3）根据抛物线的图象与轴最多有一个公共点得到，将化为顶点式，根据顶点式的性质分时，时，两种情况作答即可． (1) 小问详解： 解：由题意得：； (2) 小问详解： 解：∵抛物线是抛物线向下平移一个单位后得到的函数解析式， ∴在之间， 即， 故答案为：； (3) 小问详解： 解：， ∵抛物线的图象与轴最多有一个公共点， ∴， ∴． ， ①时，当时，，所以． ②时，当时，，无解． 综上所述，． 31．（25-26学年九上·浙江浙派联盟·期中）二次函数的图象上存在点与点，当时，满足，则的取值范围为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查二次函数图象及性质，解一元一次不等式等．根据题意利用二次函数对称性可知，即，再由题意可得 ，解出即可得到本题答案． 【详解】 解：∵二次函数的图象上存在点与点， ∴二次函数对称轴为直线， ∴，即， ∵， ∴ ， 解第三个不等式为：， 解第二个不等式为：， 再结合第一个不等式即：且， ∴的取值范围为：， 故答案为：． 考点04 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 1．（25-26学年九上·浙江杭州观成中学·期中）二次函数的顶点坐标是（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 将函数解析式变形为：，由此即可求解． 【详解】 解：二次函数的顶点在y轴上，顶点坐标为， 故选B． 【点睛】 本题考查根据二次函数的解析式求二次函数图象的顶点，掌握二次函数解析式的顶点式是解决本题的关键． 2．（25-26学年九上·浙江山海联盟协作学校·期中）已知点在二次函数的图象上，则的大小关系是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查二次函数的性质，解题的关键是通过配方确定抛物线的对称轴，再结合开口方向比较函数值大小． 先将二次函数配方为顶点式，确定对称轴与开口方向；再计算各点到对称轴的距离，根据“开口向下时，点到对称轴越远，函数值越小”的规律比较的大小． 【详解】 解：， 二次项系数，抛物线开口向下；对称轴为直线， 点到对称轴的距离：， 点到对称轴的距离：， 点到对称轴的距离：， 抛物线开口向下，点到对称轴的距离越远，函数值越小，距离关系为：， 对应函数值关系为：，即． 故选：C． 3．（25-26学年九上·浙江名校共同体·期中）已知二次函数的图象如图所示，则下列选项正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查二次函数的图象与系数之间的关系，开口方向判断的符号，左同右异判断的符号，与轴的交点位置，判断的符号即可． 【详解】 解：由图象可知，抛物线的开口向上，对称轴在轴的右侧，与轴交于负半轴， ∴； 故选：D． 4．（25-26学年九上·浙江发展协作共同体·期中）已知二次函数（为常数，且）的图象上有四点，，，，则，，的大小关系是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征可以解答本题，本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质． 【详解】 解：∵点，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴， 故选：B． 5．（25-26学年九上·浙江杭州大关中学·期中）如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线，给出以下结论： ； 若，为函数图象上的两点，则； 对于任意实数t，总有； 若，则有； 若关于x的一元二次方程有整数根，则p的值有2个， 其中正确的有（       ）个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【分析】 本题考查的是抛物线与x轴的交点，由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断，熟知二次函数的图象与系数的关系、x轴上点的坐标特点等知识是解答此题的关键． 【详解】 解：抛物线开口向下， ∴； 抛物线的对称轴为直线， ； 抛物线与y轴的交点在x轴上方， ， ，故① 正确； ，在对称轴右侧，， ，故② 错误； 当时，y最大，即对于任意实数t有， ，故③ 正确； ， ， 若，则， ，故④ 正确； 抛物线的对称轴是直线，与x轴的一个交点是， 抛物线与x轴的另个交点是， 把代入得，， 抛物线的对称轴为直线， ， ， 解得，， ， 顶点坐标为， 由图象得当时，，其中x为整数时，，1，2， 又与时，关于直线轴对称， 当时，直线恰好过抛物线顶点． 所以p值可以有2个．故⑤ 正确； 故选：C． 6．（25-26学年九上·浙江山海联盟协作学校·期中）在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，抛物线的对称轴是直线，若，则t的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识点，由，可得，即知，故得，解题关键是根据已知求出b与a的关系． 【详解】 ∵， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， 即， 故选：D． 7．（25-26学年九上·浙江湖州第四中学·期中）点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了二次函数的性质、比较二次函数的函数值的大小，根据二次函数解析式得出抛物线开口向上，对称轴为直线，再求出、、到对称轴的距离，进行比较即可得出答案． 【详解】 解：二次函数的抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵，，，， ， 故选：D． 8．（25-26学年九上·浙江杭州星澜中学·期中）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④若，则，其中正确结论的个数为（       ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4 【答案】C 【分析】 此题考查了二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键，利用开口方向和对称轴的位置即可判断①，利用对称轴和特殊点的函数值即可判断②，利用二次函数的最值即可判断③，求出，进一步得到，又根据得到，即可判断④ . 【详解】 解：①函数图象开口方向向上， ； 对称轴在轴右侧， 、异号， ， ∵抛物线与轴交点在轴负半轴， ， ，故① 错误； ②二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线， ， ， 时，， ， ， ，故② 正确； ③对称轴为直线，， 最小值， ， ∴， 故③ 正确； ④， ∴根据抛物线与相应方程的根与系数的关系可得， ， ， ， ， ， ， 故④ 正确； 综上所述，正确的有② ③ ④ ， 故选：C 9．（25-26学年九上·浙江杭州星澜中学·期中）已知二次函数（m为常数）的图象经过点，则，的大小关系是（　　） A.  B.  C.  D. 与m的值有关 【答案】B 【分析】 本题主要考查了比较二次函数的函数值的大小，掌握二次函数的性质是解题的关键． 二次函数开口向上，对称轴为，比较点A和点B到对称轴的距离，距离越大函数值越大． 【详解】 ∵二次函数中， ∴抛物线开口向上，对称轴为， 点A横坐标，到对称轴距离为； 点B横坐标，到对称轴距离为， ∵， ∴点B离对称轴更远，函数值更大，即， ∴． 故选：B． 10．（25-26学年九上·浙江杭州高桥·期中）平面内两点、在二次函数图象上，则的最小整数值是（     ） A.  B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数的性质．点、在二次函数图象上，代入坐标得到两个方程，相减消去q和c，得到关于p和a的方程．结合的条件，推导出p的取值范围，从而找到最小整数值． 【详解】 解：∵点、在二次函数图象上， ∴，， 两式相减得：， 整理得：， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴ p的最小整数值为1． 当时，，符合条件． 故的最小整数值是1． 故选：C． 11．（25-26学年九上·浙江名校共同体·期中）已知关于的二次函数，则下列说法不正确的是（     ） A. 当时，随的增大而增大，则 B. 当时，随的增大而增大，则 C. 当时，点在函数图像上，则 D. 当时，点在函数图像上，则 【答案】D 【分析】 本题考查了二次函数的性质． 通过二次函数的交点式确定对称轴和开口方向，结合增减性和点的坐标计算，判断各选项的正误． 【详解】 解：二次函数的根为和，对称轴为直线． A：当时，若随增大而增大，则函数在对称轴左侧递增，故开口向下，，A正确； B：当时，若随增大而增大，则函数在对称轴右侧递增，故开口向上，，B正确； C：当时，点 在函数上，；点 在函数上，，∴ ，C正确； D：当时，点 在函数上，；点 在函数上，，∴ ，故 错误，D不正确； 故选：D． 12．（25-26学年九上·浙江绍兴元培·期中）通过卫星导航系统可以实时规划路径，如图1，灯塔B位于A地正东方向，C地位于A地的北偏东，4海里处．船只P从A地出发，驶向C地，在行驶过程中，设的长为x，为y，y关于x的函数图像（如图2所示）与y轴交于点，最低点，且经过．则下列选项正确的是（       ） A. 的面积是 B.  C. 点在该函数图像上 D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了函数图像的识别，二次函数图像的应用，勾股定理， 先观察图像可得点的实际意义是点P与点A重合时，，可求出，再理解点的含义进而求出三角形的高线，可解答A，B；然后根据求出，即可解答D；最后根据勾股定理说明C 即可． 【详解】 解：根据题意可知海里， 观察图像过点，即当时，， 即点P与点A重合时，， 解得； 观察图像过最低点，即当时，， 根据勾股定理得，， ∴点，， 即， 则A，B不正确； ∵当时，，此时， 根据勾股定理，得， 当点P与点C重合时，， ∴点， 则D不正确； 当时，， 根据勾股定理，得， ∴点在该函数图像上． 则C正确． 故选：C． 13．（25-26学年九上·浙江宁波鄞州区·期中）已知抛物线（a，b，c为常数，）的顶点坐标为，与y轴的交点在x轴上方，则下列结论正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了二次函数的图像与系数的关系、二次函数的图像与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 依据题意，由抛物线顶点为，故可设抛物线为，从而，则，，故可判断B；结合抛物线与轴的交点在轴上方，可得，则，故可判断A；当时，，可判断C；根据抛物线与x轴有两个交点，可判断D． 【详解】 解：抛物线顶点为， 可设抛物线为． ． 又抛物线为， ，， 即，， 即， ∴，故B不正确； 抛物线与轴的交点在轴上方， ， ， ∴， ∴，故A不正确； ∵抛物线的顶点为， 当时，，故C不正确． ∵抛物线的顶点为，抛物线开口向上， ∴抛物线与x轴有两个交点， ∴， ，故D正确． 故选：D． 14．（25-26学年九上·浙江金华·期中）已知抛物线，当时，的最小值为，最大值为，则的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数的最值以及二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数图象的特征找出的取值范围是解题的关键．根据一元二次函数的顶点式可知，当时，取得最小值，最小值为，由，可得当或时，，最后结合题意即可得解． 【详解】 ， 当时，取得最小值，最小值为， 当时，有， 解得，，， 当或时，， 当时，的最小值为，最大值为， 结合图象可知，． 故选：C． 15．（25-26学年九上·浙江绍兴一中·期中）已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论中： ①；②；③；④若为任意实数，则有；⑤当图象经过点时，方程的两根为，其中正确的结论有（     ） A. ①②③ B. ②③⑤ C. ②④⑤ D. ②③④ 【答案】B 【分析】 本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可根据二次函数的图象及性质依次排除选项即可． 【详解】 解：由图象可知：，对称轴为直线， ∴，即，故②正确； ∴，故①错误； 由图象可知：当时，则有，故③正确； 若m为任意值，当时，则， 当时，y有最小值，最小值为， ∴， ∴， ∴，故④错误； 方程的两根可看作是直线与二次函数的交点问题，如图， ∵二次函数的图象经过点，对称轴为直线， ∴二次函数也过点， ∴方程的两个根分别为， ∴；故⑤正确； 综上所述：正确的有② ③ ⑤； 故选：B． 16．（25-26学年九上·浙江舟山五校联盟·期中）图1是放在水平桌面上的高脚杯的截面图，杯体是抛物线状（杯体厚度不计），点C是该抛物线的顶点，，D是的中点．当高脚杯中装满红酒时，液面，此时最大深度（液面到最低点的距离）为．现将高脚杯绕点F缓慢倾斜倒出部分红酒，当倾斜角时停止，此时液面为，如图2所示，则此时酒杯内红酒的最大深度是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 以C为坐标原点，过C且平行于底面（或）的直线为x轴，垂直于底面的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图，在抛物线上取一点G，使得，直线交x轴于P，过B作轴于Q，在直线下方取一点M，过M作y轴的平行线交直线于N，交于H，过M作于K，如图，利用三角形的内角和定理，结合等腰直角三角形的性质得到，故当最大时，最大；根据坐标与图形性质，结合等腰三角形的判定与性质求得；然后利用待定系数法求得直线的解析式为，抛物线的解析式为，设，则，利用二次函数性质求得的最大值为，可得的最大值为，根据旋转性质可得倾斜后酒杯内红酒的最大深度是的最大值，即可求解． 【详解】 解：以C为坐标原点，过C且平行于底面（或）的直线为x轴，垂直于底面的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图，在抛物线上取一点G，使得，直线交x轴于P，过B作轴于Q，在直线下方取一点M，过M作y轴的平行线交直线于N，交于H，过M作于K，如图， ∵，， ∴， ∴，故当最大时，最大； ∵高脚杯中装满红酒时，液面，此时最大深度（液面到最低点的距离）为． ∴轴，， 则，，， ∴，， ∴，则， 设直线解析式为， 则 ，解得 ， ∴直线的解析式为， 设抛物线的解析式为， 将代入，得，则， ∴抛物线的解析式为， 设，则， ∴， ∵， 当时，最大，最大值为， 此时，的最大值为， ∵高脚杯绕点F缓慢倾斜倒出部分红酒，当倾斜角时停止，此时液面为，如图2所示， 则此时酒杯内红酒的最大深度就是图1中的最大值， 故选：A． 【点睛】 本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式、等腰直角三角形的判定与性质、二次函数的图象与性质、坐标与图形性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，建立合适的平面直角坐标系，得到倾斜后酒杯内红酒的最大深度就是的最大值是解答的关键． 17．（25-26学年九上·浙江发展协作共同体·期中）已知二次函数经过点与． （1）求b，c的值． （2）求该二次函数图象的顶点坐标． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）将两点坐标代入二次函数解析式得到关于b与c的方程组，求出方程组的解即可得到b与c的值； （2）二次函数解析式化为顶点形式，即可求出顶点坐标． (1) 小问详解： 解：将代入二次函数解析式得： ， 解得： ； (2) 小问详解： 二次函数解析式为， 则顶点坐标为． 【点睛】 此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 18．（25-26学年九上·浙江绍兴元培·期中）二次函数的开口方向是　　　　　　　　（填“向上”或“向下”）． 【答案】向下 【分析】 本题考查二次函数的图象，根据二次函数二次项系数的符号判断开口方向即可． 【详解】 解：二次函数中，二次项系数，故抛物线的开口向下． 故答案为：向下． 19．（25-26学年九上·浙江湖州第四中学·期中）已知抛物线． （1）求该抛物线的对称轴； （2）若点和在该抛物线上，试比较和的大小． 【答案】（1）该抛物线的对称轴为直线；     （2）      【分析】 本题主要考查了二次函数的图象和性质： （1）把解析式化为顶点式，即可求解； （2）根据二次函数的性质，即可求解． (1) 小问详解： 解：， ∴该抛物线的对称轴为直线； (2) 小问详解： 解：∵抛物线的对称轴为直线，， ∴抛物线开口向上， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵， ∴． 20．（25-26学年九上·浙江杭州星澜中学·期中）已知点，是函数图象上两点，则当时，函数值　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查二次函数图象的性质，解答本题的关键是求解抛物线的对称轴．根据题意可以求得抛物线的对称轴，可得，从而可以求得相应的y的值． 【详解】 解：∵点，是函数图象上两点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴当时， ∴， 故答案为：． 21．（25-26学年九上·浙江杭州高桥·期中）点是二次函数图象上一点，已知点到轴的距离不大于2，则的取值范围为　　　　　　. 【答案】 【分析】 本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；由题意易得，然后根据二次函数的性质可进行求解． 【详解】 解：由二次函数可知：开口向上，对称轴为直线， ∵点到轴的距离不大于2， ∴， ∴当时，有最小值，最小值为， ∴当时，则有，当时，则有， ∴的取值范围为； 故答案为． 22．（25-26学年九上·浙江杭州高桥·期中）已知二次函数图象经过、、三点. （1）求二次函数表达式； （2）结合图象直接写出时，自变量的取值范围是______. 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）由题意可设，然后把点代入进行求解即可； （2）先得出图象，然后根据图象可进行求解． (1) 小问详解： 解：由题意可设，把点代入得： ，解得：， ∴二次函数表达式为； (2) 小问详解： 解：由（1）函数解析式可得图象如下： ∴由函数图象可知：当时，自变量的取值范围是； 故答案为． 23．（25-26学年九上·浙江浙派联盟·期中）已知二次函数的图象过点，则的值为　　　　　． 【答案】1 【分析】 本题主要考查二次函数的解析式，掌握待定系数法是解题的关键． 将点代入函数解析式，得到关于的方程，解方程即可． 【详解】 ∵二次函数的图象过点， ∴代入解析式，得， 即， 移项得， 解得． 故答案为：1． 24．（25-26学年九上·浙江温州教育联盟·期中）抛物线（a为常数，）的对称轴是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查二次函数的对称轴，掌握知识点是解题的关键． 根据二次函数的对称轴公式求解即可． 【详解】 解：对于二次函数，其对称轴为直线． ∴函数的对称轴为． 故答案为：． 25．（25-26学年九上·浙江舟山名校协作体·期中）若抛物线经过点，则　　　　　　　　　　　 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．将点代入抛物线表达式，得到关于的方程，解一元一次方程即可． 【详解】 解：因为抛物线经过， 则， 解得， 故答案为：． 26．（25-26学年九上·浙江舟山名校协作体·期中）已知 （1）化简T． （2）若a为二次函数的最小值，求此时的T值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了分式的化简求值，二次函数的最值问题，熟练掌握运算法则和知识点是解题的关键． （1）先将括号内的分式通分化简，再将除法运算转化为乘法运算即可； （2）先对二次函数进行配方即可求出最小值，再代入求解． (1) 小问详解： 解： ， ∴． (2) 小问详解： 解：， ∴二次函数的最小值为3，即， ∴． 27．（25-26学年九上·浙江绍兴元培·期中）已知抛物线经过点． （1）求a的值． （2）过y轴上一点A，作y轴的垂线，交该抛物线于B，C两点，且点B为线段的中点．求点A的坐标． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了求二次函数关系式，二次函数图象的性质， 对于（1），将代入关系式可得答案； 对于（2），先求出抛物线的对称轴，再根据题意可得，进而求出，然后根据关系式求出答案． (1) 小问详解： 解：把点代入得， 解得； (2) 小问详解： 解：由（1）得该抛物线的对称轴为， ∵B为线段的中点， ∴， 解得， 即， 把代入， 得． ∴点A的坐标是． 28．（25-26学年九上·浙江绍兴元培·期中）已知的一个解是，二次函数的对称轴是直线，则方程的另一个解是　　　　　　　　． 【答案】2 【分析】 本题考查了二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据二次函数对称轴公式得出与的关系，再利用根与系数的关系求解另一个根． 【详解】 解：二次函数的对称轴为直线， ， ， 已知的一个解是，设另一个根为， ， ， 故答案为：2 29．（25-26学年九上·浙江绍兴元培·期中）已知二次函数． （1）在直角坐标系中画出该函数图象． （2）结合图象，写出使的x的取值范围． 【答案】（1） 画出函数图象，如下：      （2）      【分析】 本题主要考查了画二次函数图象，二次函数的图象和性质： （1）先确定抛物线的顶点坐标，再求出抛物线与x轴的交点坐标，与y轴的交点坐标，然后利用描点法画二次函数图象； （2）直接观察图象，即可得出结论． (1) 小问详解： 解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为 当时，， 当时，， 解得：， ∴抛物线与y轴交于点，与x轴交于点； (2) 小问详解： 解：由图得时，x的取值范围是． 30．（25-26学年九上·浙江宁波鄞州区·期中）已知二次函数中的x和y满足下表： x ．．． 0 1 2 3 4 5 ．．． y ．．． m 4 ．．． 由表格数据可求m的值为　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解决本题的关键． 通过观察表格中y值相同的点，确定二次函数的对称轴，再利用对称性求m的值． 【详解】 解：由表格数据可知，当和时，y的值均为， ∴二次函数的对称轴为直线． ∴点关于直线的对称点为， ∴当时，，即． 故答案为：． 31．（25-26学年九上·浙江杭州观成中学·期中）已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）若点向上平移2个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； （3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题主要考查了待定系数法，二次函数的图象与性质， （1）采用待定系数法即可求解二次函数关系式； （2）先求出平移后点B的坐标，然后把坐标代入解析式即可； （3）分为，时，时，建立方程解题即可． (1) 小问详解： 解：设二次函数的解析式为，把代入得， 解得， ∴； (2) 小问详解： 解：点B平移后的点的坐标为， 则，解得或（舍）， ∴m的值为； (3) 小问详解： 解：当时， ∴最大值与最小值的差为，解得：不符合题意，舍去； 当时， ∴最大值与最小值的差为，符合题意； 当时， 最大值与最小值的差为，解得或，不符合题意； 综上所述，n的取值范围为． 32．（25-26学年九上·浙江杭州大关中学·期中）已知二次函数(，是常数，且)的图象经过点． （1）求该函数图象的对称轴； （2）若该函数图象还经过点 ①求该函数的解析式； ②当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）     （2）①；②      【分析】 （1）根据解析式可知抛物线与轴交于点，而与关于抛物线的对称轴对称，即可求得对称轴为直线； （1）① 根据（1）的结论得出，则抛物线解析式为，将点代入解析式，待定系数法求解析式即可求解； ② 令，求得抛物线与轴的交点坐标，进而根据以及，即可求得不等式的解集． (1) 小问详解： 解：由，令，解得： ∴抛物线与轴交于点， 而与关于抛物线的对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为直线； (2) 小问详解： 解：∵抛物线的对称轴为直线； ∴，即， ∴抛物线解析式为， ∵抛物线还经过点： ∴ 解得：， ∴抛物线解析式为， 令，即， 解得： ∵，抛物线开口向上， ∴当时，． 【点睛】 本题考查了根据对称性求对称轴，待定系数法求二次函数解析式，图象法求不等式的解集，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 33．（25-26学年九上·浙江山海联盟协作学校·期中）已知，，且，设，则，k的最小值为　　　　　　　　　　　． 【答案】3 【分析】 本题考查二次函数的性质、乘法公式的应用，灵活运用乘法公式是解答的关键．先由已知条件，结合完全平方公式得到，，两式相减，利用平方差公式得到，进而求得，则，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】 解：由得，即； 由得， 即， 由得，则， ∴或， ∴或， ∴， ∵，， ∴当时，k有最小值，最小值为， 故答案为：3． 34．（25-26学年九上·浙江湖州第四中学·期中）【定义】若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：，，等都是“三倍点”． 【背景】已知二次函数（为常数）， （1）若记“三倍点”的横坐标为，则点的坐标可表示为             ； （2）若该函数经过点； ①求出该函数图象上的“三倍点”坐标； ②在范围中，记二次函数的最大值为，最小值为，求 的值； （3）在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，直接写出的取值范围． 【答案】（1）     （2）①；②     （3）      【分析】 （1）根据“三倍点”的定义，即可求得答案； （2）① 将点代入，可得的值，再将代入，解方程即可； ② 利用二次函数的顶点式求得和的值，即可求得答案； （3）由题意可得，三倍点所在的直线为，将在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，转化为在的范围内，二次函数和至少有一个交点，即转化为在内与x轴至少有一个交点求解即可． (1) 小问详解： 根据定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，可得． 故答案为：． (2) 小问详解： ① 将点代入，得：， 解得：， ∴， 将代入，得：， 解得：， ∴函数图象上的“三倍点”坐标为． ② ∵， ∴， 当时，， 当时，， ∴， ∴． (3) 小问详解： 由题意得，三倍点所在的直线为， 在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”， 即在的范围内，二次函数和至少有一个交点， 令，整理得：， 即转化为在内与x轴至少有一个交点， 函数的对称轴为,开口向上， 当时，;当时，;当时，; ① 当与x轴交点的横坐标x，满足时， 则有 即 解得：; ② 当与x轴的交点的横坐标x，满足时， 则有 即 解得：; 综上，的取值范围为：． 【点睛】 本题考查了二次函数的图像与性质，待定系数法求函数解析式，根的判别式的应用和新定义“三倍点”的理解与应用，根据“三倍点”的定义结合二次函数的相关性质是解题的关键． 35．（25-26学年九上·浙江湖州第四中学·期中）如图，在正方形中，点B，D的坐标分别为，点C在抛物线的图象上，则b的值为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数与几何的综合，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，构造辅助线是解题的关键．过点C作直线轴，过点B作于点M，过点D作于点N，利用正方形的性质，同角的余角相等，通过证明，列方程组求出点的坐标，然后利用待定系数法求出的值． 【详解】 解：过点C作直线轴，过点B作于点M，过点D作于点N，如图所示： ， ∴和都是直角三角形， 设点C的坐标为， ∵点B，D的坐标分别为， ， ∵四边形是正方形， ， 在中，， 又， ， 在和中， ， ， ， ∴ ， 解此方程组得： ， ∴点C的坐标为， ∵点C在抛物线的图象上， ∴， 解得：． 故答案为：． 36．（25-26学年九上·浙江杭州星澜中学·期中）已知二次函数（a为常数）． （1）当时，求该二次函数图象的顶点坐标． （2）与x轴平行的直线交该二次函数图象于A，B两点，且点B的横坐标为，求的长． （3）若，点，在该二次函数图象上，试说明． 【答案】（1）     （2）6     （3） 解：∵点，在该二次函数图象上， ∴， ， ∴ ， ∴当时，即， 解得：， ∵，且， ∴， 即．      【分析】 本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）把代入二次函数解析式得，然后配成顶点式即可求解； （2）由题意易得该二次函数与x轴的交点坐标为，则有该二次函数的对称轴为直线，然后根据二次函数的对称性可进行求解； （3）由题意易得，，则有，然后根据二次函数的性质可进行求解． (1) 小问详解： 解：当时，则二次函数的解析式为， 化为顶点式为， ∴二次函数图象的顶点坐标为； (2) 小问详解： 解：令时，则有，解得：， ∴该二次函数与x轴的交点坐标为， ∴该二次函数的对称轴为直线， 由与x轴平行的直线交该二次函数图象于A，B两点，可知：二次函数图象上的A，B两点关于二次函数的对称轴对称， ∵点B的横坐标为， ∴点B到对称轴的距离为， 根据对称的性质可知：； (3) 小问详解： 略 37．（25-26学年九上·浙江杭州星澜中学·期中）二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值如下表： x … 0 1 2 … y … 2 7 … （1）二次函数的图象开口向        ，对称轴为直线        ． （2）求该二次函数的解析式． （3）直接写出当时，求y的取值范围        ． 【答案】（1）上，     （2）     （3）      【分析】 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象及其性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）当时，；当时，，可得对称轴，由表中数据，利用待定系数法即可求得的值，即可判断开口方向； （2）由表中数据，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式； （3）利用二次函数图象上点的坐标特征求出当和时的值，结合顶点的坐标，即可求解． (1) 小问详解： 解：当时，；当时，， 二次函数图象的对称轴为直线， 将，，代入， 得： ， 解得： ， 二次函数的表达式为； ∵， ∴二次函数的图象开口向上， 故答案为：上，； (2) 小问详解： 由（1）可知二次函数的表达式为； (3) 小问详解： 解：当时，； 当时，． 又二次函数图象的顶点坐标为，抛物线开口向上， 当时，随增大而减小，当时，随增大而增大， 当时，． 故答案为：． 38．（25-26学年九上·浙江舟山·期中）已知二次函数． （1）当时，求抛物线的顶点坐标； （2）当为何值时，抛物线与轴只有一个交点； （3）在中，记的最大值为，最小值为，若时，求的值． 【答案】（1）     （2）     （3）或      【分析】 本题考查了二次函数的图象和性质，理解题意是解决本题的关键． （1）将代入二次函数解析式，并转化为顶点式即可求解； （2）根据一元二次方程的根的判别式进行求解即可； （3）根据题意分为两种情况：当时和当或时，进行求解即可． (1) 小问详解： 解：当时， ， ∴抛物线的顶点坐标为； (2) 小问详解： 解：在中，， ∴ 当时，抛物线与轴只有一个交点， ∴ 解得； (3) 小问详解： 解： ∴二次函数的对称轴为直线，函数开口向上，顶点坐标为， 情况1：，即，最小值； 当到1距离更远时，最大值， 此时 ， 解得：或（舍去）． 当到距离更远时，最大值， 此时 ， 解得：（舍去）或． 情况2：或， 当时：在范围内，随增大而增大， 则，， 则， 解得， 解得：（舍去，因）． 当时：在范围内，随增大而减小， 则，， 则， 解得：（舍去，因）． 综上所述，或． 39．（25-26学年九上·浙江发展协作共同体·期中）已知抛物线，当时，的取值范围是．若将该抛物线向右平移6个单位后经过点，则的值是　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的性质、抛物线平移规律及因式分解，解题的关键是因式分解简化解析式，结合平移和取值范围求参数． 先因式分解抛物线解析式，利用平移规律得平移后解析式，代入已知点建立与关系；根据开口方向和取值范围，结合单调性求，进而得． 【详解】 解：抛物线向右平移6个单位后解析式为． ∵过点，代入得， ，即，化简得． 将代入，得 ． ∴，开口向下，对称轴， ∵时，对称轴在区间内，顶点为最大值点． 顶点（最大值点）坐标为： ，， 给定取值范围 ，且最小值为 0，最大值为6． 由于开口向下，顶点为最大值：（因为，所以）： ∴， ∴． 故答案为：． 40．（25-26学年九上·浙江发展协作共同体·期中）已知二次函数和正比例函数的图象如图所示，则方程的两根之和　　　　　　　　　　　0（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】 本题考查的是抛物线与x轴的交点，熟知抛物线与x轴的交点与一元二次方程根的关系是解答此题的关键． 设的两根为，由二次函数的图象可知，；设方程的两根为m，n，再根据根与系数的关系即可得出结论． 【详解】 解：设的两根为， 对称轴在的负半轴， ，， ， ∴由二次函数的图象可知； 设方程的两根为m，n， 则 ∵ ∴， ∵ ∴ 即 故答案为： 41．（25-26学年九上·浙江发展协作共同体·期中）【背景材料】 在微项目实践课上，探究小组用两个互相垂直的直尺制作了一个“T”形尺，并用它对二次函数图象的相关性质进行研究． 把“”形尺按如图方式摆放，水平宽的中点为，图象的顶点为，测得为厘米时，为厘米． 【建立模型】 （1）探究小组先对的图象进行多次测量，测得与的部分数据如表： 0 1 2 3 ．．． 0 1 4 9 ．．． 猜想：与的关系式是___________ （2）探究小组又对多个二次函数的图象进行了测量研究，发现测得的与也存在类似的关系式，并针对二次函数的情况进行了推理验证．请从下表中任选一种方法（在“”内打“√”）补全其推理过程．（根据需要，选用字母表示答案） ☐方法1 ☐方法2 如图，将二次函数图象平移，使顶点移到原点的位置，则．所以点的坐标为___________，将点的坐标代入，得到与的关系式是_________． 如图，顶点的横坐标加个单位，纵坐标加个单位得到点的坐标，所以点的坐标为___________；将点的坐标代入，得到与的关系式是_________． 【应用模型】 （3）二次函数图象的顶点为，且经过，两点．若轴，，为等边三角形，求的值． 【答案】（1）； （2）方法一：；； 方法二：；； （3）或 【分析】 本题考查了二次函数综合运用，涉及到函数作图、方案探究等，理解题意，逐次求解是解题的关键． （1）根据表格数据即可求函数表达式； （2）方案一：；将点的坐标代入抛物线表达式即可求解；方案二：同方案一； （3）由题意知：，，为等边三角形，过点C作，则，由（2）知，对于抛物线，求出，，进而求解． 【详解】 解：（1）由表格数据可猜测， 故答案为：； （2）方法一：点， 将点的坐标代入函数表达式得：； 则， 方法二：点， 将点的坐标代入抛物线表达式得：， 解得：； （3）由题意知：，，为等边三角形， 过点C作， 则， 当时， 则， 由（2）知， 对于抛物线，可知，， 则， 解得：． 当时， 则， 由（2）知， 对于抛物线，可知，， 则， 解得：． 综上，或． 42．（25-26学年九上·浙江绍兴元培·期中）已知二次函数． （1）若该二次函数图象与x轴有且只有1个交点，求a的值． （2）在（1）的基础上，若点在抛物线上，且到y轴的距离小于或等于2，那么我们称点P是y轴的“亲密点”，求所有“亲密点”的y的取值范围． （3）若点和点在该函数图象上，点是二次函数图象上的任意一点，满足，求的取值范围． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题主要考查的是二次函数性质，二次函数与轴的交点，熟练利用二次函数的性质是解题的关键． （1）根据题意可得，列方程即可解答； （2）根据题意可得，利用二次函数的性质即可解答． （3）根据点是二次函数图象上的任意一点，满足，得到二次函数图象开口向上，即，，由此列得，根据二次函数的性质解答． (1) 小问详解： 解：∵二次函数图象与轴有且只有1个交点 ∴， 得或 ∵    ∴； (2) 小问详解： ∵在上， 又抛物线的对称轴为， ∴当时，y有最小值，此时， 当时，y有最大值，此时， ∴所有“亲密点”的y的取值范围是 (3) 小问详解： ∵点是二次函数图象上的任意一点，满足 ∴二次函数图象开口向上，即， ∵对称轴为直线， ∴顶点坐标为， ∴ ∵， ∴． 43．（25-26学年九上·浙江宁波鄞州区·期中）已知二次函数（为常数）的图象经过点，对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）若此函数图象上有一点到轴的距离不大于2，求的最大值与最小值之差； （3）已知点在该二次函数的图像上且位于轴的两侧，若恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）     （2）的最大值与最小值之差为9．     （3）或．      【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，求出函数解析式是解题的关键． （1）由题意先设顶点式，再代入，即可求解； （2）由题意得，由于开口向上，那么当时，有最小值1；由于横坐标为的点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离1，则当时，取得最大值，即可求解； （3）① 若点在轴的左侧，点在轴的右侧，则 ，由于恒成立，所以，再分别解不等式和不等式组；② 若点在轴的右侧，点在轴的左侧，则 ，由于恒成立，则，再分别解不等式和不等式组即可． (1) 小问详解： 解：因为对称轴为直线， 所以设， 因为图象经过点， 所以， 解得， 所以二次函数的表达式为； (2) 小问详解： 解：因为点到轴的距离不大于2，所以， 因为该函数二次项系数为1大于0， 所以当时，有最小值1； 因为横坐标为的点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离1， 所以当时，取得最大值为， 因为， 所以的最大值与最小值之差为9； (3) 小问详解： 解：二次函数图象的对称轴为直线， ① 若点在轴的左侧，点在轴的右侧， 所以 ，解得：， 因为恒成立，所以，解得， 所以． ② 若点在轴的右侧，点在轴的左侧， 所以 ，解得：， 因为恒成立，所以，解得， 所以， 综上所述，的取值范围是或． 44．（25-26学年九上·浙江宁波鄞州区·期中）二次函数（，为常数）的图像经过点，． （1）求二次函数的表达式，并写出该二次函数图像的顶点坐标； （2）求当时，的范围． 【答案】（1），顶点坐标为     （2）      【分析】 本题考查了求二次函数解析式，求顶点坐标，以及利用二次函数的性质解不等式． （1）将，代入求出解析式，化为顶点式求顶点坐标即可； （2）先求出与x轴的交点横坐标，然后结合二次函数的性质求解即可． (1) 小问详解： 解：∵二次函数（，为常数）的图像经过点，， ∴ ， 解得： ， ∴二次函数表达式为， ∴顶点坐标为； (2) 小问详解： 解：当时，， 解得或， 当时，， ∵抛物线开口向上， ∴当时，x的取值范围为． 45．（25-26学年九上·浙江杭州大关中学·期中）二次函数的图象如图，若有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本道题考查了二次函数图象的性质，解题的关键是掌握二次函数图象的性质． 先根据题意画出的图象，即可得出有两个不相等的实数根时，k的取值范围． 【详解】 解：当，的图象在轴上方， 此时， 此时的图象是函数在轴上方部分的图象， 当时，的图象在轴下方， 此时 此时的图象是函数在轴下方部分与轴对称的图象， 的顶点纵坐标是， 函数在轴下方部分与轴对称的图象的顶点纵坐标是， 的图象如下图， 观察图象可得当时， 函数图象在直线的上方时，纵坐标相同的点有两个， 函数图象在直线上时，纵坐标相同的点有三个， 函数图象在x轴与直线之间的部分，纵坐标相同的点有四个， 若有两个不相等的实数根， 则函数图象应该在的上边， ∴． 故答案为：． 46．（25-26学年九上·浙江山海联盟协作学校·期中）已知二次函数（为常数且）． （1）求该抛物线的顶点坐标． （2）若该函数图象向右平移3个单位后恰经过原点． ①求的值． ②当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，求的取值范围． 【答案】（1）顶点坐标为；     （2）①；②      【分析】 （1）由，即可求解； （2）① 该函数图象向右平移3个单位后得到，图象经过原点，则，即可求解； ② 先求出抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，再分三种情况：当时，当时，当时，即可求解． (1) 小问详解： ， 该抛物线的顶点坐标为； (2) 小问详解： ①该函数图象向右平移3个单位后得到， 经过原点． ， ； ②∵， ∴抛物线的表达式为：， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，， ∵时，二次函数的最大值与最小值的差为4， i）当时，当时函数有最大值2，当时函数有最小值； ∴， 解得：舍去； ii）当时，当时函数有最大值2，当时函数有最小值， ∴，符合题意； iii）当时，当时函数有最大值，当时函数有最小值， ∴， 解得（不合题意，舍去）， 综上， 【点睛】 本题考查的是二次函数综合运用，涉及到待定系数法求函数表达式、函数的最值等，分类求解和数形结合是解题的关键． 47．（25-26学年九上·浙江湖州第四中学·期中）用数学的眼光观察世界，你会发现生活中处处有数学；用数学的思维思考世界，你就能探索现实世界的奥秘．我校和思项目化小组在研究“植物生长”课题时发现：一棵生长的幼苗可以近似看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成（如图1）．小数同学在观察研究幼苗叶片生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线都可以看作是二次函数图象的一部分，如图2，该二次函数图象经过坐标系的原点，已知直线与水平线的夹角为，三天后，点D长到与点P同一水平位置的点时，叶尖Q落在射线上，如图3所示，则此时幼苗叶子的长度为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了二次函数综合、一次函数与几何综合等知识点，灵活运用所学知识是解题的关键． 依据题意，先求出，然后求出直线的解析式，进而求出，同理可求出直线的解析式，则，求出抛物线解析式进而求出，作交延长线于点H，再利用勾股定理求解即可． 【详解】 解：如图2：∵二次函数为过原点， ∴，解得：． ∴二次函数为． ∴． ∵直线与x轴成角， 设直线的解析式为，把点代入得，解得b＝1， ∴直线的解析式为． 联立方程组 ，解得： 或 （不符合题意舍去）． ∴， 同理可求出直线的解析式为， ∴． 把代入， ∴． ∴． ∴抛物线解析式为． 联立 ， ∴． ∵幼苗是越长越张开， ∴，不合题意，舍去． ∴． 作交延长线于点H， ∴． 故答案为：． 48．（25-26学年九上·浙江舟山·期中）二次函数的图象如图所示，对称轴为直线．若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有解，则的取值范围是　　　　　　． 【答案】 【分析】 先利用抛物线的对称轴求出，得到抛物线解析式为，再计算出自变量为和对应的函数值，然后利用函数图象写出直线与抛物线在时有公共点时的范围即可． 【详解】 解：如图，关于的一元二次方程的解就是抛物线与直线的交点的横坐标．由题意可知，， 二次函数， 该抛物线的顶点坐标为， 当时，； 当时，． 由图象可知，时，抛物线与直线在的范围内有交点． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了抛物线与轴的交点，把求二次函数与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程． 49．（25-26学年九上·浙江杭州高桥·期中）定义：若两个函数图象有交点，则称这两个函数为“关联函数”，两个函数图象构成的封闭图形（含边界）叫做“关联区域”，如图1，与是关联函数，阴影部分是关联区域，如图2，过关联区域内一点作轴平行线，分别交函数图象于、两点，当线段长度最大时，该距离叫做“最优关联距离”，若此时为整数，则称点为“最优关联点”， （1）证明：函数与是“关联函数”； （2）求“关联函数”与的“最优关联距离”； （3）若“关联函数”与恰有三个“最优关联点”，求的取值范围. 【答案】（1） 证明：由题意得， ， 则， 整理得， ， ∴该方程有两个不相等的实数根， ∴这两个函数图像有2个交点， ∴函数与是“关联函数”；     （2）     （3）      【分析】 本题考查了新定义，涉及二次函数的图象与性质，二次函数图象与一次函数图象的交点问题，一元二次方程的根的判别式等知识点． （1）联立两个函数解析式，得到一元二次方程，再由根的判别式判断一元二次方程根的情况，即可判断两个函数图像是否有交点，即可证明； （2）由题意得，则，再利用二次函数的性质求解最值； （3）由题意得，则，则当时，取得最大值，当时，；，则，由题意得有三个整数值，即为，故，再解不等式即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图， 由题意得， ∴， ∴ ∵， ∴当时，取得最大值为， ∴“关联函数”与的“最优关联距离” 为； (3) 小问详解： 解：如图： 由题意得， ∴， ∴ ∵， ∴当时，取得最大值， 当时，；， ∴ ∵“关联函数”与恰有三个“最优关联点”， ∴有三个整数值，即为，如图： ∴， 解得 ∴“关联函数”与恰有三个“最优关联点”，求的取值范围． 50．（25-26学年九上·浙江绍兴一中·期中）如图1，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于点、两点（点在的左侧），与轴交于点，且过点． （1）求的值和点，点的坐标； （2）如图2，点是抛物线第四象限上的点，且，直线交轴于点，连结，过点作交轴于点，连结，求面积的最大值． 【答案】（1）1，，     （2）15      【分析】 本题是二次函数综合题．考查了运用待定系数法求直线及抛物线的解析式、三角形的面积等知识，掌握数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度是解题的关键． （1）根据待定系数法求解即可，然后令，求出方程的解，即可求出A、B的坐标； （2）分别求出直线、直线的解析式，根据可得的解析式，可得出、的坐标，即可得线段的长度，然后根据三角形的面积公式求出，最后根据一次函数的性质求解即可． (1) 小问详解： 解：把代入， 得， 解得， ∴， 当时，， 解得，， ∴，； (2) 小问详解： 解：， 设直线的解析式为， ，解得 ， 直线的解析式为， ， 同理得：直线的解析式为， ∵， 设的解析式为， ， ，解得， 的解析式为， ， 线段的长度为， ∴， ∴随m的增大而增大， 又 当时，有最大值为， 即面积的最大值为15． 51．（25-26学年九上·浙江绍兴一中·期中）已知抛物线的顶点为，直线平行于轴，且与抛物线交于、两点，点到直线的距离为，若，则　　　　　　　　　　． 【答案】4 【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，一元二次方程根的判别式，完全平方公式的应用等知识，先求出顶点坐标为，设直线的方程为（平行于轴），与抛物线方程联立，并整理得，设A、B的横坐标为，，根据根与系数的关系得出，，根据完全平方公式的变形求出，则，结合已知可得出，设 ，则，解得或，然后分别检验求解即可． 【详解】 解：∵， ∴顶点坐标为， 设直线的方程为（平行于轴）， 与抛物线方程联立，并整理得， 设A、B的横坐标为，， ∴，， ∴， ∴， ∵点到直线的距离为，， ∴， 设 ，则，解得或， 当时，，与有两个交点矛盾， 故，则． 故答案为：4． 52．（25-26学年九上·浙江温州教育联盟·期中）已知抛物线（m为常数），请回答下列问题： （1）点在该抛物线上，求m的值． （2）若该抛物线经过点，当时，求k的取值范围． 【答案】（1）或     （2）      【分析】 本题重点考查了二次函数的图像与性质，时，当时，取得最小值，，在对称轴左侧，即时，随着的增大而减小，在对称轴右侧，即时，随着的增大而增大；时，当时，取得最大值，，在对称轴左侧，即时，随着的增大而增大，在对称轴右侧，即时，随着的增大而减小，同时还考查了一元二次方程的求解，熟练掌握二次函数的图像与性质是本题求解的关键． （1）将点代入抛物线方程，得到关于的一元二次方程，即可求得的值． （2）将点代入抛物线方程，得到，整理得到关于的二次函数即，得到对称轴为，此抛物线，开口向上，故在时，随着的增大而减小，求得，在时，随着的增大而增大，求得，综合得到的取值范围为． (1) 小问详解： 解：将点代入抛物线方程， 得到， 故或． 答：的值为或． (2) 小问详解： 解：将点代入抛物线方程， 得到， 即， 此抛物线对称轴为直线， 当时，随着的增大而减小，得到的取值范围为， 在时，随着的增大而增大，的取值范围为， 综合得到当时，的取值范围为． 答：当时，的取值范围为． 53．（25-26学年九上·浙江名校共同体·期中）已知关于的二次函数（为常数） （1）若函数图象过点，对称轴为直线，求的值； （2）若函数表达式可以改写成，求证：； （3）设，在（）的条件下，当时，函数的最大值与最小值差为，求的最大值． 【答案】（1）     （2） 证明：，函数表达式可以改写成， ， ∴， ；     （3）      【分析】 （）利用待定系数法和对称轴公式解答即可； （）利用配方法可得，即得，得到，进而得到，即可求证； （）由得抛物线开口向上，顶点坐标为，即得当时，函数的最小值为，即得到函数的最大值为，再把代入可得，，进而得到，，且两个等号至少有一个可取，即得到，，最后把的最大值代入计算即可求解； 本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握相关知识是解题的关键． (1) 小问详解： 解：∵函数图象过点， ∴， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：∵， ∴抛物线开口向上，顶点坐标为， ∴当时，函数的最小值为， ∵函数的最大值与最小值差为， ∴函数的最大值为， 把代入，得， 解得，， ∵， ∴，，且两个等号至少有一个可取， ∴，， ∴的最大值． 54．（25-26学年九上·浙江发展协作共同体·期中）已知关于的二次函数． （1）当时． ①求该函数的表达式． ②当时，该函数的最大值与最小值的差是3，求的值． （2）若和是抛物线上的两个点，且，求的取值范围． 【答案】（1）①②     （2）      【分析】 本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）① 将代入解析式即可得出结果；② 根据二次函数的增减性分类讨论进行求解即可； （2）求出抛物线的对称轴，根据二次函数的增减性进行判断即可． (1) 小问详解： 解：① 当时，； ② ∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远函数值越小， 当时： ①时，当时，函数值最小为； 当时，函数值最大为，则， 解得或（舍去）； ② 当时，当时，函数值最小为； 当时，函数值最大为，则，不符合题意； ③ 当时，当时，函数值最小为； 当时，函数值最大为，则， 解得，均不满足，故舍去； 综上：； (2) 小问详解： ∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远函数值越小， ∵和是抛物线上的两个点，且， ∴， 解得． 55．（25-26学年九上·浙江舟山五校联盟·期中）如图1，在平面直角坐标系内，抛物线的顶点坐标为，与直线交于点和点． （1）直接写出点的坐标； （2）求抛物线的解析式，并求出点的坐标； （3）如图2，点是线段上的一个动点，过点作轴的平行线交直线于点，交抛物线于点，以为一边，在的右侧作矩形，且．当矩形的面积随着的增大而增大时，求的取值范围． 【答案】（1）     （2），     （3）或      【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质、勾股定理、勾股定理逆定理、待定系数法求二次函数的解析式、矩形的性质、二次函数的综合等知识点，熟练掌握以上知识点，采用数形结合与分类讨论的思想解题，是解此题的关键． （1）作交于点D，则，得到 ，由二次函数的性质可得 ，即可得出点B的坐标， （2）设抛物线的解析式为，将代入抛物线得：，求出a的值，即可得出抛物线解析式，联立 ．即可求出点C的坐标． （3）根据题意得 ，，分两种情况：当点D在点C的左侧时；当点D在点C的右侧时，分别计算即可得到答案． (1) 小问详解： 如图1，作交于点D， ∵， ∴， ∴， ∵、B为二次函数与x轴的交点， ∴、B关于直线对称， ∴， ∴， ∴． (2) 小问详解： 设抛物线解析式为， 将代入抛物线得：， 解得：， ∴抛物线解析式为， 联立 ， 解得：，（不符合题意，舍去）， 当时，， ∴． (3) 小问详解： ∵点是线段上的一个动点，过点作轴的平行线交直线于点，交抛物线于点， ∴，， 如图2，当点D在点C左侧时， ， ∴， ∴， ∴当时，矩形的面积随着的增大而增大， 如图3，当点D在点C右侧时， ， ∴， ∵， ∴当时，矩形的面积随着的增大而增大． 综上所述，当或时，矩形的面积随着的增大而增大． 56．（25-26学年九上·浙江舟山五校联盟·期中）如图，已知抛物线的图象与轴交于点和点，与轴交于点．点是抛物线上的一动点，且满足，则点横坐标是　　　　　　． 【答案】或 【分析】 本题考查的是求解二次函数的解析式，二次函数与角度问题. 连接，取，连接交抛物线于，证明，，可得，即，求解直线为，再进一步解答即可；如图，关于直线对称的，证明，可得，同理可得：的解析式为：，记直线与抛物线的交点为，再进一步求解即可. 【详解】 解：令，则， 令，则， 解得或， ∴，，， 如图，连接，取，连接交抛物线于， ∵，，， ∴，，而， ∴，， ∴， ∴，即， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为， 联立得， 解得：（舍去）或； 关于直线对称的， ∴，，， ∴， ∴， 同理可得：的解析式为：，记直线与抛物线的交点为， ∴， 联立得， 解得：（舍去）或；， 综上：点横坐标是或. 故答案为：或. 57．（25-26学年九上·浙江宁波鄞州区·期中）已知y是和值中较小的一个，其中，，则当时，y的最小值与最大值的和为　　　　　． 【答案】3 【分析】 本题考查二次函数的综合应用，根据题意，画出图形，数形结合确定最大值和最小值，进行求解即可． 【详解】 解：画出，的图象如下： 令，解得或， 当时，； 当时，； 当时，， 由图可知：当时，有最小值为； 当时，有最大值为； ∴y的最小值与最大值的和为； 故答案为：3． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $