精品解析： 浙江省绍兴市新昌县西郊中学2021-2022学年九年级上学期期中数学试卷

2021-2022学年浙江省绍兴市新昌县西郊中学九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 若关于的函数是二次函数，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵关于的函数是二次函数，二次函数要求二次项系数不为0， ∴， 解得． 2. 如图，点A、B、C是⊙O上的三个点，若，则的度数为（　　） A. 37° B. 74° C. 24° D. 33° 【答案】A 【解析】 【分析】由圆周角定理，得，计算求解． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查圆周角定理，由定理得出角之间的数量关系是解题的关键． 3. 有五张质地、大小、反面都相同的不透明卡片，正面分别写着数字5，6，7，8，9，把它们的正面向下，随机摆放在桌面后任意抽取一张，则抽出的数字是奇数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查概率公式的应用，解题的关键是准确识别奇数的个数，熟练运用概率公式进行计算． 先确定总情况数与抽出数字为奇数的情况数，再利用概率公式计算即可． 【详解】解：∵总共有5张卡片，总情况数为5， 又∵正面数字是奇数的卡片有5、7、9，共3张，符合条件的情况数为3， ∴根据概率公式“概率所求情况数总情况数”，可得抽出数字是奇数的概率为， 故选：A． 4. 将二次函数的图象向上平移个单位长度，得到的二次函数的表达式为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”，即可求解． 【详解】解：二次函数的图象向上平移个单位长度， ∴得到的二次函数的表达式为． 5. 如图，绕点O逆时针旋转得到，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据旋转的性质可知，由，相减即可得到答案． 【详解】解：由旋转的性质可知，， ， ， 故选C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，准确找出旋转角是解题关键． 6. 如图，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，P是弧EF上一点，则∠BPD的度数是(　　) A. 30° B. 60° C. 55° D. 75° 【答案】B 【解析】 【分析】构造圆心角，利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半求得答案即可． 【详解】连接OB，OD， ∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴∠BOD＝＝120°， ∴∠BPD＝∠BOD＝60°， 故选B． 【点睛】本题考查了正多边形和圆以及圆周角定理的知识，解题的关键是正确的构造圆心角，难度不大．注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半． 7. 已知，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由得到x=，再代入计算即可． 【详解】∵， ∴x=， ∴=． 故选：B． 【点睛】考查了求代数式的值，解题关键是根据得到x=，再代入计算即可． 8. 如图，的半径为4，以A为圆心，为半径的弧交于B、C点，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先判断四边形是菱形，是正三角形，再根据菱形的性质和正三角形的性质进行计算即可． 【详解】解：由题意可知，， ∴四边形是菱形，是正三角形， ∴， ∴ ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查垂径定理，菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，判断四边形是菱形是正确解答的前提． 9. 如图，抛物线的对称轴为直线，则下列结论中，错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】A、由抛物线的开口向下知，与轴的交点在轴的正半轴上，可得，因此，故本选项正确，不符合题意； B、由抛物线与轴有两个交点，可得，故本选项正确，不符合题意； C、由对称轴为，得，即，故本选项错误，符合题意； D、由对称轴为及抛物线过，可得抛物线与轴的另外一个交点是，所以，故本选项正确，不符合题意． 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系．会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用． 10. 已知锐角，如图： （1）在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，连接； （2）分别以点，为圆心，长为半径作弧，交弧于点，； （3）连接，． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（    ） A. B. 若则 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，由作法得，则根据圆周角、弧、弦的关系可对A进行判断；当时，为等边三角形，则，于是根据圆周角、弧、弦的关系可对B进行判断；根据圆周角定理直接对C进行判断；根据两点之间线段最短可对D进行判断． 【详解】解：连接， 由作法得， ， 所以A正确； ， 当时，为等边三角形， ， ， 所以B正确； ， ， ， 所以C正确； ， ， 所以D错误． 二、填空题（本大题共6小题，共30.0分） 11. 正多边形的一个内角是，这个正多边形是正______边形． 【答案】六 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的内角和外角，先根据内角度数求出外角度数，再用外角和除以这个度数即可求解，掌握正多边形的内角和外角的关系是解题的关键． 【详解】解：∵正多边形的一个内角是， ∴正多边形的一个外角是， ∴这个正多边形的边数为， 即正多边形是正六边形， 故答案为：六． 12. 如图，直线，直线和被直线，，所截，如果截得线段，，，那么线段的长为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可． 【详解】解：直线， ， ，，， ， ． 故答案为：2 13. 如图，为内接于的直径，，为上一点，，劣弧的长为______ ． 【答案】 【解析】 【分析】如图，连接，求出圆心角，利用弧长公式求解即可． 【详解】解：如图，连接， 是直径，， ， ， ， 的长． 14. 若二次函数的图象与x轴有2个不同的交点，则m的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与x轴的交点，由二次函数的图象与x轴有2个交点，可得，计算求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴有2个交点， ∴， 解得：， 故答案为：． 15. 在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＞0）的部分图象如图所示，直线x=1是它的对称轴．若一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根x1的取值范围是2＜x1＜3，则它的另一个根x2的取值范围是________． 【答案】﹣1＜x2＜0 【解析】 【详解】∵直线x=1是它的对称轴，2＜x1＜3， ∴，即， ∵2＜x1＜3， ∴， ∴，即﹣1＜x2＜0． 故答案为：﹣1＜x2＜0． 16. 如图，直线l经过的圆心O，且与交于A、B两点，点C在上，且，点P是直线l上的一个动点（与圆心O不重合），直线CP与相交于另一点Q，如果，则______． 【答案】、、． 【解析】 【分析】点P是直线l上的一个动点，因而分点P在线段AO上，点P在AO延长线上，点P在OA的延长线上这三种情况进行讨论求解即可． 【详解】当P在线段OA上如图， 在△QOC中，OC=OQ， ∴∠OQC=∠OCP， 在△OPQ中，QP=QO， ∴∠QOP=∠QPO， 又∵∠AOC=20°， ∴∠QPO=∠OCP+∠AOC=∠OCP+20°， 在△OPQ中，∠QOP+∠QPO+∠OQC=180°， 即（∠OCP+20°）+（∠OCP+20°）+∠OCP=180°， 整理得，3∠OCP=140°， ∴∠OCP=． ②当P在线段OA的延长线上如图 ∵OC=OQ， ∴∠OQP=∠OCQ=∠COP+∠OPQ=20°+∠OPQ， ∵OQ=PQ， ∴∠OPQ=∠QOP， 在△OQP中，20°+∠OPQ+∠OPQ+∠OPQ=180°③， 则∠OPQ=， ∴∠OCP=180°-20°-=； 当P在线段OA的反向延长线上如图， ∵OQ=PQ， ∴∠QPO=∠QOP， ∵OC=OQ， ∴∠OCP=∠OQC=∠QPO+∠QOP=2∠QPO， ∵∠AOC=20°， ∴∠OCP+∠QPO=20°， ∴3∠QPO=20°， ∴∠QPO=， ∴∠OCP=2∠QPO=． 故答案为、、． 【点睛】本题主要考查了圆的认识及等腰三角形等边对等角的性质,三角形外角性质，先假设存在并进行分类讨论是进行解题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 某校5月份举行了八年级生物实验考查，有A和B两个考查实验，规定每位学生只参加其中一个实验的考查，并由学生自己抽签决定具体的考查实验.小明、小丽都参加了本次考查. （1）小丽参加实验A考查的概率是 ； （2）用列表或画树状图的方法求小明、小丽都参加实验A考查的概率； 【答案】（1） ;（2） 【解析】 【分析】（1）由可参加实验考查只有两个，可得出小丽参加实验A考查的概率是； （2）画出树状图，结合树状图得出结论 【详解】（1）小丽参加实验A考查的概率是． 故答案为． （2）画树状图如图所示． ∵两人的参加实验考查共有四种等可能结果，而两人均参加实验A考查有1种， ∴小明、小丽都参加实验A考查的概率为． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法以及概率公式，解题的关键是：（1）根据可参加的实验考查的个数，求出小丽参加实验A考查的概率；（2）画出树状图. 18. 如图，已知点、的坐标分别是，将绕点按逆时针方向旋转后得到． （1）画出（不要求写出作法； （2）求旋转过程中线段所扫过的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出、的对应点即可； （2）根据扇形的面积公式计算． 【小问1详解】 解：如图，即为所作； ； 【小问2详解】 解：∵，， ∴线段所扫过的面积． 19. 已知二次函数 ． （1）将化成的形式； （2）求该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标； （3）当时，求x的范围． 【答案】（1） （2）对称轴是直线，顶点坐标是 （3）或 【解析】 【分析】（1）利用配方法把一般式化为顶点式； （2）根据二次函数的性质解答； （3）求出的解，解答即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：∵ ∴该二次函数图象的对称轴是直线，顶点坐标是； 【小问3详解】 解：当时，， 解得， ∵二次函数，故开口向上， ∴当时，或． 20. 已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）． （1）求证：AC=BD； （2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长． 【答案】 （1）证明：如答图，过点O作OE⊥AB于点E， ∵AE=BE，CE=DE， ∴BE﹣DE=AE﹣CE， 即AC=BD （2）8﹣ 【解析】 【分析】（1）过O作OE⊥AB，根据垂径定理得到AE=BE，CE=DE，从而得到AC=BD； （2）由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，连接OC，OA，再根据勾股定理求出CE及AE的长，根据AC=AE﹣CE即可得出结论． 【详解】解：（1）略 （2）由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD， 连接OC，OA， ∵OA=10，OC=8，OE=6， ∴. ∴AC=AE﹣CE=8﹣． 【点睛】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 21. 如图，AB是⊙O的直径，C、D两点在⊙O上，若∠C=45°， （1）求∠ABD的度数； （2）若∠CDB=30°，BC=3，求⊙O的半径． 【答案】（1）45°；（2）3； 【解析】 【分析】（1）求出∠A的度数，继而在Rt△ABD中，可求出∠ABD的度数； （2）连接AC，则可得∠CAB=∠CDB=30°，在Rt△ACB中求出AB，继而可得⊙O的半径． 【详解】（1）∵∠C=45°， ∴∠A=∠C=45°， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°， ∴∠ABD=45°； （2）连接AC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∵∠CAB=∠CDB=30°，BC=3， ∴AB=6， ∴⊙O的半径为3． 22. 月日，“灿都”台风中心在新昌正南方向公里，以千米小时的速度向新昌移动此时小芳因家有急事，不得不外出，她开车从新昌以千米小时的速度向正西方向行驶． （1）当小芳出发小时时，请问小芳与台风中心相距多远？ （2）何时小芳离台风中心最近，最近距离为多少？ 【答案】（1）小芳与台风中心相距千米 （2）小时后小芳离台风中心最近，最近距离为千米 【解析】 【分析】（1）先根据题意构造直角三角形，然后根据题意表示出两条直角边的长，最后根据勾股定理即可求出小芳出发小时时，与台风中心相距的路程； （2）设小时后小芳离台风中心最近，最近距离为千米，同（1）求法，利用二次函数的最值解答即可． 【小问1详解】 解：设点表示新昌，点表示台风中心初始位置，点表示小芳出发小时的位置，点表示台风中心移动小时后的位置， 由题意得公里千米，千米，千米， 千米， 在中，由勾股定理得，千米， 答：小芳与台风中心相距千米； 【小问2详解】 解：设小时后小芳离台风中心最近，最近距离为千米， 由题意得 ， ， 当时，有最小值，最小值为千米， 答：小时后小芳离台风中心最近，最近距离为千米． 23. 如图，在中，，以为直径作半圆O，交于点D，交于点E． （1）求证：． （2）若弧，求的度数． （3）过点D作于点F，若，，求弧的长． 【答案】（1）见解析 （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理以及等腰三角形的性质可得答案； （2）利用圆周角定理以及三角形内角和定理可求出答案； （3）根据等腰三角形的性质可求出，再利用相似三角形的判定和性质得出，进而求出，进而求出，再由三角形中位线定理以及正三角形的性质求出相应的圆心角度数和圆的半径，由弧长公式可求出答案． 【小问1详解】 证明：连接， ∵是的直径， ∴，即， 又∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵弧， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由于，可设，则，， ∴， 解得， 经检验是原方程的根， 即， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴弧的长为． 【点睛】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质以及弧长的计算方法，掌握圆周角定理，等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质以及弧长的计算方法是正确解答的前提． 24. 如图，点为轴负半轴上一点，交轴于、两点，交轴于、两点，点为劣弧上一个动点，连接，，且，． （1）如图1，求点的坐标和的度数； （2）如图2，若平分交于点，小明认为当点在运动时，线段的长度始终不发生变化，只要连接即可证明请完成小明的证明． （3）如图3，连接，当点在运动时不与、两点重合，求的值． 【答案】（1）， （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）连接，根据勾股定理可得，即可得点的坐标，证明，可得是等边三角形，可得，由圆周角定理可得的度数； （2）连接，由（1）得，由角所对的直角边与斜边的关系，可得，由角平分线的定义，结合三角形外角的性质，可得，由等角对等边可得，即可求解； （3）在的延长线上截取，连接，则，证明，可得，，由圆内接四边形对角互补，结合同角的补角相等，可得，证明，可得，，由等边对等角，结合三角形的内角和定理，可得，作于，由角所对的直角边与斜边的关系，可得，由勾股定理可得，，即可得的值． 【小问1详解】 解：连接， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：当点在运动时，线段的长度始终不发生变化， 证明：连接， 由（1）可得， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点在运动时，线段的长度始终不发生变化． 【小问3详解】 解：在的延长线上截取，连接，则， 由（1）可知， ∵，点在上，交轴于、两点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵点、、、在上， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 作于，则， ∴， ∴， ∴．  第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2021-2022学年浙江省绍兴市新昌县西郊中学九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 若关于的函数是二次函数，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 2. 如图，点A、B、C是⊙O上的三个点，若，则的度数为（　　） A. 37° B. 74° C. 24° D. 33° 3. 有五张质地、大小、反面都相同的不透明卡片，正面分别写着数字5，6，7，8，9，把它们的正面向下，随机摆放在桌面后任意抽取一张，则抽出的数字是奇数的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 将二次函数的图象向上平移个单位长度，得到的二次函数的表达式为（    ） A. B. C. D. 5. 如图，绕点O逆时针旋转得到，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，P是弧EF上一点，则∠BPD的度数是(　　) A. 30° B. 60° C. 55° D. 75° 7. 已知，则=（ ） A. B. C. D. 8. 如图，的半径为4，以A为圆心，为半径的弧交于B、C点，则（　　） A. B. C. D. 9. 如图，抛物线的对称轴为直线，则下列结论中，错误的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知锐角，如图： （1）在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，连接； （2）分别以点，为圆心，长为半径作弧，交弧于点，； （3）连接，． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（    ） A. B. 若则 C. D. 二、填空题（本大题共6小题，共30.0分） 11. 正多边形的一个内角是，这个正多边形是正______边形． 12. 如图，直线，直线和被直线，，所截，如果截得线段，，，那么线段的长为______． 13. 如图，为内接于的直径，，为上一点，，劣弧的长为______ ． 14. 若二次函数的图象与x轴有2个不同的交点，则m的取值范围是________． 15. 在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＞0）的部分图象如图所示，直线x=1是它的对称轴．若一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根x1的取值范围是2＜x1＜3，则它的另一个根x2的取值范围是________． 16. 如图，直线l经过的圆心O，且与交于A、B两点，点C在上，且，点P是直线l上的一个动点（与圆心O不重合），直线CP与相交于另一点Q，如果，则______． 三、解答题（本大题共8小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 某校5月份举行了八年级生物实验考查，有A和B两个考查实验，规定每位学生只参加其中一个实验的考查，并由学生自己抽签决定具体的考查实验.小明、小丽都参加了本次考查. （1）小丽参加实验A考查的概率是 ； （2）用列表或画树状图的方法求小明、小丽都参加实验A考查的概率； 18. 如图，已知点、的坐标分别是，将绕点按逆时针方向旋转后得到． （1）画出（不要求写出作法； （2）求旋转过程中线段所扫过的面积． 19. 已知二次函数 ． （1）将化成的形式； （2）求该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标； （3）当时，求x的范围． 20. 已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）． （1）求证：AC=BD； （2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长． 21. 如图，AB是⊙O的直径，C、D两点在⊙O上，若∠C=45°， （1）求∠ABD的度数； （2）若∠CDB=30°，BC=3，求⊙O的半径． 22. 月日，“灿都”台风中心在新昌正南方向公里，以千米小时的速度向新昌移动此时小芳因家有急事，不得不外出，她开车从新昌以千米小时的速度向正西方向行驶． （1）当小芳出发小时时，请问小芳与台风中心相距多远？ （2）何时小芳离台风中心最近，最近距离为多少？ 23. 如图，在中，，以为直径作半圆O，交于点D，交于点E． （1）求证：． （2）若弧，求的度数． （3）过点D作于点F，若，，求弧的长． 24. 如图，点为轴负半轴上一点，交轴于、两点，交轴于、两点，点为劣弧上一个动点，连接，，且，． （1）如图1，求点的坐标和的度数； （2）如图2，若平分交于点，小明认为当点在运动时，线段的长度始终不发生变化，只要连接即可证明请完成小明的证明． （3）如图3，连接，当点在运动时不与、两点重合，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $