精品解析：浙江省杭州市华东师范大学附属杭州学校2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷

2025-2026学年浙江省杭州市拱墅区华东师大附属杭州学校九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列选项中的事件，属于必然事件的是（ ） A. 任意掷一枚硬币，正面朝上 B. 若、是实数．则 C. 两数相乘，积为正数 D. 运动员投篮时，连续两次投进篮筐 2. 已知的半径为3，点在外，则的长可以是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 如果，那么下列比例式中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交，l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交，l1，l2，l3于点D，E，F，若DE＝3，EF＝6，AB＝4，则AC的长是( ) A. 6 B. 8 C. 9 D. 12 5. 筒车（如图1）是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图2是其示意图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面上方，且被水面截得的弦，的半径是．若C为运行轨道的最低点，则点C到弦所在直线的距离是（） A. B. C. D. 6. 如图，已知四边形是的内接四边形，为延长线上一点，，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 已知二次函数图象上部分点的坐标（x，y）对应值列表如下： x … 0 2 … y … 15 0 0 … 则关于x的方程的解为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 如图，已知等边，以为直径的圆分别交边于点，若，则弧的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图1，已知是中位于圆心O上下两侧的两条弦，且满足，设弦，，y关于x的函数图象如图2所示，当时，求的长（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数（，a，m是常数）的图象上有两点，（其中）（　　） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 一个口袋装有蓝球、红球、黄球共枚，“若从中任取一球，是红球”的概率为，则这个口袋中有_______个红球． 12. 已知正多边形的一个外角为，则该正多边形的边数是________． 13. 如图，在中，，将绕点A按逆时针方向旋转，得到．若点恰好落在边上，且，则________． 14. 如图，扇形的圆心角，半径，点D是上一点．交的延长线于点E，交于点G．若，则________． 15. 如图，二次函数的图象与一次函数的图象相交于，两点，已知点的横坐标为，点的横坐标为，二次函数图象的对称轴是直线．下列结论：①；②当时，；③；④．其中正确的是__________．（只填写序号） 16. 图，扇形的圆心角，点C在上，将沿折叠得到，交弧于点E，连接，恰有，若，则的半径长是_______． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 小明和小亮用如图所示的两个转盘（每个转盘被分成五个面积相等的扇形）做游戏，转动两个转盘各一次． （1）转动A盘，指针指向的数字大于3的概率是________，转动B盘，指针指向的数字小于5的概率是________； （2）若两次数字之和为奇数，则小明胜；若两次数字之和为偶数，则小亮胜，请判断该游戏是否公平？并说明理由． 18. 如图，平面直角坐标系中有一个． （1）利用网格，只用无刻度的直尺作出的外接圆的圆心点O； （2）的外接圆的圆心坐标是______；外接圆半径为______； （3）该圆圆心到弦的距离为______． 19. 已知二次函数的图象如图所示． （1）该抛物线与y轴的交点坐标是________； （2）当x________时，y的值随x的值增大而减小； （3）当时，求y的取值范围． 20. 如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=60°． （1）求证：△ABD∽△DCE； （2）若BD=3，CE=2，求△ABC的边长． 21. 如图，是的直径，是上一点，连接和，是的中点，连接和，分别交于点和． （1）证明：； （2）若，，求的长． 22. 2022卡塔尔世界杯足球比赛正在进行阿根廷和荷兰的决赛，阿根廷球员梅西在距球门底部中心点O的正前方处起脚射门，足球沿抛物线向球门中心线；当足球飞离地面高度为时达到最高点，此时足球飞行的水平距离为，已知球门的横梁高为． （1）建立如图所示直角坐标系，求抛物线解析式； （2）梅西的射门，足球能否射进球门（不考虑其他影响因素）？ （3）守门员站在距离球门处，他跳起时手的最大摸高为，他能阻止梅西的此次射门吗？如果不能，需要至少后退几米？ 23. 已知抛物线． （1）若该抛物线的顶点在x轴上，求该抛物线的函数表达式． （2）直线与该抛物线相交于，两点． ①若，求的值． ②点在抛物线上，且点C不与点A，B重合，当时，，求a的取值范围． 24. 如图1，已知内接于，连接，平分，点P是的中点，连接分别交于点E，F． （1）如图2，若为的直径，求的度数． （2）求证： ①； ②． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年浙江省杭州市拱墅区华东师大附属杭州学校九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列选项中的事件，属于必然事件的是（ ） A. 任意掷一枚硬币，正面朝上 B. 若、是实数．则 C. 两数相乘，积为正数 D. 运动员投篮时，连续两次投进篮筐 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了随机事件，根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、任意掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件，故A不符合题意； B、若a、b是实数．则，是必然事件，故B符合题意； C、两数相乘，积为正数，是随机事件，故C不符合题意； D、运动员投篮时，连续两次投进篮筐，是随机事件，故D不符合题意； 故选：B． 2. 已知的半径为3，点在外，则的长可以是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，熟练掌握点和圆的位置关系是解题的关键．根据点在圆外，点到圆心的距离大于圆的半径即可解答． 【详解】解：∵的半径为3，点P在外， ∴， ∴的长可能是4． 故选：D． 3. 如果，那么下列比例式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质：内项之积等于外项之积．利用比例的性质对各选项进行判断． 【详解】解：A、由可得，不合题意； B、由可得，不合题意； C、由可得，符合题意； D、由可得，不合题意； 故选：C． 4. 如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交，l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交，l1，l2，l3于点D，E，F，若DE＝3，EF＝6，AB＝4，则AC的长是( ) A. 6 B. 8 C. 9 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】求出DF的长度，由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果． 【详解】∵直线l1∥l2∥l3， ∴， ∵DF＝DE＋EF＝9 ∴AC＝×AB＝12. 故答案选D. 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解决问题的关键． 5. 筒车（如图1）是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图2是其示意图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面上方，且被水面截得的弦，的半径是．若C为运行轨道的最低点，则点C到弦所在直线的距离是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 连接、，交于，由垂径定理得（米），再由勾股定理得（米），然后求出的长即可． 【详解】解：如图，连接、，交于， 由题意得：米，，米， （米），， （米）， 米， 即点到弦所在直线的距离是米， 故选：C． 6. 如图，已知四边形是的内接四边形，为延长线上一点，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍可求得的度数，再根据圆内接四边形对角互补，可推出，即可得到答案． 【详解】解：是圆周角，与圆心角对相同的弧，且， ， 又四边形是的内接四边形， ， 又， ， 故选：A． 7. 已知二次函数图象上部分点的坐标（x，y）对应值列表如下： x … 0 2 … y … 15 0 0 … 则关于x的方程的解为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的性质，先根据表格信息求解的对称轴为直线，再进一步求解即可. 【详解】解：由表格信息可得：的对称轴为直线， 而当时，， 根据对称性可得： 当时，， ∴的解为：，； 故选：A 8. 如图，已知等边，以为直径的圆分别交边于点，若，则弧的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查求弧长，根据等边三角形的性质，得到均为等边三角形，进而求出的度数，利用弧长公式进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵为等边三角形， ∴， ∵为直径，， ∵， ∴均为等边三角形， ∴， ∴， ∴弧的长为； 故选B． 9. 如图1，已知是中位于圆心O上下两侧的两条弦，且满足，设弦，，y关于x的函数图象如图2所示，当时，求的长（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查动点的函数图象，垂径定理，勾股定理，连接，作，则，证明，得到，进而得到，根据函数图象得到圆的半径为1，设，得到，利用勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】解：连接，作，则：，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由图象可知，当时，，此时为直径， ∴圆的直径为， ∴， 在中，设，则， 由勾股定理，得， ∴， ∴； 故选D． 10. 已知二次函数（，a，m是常数）的图象上有两点，（其中）（　　） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，可知对称轴为，当时，抛物线开口向上，当时，取，此时，即可判断A；当时，，此时，即可判断B；当时，抛物线开口向下，当时，取，此时，即可判断C；当时，，此时，熟练掌握二次函数的性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵（，a，m是常数）， ∴时，，， ∴二次函数（，a，m是常数）的对称轴为直线， 当时，当时， 当，即时，，则； 故A选项错误，不合题意； 当时，当时， ∴， ∴， ∴， ∴；故B选项正确，符合题意； 当时，当时， ∴当时， 则；故选项C错误，不合题意； 当时，当时， ∴， ∴， 则；故选项D错误，不合题意． 故选：B． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 一个口袋装有蓝球、红球、黄球共枚，“若从中任取一球，是红球”的概率为，则这个口袋中有_______个红球． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查概率的求法，注意等可能事件概率计算公式的合理运用是解题的关键．利用古典概型公式求解即可． 【详解】解：∵“若从中任取一球，是红球”的概率为， ∴摸到红球的个数（个）． 故答案为：． 12. 已知正多边形的一个外角为，则该正多边形的边数是________． 【答案】十 【解析】 【分析】本题考查正多边形的外角，根据正多边形的外角和为360度，进行求解即可． 【详解】解：； ∴该正多边形的边数是10； 故答案为：十． 13. 如图，在中，，将绕点A按逆时针方向旋转，得到．若点恰好落在边上，且，则________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形内角和、外角定理，等腰三角形的性质，由旋转的性质可得，由等腰三角形的性质可得，，再由三角形内角和定理可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵将绕点A按逆时针方向旋转得到， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 14. 如图，扇形的圆心角，半径，点D是上一点．交的延长线于点E，交于点G．若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】此题重点考查勾股定理、平行线的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，因为扇形的半径，所以，而，所以，由，得，则，再证明，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵扇形的圆心角，半径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，二次函数的图象与一次函数的图象相交于，两点，已知点的横坐标为，点的横坐标为，二次函数图象的对称轴是直线．下列结论：①；②当时，；③；④．其中正确的是__________．（只填写序号） 【答案】②③ 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键； 先利用抛物线开口方向得到，利用抛物线的对称性方程得到，利用抛物线与轴的交点位置得到，则可对①进行判断；利用一次函数图象不在二次函数图象的下方所对应的自变量的范围可对②进行判断；由于时，，则可对③进行判断；由于时，，则，然后把代入可对④进行判断； 【详解】解：抛物线开口向上， ， 抛物线的对称轴为直线， ， ， 抛物线与轴的交点在轴的负半轴， ， ，所以①错误； 抛物线与一次函数的图象相交于，两点， 点的横坐标为，点的横坐标为， 当时，， 所以②正确； 时，， ，所以③正确； 时，， ， ， ， 即，所以④错误； 故答案为：②③ 16. 图，扇形的圆心角，点C在上，将沿折叠得到，交弧于点E，连接，恰有，若，则的半径长是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 连接，作于点F，利用折叠的性质可得：，，，证明是等边三角形，可得，利用四边形内角和可得，进而可得，，从而可得，再在和中，利用勾股定理求出的长，即可解答． 【详解】解：连接，作于点F，如图， 则，， 将沿折叠得到，交弧于点E， ，，， ， ，，， 是等边三角形，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的半径长是， 故答案为： 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 小明和小亮用如图所示的两个转盘（每个转盘被分成五个面积相等的扇形）做游戏，转动两个转盘各一次． （1）转动A盘，指针指向的数字大于3的概率是________，转动B盘，指针指向的数字小于5的概率是________； （2）若两次数字之和为奇数，则小明胜；若两次数字之和为偶数，则小亮胜，请判断该游戏是否公平？并说明理由． 【答案】（1） ， （2）该游戏不公平，理由见答案 【解析】 【分析】（1）根据概率的概念进行求值即可； （2）先计算所有可能的结果，然后根据概率公式计算出小明胜的概率和小亮胜的概率，通过比较概率相等与否判断游戏是否公平即可. 【小问1详解】 解：； . 【小问2详解】 解： 由树状图可知共有25种情况，其中为奇数的情况个数为13种，偶数的情况12种， ∴小亮胜的概率为：； 小明胜的概率为：； 两人获胜概率不相等 ∴该游戏不公平. 【点睛】本题考查了概率的计算，熟练掌握概率的计算公式是解题的关键. 18. 如图，平面直角坐标系中有一个． （1）利用网格，只用无刻度的直尺作出的外接圆的圆心点O； （2）的外接圆的圆心坐标是______；外接圆半径为______； （3）该圆圆心到弦的距离为______． 【答案】（1） 如图，点O即为所求； （2）， （3） 【解析】 【分析】本题考查了作外接圆的圆心，网格与勾股定理，垂径定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据外接圆是垂直平分线的交点，故作出，的垂直平分线，它们的交点即为外接圆的圆心O，即可作答． （2）观察（1）中的图，得出点O的坐标为，结合网格与勾股定理的性质，得出外接圆的半径 （3）取的中点H，连接结合垂径定理，得，得该圆圆心到弦的距离为即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：观察（1）中的图，得出点O的坐标为，外接圆的半径 故答案为：，； 【小问3详解】 解：取的中点H，连接， ，， ， 该圆圆心到弦的距离为， 故答案为：． 19. 已知二次函数的图象如图所示． （1）该抛物线与y轴的交点坐标是________； （2）当x________时，y的值随x的值增大而减小； （3）当时，求y的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，熟练掌握相关性质内容是解题的关键． （1）求出当时，y的值，即可得到答案； （2）根据函数的开口方向和对称轴进行作答即可； （3）根据函数的开口方向和顶点坐标进行作答即可． 【小问1详解】 解：∵当时，， ∴该抛物线与y轴的交点坐标为， 故答案为：． 【小问2详解】 解：∵二次函数中的， ∴二次函数的开口方向向下，对称轴为直线， ∴当时，y的值随x的值增大而减小， 故答案为：． 【小问3详解】 解：∵二次函数中的，顶点坐标为， ∴二次函数的开口方向向下，最大值为5， 当时，， 当时，， ∴当时，y的取值范围是． 20. 如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=60°． （1）求证：△ABD∽△DCE； （2）若BD=3，CE=2，求△ABC的边长． 【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=∠C=60°， ∴∠BAD+∠ADB=120°， ∵∠ADE=60°， ∴∠ADB+∠EDC=120°， ∴∠DAB=∠EDC， 又∵∠B=∠C=60°， ∴△ABD∽△DCE； （2）9． 【解析】 【分析】（1）由∠ADE=60°，可证得△ABD∽△DCE；可用等边三角形的边长表示出DC的长， （2）由（1）根据相似三角形的对应边成比例，求得△ABC的边长． 【详解】解：（1）略 （2）∵AB=BC； ∴CD=BC﹣BD=AB﹣3； ∵△ABD∽△DCE， ∴， ∴， 解得AB=9． 【点睛】本题考查1．相似三角形的判定与性质；2．等边三角形的性质． 21. 如图，是的直径，是上一点，连接和，是的中点，连接和，分别交于点和． （1）证明：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：是的直径， ， 是的中点， 垂直平分， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，平行线的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据题意得到，根据垂径定理得到，即可得到结论； （2），根据勾股定理求出，继而得到，可得到，得出，，计算即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 22. 2022卡塔尔世界杯足球比赛正在进行阿根廷和荷兰的决赛，阿根廷球员梅西在距球门底部中心点O的正前方处起脚射门，足球沿抛物线向球门中心线；当足球飞离地面高度为时达到最高点，此时足球飞行的水平距离为，已知球门的横梁高为． （1）建立如图所示直角坐标系，求抛物线解析式； （2）梅西的射门，足球能否射进球门（不考虑其他影响因素）？ （3）守门员站在距离球门处，他跳起时手的最大摸高为，他能阻止梅西的此次射门吗？如果不能，需要至少后退几米？ 【答案】（1）抛物线解析式为： （2）足球能射进球门 （3）他至少后退，才能阻止梅西的射门 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）由题意得：抛物线的顶点坐标是，，然后可设抛物线的解析式是，进而利用待定系数法求解即可； （2）把代入（1）中函数解析式进行求解即可； （3）把和分别代入函数解析式进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得：抛物线的顶点坐标是，，则可设抛物线的解析式是， 把代入，得，， 解得， 则抛物线解析式为：； 【小问2详解】 解：由（1）可知：抛物线解析式为：， 当时，， 答：足球能射进球门． 【小问3详解】 解：当时，， 守门员不能阻止梅西的此次射门， 当时，， 解得：，舍去， ， 答：他至少后退，才能阻止梅西的射门． 23. 已知抛物线． （1）若该抛物线的顶点在x轴上，求该抛物线的函数表达式． （2）直线与该抛物线相交于，两点． ①若，求的值． ②点在抛物线上，且点C不与点A，B重合，当时，，求a的取值范围． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】(1)利用待定系数法解答即可； (2)①将两个函数关系式联立，解方程组即可得出结论； ②求得抛物线的对称轴，利用对称性得到，将两个函数关系式联立，得到关于x的一元二次方程，利用一元次方程根与系数的关系求得，进而得到关于a的不等式组，解不等式组即可得出结论． 【小问1详解】 解：抛物线的顶点在轴上， ， ， 该抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：①若，则， 为直线与抛物线的交点， ， ， 若，的值为； ②抛物线的对称轴为直线， ，两点在抛物线上，且点不与点，重合，， ，两点关于对称轴直线对称， ， ， 直线与该抛物线相交于，两点， ， ，是方程的两个根， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，抛物线上点的坐标的特征，一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，抛物线的对称轴，顶点坐标，一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 24. 如图1，已知内接于，连接，平分，点P是的中点，连接分别交于点E，F． （1）如图2，若为的直径，求的度数． （2）求证： ①； ②． 【答案】（1） （2） ①如图所示，连接， ∵点P是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②如图所示，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵∵点P是的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等腰三角形的判定，弧、弦和圆周角之间的关系，熟练掌握弧、弦和圆周角之间的关系是解题的关键． （1）连接，根据直径所对的圆周角是直角得到，则可得到，再根据等弧所对的圆周角相等得到，由角平分线的定义得到，则可求出，据此根据三角形内角和定理可得答案； （2）①连接，先证明，，则可证明，进而证明，，进一步证明，得到，则可证明；②如图所示，连接，先证明，再证明，得到；证明，得到，即，再根据，即可证明． 【小问1详解】 解：如图所示，连接， ∵为的直径， ∴， ∴； ∵点P是的中点， ∴， ∴，即， ∵平分， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：①略 ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $