精品解析：浙江省温州市第二中学2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷

2025-2026学年浙江省温州二中九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则的值是（ ） A. B. C. D. 3 2. 抛物线与y轴的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 下列选项中的事件，属于必然事件的是（ ） A. 抛掷一枚均匀的硬币，正面朝上 B. 在一个只有红球的袋中，摸出黑球 C. 打开电视机，正在播放动画片 D. 任意画一个三角形，其内角和是 4. 如图，正三角形的三个顶点等分圆周，把这个图形绕着圆心顺时针旋转一定的角度后能与自身重合，那么这个角度至少为（ ） A. B. C. D. 5. 已知⊙O半径为6，圆心O在坐标原点上，点P的坐标为（3，4），则点P与⊙O的位置关系是（　　） A. 点P在⊙O内 B. 点P在⊙O上 C. 点P在⊙O外 D. 不能确定 6. 如图，是的直径，弦交于点E，连接，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，右边的“E”与左边的“E”是位似图形，A是位似中心，位似比为．若，则的长为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 8. 如图，E是矩形的边上一点，连接，作于点F，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是的直径，，，，则的半径为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 10. 已知点，为抛物线上两点，且，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 线段c是线段a，b的比例中项线段，已知，，则______． 12. 一个不透明的布袋内只装有个红球和1个黑球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出一个球是红球的概率为，则的值为______． 13. 如图，点C，D在以为直径的半圆O上，且，若，则的度数为______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于，两点，则关于x的方程的解是______． 15. 如图，是的弦，，点C是上的一个动点，且．若点M，N分别是的中点，则长的最大值是______． 16. 如图，已知矩形中，，点E，F是边上的三等分点，连接，将绕点E旋转得到，使点落在的延长线上，连接，交于点G，若恰好经过点F，则线段的长为______． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 已知二次函数的图象顶点为，且经过点． （1）求该二次函数的表达式． （2）求二次函数图象与x轴的交点坐标． 18. 随着信息技术的迅猛发展，移动支付已成为一种常见的支付方式．在一次购物中，陈老师和陆老师都随机从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付． （1）陆老师选择用“微信”支付的概率是__________________； （2）请用画树状图或列表的方法表示所有结果，并求出两位老师恰好一人用“微信”支付，一人用“银行卡”支付的概率． 19. 如图，是的直径，弦于点E，连接． （1）已知，求的度数． （2）若，，求的半径． 20. 如图，锐角中，，是边上的高线，在边上取点，使，与交于点． （1）求证：∽． （2）若为的中点，的面积为，求的面积． 21. 数学家笛卡尔在其著作《几何学》中指出“仅用尺规可以求一个数的算术平方根”．方法如下：如图，已知线段的长为，延长至点C，使，以的中点O为圆心，的长为半径作圆． ①以点A为圆心，长为半径画弧，交线段于点． ②作的中垂线交于E，． 所得的长是的长的算术平方根． （1）请在图中用尺规作图完成①②步骤（保留作图痕迹，不写作法）． （2）求证：． 22. 草莓被誉为“水果皇后”，不仅美味可口，还富含营养.新鲜上市的草莓很受大家欢迎，某商店每千克草莓的成本价为17元，经调查研究，在开始销售的30天，其每日销售量（千克）与时间（天）存在一次函数关系，数据如表： 时间t（天） 1 2 5 10 20 日销售量 128 136 160 200 280 在这30天内，前25天每天的价格（元/千克）与时间t（天）的函数关系式为（且t为整数），从第26天开始，每天的价格则稳定在27元/千克． （1）直接写出m关于t的函数关系式______． （2）求第30天当天的销售利润． （3）这30天哪一天的销售利润最大，求出t的值及当天的销售利润． 23. 已知二次函数的图象经过点． （1）求b的值． （2）当时，求y的取值范围． （3）当时，函数y的范围是，且，则的最大值为______． 24. 如图1，是的直径，弦于点E，连接，过点D作，交于点F，连接． （1）求证：； （2）如图2，过点A作，交射线于点G，射线交线段于点． ①若，，求的长； ②如图3，当F是的中点时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年浙江省温州二中九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则的值是（ ） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查“分式的性质”，观察分式找到约分的方式建立与已知条件的联系是解题关键． 将所求分式拆分为已知分式与常数之和，代入条件计算即可． 【详解】∵ ，且 ， ∴ ， 故选：C． 2. 抛物线与y轴的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与y轴的交点的问题．求抛物线与y轴的交点，令代入方程求y值，即可作答． 【详解】解：∵抛物线与y轴相交时， ∴把代入，得， ∴抛物线与y轴的交点坐标为， 故选：B． 3. 下列选项中的事件，属于必然事件的是（ ） A. 抛掷一枚均匀的硬币，正面朝上 B. 在一个只有红球的袋中，摸出黑球 C. 打开电视机，正在播放动画片 D. 任意画一个三角形，其内角和是 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了事件的分类， 必然事件是指在一定条件下一定会发生的事件，A为随机事件，B为不可能事件，C为随机事件，D为必然事件，因为三角形的内角和恒为180°． 【详解】解：∵根据三角形内角和定理，任意三角形的内角和都等于180°， ∴事件D是必然事件， 事件A、C为随机事件，事件B为不可能事件，均不是必然事件． 故选：D． 4. 如图，正三角形的三个顶点等分圆周，把这个图形绕着圆心顺时针旋转一定的角度后能与自身重合，那么这个角度至少为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转对称图形，涉及多边形与圆，解题的关键是掌握旋转对称图形定义． 【详解】解：∵正三角形的三个顶点等分圆周， ∴， ∴把这个图形绕着圆心顺时针至少旋转后能与自身重合， 故选：． 5. 已知⊙O半径为6，圆心O在坐标原点上，点P的坐标为（3，4），则点P与⊙O的位置关系是（　　） A. 点P在⊙O内 B. 点P在⊙O上 C. 点P在⊙O外 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题应先由勾股定理求得点P到圆心O的距离，再根据点P与圆心的距离与半径的大小关系，来判断出点P与⊙O的位置关系．当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内． 【详解】点P的坐标为（3，4）， 点P在⊙O内 故选A 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：①点P在⊙O上；②点P在⊙O内；③点P在⊙O外，求得点到圆心的距离是解题的关键． 6. 如图，是的直径，弦交于点E，连接，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理， 由圆周角定理得到，，求出，即可得到的度数． 【详解】解：连接， 是圆的直径， ， ， ， ． 故选：C． 7. 如图，右边的“E”与左边的“E”是位似图形，A是位似中心，位似比为．若，则的长为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换，掌握位似图形的定义、相似比的定义是解题的关键．根据位似图形的定义、相似比的定义计算，得到答案． 【详解】解：右边的“”与左边的“”是位似图形，A是位似中心，位似比为． ， ， ， 故选：C． 8. 如图，E是矩形的边上一点，连接，作于点F，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题重点考查矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，证明∽是解题的关键． 由矩形的性质得，，因为，所以，由于点F，得，推导出，可证明∽，则，所以，代入计算即可得到问题的答案． 【详解】解：四边形是矩形，E是边上一点，，，， ，， ， 于点F， ， ，， ， ∽， ， ， 故选：A． 9. 如图，是的直径，，，，则的半径为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理及其推论，根据圆周角定理找到和的关系是解题关键． 根据在同圆中，圆周角相等所对的弧相等，由，所以，再根据圆周角定理的推论得到，然后利用勾股定理计算出直径，从而得到的半径． 【详解】解：， ， ， 是的直径， ， 在中，， 的半径为 故选：B． 10. 已知点，为抛物线上两点，且，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的图象与性质，通过计算两点纵坐标之差，分析其符号与的关系，结合的条件，判断选项的正确性． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴的符号取决于， 若，则，即， 选项D符合此结论，故正确． 故选：D． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 线段c是线段a，b的比例中项线段，已知，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查线段成比例的应用，平方根，掌握知识点是解题的关键． 根据比例中项的定义，若线段是线段和的比例中项，则满足，即，代入已知数值计算即可． 【详解】解：∵是，的比例中项， ∴， 代入，， 得， ∴或（负值舍去）， 故答案为：． 12. 一个不透明的布袋内只装有个红球和1个黑球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出一个球是红球的概率为，则的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了概率，概率是出现某事件的频率，由红球的概率为即可求解． 【详解】解：红球的概率为，袋内只装有个红球和1个黑球， ． 13. 如图，点C，D在以为直径的半圆O上，且，若，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，圆心角、弧、弦的关系，三角形内角和定理，关键是掌握圆心角和它所对的弧的度数相等． 连接，由平行线的性质推出，由等腰三角形的性质推出，由三角形内角和定理求出，得到的度数． 【详解】解：连接， ∵， ， ， ， ， ∴的度数， 故答案为： 14. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于，两点，则关于x的方程的解是______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，一次函数和二次函数的交点坐标满足两函数解析式， 由于抛物线与直线交点坐标满足两个解析式，所以当和时，，从而得到关于x的方程的解． 【详解】解：抛物线与直线交于，两点， 当和时，， 关于x的方程的解是， 故答案为：， 15. 如图，是的弦，，点C是上的一个动点，且．若点M，N分别是的中点，则长的最大值是______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，三角形中位线定理，解题的关键是由圆周角定理推出，由三角形中位线定理得到． 连接OA，OB，由圆周角定理得到，进而判定是等腰直角三角形，求出，由三角形中位线定理得到，由AC的最大值是，即可得到MN长的最大值． 【详解】解：连接OA，OB，如下图， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 点M，N分别是的中点， 是的中位线， ， 最大时，取最大值，当是该圆的直径时，取最大值， 的最大值是， 长的最大值是． 故答案为：． 16. 如图，已知矩形中，，点E，F是边上的三等分点，连接，将绕点E旋转得到，使点落在的延长线上，连接，交于点G，若恰好经过点F，则线段的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】通过辅助线构造，然后在中由勾股定理求出，再根据，建立关于的方程，解方程即可求出答案． 【详解】解：延长交于点P，过点作的垂线，H为垂足． 根据旋转的性质，，， ， 在和中， ， ， 设，， 则 由可得： 在中，由可得： 根据轴对称的性质，， ，， ， ， ，即， 整理得：， ， 易知，当时，， 解得，； 当时，，则，不合题意． 故答案为： 【点睛】本题考查了图形的旋转，轴对称图形的性质，全等三角形的判定和性质，三角函数的应用，勾股定理等知识点，构造是解答本题的关键． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 已知二次函数的图象顶点为，且经过点． （1）求该二次函数的表达式． （2）求二次函数图象与x轴的交点坐标． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题、求函数解析式、二次函数的性质等知识点，把求二次函数是常数，与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程问题是解题的关键． （1）设顶点式为，然后把已知点的坐标代入求出a即可； （2）通过解方程可得抛物线与x轴的交点横坐标，进而求得二次函数图象与x轴的交点坐标． 【小问1详解】 解：设抛物线的解析式为， 把代入得，解得：， 抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：当时，，解得，． 抛物线与x轴的交点坐标为， 18. 随着信息技术的迅猛发展，移动支付已成为一种常见的支付方式．在一次购物中，陈老师和陆老师都随机从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付． （1）陆老师选择用“微信”支付的概率是__________________； （2）请用画树状图或列表的方法表示所有结果，并求出两位老师恰好一人用“微信”支付，一人用“银行卡”支付的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用概率公式求解可得． （2）将“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式分别记为：A、B、C，画出树状图可得共有9种等可能的结果，其中一人选择“微信”支付，一人选择“银行卡”支付的结果有2种，利用概率公式求解可得． 【小问1详解】 解：陆老师选择用“微信”支付的概率是； 故答案为： 【小问2详解】 解：将“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式分别记为：A、B、C， 画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中两位老师恰好一人用“微信”支付，一人用“银行卡”支付的结果有2种， ∴两位老师恰好一人用“微信”支付，一人用“银行卡”支付的概率为． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率． 19. 如图，是的直径，弦于点E，连接． （1）已知，求的度数． （2）若，，求的半径． 【答案】（1） （2）5 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理、勾股定理和圆心角、弧、弦的关系． （1）连接OD，先根据圆心角的度数等于它所对的弧的度数得到，再根据垂径定理得到，然后根据圆周角定理求解； （2）设的半径为r，则，，先根据圆周角定理得到，再利用勾股定理得到，然后解方程即可． 【小问1详解】 解：连接，如图， 的度数为， ， ， ， ； 【小问2详解】 设的半径为r，则，， ， ， 在中，， 解得， 即的半径为 20. 如图，锐角中，，是边上的高线，在边上取点，使，与交于点． （1）求证：∽． （2）若为的中点，的面积为，求的面积． 【答案】（1） 证明：是边上的高线， 于点， ， ， ， ∽； （2） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，关键是相似三角形的论证； （1）由是边上的高线，得，由，得，即可证明∽； （2）由为的中点，得，则，，由相似三角形的性质得，则，求得 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：为的中点，的面积为， ， ，， ∽ ， ， ， 的面积是 21. 数学家笛卡尔在其著作《几何学》中指出“仅用尺规可以求一个数的算术平方根”．方法如下：如图，已知线段的长为，延长至点C，使，以的中点O为圆心，的长为半径作圆． ①以点A为圆心，长为半径画弧，交线段于点． ②作的中垂线交于E，． 所得的长是的长的算术平方根． （1）请在图中用尺规作图完成①②步骤（保留作图痕迹，不写作法）． （2）求证：． 【答案】（1） 如图所示． （2） 证明：连接，， 为的直径， ， ， 直线为线段的垂直平分线， ， ， ， ∽， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查作图-复杂作图、圆周角定理、相似三角形的判定与性质，找到相似三角形建立和的关系是解题关键． （1）根据作图步骤作图即可． （2）连接，，由圆周角定理得，可证明∽，可得，则，即． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 草莓被誉为“水果皇后”，不仅美味可口，还富含营养.新鲜上市的草莓很受大家欢迎，某商店每千克草莓的成本价为17元，经调查研究，在开始销售的30天，其每日销售量（千克）与时间（天）存在一次函数关系，数据如表： 时间t（天） 1 2 5 10 20 日销售量 128 136 160 200 280 在这30天内，前25天每天的价格（元/千克）与时间t（天）的函数关系式为（且t为整数），从第26天开始，每天的价格则稳定在27元/千克． （1）直接写出m关于t的函数关系式______． （2）求第30天当天的销售利润． （3）这30天哪一天的销售利润最大，求出t的值及当天的销售利润． 【答案】（1）（且t为整数） （2）3600元 （3）第15天和第16天销售利润最大，或16，当天销售利润为3720元 【解析】 【分析】本题考查一次函数和二次函数的应用，掌握相关知识是解题的关键． （1）设一次函数关系式，选取表格中两组数据代入建立方程组，解方程组求出k和b，即可解答； （2）确定第30天属于价格稳定期，价格，用一次函数关系式计算第30天销售量m，计算每千克利润（价格－成本），再乘以销售量得总利润； （3）分两段讨论利润：前25天价格变化和后5天价格稳定，在前25天中，建立利润二次函数，求顶点横坐标（整数天），计算最大利润，再后5天中，建立利润一次函数，根据增减性求最大利润，比较两段最大利润，得出结论． 【小问1详解】 解：设m关于t的函数关系式为， 将，和，代入得： ， 解得， ∴m关于t的函数关系式为（，且t为整数）． 故答案为：（，且t为整数）； 【小问2详解】 第30天价格（元/千克），销售量（千克）， 故利润（元）． 答：第30天当天销售利润为3600元； 【小问3详解】 ①当时， 利润， 即， 二次函数开口向下，顶点横坐标， 故或16时，最大，为（元）； ②当时，利润，随t增大而增大， 故时，（元）； 比较得，第15、16天销售利润最大，最大利润为3720元． 答：第15天和第16天销售利润最大，或16，当天销售利润为3720元． 23. 已知二次函数的图象经过点． （1）求b的值． （2）当时，求y的取值范围． （3）当时，函数y的范围是，且，则的最大值为______． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的增减性与图象对称轴的关系是解题关键． （1）将点代入二次函数即可求出b的值； （2）结合（1）中求出的解析式，进一步求出对称轴和最值，进而由可以得解； （3）根据x的取值范围与对称轴的关系，分情况讨论，再通过增减性求出对应的值，列出式子求解即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象经过点， ， ； 【小问2详解】 解：由（1）可知二次函数为， 则对称轴为直线， ，抛物线开口向上， 当时，函数有最小值， ∵，， ∴对于，当时，y取得最大值， 时，， 当时，； 【小问3详解】 解：函数的对称轴为，且， 已知，即y的最大值与最小值之差为4， 分情况讨论： 情况1：，此时最小值为，即， ∴， 令， 解得或不合题意，舍去， 故，此时当时，为该情况的最大值，最大值为； 情况2：对称轴在x的取值范围的右侧，即， 此时，时，， 显然该情况下，小于情况1中所取得的最大值； 情况3：对称轴在x的取值范围的左侧，即， ∵二次函数的图象开口向上， ∴当时，随的增大而增大， ∴，，， 利用求根公式可得，，（不合题意，舍去）， ，（不合题意，舍去）， ∴， 由， 整理，得， ∴，即， ∵， ∴，， ∴， ∴， 综上，的最大值为． 24. 如图1，是的直径，弦于点E，连接，过点D作，交于点F，连接． （1）求证：； （2）如图2，过点A作，交射线于点G，射线交线段于点． ①若，，求的长； ②如图3，当F是的中点时，求的值． 【答案】（1） 证明：连接、， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ， ， ∴， ∵，是直径， ， ∴． （2）①，② 【解析】 【分析】（1）连接，，由圆的内接四边形的性质得到，再由平行线的性质得到，因此，故，再由垂径定理得到，即可解答； （2）①连接，证明四边形是平行四边形得到，，设，推出，，根据，求出，因此，得到为等腰直角三角形，即可求出，，过C作，交延长线于点M，则为等腰直角三角形，四边形是矩形，从而，； ②延长交延长线于点K，过C作，交延长线于点M，设，，易得，，分别在和中表示出，从而建立方程求出x，再在中，利用勾股求出、，最后利用相似转化求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①连接， ∵，， 四边形是平行四边形， ， ∵， ∴， 设，则， ∵， ， ∴ ∵， ， ∵， ∴， ∵， ， 在中，， ， 解得， ∴， 为等腰直角三角形， ∴，，， ∴，， ∵， ， 过C作，交延长线于点M，则为等腰直角三角形，四边形是矩形， ， ； ②延长交延长线于点K，过C作，交延长线于点M， 设，则， 为中点， 设， 则， ∵， ，， ， ，， ，， ∵在中，， 在中，， ， 解得（负值舍去）， ∴， ， 设，则， 在中，，即， 解得， ， ∴， ∵， ． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $