第03讲 正方形的性质和判定（讲义：考点整理+题型归纳+探究式学习+课后检测）2026-2027学年北师大版九年级数学上册

本讲义聚焦正方形的性质和判定核心知识点，系统梳理定义（既是矩形又是菱形的四边形）、性质（四边相等、四角直角、对角线垂直平分且相等）、判定（先证菱形再证直角或先证矩形再证邻边相等），并构建特殊平行四边形关系及中点四边形形状的知识支架。 资料亮点在于14类分层题型设计，涵盖性质理解、角度线段计算、折叠重叠面积等，结合赵爽弦图、地漏设计等实例，通过探究式学习培养几何直观与推理意识，课后检测与复盘笔记助力学生查漏补缺，提升用数学语言解决问题的能力。

简一数理 初中专题讲义 第03讲 正方形的性质和判定 （新教材北师大版） 知识点一、正方形的定义 2 知识点二、正方形的性质 2 知识点三、正方形的判定 2 知识点四、特殊平行四边形之间的关系 2 知识点五、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状 3 【题型1 正方形性质理解】 3 【题型2 利用正方形的性质求角度】 4 【题型3 利用正方形的性质求线段长】 4 【题型4 利用正方形的性质求面积】 6 【题型5 利用正方形形的性质证明】 7 【题型6 正方形与折叠问题】 8 【题型7 求正方形重叠部分面积】 9 【题型8 正方形的判定定理理解】 10 【题型9 添加一个条件使四边形是正方形】 11 【题型10 证明四边形是正方形】 12 【题型11 根据正方形的性质和判定求角度】 13 【题型12 根据正方形的性质和判定求线段长】 14 【题型13 根据正方形的性质和判定求面积】 15 【题型14 根据正方形的性质和判定证明】 16 【探究式学习】 18 【课后检测】 22 【复盘笔记】 29 知识点一、正方形的定义 四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. 要点：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形. 知识点二、正方形的性质 正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质. 1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行； 2.角——四个角都是直角； 3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角； 4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心. 要点：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形. 知识点三、正方形的判定 正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）. 知识点四、特殊平行四边形之间的关系 或者可表示为： 知识点五、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状 （1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形. （2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形. （3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形. （4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形. 要点：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成. （1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形. （2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形. （3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形. 【题型1 正方形性质理解】 【例1】下列命题中，是真命题的有（     ） ①平行四边形是中心对称图形；②矩形的对角线互相垂直；③菱形的四个角相等；④正方形的对角线相等，且互相垂直平分 A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【变式1-1】矩形、菱形、正方形都具有的性质是（     ） A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．对角线平分一组对角 【变式1-2】如图，公元3世纪，我国汉代数学家赵爽用图1验证了勾股定理，这个图形被称为“弦图”．数学研究小组利用“弦图”开展了探究，在如图2所示的“弦图”中，延长交于点，连接，交于点，连接．若，则下列结论不正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，既是中心对称又是轴对称，且对角线相等的是（     ） A．平行四边形与矩形 B．矩形与正方形 C．菱形与正方形 D．矩形与菱形 【题型2 利用正方形的性质求角度】 【例2】如图，四边形是正方形，以为边向右侧作一个等边，则（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】小红在一张正方形 的纸上进行折纸创作．她在对角线 上标记了一点，使得线段 的长度等于正方形的边长．连接 后，她想知道 的大小是多少度，以便进行下一步裁剪．（     ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，点为正方形内部的一点，为等边三角形，则的度数为（     ） A．45° B．55° C．65° D．75° 【变式2-3】如图，在中，点为边上一点，连接，以为边在左侧作正方形，若，，则的大小是（     ） A． B． C． D． 【题型3 利用正方形的性质求线段长】 【例3】如图，正方形中，对角线与相交于点，为边上一点，，为的中点，若的周长为，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图，在正方形中，是边上一点，且，于点，，交于点，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图，图1是飞镖型地漏实物图，图中正方形地漏处于正方形地砖的正中心，各边与正方形地砖互相平行，它们的四周设计按图1中的实线切开，可以形成4块全等的“飞镖”型地砖．图2是它的示意图，若切割线，，则正方形地漏的边长为（     ） A． B． C． D． 【变式3-3】如图，正方形的对角线交于点分别为的中点，若，则的长是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【题型4 利用正方形的性质求面积】 【例4】如图，小明把长为，宽为的两个长方形沿对角线剪开，围成如图所示的一个大正方形，则空白部分的面积是（     ） A． B． C． D． 【变式4-1】“赵爽弦图”是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，它体现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲．如图，“赵爽弦图”是由与全等的四个直角三角形（黑色）围成的一个正方形，中间的部分是一个小正方形，过正方形的顶点作正方形，且．若中间最小的正方形的面积为，，则正方形的面积为（     ） A． B． C． D． 【变式4-2】如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用，表示直角三角形的两直角边，请观察图案，指出以下关系式中不正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式4-3】我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若，，则该矩形的面积为（     ） A．80 B．160 C．50 D． 【题型5 利用正方形形的性质证明】 【例5】如图，在正方形中，为上一点，延长到，使，连接的延长线交于点，则下面结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图，在正方形中，交于点G，点H为的中点，连接，则的长为（     ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【变式5-2】如图，F是正方形的边上的一个动点，的垂直平分线交对角线于点E，连接，，则的度数是（     ） A． B． C． D．不确定 【变式5-3】如图，在四边形中，、是对角线上的两点（不与点、重合），且，连接、、、，则下列结论错误的是（    ） A．若四边形是平行四边形，则四边形是平行四边形 B．若四边形是菱形，则四边形是菱形 C．若四边形是矩形，则四边形是矩形 D．若四边形是正方形，则四边形是菱形 【题型6 正方形与折叠问题】 【例6】如图，正方形纸片的边长为，点分别在边上，将分别沿折叠，点恰好都落在上的点处，已知，则的长为（     ）． A． B． C． D． 【变式6-1】如图，将正方形沿折叠，点落在对角线上的点处，已知，则的长为（     ） A． B． C． D． 【变式6-2】如图所示，正方形中，点为边上靠近点的三等分点，连接，将沿翻折得到，连接，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】用一张正方形的纸片按如下方式折叠：如图，先将纸片对折得到折痕，再沿过点的直线翻折纸片，得到折痕，使点落在上的点处，连接，，与交于点．有下列结论：①；②为等边三角形；③；④．其中正确的是（   ） A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【题型7 求正方形重叠部分面积】 【例7】如图，正方形的顶点与正方形的对角线交点重合，正方形和正方形的边长都是，则图中重叠部分的面积是（     ） A．1 B．2 C． D． 【变式7-1】如图，正方形和正方形的对称中心都是点，其边长分别是4和3，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D．无法确定 【变式7-2】如图，三个边长为的正方形按如图所示的方式重叠在一起，点O是其中一个正方形的中心，则重叠部分（阴影）的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】如图，两个正方形的边长都为2．其中一个正方形的一顶点在另一个正方形的中心，则两个正方形重叠部分的面积是（    ） A．0.5 B．1 C．2 D．无法确定 【题型8 正方形的判定定理理解】 【例8】下列说法不正确的是（     ） A．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 B．有一个角是直角的平行四边形是矩形 C．有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 【变式8-1】下列命题是真命题的是（　　） A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 B．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形 C．菱形的面积等于两条对角线长度的乘积 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 【变式8-2】下列说法不正确的是（     ） A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．对角线互相垂直且平分的四边形是菱形 D．对角线互相垂直的矩形是正方形 【变式8-3】下列判断中正确的是（     ） A．四边相等的四边形是正方形 B．对角线相等的平行四边形是菱形 C．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 D．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 【题型9 添加一个条件使四边形是正方形】 【例9】如图，中，给出四个条件：①；②；③；④．从所给的四个条件中任意选择两个为一组，能判定是正方形的有（     ） A．组 B．组 C．组 D．组 【变式9-1】如图，在矩形中，对角线、相交于点，若要使矩形成为正方形，添加的条件不正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式9-2】已知四边形，，如果添加一个条件即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（     ） A． B． C． D． 【变式9-3】如图，在矩形中，对角线、相交于点O，添加一个条件使得矩形是正方形，下列添加的条件中错误的是（     ） A． B． C． D． 【题型10 证明四边形是正方形】 【例10】下列关于平行四边形的叙述，正确的是（     ） A．若，则平行四边形是菱形 B．若，则平行四边形是矩形 C．若，则平行四边形是正方形 D．若，则平行四边形是菱形 【变式10-1】如图，在中，点E、D、F分别在边、、上，且，，下列四个判断中，正确的个数有（   ） ①如果点E，F分别是，的中点，那么四边形是菱形 ②如果，那么四边形是矩形 ③如果平分，那么四边形是菱形 ④如果，且，那么四边形是正方形 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式10-2】如图，在四边形中，，，、相交于点，关于四边形的形状，甲、乙、丙三人的说法如下： 甲：若添加，则四边形为菱形； 乙：若添加，则四边形为矩形； 丙：若添加，则四边形为正方形． 他们说法正确的是（    ） A．甲、乙 B．甲、丙 C．乙、丙 D．都正确 【变式10-3】在四边形中，对角线，交于点O，已知，，（    ） A．若，则四边形是菱形 B．若，则四边形是正方形 C．若，则四边形是矩形 D．若，则四边形是正方形 【题型11 根据正方形的性质和判定求角度】 【例11】将矩形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在边上点F处，折痕为（如图1）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在上的点处，折痕为（如图2）；再展平纸片（如图3）．则图3中的度数是（　　） A． B． C． D． 【变式11-1】如图，将正方形绕点A顺时针旋转，得到正方形，的延长线交于点H，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BD，E，F分别是AB，CD的中点，若AC＝BD＝2，则EF的长是（　　） A．2 B． C． D． 【变式11-3】如图，在正方形ABCD中，以对角线BD为边作菱形BDFE，连接BF，则∠AFB＝（　　） A．22.5° B．25° C．30° D．不能确定 【题型12 根据正方形的性质和判定求线段长】 【例12】如图，在矩形中，，E为边上一个动点，连接．将沿折叠，使点B落在边上的点P处． 结论Ⅰ：当点P与点D重合时，此时四边形为正方形； 结论Ⅱ：当P为的中点时，． 关于结论Ⅰ，Ⅱ，下列判断正确的是（　　） A．结论Ⅰ对，结论Ⅱ错 B．结论Ⅰ错，结论Ⅱ对 C．结论Ⅰ，Ⅱ都对 D．结论Ⅰ，Ⅱ都错 【变式12-1】如图，现有一块边长为2的正方形毛巾，将其一角折叠至毛巾的中心位置，折痕的长为（   ） A．2 B． C．1 D． 【变式12-2】小智根据四边形的不稳定性制作了一个探究特殊四边形的学具，他用四根长度相同的木条在两端用螺栓两两连接，构成一个可以活动的四边形．他先将学具成为图1所示的四边形，并测得，对角线，再将学具成为图2所示四边形，并测得，则图2中对角线的长为（    ） A．20cm B．40cm C． D． 【变式12-3】如图，菱形的面积为48，，为锐角，点E，F，G分别在，，上，，，若，则的长为（   ） A．5 B． C． D． 【题型13 根据正方形的性质和判定求面积】 【例13】如图，点E在正方形的对角线上，且，的两直角边，分别交，于点M，N．若正方形的边长为3，则重叠部分（即四边形）的面积为（     ） A．3 B．4 C．8 D． 【变式13-1】课外活动时，黄老师让同学们做一个对角线互相垂直的矩形形状的风筝（如图），其面积为，则两条对角线所用的竹条长度为（不计损耗）（     ） A． B． C． D． 【变式13-2】如图，在菱形中，，点E在上．若，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B．3 C． D． 【变式13-3】如图，分别为正方形的边上的点，且，则图中的值为（    ） A． B． C． D． 【题型14 根据正方形的性质和判定证明】 【例14】如图，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等．若正方形的面积是4，无论正方形绕点怎样转动，两个正方形重叠部分的面积都是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式14-1】在四边形中，点，分别是边，的中点，点，是四边形的对角线，的中点，，交于点．若，且，则线段与一定满足的关系为（   ） A．互相垂直平分 B．互相平分且相等 C．互相垂直且相等 D．互相垂直平分且相等 【变式14-2】如图，点、，将线段平移到线段，若，，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式14-3】七巧板是一种古老的中国传统智力玩具．如图，在正方形纸板中，为对角线，，分别为，的中点，分别交，于，两点，，分别为，的中点，连接，，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板，则在剪开之前，关于该图形的下列说法：①图中的三角形都是等腰直角三角形；②图中的四边形是菱形；③四边形的面积占正方形面积的．正确的是（  ） A．① B．①② C．①③ D．②③ 【探究式学习】 1．四边形是一张正方形纸片，小明用该纸片玩折纸游戏． (1)【探究发现】如图1，小明将沿翻折得到，点的对应点为，将纸片展平后，连接并延长交边于点，小明发现折痕与存在特殊的数量关系，数量关系为__________； (2)【类比探究】如图2，小明继续折纸，将四边形沿所在直线翻折得到四边形，点的对应点为点，点的对应点为点，将纸片展平后，连接交边于点，请你猜想线段，，之间的数量关系并证明； (3)【拓展延伸】在（2）的翻折过程中，正方形的边长为，．如图3，若线段恰好经过点，直接写出的长． 2．按要求完成问题 (1)【课本再现】如图1，正方形的对角线相交于点，正方形与正方形的边长相等，与相交于点，与相交于点，连接．在正方形绕点旋转的过程中，始终有，请证明这个结论． (2)【迁移应用】如图2，在中，，，点是边的中点，是射线上的动点，过点作的垂线交直线于点，连接． （i）当点在边上，点在边上时，试探究线段，，之间的数量关系．并证明你的结论； （ii）若，，设，，请直接写出与的关系． 3．按要求解答下列问题： 【问题探究】 (1)如图1，四边形是正方形，是等腰直角三角形，，点在左侧，点在正方形内，连接、，判断与是否互余，请说明理由； 【问题解决】 (2)如图2，正方形是某农场一块种植区的示意图（周围空地可用），边的中点处有一口灌溉水井，现要对该种植区进行扩建与重新规划，在正方形内部的点处修一个蓄水池，连接，以为边向上方围出一块正方形区域，再从点向点修一条地下水管，为节约成本，要求水管的长度尽可能小．已知，，求地下水管长度的最小值．（水管的宽度和水井、蓄水池的大小均忽略不计） 4．探究以下问题： (1)【问题情境】正方形是生活中常见的几何图形，如图1，在正方形中，分别在边、上，且，垂足为，判断：______（填“”或“”） (2)【问题探究】如图2，在正方形中，点、、分别在边、和上，且，垂足为，请你写出线段与线段的数量关系，并证明你的结论； (3)【问题拓展】如图3，将边长为的正方形折叠，使得点落在上的点处．若折痕的长为，则线段的长为______． 【课后检测】 1．如图，在边长为4的正方形中，，分别为，的中点，连接，，，，分别为，的中点，连接，则的长为（     ） A． B． C． D． 2．如图，O是矩形的对角线上一点，过点O作，分别交于点E，F，连接．若，，则图中阴影部分的面积为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．我国古代的数学家赵爽为《周髀算经》一书作序时，创制了一幅“勾股圆方图”，这就是大家熟悉的“赵爽弦图”．如图所示，，，，是四个全等的直角三角形，四边形和四边形都是正方形，如果，，那么等于（     ） A．4 B．5 C．9 D．10 4．如图，正方形的边长为6，P为正方形边上一动点，运动路线是，设P点经过的路线为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（     ） A． B． C． D． 5．在平面直角坐标系中，正方形的位置如图所示，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 6．如图，是正方形对角线上一点，，，、分别为垂足，若，，则的长为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 7．如图，正方形和正方形的边长分别为7和3，点E，G分别在边和上，点H为的中点，连接，则的长为（     ） A． B． C． D．5 8．如图，在正方形中，为对角线上一点，于点于点，连接，若，且，则的长为（     ） A． B． C． D． 9．下列命题中是假命题的是（     ） A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B．一组邻边相等的平行四边形是菱形 C．一组邻边相等的矩形是正方形 D．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形 10．如图，矩形中，与交于点，分别在和上取点、，使得，若，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 11．如图，在正方形中，点是上一点，过点作于点，于点，连结，若，则的最小值为________． 12．如图，延长正方形的边至，使，则_____． 13．若一个三角形有一边上的中线与这边的长相等，则称这个三角形为该边上的“完美三角形”．如图在直角坐标系中，正方形的两边、分别在坐标轴上，点的坐标是．在正方形的边上找一点，使得是边上的“完美三角形”，点的坐标为__________________． 14．如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为________． 15．在正方形中，对角线，交于点，延长至点，使，连接，点为的中点，连接．若，则的长为______． 16．四边形为正方形，点为线段上一点，连接，过点作，交射线于点，以、为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形； (2)若，求的长； (3)当线段与正方形的某条边的夹角是时，直接写出的度数． 17．如图，在中，点，分别在边，上，且四边形为正方形．求证：． 18．点E是正方形的对角线上一点，过点E作交于点F，的延长线交于点G，交于点H． (1)如图1，证明：； (2)如图2，若，，求的长． 19．四边形是正方形，点E是射线上一点，，且交正方形外角的平分线于F． (1)如图（1）若点E是边的中点，求证：； (2)如图（2）若点E在的延长线上，且，的面积等于2，则线段_________． 20．按要求完成以下问题 问题发现 (1)基本模型十字架模型 如图所示，在正方形内，点在边上，点在边上，、交于点，请证明命题：若，则有结论． (2)模型运用 ①如图，在正方形中，，点在线段上（不与、重合），连接，将沿翻折，得到，连接并延长交于点．若，求的值． ②如图，正方形，为延长线上一点，，的垂直平分线分别交、于点和点，连接交于点，连接，求线段的长． 【复盘笔记】 化繁为简，一通百通 第 2 页 共 86 页 第 1 页 共 86 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 初中专题讲义 第03讲 正方形的性质和判定 （新教材北师大版） 知识点一、正方形的定义 2 知识点二、正方形的性质 2 知识点三、正方形的判定 2 知识点四、特殊平行四边形之间的关系 2 知识点五、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状 3 【题型1 正方形性质理解】 3 【题型2 利用正方形的性质求角度】 6 【题型3 利用正方形的性质求线段长】 8 【题型4 利用正方形的性质求面积】 11 【题型5 利用正方形形的性质证明】 14 【题型6 正方形与折叠问题】 19 【题型7 求正方形重叠部分面积】 23 【题型8 正方形的判定定理理解】 27 【题型9 添加一个条件使四边形是正方形】 28 【题型10 证明四边形是正方形】 31 【题型11 根据正方形的性质和判定求角度】 34 【题型12 根据正方形的性质和判定求线段长】 37 【题型13 根据正方形的性质和判定求面积】 42 【题型14 根据正方形的性质和判定证明】 46 【探究式学习】 52 【课后检测】 63 【复盘笔记】 87 知识点一、正方形的定义 四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. 要点：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形. 知识点二、正方形的性质 正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质. 1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行； 2.角——四个角都是直角； 3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角； 4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心. 要点：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形. 知识点三、正方形的判定 正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）. 知识点四、特殊平行四边形之间的关系 或者可表示为： 知识点五、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状 （1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形. （2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形. （3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形. （4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形. 要点：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成. （1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形. （2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形. （3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形. 【题型1 正方形性质理解】 【例1】下列命题中，是真命题的有（     ） ①平行四边形是中心对称图形；②矩形的对角线互相垂直；③菱形的四个角相等；④正方形的对角线相等，且互相垂直平分 A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】D 【分析】根据平行四边形是中心对称图形，矩形的对角线相等且互相平分；菱形的对角相等，正方形的对角线相等，且互相垂直平分，解答即可． 【详解】解：①平行四边形绕对角线交点旋转后与原图形重合，是中心对称图形，为真命题． ②矩形的对角线相等且互相平分，不一定互相垂直，为假命题． ③菱形的对角相等，四个角不一定都相等，为假命题． ④　正方形同时具备矩形和菱形的性质，对角线相等且互相垂直平分，为真命题． 综上，真命题为①④． 【变式1-1】矩形、菱形、正方形都具有的性质是（     ） A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．对角线平分一组对角 【答案】A 【分析】根据矩形、菱形、正方形的对角线都互相平分这一性质做题即可． 【详解】解：矩形的对角线互相平分且相等，不垂直，不平分一组对角；菱形的对角线互相平分且垂直，平分一组对角，对角线不相等；正方形的对角线同时具备矩形和菱形对角线的所有性质， 矩形、菱形、正方形都具有的性质是对角线互相平分． 【变式1-2】如图，公元3世纪，我国汉代数学家赵爽用图1验证了勾股定理，这个图形被称为“弦图”．数学研究小组利用“弦图”开展了探究，在如图2所示的“弦图”中，延长交于点，连接，交于点，连接．若，则下列结论不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由“弦图”可知，四边形和四边形是正方形，，可判断A选项结论；连接，利用垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质，可判断B选项结论；利用等高三角形面积之比等于底边之比，可判断C、D选项结论． 【详解】解：由“弦图”可知，四边形和四边形是正方形，， ，，， ， ，A选项结论正确； 如图，连接， ，， ， ， ， ， ， ，B选项结论正确； ， ， ， ，C选项结论正确； 在和中， ， ， ， ， ， ，D选项结论错误． 【变式1-3】在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，既是中心对称又是轴对称，且对角线相等的是（     ） A．平行四边形与矩形 B．矩形与正方形 C．菱形与正方形 D．矩形与菱形 【答案】B 【分析】根据中心对称图形、轴对称图形的定义，以及特殊四边形对角线的性质，逐一判断图形是否满足三个条件，即可得到答案． 【详解】解：∵平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，且对角线不相等，不符合要求；矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形，且对角线相等，符合要求；菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，但对角线不相等，不符合要求；正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形，且对角线相等，符合要求； ∴满足所有条件的是矩形与正方形． 【题型2 利用正方形的性质求角度】 【例2】如图，四边形是正方形，以为边向右侧作一个等边，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正方形和等边三角形性质得出及度数，求出，结合计算即可． 【详解】解：四边形是正方形， ，，， 是等边三角形， ，， ，， ， ． 【变式2-1】小红在一张正方形 的纸上进行折纸创作．她在对角线 上标记了一点，使得线段 的长度等于正方形的边长．连接 后，她想知道 的大小是多少度，以便进行下一步裁剪．（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形的性质与等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图所示， ∵四边形是正方形，是正方形的对角线， ∴； ∵, ∴， ∴． 【变式2-2】如图，点为正方形内部的一点，为等边三角形，则的度数为（     ） A．45° B．55° C．65° D．75° 【答案】D 【分析】由正方形的性质和等边三角形的性质可推出，，再由等边对等角和三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴； ∵， ∴． 【变式2-3】如图，在中，点为边上一点，连接，以为边在左侧作正方形，若，，则的大小是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正方形的性质可得，求出，再结合三角形内角和定理得出，即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴， ∵点为边上一点，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴． 【题型3 利用正方形的性质求线段长】 【例3】如图，正方形中，对角线与相交于点，为边上一点，，为的中点，若的周长为，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正方形的性质得出，，根据直角三角形斜边中线的性质得出，根据的周长为，求出，利用勾股定理求出，进而求出，根据三角形中位线的性质即可求出的长． 【详解】解：∵正方形中，对角线与相交于点， ∴，，， ∵为的中点， ∴， ∵的周长为，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【变式3-1】如图，在正方形中，是边上一点，且，于点，，交于点，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由正方形的性质算出，用面积法求出，再利用勾股定理求出，通过证明得到，最后用算出． 【详解】解：四边形是正方形，， ，， ， ， ， ，， ， ， 解得， ， ，， ， 在和中， ， ， ． 【变式3-2】如图，图1是飞镖型地漏实物图，图中正方形地漏处于正方形地砖的正中心，各边与正方形地砖互相平行，它们的四周设计按图1中的实线切开，可以形成4块全等的“飞镖”型地砖．图2是它的示意图，若切割线，，则正方形地漏的边长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长交于点，构造直角三角形，结合题意推出且，进而证明，再利用直角三角形性质，以及勾股定理推出，即可解题． 【详解】解：延长交于点， 正方形各边与正方形平行， ， 正方形中， ， ， 由题知，且， ， ， 在中，， ， ， ， 即正方形的边长为． 【变式3-3】如图，正方形的对角线交于点分别为的中点，若，则的长是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据正方形的性质，得到；利用三角形中位线，得到，结合已知求解即可． 【详解】解：正方形的对角线交于点， ， 分别为的中点， ， ， ， ． 【题型4 利用正方形的性质求面积】 【例4】如图，小明把长为，宽为的两个长方形沿对角线剪开，围成如图所示的一个大正方形，则空白部分的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求得小长方形的面积和大正方形的面积即可求解． 【详解】解：由题意，小长方形的面积为，大正方形的边长为， ∴大正方形的面积为， ∴空白部分的面积是． 【变式4-1】“赵爽弦图”是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，它体现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲．如图，“赵爽弦图”是由与全等的四个直角三角形（黑色）围成的一个正方形，中间的部分是一个小正方形，过正方形的顶点作正方形，且．若中间最小的正方形的面积为，，则正方形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设直角三角形两直角边分别为，利用勾股定理和完全平方公式求出的值，通过证明四边形为矩形，结合矩形性质，以及全等三角形性质得出正方形的边长为，进而即可求出正方形的面积． 【详解】解：设 的短直角边，长直角边， 中间最小正方形的面积为 ， ，即， ， ， ， ， 四边形为正方形， ， ， 四边形为矩形， ，， ∵“赵爽弦图”是由与全等的四个直角三角形（黑色）围成的一个正方形， ∴，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ， ，解得， 正方形的面积． 【变式4-2】如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用，表示直角三角形的两直角边，请观察图案，指出以下关系式中不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用勾股定理、面积关系及完全平方公式验证各选项． 【详解】解：A、∵大正方形面积为， ∴根据勾股定理得，故A正确． B、∵小正方形面积为，得其边长为， ∴根据图形关系得，故B正确． C、∵大正方形面积等于个直角三角形面积与小正方形面积之和， ∴得， 即，故C正确． D、，且， ， ，故D不正确． 【变式4-3】我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若，，则该矩形的面积为（     ） A．80 B．160 C．50 D． 【答案】A 【分析】欲求矩形的面积，则求出小正方形的边长即可；设小正方形的边长为x，已知，，得，在中，，即；整理得，由矩形的面积为，整体代入即可求出该矩形的面积． 【详解】解：如图，设小正方形的边长为x， ∵，， ∴， 在中，， 即， 整理得， ∴该矩形的面积为． 【题型5 利用正方形形的性质证明】 【例5】如图，在正方形中，为上一点，延长到，使，连接的延长线交于点，则下面结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】证明，得出，，，判断A正确；根据三角形内角和定理证明，判断B正确；根据已知条件可以证明，但无法证明，判断C错误，根据，，得出，判断D正确． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，，，故A正确，不符合题意； ∵， 又∵， ∴， ∴，故B正确，不符合题意； 根据已知条件能够证明，但无法证明，故C错误，符合题意； ∵，， ∴，故D正确，不符合题意． 【变式5-1】如图，在正方形中，交于点G，点H为的中点，连接，则的长为（     ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【答案】C 【分析】利用正方形性质证明，推出，根据三角形外角性质得到，利用直角三角形斜边中线定理求解． 【详解】解：四边形是正方形，， ，， ， ， 在中，由勾股定理得， 在和中，， ， ， ， ， ， 即是直角三角形， 点为的中点， ． 【变式5-2】如图，F是正方形的边上的一个动点，的垂直平分线交对角线于点E，连接，，则的度数是（     ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】过点作，，垂足分别为．证明得到，进而推导出，结合和等腰直角三角形的性质，易得答案． 【详解】解：如图所示，过点作，，垂足分别为． ∵四边形是正方形， ∴平分，， ∴． ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． 【变式5-3】如图，在四边形中，、是对角线上的两点（不与点、重合），且，连接、、、，则下列结论错误的是（    ） A．若四边形是平行四边形，则四边形是平行四边形 B．若四边形是菱形，则四边形是菱形 C．若四边形是矩形，则四边形是矩形 D．若四边形是正方形，则四边形是菱形 【答案】C 【分析】连接交于点，利用平行四边形对角线互相平分及得出，判定四边形为平行四边形，再结合特殊平行四边形的性质逐项判断． 【详解】解：连接交于点． ∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵， ∴， 即． ∵，， ∴四边形是平行四边形，故A不符合题意． 若四边形是菱形， ∴，即． ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形，故B不符合题意． 若四边形是矩形， ∴． ∵、是对角线上的两点（不与点、重合）， ∴， 即． ∴四边形不是矩形，故C符合题意． 若四边形是正方形， ∴， 即． ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形，故D不符合题意． 【题型6 正方形与折叠问题】 【例6】如图，正方形纸片的边长为，点分别在边上，将分别沿折叠，点恰好都落在上的点处，已知，则的长为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形的折叠的性质，利用勾股定理列方程即可得到答案． 【详解】∵正方形纸片的边长为， ∴，， 根据折叠的性质可得：， 设， 则，，， ∵在中，， 即，解得：， ∴，． 【变式6-1】如图，将正方形沿折叠，点落在对角线上的点处，已知，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正方形的性质及折叠的性质可知：，，设，则，可求出，列方程即可求出的长． 【详解】解：四边形是正方形， ，，， 由折叠的性质可知：，，， ，， 设，则， ， ， ， ， ． 【变式6-2】如图所示，正方形中，点为边上靠近点的三等分点，连接，将沿翻折得到，连接，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作分别交于点，证明，得出，设，则，根据得出，进而根据三角形的面积公式求得、，再求比值，即可求解． 【详解】解：如图，过点作分别交于点， 设正方形的边长为， ∵点为边上靠近点的三等分点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴ ∵将沿翻折得到， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴ ∴ 设，则， ∴ ∴ ∵ ∴ 解得： ∴， ∴， ∴ ∴ 【变式6-3】用一张正方形的纸片按如下方式折叠：如图，先将纸片对折得到折痕，再沿过点的直线翻折纸片，得到折痕，使点落在上的点处，连接，，与交于点．有下列结论：①；②为等边三角形；③；④．其中正确的是（   ） A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】由折叠得：，垂直平分，，故，那么为等边三角形，即可判断①②；由四边形是正方形得到，那么，由三角形内角和定理可得，故③正确；对于和，通过勾股定理计算说明不相等即可． 【详解】解：由折叠得：，垂直平分， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴； 故①②正确， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵为等边三角形，，， ∴，， 设，则， 由勾股定理得：， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴ 故④正确， 综上所述正确的有：①②③④； 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，折叠的性质，三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握它们的性质是解题的关键． 【题型7 求正方形重叠部分面积】 【例7】如图，正方形的顶点与正方形的对角线交点重合，正方形和正方形的边长都是，则图中重叠部分的面积是（     ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】证明重叠部分的面积恒等于正方形面积的，通过证明，将重叠部分（四边形）的面积转化为的面积求解. 【详解】解：设交于点，交于点， 四边形是正方形，边长， ，，，， 四边形是正方形， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 图中重叠部分的面积是1 . 【变式7-1】如图，正方形和正方形的对称中心都是点，其边长分别是4和3，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，正方形环的面积计算是解题的关键．连接，根据题意，得阴影部分的面积是，解答即可． 【详解】解：连接， 由正方形和正方形的对称中心都是点，其边长分别是4和3， 根据题意，得阴影部分的面积是， 故选：A． 【变式7-2】如图，三个边长为的正方形按如图所示的方式重叠在一起，点O是其中一个正方形的中心，则重叠部分（阴影）的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，连接，，由正方形的性质可得，证明可得，进而可求解． 【详解】解：连接，， 由题意知：四边形，四边形都是正方形， ，，，， ， 在和中， ， ， ， ， ． 故选：B． 【变式7-3】如图，两个正方形的边长都为2．其中一个正方形的一顶点在另一个正方形的中心，则两个正方形重叠部分的面积是（    ） A．0.5 B．1 C．2 D．无法确定 【答案】B 【分析】如图：连接ABCD的对角线，根据题意可以推出△COF≌△DOE，所以重合部分的面积为△OCD的面积． 【详解】解：如图， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BO＝CO＝DO，∠BDC＝∠BCO＝45°，AC⊥BD， ∴∠DOC＝∠EOF＝90°， ∴∠DOE＝∠COF， 在△COF和△DOE中， ， ∴△COF≌△DOE（ASA）， ∴S△COF＝S△DOE， ∴四边形OECF的面积＝S△OCD＝S正方形ABCD＝， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、三角形的面积、全等三角形的判定和性质．解题关键在于找到全等三角形进行代换． 【题型8 正方形的判定定理理解】 【例8】下列说法不正确的是（     ） A．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 B．有一个角是直角的平行四边形是矩形 C．有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 【答案】D 【分析】用举反例法判断错误选项，结合特殊四边形判定定理验证其余选项． 【详解】解：根据菱形、矩形、正方形的判定规则，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形，故A、B、C说法均正确，不符合题意；一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，故D说法错误,符合题意． 【变式8-1】下列命题是真命题的是（　　） A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 B．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形 C．菱形的面积等于两条对角线长度的乘积 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 【答案】D 【详解】解：A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故原命题错误，是假命题，不符合题意； B．一组对边相等且有一个角是直角的四边形不一定是矩形， 如下图，，，则四边形不是矩形，故错误，是假命题，不符合题意； C．菱形的面积等于两条对角线长度的乘积的一半，故原命题错误，是假命题，不符合题意； D．对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，是真命题，符合题意． 【变式8-2】下列说法不正确的是（     ） A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．对角线互相垂直且平分的四边形是菱形 D．对角线互相垂直的矩形是正方形 【答案】B 【分析】依次根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理，判断每个选项表述的正误，找出描述错误的选项即为答案． 【详解】解：A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，正确，故A选项不符合题意； B．对角线相等的四边形是矩形，错误，应该是对角线相等的平行四边形是矩形，故B选项符合题意； C．对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，正确，故C选项不符合题意； D．对角线互相垂直的矩形是正方形，正确，故D选项不符合题意． 【变式8-3】下列判断中正确的是（     ） A．四边相等的四边形是正方形 B．对角线相等的平行四边形是菱形 C．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 D．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 【答案】D 【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定方法进行判断即可． 【详解】解：Ａ、四边相等的四边形是菱形，∴A错误； B、对角线相等的平行四边形是矩形，∴B错误； C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，∴C错误； D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，∴D正确． 【题型9 添加一个条件使四边形是正方形】 【例9】如图，中，给出四个条件：①；②；③；④．从所给的四个条件中任意选择两个为一组，能判定是正方形的有（     ） A．组 B．组 C．组 D．组 【答案】C 【分析】根据正方形的判定定理逐一验证即可求解． 【详解】解：选择：有一个角是直角的平行四边形是矩形，邻边相等的矩形是正方形；故选择符合题意； 选择：∵平行四边形对角线互相平分， ∴， ∵， ∴， ∴是矩形， ∵， ∴矩形是正方形；故选择①③符合题意； 选择：邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形也是菱形，故选择不符合题意； 选择：同理∵， ∴是矩形， 而有一个直角的平行四边形也是矩形， 故选择不符合题意； 选择：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，有一个角是直角的菱形是正方形，故选择符合题意； 选择：同理∵， ∴是矩形， 又对角线互相垂直的矩形是正方形，故选择③④符合题意； 综上，能判定是正方形的有，共组． 【变式9-1】如图，在矩形中，对角线、相交于点，若要使矩形成为正方形，添加的条件不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据各选项添加条件结合正方形的判定定理判断即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，， A、当时，则矩形是正方形，不符合题意； B、当时，则， ， ， 矩形是正方形，不符合题意； C、当时，则矩形是正方形，不符合题意； D、当时， 则， 则，矩形不是正方形，符合题意． 【变式9-2】已知四边形，，如果添加一个条件即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由三个内角为直角判定四边形为矩形，再筛选能使矩形成为正方形的选项． 【详解】解：， 四边形是矩形． ，，选项的条件均为矩形的固有性质，无法推出该四边形是正方形． 选项中，可推出该四边形是正方形． 【变式9-3】如图，在矩形中，对角线、相交于点O，添加一个条件使得矩形是正方形，下列添加的条件中错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方形的判定定理：有一组邻边相等的矩形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形，对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、四边形是矩形，恒成立，无法判定四边形是正方形，故本选项符合题意； B、由于四边形是矩形，当时，根据有一组邻边相等的矩形是正方形，可判定四边形是正方形，故本选项不符合题意； C、由于四边形是矩形，当时，根据对角线互相垂直的矩形是正方形，可判定四边形是正方形，故本选项不符合题意； D、∵四边形是矩形， ∴， 若， 则， ∴， 根据有一组邻边相等的矩形是正方形，可判定四边形是正方形，故本选项不符合题意． 【题型10 证明四边形是正方形】 【例10】下列关于平行四边形的叙述，正确的是（     ） A．若，则平行四边形是菱形 B．若，则平行四边形是矩形 C．若，则平行四边形是正方形 D．若，则平行四边形是菱形 【答案】D 【分析】根据平行四边形与矩形、菱形、正方形的关系即可解答． 【详解】解：A．平行四边形中，对角线相等时为矩形，不符合题意； B．平行四边形中，对角线互相垂直时为菱形，不符合题意； C、D．平行四边形中，邻边相等时为菱形，故选项C不符合题意，选项D符合题意． 【变式10-1】如图，在中，点E、D、F分别在边、、上，且，，下列四个判断中，正确的个数有（   ） ①如果点E，F分别是，的中点，那么四边形是菱形 ②如果，那么四边形是矩形 ③如果平分，那么四边形是菱形 ④如果，且，那么四边形是正方形 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据，可得四边形是平行四边形，再结合矩形、菱形、正方形的判定定理对各个条件进行逐一判断． 【详解】解：，， 四边形是平行四边形． 对于①，若，分别是，的中点，则，，无法得出，故错误； 对于②，，四边形是平行四边形， 四边形是矩形，故②正确； 对于③，平分， ， 又， ， ， ， 四边形是菱形，故③正确； 对于④，，， 平分， 由③知四边形是菱形，但无法得出，故④错误． 综上所述，正确的有2个． 故选：B． 【变式10-2】如图，在四边形中，，，、相交于点，关于四边形的形状，甲、乙、丙三人的说法如下： 甲：若添加，则四边形为菱形； 乙：若添加，则四边形为矩形； 丙：若添加，则四边形为正方形． 他们说法正确的是（    ） A．甲、乙 B．甲、丙 C．乙、丙 D．都正确 【答案】B 【分析】由题意可得垂直平分，则，若添加，则，证明得出，从而可得，即可判断甲说法正确；添加，无法证明四边形为矩形，即可判断乙说法错误；当添加时，，从而可得，当添加时，四边形为菱形，再结合，即可判断丙说法正确． 【详解】解：∵在四边形中，，， ∴垂直平分， ∴， 若添加，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形，故甲说法正确； 添加，无法证明四边形为矩形，故乙说法错误； 当添加时，， ∴， 当添加时，四边形为菱形； ∵， ∴四边形为正方形，故丙说法正确； 综上所述，说法正确的有甲丙． 【变式10-3】在四边形中，对角线，交于点O，已知，，（    ） A．若，则四边形是菱形 B．若，则四边形是正方形 C．若，则四边形是矩形 D．若，则四边形是正方形 【答案】C 【分析】先根据已知条件判定四边形是平行四边形，再结合各选项条件，根据特殊平行四边形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：∵，，即对角线互相平分， ∴四边形是平行四边形． A选项，若，无法推出平行四边形满足菱形的判定条件，不能判定为菱形，A错误； B选项，若，对角线相等的平行四边形是矩形，不是正方形，B错误； C选项，若，则，即平行四边形对角线相等，对角线相等的平行四边形是矩形，C正确； D选项，若，对角线垂直的平行四边形是菱形，不是正方形，D错误． 【题型11 根据正方形的性质和判定求角度】 【例11】将矩形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在边上点F处，折痕为（如图1）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在上的点处，折痕为（如图2）；再展平纸片（如图3）．则图3中的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形与折叠，正方形的判定与性质．熟练掌握矩形与折叠，正方形的判定与性质是解题的关键． 由矩形与折叠的性质可证四边形是正方形，，由折叠的性质可知，，根据，计算求解即可． 【详解】解：由矩形与折叠的性质可知，，， ∴四边形是正方形，， 由折叠的性质可知，， ∴， 故选：B． 【变式11-1】如图，将正方形绕点A顺时针旋转，得到正方形，的延长线交于点H，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转的性质，求得∠BAE=38°，根据正方形的性质，求得∠DBA=45°，∠ABH=135°，利用四边形的内角和定理计算即可． 【详解】根据旋转的性质，得∠BAE=38°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DBA=45°，∠ABH=135°， ∵四边形AEFG是正方形， ∴∠E=90°， ∴∠DHE=360°-90°-38°-135°=97°， 故选B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，四边形的内角和定理，熟练掌握正方形的性质，旋转的性质是解题的关键． 【变式11-2】如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BD，E，F分别是AB，CD的中点，若AC＝BD＝2，则EF的长是（　　） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】分别取的中点为，连接，利用中点四边形的性质可以推出，再根据，可以推导出四边形是正方形即可求解． 【详解】解：分别取的中点为，连接， 分别是的中点， ， 又， ， 四边形是正方形， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了中点四边形的性质、正方形的判定及性质，解题的关键是作出适当的辅助线，利用题意证明出四边形是正方形． 【变式11-3】如图，在正方形ABCD中，以对角线BD为边作菱形BDFE，连接BF，则∠AFB＝（　　） A．22.5° B．25° C．30° D．不能确定 【答案】A 【分析】根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ADB=45°，再根据菱形的四条边都相等可得BD=DF，根据等边对等角可得∠DBF=∠DFB，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和进行计算即可得解． 【详解】解：在正方形ABCD中，∠ADB=∠ADC=×90°=45°， 在菱形BDFE中，BD=DF， 所以，∠DBF=∠AFB， 在△BDF中，∠ADB=∠DBF+∠AFB=2∠AFB=45°， 解得∠AFB=22.5°． 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的四个角都是直角，对角线平分一组对角的性质，菱形的四条边都相等的性质，以及等边对等角，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，难度不大，熟记各性质是解题的关键． 【题型12 根据正方形的性质和判定求线段长】 【例12】如图，在矩形中，，E为边上一个动点，连接．将沿折叠，使点B落在边上的点P处． 结论Ⅰ：当点P与点D重合时，此时四边形为正方形； 结论Ⅱ：当P为的中点时，． 关于结论Ⅰ，Ⅱ，下列判断正确的是（　　） A．结论Ⅰ对，结论Ⅱ错 B．结论Ⅰ错，结论Ⅱ对 C．结论Ⅰ，Ⅱ都对 D．结论Ⅰ，Ⅱ都错 【答案】C 【分析】本题重点考查矩形的性质、翻折变换的性质、正方形的判定、勾股定理等知识，当点P为的中点时，求得是解题的关键． 当点P与点D重合时，证四边形为正方形，可判断结论Ⅰ正确；当点P为的中点时，由矩形的性质，折叠的性质，利用勾股定理求的长度，可判断结论Ⅱ正确，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图1，点P与点D重合，则， ∵将沿折叠，点B落在边上的点P处， ∴， ∴， ∵四边形为矩形，， ∴四边形为正方形， 故结论Ⅰ正确； 如图2，点P为的中点， ∵四边形是矩形，， ∴， ∴， 由折叠得 ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 故结论Ⅱ正确， 故选：C． 【变式12-1】如图，现有一块边长为2的正方形毛巾，将其一角折叠至毛巾的中心位置，折痕的长为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质与判定、折叠的性质，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． 根据正方形的性质得到，由折叠的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，推出，同理，得到四边形是正方形，根据正方形的性质得到，于是得到结论． 【详解】解：如图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 由折叠的性质得，， ， ， 同理， ∴四边形是正方形， ∴． 故选B． 【变式12-2】小智根据四边形的不稳定性制作了一个探究特殊四边形的学具，他用四根长度相同的木条在两端用螺栓两两连接，构成一个可以活动的四边形．他先将学具成为图1所示的四边形，并测得，对角线，再将学具成为图2所示四边形，并测得，则图2中对角线的长为（    ） A．20cm B．40cm C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，正方形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，掌握特殊四边形的性质是关键．连接、，由题意可知，图1中四边形是菱形，图2中四边形是正方形，进而证明是等边三角形，得出，再根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图，连接、， 由题意可知，图1中四边形是菱形，图2中四边形是正方形， ， ， 是等边三角形， ， ， 在中，， 故选：C． 【变式12-3】如图，菱形的面积为48，，为锐角，点E，F，G分别在，，上，，，若，则的长为（   ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，正方形的判定和性质，勾股定理．作于点H，于M点，取的中点O，连接，证明四边形和为正方形，求得，证明，求得，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：作于点H，于M点，取的中点O，连接， ∵， ∴， ∵菱形， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∵菱形的面积为48，， ∴， ∵，，， ∴，， 同理，四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【题型13 根据正方形的性质和判定求面积】 【例13】如图，点E在正方形的对角线上，且，的两直角边，分别交，于点M，N．若正方形的边长为3，则重叠部分（即四边形）的面积为（     ） A．3 B．4 C．8 D． 【答案】B 【分析】过点E作于点P，于点Q，由正方形的性质得到，，，根据勾股定理求得，从而得到，证明四边形是正方形，得到，，，进而证得，得到，从而，根据勾股定理求出，即可解答． 【详解】解：过点E作于点P，于点Q， ∵正方形的边长为3， ∴，，， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴， ∴， ∴矩形是正方形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 在中，，， 又， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， ∴． 【变式13-1】课外活动时，黄老师让同学们做一个对角线互相垂直的矩形形状的风筝（如图），其面积为，则两条对角线所用的竹条长度为（不计损耗）（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先证明矩形是正方形，再利用面积公式列式计算即可求解． 【详解】解：∵矩形对角线互相垂直， ∴矩形是正方形， ∴， ∴，即， ∴， ∴两条对角线所用的竹条长度为． 【变式13-2】如图，在菱形中，，点E在上．若，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】先证明四边形为正方形，得出，根据勾股定理求出，根据求出结果即可． 【详解】解：∵在菱形中，， ∴四边形为正方形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴ ． 【变式13-3】如图，分别为正方形的边上的点，且，则图中的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理，正方形的判定和性质，全等三角形的判定与性质．首先正方形的性质和全等三角形的判定与性质得出，即阴影部分为矩形，设正方形的边长为，利用勾股定理求出的值，即可得出的值，同理求得，则阴影部分为正方形，求出面积即可得到答案． 【详解】解：设正方形的边长为，则， 又∵，， ∴， ∴， ， 同理可知：， ∴阴影部分是矩形， 在中，由勾股定理得， 由面积公式得，即， 得， 同理可得：， 在中，由勾股定理得， 则， 同理可得：， ∴阴影部分是正方形， 图中阴影部分的面积与正方形的面积之比． 故选：D． 【题型14 根据正方形的性质和判定证明】 【例14】如图，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等．若正方形的面积是4，无论正方形绕点怎样转动，两个正方形重叠部分的面积都是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】过点O分别作于点M，于点N，根据四边形和是正方形，证明，得，故两个正方形重叠的部分的面积等于正方形的面积，即可列式作答． 【详解】解：过点O分别作于点M，于点N，如图所示： ∵四边形和是正方形，且正方形的面积是4， ∴，， ∵正方形的对角线相交于点O， ∴，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 则， 故两个正方形重叠的部分的面积等于正方形的面积， ∵， ∴两个正方形重叠部分的面积等于． 【变式14-1】在四边形中，点，分别是边，的中点，点，是四边形的对角线，的中点，，交于点．若，且，则线段与一定满足的关系为（   ） A．互相垂直平分 B．互相平分且相等 C．互相垂直且相等 D．互相垂直平分且相等 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，正方形的判定及性质，掌握三角形中位线定理、正方形的判定和性质是解题的关键． 连接、、、，根据三角形中位线定理得到，，，，，，证明四边形为正方形，根据正方形的性质解答即可． 【详解】解：如图，连接、、、， 点，分别是边对角线，的中点， 是的中位线， ，， 同理可得：,，，， ，， 四边形为平行四边形， ， ， 平行四边形为菱形， ，,， ， 菱形为正方形， 线段与互相垂直平分且相等， 故选：D． 【变式14-2】如图，点、，将线段平移到线段，若，，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查坐标与图形，平移的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等，过点D作轴于点H，先根据平移的性质证明四边形是平行四边形，结合，，得出四边形是正方形，再证，推出，，即可求解． 【详解】解：，， ，， 如图，过点D作轴于点H， 线段平移到线段， ，， 四边形是平行四边形， ，， 四边形是正方形， ，， ， 又， ， 又，， ， ，， ， 点的坐标是， 故选A． 【变式14-3】七巧板是一种古老的中国传统智力玩具．如图，在正方形纸板中，为对角线，，分别为，的中点，分别交，于，两点，，分别为，的中点，连接，，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板，则在剪开之前，关于该图形的下列说法：①图中的三角形都是等腰直角三角形；②图中的四边形是菱形；③四边形的面积占正方形面积的．正确的是（  ） A．① B．①② C．①③ D．②③ 【答案】A 【分析】①根据正方形的性质和中位线定理可以解决问题； ②利用①中结论可以证明，可以解决问题； ③利用①③中的结论，确定四边形的面积与的面积比，正方形面积与的面积比，可以解决问题． 【详解】∵四边形是正方形，为对角线 ∴，，， ∴、是等腰直角三角形 ∵，分别为，的中点， ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形 ∵， ∴ ∴ 又∵ ∴、是等腰直角三角形 连接，如图， ∵， ∴A，O，P，C共线． ∵， ∴是的中位线， ∴ ∴， ∵ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵ ∴四边形是矩形 ∵ ∴四边形是正方形 ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴图中的三角形都是等腰直角三角形，故①正确； ∵是等腰直角三角形 ∵ ∴ ∴四边形是平行四边形， 在中， 即 ∵ ∴四边形不是菱形，故②错误； ∵，，， ∴ ∴ ∵ 即 又∵ ∴ ∴，故③错误． 故选：A． 【点睛】此题考查了正方形的判定和性质，菱形的判定，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识，正确的识别图形是解题的关键． 【探究式学习】 1．四边形是一张正方形纸片，小明用该纸片玩折纸游戏． (1)【探究发现】如图1，小明将沿翻折得到，点的对应点为，将纸片展平后，连接并延长交边于点，小明发现折痕与存在特殊的数量关系，数量关系为__________； (2)【类比探究】如图2，小明继续折纸，将四边形沿所在直线翻折得到四边形，点的对应点为点，点的对应点为点，将纸片展平后，连接交边于点，请你猜想线段，，之间的数量关系并证明； (3)【拓展延伸】在（2）的翻折过程中，正方形的边长为，．如图3，若线段恰好经过点，直接写出的长． 【答案】(1) (2)证明：，理由如下， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵将四边形沿所在直线翻折得到四边形， ∴， ∴， ∴， 如图，过点作，垂足为点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即， ∴； (3) 【分析】（1）由翻折的性质及正方形的性质证明，进而得解； （2）先证，过点作，垂足为点，证明，进而得解； （3）设上点的对应点为点，连接，，交于点，则，，从而得四边形是平行四边形，有，；设，则，在中，利用勾股定理建立方程即可求解． 【详解】（1）解：∵将沿翻折得到， ∴垂直平分， ∴， 在正方形中，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）略 （3）解：如图，由于线段 恰好经过点，故设上点的对应点为点，连接，，交于点， 由翻折知，垂直平分，垂直平分， ∴，． ∴． ∵，即， ∴四边形是平行四边形， ∴； ∵正方形的边长为， ∴， ∴， ∴，； 设，则； 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 2．按要求完成问题 (1)【课本再现】如图1，正方形的对角线相交于点，正方形与正方形的边长相等，与相交于点，与相交于点，连接．在正方形绕点旋转的过程中，始终有，请证明这个结论． (2)【迁移应用】如图2，在中，，，点是边的中点，是射线上的动点，过点作的垂线交直线于点，连接． （i）当点在边上，点在边上时，试探究线段，，之间的数量关系．并证明你的结论； （ii）若，，设，，请直接写出与的关系． 【答案】(1)证明：四边形、都是正方形， ，，，， ， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ； (2)（i）结论：， 证明：如图，作矩形，延长交于点，连接， ，， ， 点是边的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， 垂直平分， ， 在中，， ； （ii） 【分析】（1）证明，得出，利用中，，则可得出答案； （2）（i）作矩形，证出，得到，，进而得到垂直平分，则，在中，根据则可得出答案；（ii）分两种情况：当、分别在线段和上时，当、分别在线段和的延长线上时，利用（1）、（i）结果和勾股定理进行变换可得出答案． 【详解】（1）略 （2）（i）略 （ii）解：如图，当、分别在线段和上时， 由（2）的结论可得， 在中，由勾股定理得， ， 设，，则，， ， ， ， ； ②如图，当、分别在线段和的延长线上时， 由（2）的结论可得， 在中，由勾股定理得， ， 设，，则，， ， ， ， ， ， 综上所述，与的关系为． 3．按要求解答下列问题： 【问题探究】 (1)如图1，四边形是正方形，是等腰直角三角形，，点在左侧，点在正方形内，连接、，判断与是否互余，请说明理由； 【问题解决】 (2)如图2，正方形是某农场一块种植区的示意图（周围空地可用），边的中点处有一口灌溉水井，现要对该种植区进行扩建与重新规划，在正方形内部的点处修一个蓄水池，连接，以为边向上方围出一块正方形区域，再从点向点修一条地下水管，为节约成本，要求水管的长度尽可能小．已知，，求地下水管长度的最小值．（水管的宽度和水井、蓄水池的大小均忽略不计） 【答案】(1)与互余，理由如下： ∵四边形为正方形， ∴，， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴与互余； (2) 【分析】（1）由正方形的性质可得，，由等腰直角三角形的性质可得，，证明，得出，求出，即可得证； （2）连接，，先证明，得出，，延长至点，使得，连接，则，再证明，得出，由题意可得，点在以点为圆心，为半径的半圆（正方形内部的部分）上运动，求出，连接，交半圆于点，则，再结合，得出当点、、在同一直线上时，的值最小，由勾股定理可得，从而即可得出结果． 【详解】（1）略； （2）解：如图，连接，， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 延长至点，使得，连接，则， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴当取得最小值时，取得最小值． ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵点在正方形内部，且， ∴点在以点为圆心，为半径的半圆（正方形内部的部分）上运动， 连接，交半圆于点，则， ∵， ∴当点、、在同一直线上时，的值最小， 由勾股定理可得， ∴的最小值为， ∴地下水管长度的最小值为． 4．探究以下问题： (1)【问题情境】正方形是生活中常见的几何图形，如图1，在正方形中，分别在边、上，且，垂足为，判断：______（填“”或“”） (2)【问题探究】如图2，在正方形中，点、、分别在边、和上，且，垂足为，请你写出线段与线段的数量关系，并证明你的结论； (3)【问题拓展】如图3，将边长为的正方形折叠，使得点落在上的点处．若折痕的长为，则线段的长为______． 【答案】(1) (2)． 证明：如图2，过点A作，交于点H，交于点N，则， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∵于M， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴； (3) 【分析】（1）证明即可得出结论； （2）过点A作，交于点H，交于点N，先证明四边形是平行四边形得到，再证明得到，进而可得结论； （3）连接交于M，过点A作，交于点H，交于点N，由折叠性质得，同（2）方法可得，然后根据正方形的性质和勾股定理可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）略 （3）解：连接交于M，过点A作，交于点H，交于点N， 由折叠性质得， 同（2）可得四边形是平行四边形，， ∴， ∵四边形是正方形，边长为， ∴，， ∴． 【课后检测】 1．如图，在边长为4的正方形中，，分别为，的中点，连接，，，，分别为，的中点，连接，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点，分别是和的中点，即可得到是的中位线，故的长即为的长的一半，在中，根据勾股定理求得的长，即可得出结论． 【详解】解：在边长为4的正方形中，，分别为，的中点， ，， 在中，, 点，分别是和的中点， 是的中位线， ． 2．如图，O是矩形的对角线上一点，过点O作，分别交于点E，F，连接．若，，则图中阴影部分的面积为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】先作，可知四边形是矩形，再得出，然后根据得出答案． 【详解】解：过点O作，交于点P，Q， ∵四边形是矩形，且， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． 3．我国古代的数学家赵爽为《周髀算经》一书作序时，创制了一幅“勾股圆方图”，这就是大家熟悉的“赵爽弦图”．如图所示，，，，是四个全等的直角三角形，四边形和四边形都是正方形，如果，，那么等于（     ） A．4 B．5 C．9 D．10 【答案】B 【分析】根据全等三角形对应边相等得出，结合正方形性质求出的长，利用勾股定理计算即可． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，． 4．如图，正方形的边长为6，P为正方形边上一动点，运动路线是，设P点经过的路线为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点在正方形四条边、、、上的运动情况，分段讨论的底边和高（点到的距离）的变化，从而确定面积与路程的函数关系及图象特征． 【详解】解：当点在上运动时，即时，、、三点共线，不存在； 当点在上运动时，即时，底边，高为，则，随的增大而增大； 当点在上运动时，即时，底边，高为，则，保持不变； 当点在上运动时，即时，底边，高为，则，随的增大而减小． 综上可知，图象分为四段：先在轴上，再上升，再水平，最后下降，且转折点横坐标依次为、、，故A选项的图象符合题意． 5．在平面直角坐标系中，正方形的位置如图所示，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作轴于点，证明，根据全等的性质得到边的关系，从而求出点的坐标． 【详解】解：点的坐标为，点的坐标为， ∴，， 过点作轴于点， ， ∴， 四边形是正方形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 6．如图，是正方形对角线上一点，，，、分别为垂足，若，，则的长为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】连接、，由正方形的性质可得，，，证明，得出，证明四边形为矩形，得出，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：如图，连接、， ∵四边形为正方形， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴． 7．如图，正方形和正方形的边长分别为7和3，点E，G分别在边和上，点H为的中点，连接，则的长为（     ） A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】延长交的延长线于N，由可证，可得，，在中，由勾股定理可求的长，即可求解． 【详解】解：如图，延长交的延长线于N， ∵正方形和正方形的边长分别为7和3， ∴，， ∴∠， ∵点H是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 8．如图，在正方形中，为对角线上一点，于点于点，连接，若，且，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，，由正方形的性质得出，得出，由矩形的性质得出，进而得出，利用，，求出，继而得出． 【详解】解：如图，连接，， 四边形是正方形，， ，，，， ， ， ，， ， 四边形是矩形， ，， ，， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 或（不符合题意，舍去）， ． 9．下列命题中是假命题的是（     ） A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B．一组邻边相等的平行四边形是菱形 C．一组邻边相等的矩形是正方形 D．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形 【答案】D 【详解】解：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，是真命题，不符合题意； B、一组邻边相等的平行四边形是菱形，是真命题，不符合题意； C、一组邻边相等的矩形是正方形，是真命题，不符合题意； D、一组对边相等且有一个角是直角的四边形不一定是矩形，是假命题，符合题意； 10．如图，矩形中，与交于点，分别在和上取点、，使得，若，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造平行四边形，则可得到，，推出，进而得到，，所以点E的轨迹为射线，且，据此求解即可． 【详解】解：过O作，且，连接， 则四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 所以点E的轨迹为射线，且， 当时，有最小值，此时也最小， 此时是等腰直角三角形， ∴， 即最小值为． 11．如图，在正方形中，点是上一点，过点作于点，于点，连结，若，则的最小值为________． 【答案】 【分析】连接，证明四边形是矩形，得，根据“垂线段最短”可求出的最小值为，从而可得出的最小值． 【详解】解：连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵于点，于点F， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 根据“垂线段最短”，当时，取得最小值，即取得最小值． 当时， ∵， ∴是斜边上的中线， ∴ ∴的最小值为． 12．如图，延长正方形的边至，使，则_____． 【答案】 【分析】先根据正方形的性质推导出，再根据等腰三角形的性质得到，然后利用三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴． 13．若一个三角形有一边上的中线与这边的长相等，则称这个三角形为该边上的“完美三角形”．如图在直角坐标系中，正方形的两边、分别在坐标轴上，点的坐标是．在正方形的边上找一点，使得是边上的“完美三角形”，点的坐标为__________________． 【答案】或或 【分析】利用正方形的性质得到，，进而得到的中点的坐标为，再分当点在上时、当点在上时、当点在上时三种情况，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，点的坐标是， ∴，， ∴的中点的坐标为，， 如图，当点在上时，设， ∵是边上的“完美三角形”， ∴， ∴， 解得， ∴点的坐标为； 如图，当点在上时，设， ∵是边上的“完美三角形”， ∴， ∴， 解得（负值舍去）， ∴点的坐标为； 如图，当点在上时，设， ∵是边上的“完美三角形”， ∴， ∴， 解得（负值舍去）， ∴点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或或． 14．如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】过点作轴于点，证明，得出，，即可得到点的坐标． 【详解】解：如图，过点作轴于点， ， ， 点的坐标为，点的坐标为， ，， 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ． 15．在正方形中，对角线，交于点，延长至点，使，连接，点为的中点，连接．若，则的长为______． 【答案】 【分析】利用正方形的性质得到，且由勾股定理及正方形对角线相等且互相平分求得，进而求出斜边，再由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求得答案． 【详解】四边形是正方形， ， 点为的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 16．四边形为正方形，点为线段上一点，连接，过点作，交射线于点，以、为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形； (2)若，求的长； (3)当线段与正方形的某条边的夹角是时，直接写出的度数． 【答案】(1)证明：如图，作交于点，交于点． 四边形为正方形， ∴平分，， ∵点在对角线上，，， ， ∴四边形为正方形， ∴， ∴， 四边形是矩形， ， ∴， ． 在和中， ， ， ， 矩形是正方形． (2) (3)或 【分析】（1）作于交于点，交于点，通过证明，得到，从而根据正方形的判定定理证明； （2）通过计算发现点是中点，点与点重合，结合矩形是正方形的结论求得的长； （3）分与的夹角为和与夹角为两种情形考虑问题即可． 【详解】（1）略． （2）解：在中，， ， ， 点是中点，点与点重合， 由（1）可知，矩形是正方形， ． （3）解：①当与的夹角为时，点在边上，，如图所示， 则， 在四边形中，由四边形内角和定理得 ． ②当与夹角为时，点在的延长线上，，如图所示， ，，由三角形内角和定理， ， 综上所述，或． 【点睛】本题考查正方形的性质和判定、矩形的性质、全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会用分类讨论的思想思考问题． 17．如图，在中，点，分别在边，上，且四边形为正方形．求证：． 【答案】证明：， ， 四边形为正方形， ， ， ． 【分析】先根据平行四边形证明，再根据正方形的性质证明，最后根据线段之间的数量关系，即可求证． 【详解】略 18．点E是正方形的对角线上一点，过点E作交于点F，的延长线交于点G，交于点H． (1)如图1，证明：； (2)如图2，若，，求的长． 【答案】(1)证明：如图，连接， 四边形是正方形， ，， 又， ， ，， ， ， ， ， 又， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）由四边形ABCD是正方形可得，，则可证明，得到，，再证明，得到，则可证明； （2）先由正方形的性质得到，，，再证明，可得，即可得． 【详解】（1）略 （2）解：四边形是正方形， ，，， ∵， ，， ∴，即， 又， ， ， ． 19．四边形是正方形，点E是射线上一点，，且交正方形外角的平分线于F． (1)如图（1）若点E是边的中点，求证：； (2)如图（2）若点E在的延长线上，且，的面积等于2，则线段_________． 【答案】(1)证明：取的中点，连接， ， 点E是边的中点， ， 四边形是正方形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ∵与正方形外角的平分线交于点． ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴， 在和中， ， ， ； (2) 【分析】（1）在上取一点，使，连接，证明即可． （2）过点F作于点H，在上截取，连接，证明，利用勾股定理，三角形的面积解答即可． 【详解】（1）略． （2）解：如图，过点F作于点H，在上截取，连接， ∵与正方形外角的平分线交于点． ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴， ∴， ∵与正方形外角的平分线交于点． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 四边形是正方形， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ， ， 根据勾股定理，得，， ， ， ， ， ， 的面积等于2， ， ， ， ，， ， ． 20．按要求完成以下问题 问题发现 (1)基本模型十字架模型 如图所示，在正方形内，点在边上，点在边上，、交于点，请证明命题：若，则有结论． (2)模型运用 ①如图，在正方形中，，点在线段上（不与、重合），连接，将沿翻折，得到，连接并延长交于点．若，求的值． ②如图，正方形，为延长线上一点，，的垂直平分线分别交、于点和点，连接交于点，连接，求线段的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ ∴ (2)①；② 【分析】（1）根据正方形的性质以及同角的余角相等，找到相等的边和角，利用证明，即可得； （2）①设、相交于点，由翻折得垂直平分，故，结合正方形性质及勾股定理求出长，在中利用等积法求出，即可得，由（1）中结论得，最后由即可求解；②连接、、，由正方形对角线垂直平分得，由是的垂直平分线得，过作于点，于点，由平分得，证得，证四边形为矩形得，故，等量代换得，即，在中利用勾股定理求出长，即可得长． 【详解】（1）略 （2）解：①如图，设、相交于点， 由翻折得垂直平分， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， 在中，， ∵， ∴，解得， ∴， 正方形中，即，由（1）得， ∴； ②如图，连接、、， ∵四边形为正方形，为对角线， ∴垂直平分，平分，， ∴， 过作于点，于点，则， ∵在对角线上，平分， ∴， ∵为的垂直平分线，在上， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴，即， 在中，， ∴，解得， ∴． 【复盘笔记】 化繁为简，一通百通 第 2 页 共 86 页 第 1 页 共 86 页 学科网（北京）股份有限公司 $