第二章 一元二次方程 讲义（2） 2026--2027学年北师大版数学九年级上册

本讲义聚焦一元二次方程核心内容，系统梳理配方法、公式法、因式分解法、换元法等求解方法，衔接根的判别式判断根的情况，延伸韦达定理解决根与系数关系问题，构建从解法到应用的完整知识支架。 资料亮点在于例题设计注重探究与迁移，如配方法求代数式最值、矩形面积优化等实际问题，培养学生抽象能力与模型意识。实战演练分层设置，结合根的判别式证明与韦达定理综合应用，提升推理能力，课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺。

2026秋季初三数学同步讲义05- 一元二次方程（2） 【基础巩固】 1、一元二次方程的求解：直接开平方、配方法、公式法、因式分解法、换元法； 2、根的判别式； 3、韦达定理. 【精准突破】 一．解一元二次方程的方法--配方法、公式法、因式分解法 例1．（配方法）（1）用配方法解一元二次方程，配方正确的是（    ） A． B． C． D． （2）把一元二次方程化成的形式，则的值为（    ）． A． B． C． D． （3）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其它重要应用． 例如：求代数式的最小值？解答过程如下： 解：， ，当时，的值最小，最小值是0， ， 当时，的值最小，最小值是1， 的最小值为1． 仿照上述方法，求解代数式的最大值． 例2．（换元法）若实数满足方程，那么的值为（） A． B．5 C．或5 D．3或 例3．（配方法对应探究）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用． 例如：试求二次三项式．最小值． 解：， ， ，即．的最小值是1． 试利用“配方法”解决下列问题： (1)已知，求y的最大（或最小）值． (2)比较代数式与的大小，并说明理由． (3)知识迁移： ①如图，学校打算用15米长的铁栅栏围成三个相连的长方形羊驼草料仓库，来饲养两只萌萌的羊驼，仓库一面靠墙（墙足够长），为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，请尝试用“配方法”求出如何围，使仓库面积虽大？最大值是多少？ ②如图，在正方形中，，点E、F分别为上的动点，且，与交于点O，点P为的中点．设，用含x的代数式表示，则的最小值为多少．（直接写出答案） 【实战演练】 1. 用适当的方法解下列方程． (1) (2) (3) (4) (5)（配方法） (6)（配方法） (7)（公式法） (8)（公式法） 2．如果方程可以配方成，那么（    ） A．0 B．1 C． D． 3．是下列哪个一元二次方程的根（   ） A． B． C． D． 4．（1）若，则的值为 ． （2）若则代数式的值为（    ） A．或3 B．1或 C． D．3 （3）已知，则的值等于 ． 5．阅读感悟： 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则．所以． 把代入已知方程，得． 化简，得， 故所求方程为． 这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换元法”． 请用阅读材料提供的“换元法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式． 解决问题： (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程的根大1．则所求方程为：______； (2)方程 的两个根与方程______的两个根互为倒数． (3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为1和，求关于的一元二次方程的两个实数根． 6．我们知道，配方法是解一元二次方程的一种方法，其实质就是将一元二次方程由一般式化成，然后利用直接开平方法求一元二次方程的解的过程，公式法中用到的求根公式也可由此方法得到．配方法是把一个代数式变成一个完全平方式或含有完全平方式的代数式的形式，这种变化的手段在解决初中数学问题时有着广泛的应用． 【探究方法】 已知a，b为任意实数， 即对于任意实数a，b，总有，且当时代数式取得最小值为2ab，仿照上面的方法，对于正数a，b，试比较和的大小关系（写出过程）． 【类比应用】 运用上面的结论，完成填空： （1）___________，此时代数式：有最___________值为___________． （2）当时，___________，此时代数式有最___________值为___________． （3）当时，代数式有最___________值为___________． 【问题解决】 若一个矩形的面积固定为n，它的周长是否会有最值呢？若有，求出周长的最值及此时矩形的长和宽，若没有，请说明理由．由此你能得到怎样的结论？ 二．根的判别式 例1．（1）关于的方程，则方程根的情况为（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个实数根 D．无法确定 （2）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的值可以是（   ） A． B．0 C．2 D．3 例2．（证明）已知关于x的一元二次方程 ． (1)若方程有一根为，求m的值； (2)求证：无论m取何值时，原方程总有两个不相等的实数根． 例3．（根的判别式+整体代入求值）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则代数式的值为 ． 【实战演练】 1．（1）若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是_________． （2）若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是________． （3）已知关于的一元二次方程，其中、在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是_______． 2．已知，是矩形的对角线，，，若，是关于x的一元二次方程的两个根，则m的值为__________． 3．已知关于x的—元二次方程． (1)若方程的一个根是0，求p的值； (2)求证：无论p为何值，该方程都有两个不相等的实数根． 4．已知关于的一元二次方程． (1)方程的一个根是，求的值； (2)求证：无论为何值，该方程都有两个不相等的实数根． 5．已知关于的一元二次方程 为常数，请判断方程根的情况． 6．已知是关于x的方程的两个实数根，已知等腰的一边长为7，若，恰好是另外两边长，则周长为（    ） A．13 B．17 C．29 D．17或29 7．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则代数式的值（   ） A． B．3 C．2 D． 三．根与系数的关系【韦达定理】 例1．阅读材料： 材料1：关于x的一元二次方程的两个实数根和系数a，b，c有如下关系：，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根， ∴． 则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)应用：一元二次方程的两个实数根为，则 ， ； (2)类比：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，则的值为 ； (3)提升：已知实数s，t满足，且，则的值 ； (4)拓展：已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数的取值范围是 ． 例2．（知道两根关系求值、参数）（1）关于x的一元二次方程的一个根是3，则它的另一个根是（    ） A． B．1 C． D． （2）已知关于x的方程的两个实数根互为相反数，则a的值为（   ） A．5或 B．0 C．5 D． （3）设是关于的方程的两个根，且，则的值为（） A．2 B．3 C．0 D． 例3．已知关于的方程的两实数根为，，若，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 例4．（综合整体代入求值）若m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式_______． 【实战演练】 1．若，是一元二次方程的两个根，则的值为（     ）． A． B． C． D． 2．已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求实数的取值范围； (2)当时，方程的根为，，求代数式的值． 3．已知关于的方程的两根分别是方程两根的相反数，则的值为（   ）． A．-2 B．-1 C．0 D．1 4．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程的一个根为另一个根的3倍，求m的值． 5．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程有两个不相等的实数根； (2)若该方程的两个实数根，满足，求m的值． 6．若等腰三角形（不等边）的一边长为3，另两边长是关于的方程的两个根，则的值为（    ） A．7 B．或6 C．或7 D． 7．已知一元二次方程的两个实数根为，，若，则实数______． 8．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根、，且，则的值为______． 9．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，且满足，则______． 10．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． (1)求m的取值范围； (2)若，求m的值． 11．已知m、n是方程的两个实数根，则的值为（   ） A． B． C． D． 12．已知是一元二次方程的两个实数根，则的值等于（    ） A． B． C． D． 13．设，是方程的两实数根，则________． 14．若一元二次方程的两根为，，则的值为______． 15．已知m，n是关于x的方程的两个根，则______． 16．若，是方程的两个实数根，则______． 17．阅读材料：材料1：关于的一元二次方程的两个实数根，和系数a，b，c，有如下关系：，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：，n是一元二次方程的两个实数根， ，． 则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)一元二次方程的两个实数根为，，则______，______． (2)已知一元二次方程的两个实数根为m，n，求的值； (3)已知实数s，t满足，且，求的值． 18．阅读材料： 材料1：关于x的一元二次方程的两个实数根和系数a，b，c有如下关系：，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根， ∴． 则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)应用：一元二次方程的两个实数根为，则 ， ； (2)类比：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，则的值为 ； (3)提升：已知实数s，t满足，且，则的值 ； (4)拓展：已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数的取值范围是 ． 19．阅读材料： 材料：关于的一元二次方程的两个实数根和系数、、，有如下关系：． 材料：已知一元二次方程的两个实数根分别为，求的值． 解：是一元二次方程的两个实数根． 则 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题． (1)应用：一元二次方程的两个实数根为，则 ___________ ， ___________ ． (2)类比：已知一元二次方程的两个实数根为、，求的值； (3)提升：已知实数满足，且． 求：； 的值． 2026秋季初三数学同步讲义05- 一元二次方程（2） 【基础巩固】 1、一元二次方程的求解：直接开平方、配方法、公式法、因式分解法、换元法； 2、根的判别式； 3、韦达定理. 【精准突破】 一．解一元二次方程的方法--配方法、公式法、因式分解法 例1．（配方法）（1）用配方法解一元二次方程，配方正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： 故选：C． （2）把一元二次方程化成的形式，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： ， ∵一元二次方程化成的形式，   ∴，， ∴． 故选：A． （3）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其它重要应用． 例如：求代数式的最小值？解答过程如下： 解：， ，当时，的值最小，最小值是0， ， 当时，的值最小，最小值是1， 的最小值为1． 仿照上述方法，求解代数式的最大值． 【答案】代数式的最大值是21． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴当时，代数式的最大值是21． 例2．（换元法）若实数满足方程，那么的值为（） A． B．5 C．或5 D．3或 【答案】B 【详解】解：设， 原方程变形为， 整理得：， 解得：， 当时，， 即， 此时； 当时，， 即， 此时； 此时方程无实数根； 故选：B． 例3．（配方法对应探究）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用． 例如：试求二次三项式．最小值． 解：， ， ，即．的最小值是1． 试利用“配方法”解决下列问题： (1)已知，求y的最大（或最小）值． (2)比较代数式与的大小，并说明理由． (3)知识迁移： ①如图，学校打算用15米长的铁栅栏围成三个相连的长方形羊驼草料仓库，来饲养两只萌萌的羊驼，仓库一面靠墙（墙足够长），为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，请尝试用“配方法”求出如何围，使仓库面积虽大？最大值是多少？ ②如图，在正方形中，，点E、F分别为上的动点，且，与交于点O，点P为的中点．设，用含x的代数式表示，则的最小值为多少．（直接写出答案） 【答案】(1)y的最大值是30 (2)，理由见解析 (3)①当仓库的宽为时，仓库的面积最大，最大为平方米；② 【详解】（1）解：解：， ， ∴， ∴， ∴， 即y的最大值是30； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：①设仓库的宽为x米，则长为米，根据题意得： 仓库的面积为 ， ∵， ∴， 即当时，仓库的面积最大，最大值为， 答：当仓库的宽为时，仓库的面积最大，最大为平方米； ②在正方形中，∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点P为的中点， ∴， 在中，， ， ∴， 即的最小值为． 【实战演练】 2. 用适当的方法解下列方程． (1) (2) (3) (4) (5)（配方法） (6)（配方法） (7)（公式法） (8)（公式法） 【答案】(1)，； (2)，； (3)； (4)，； (5)，； (6)，； (7)无实数解； (8)，． 【详解】（1）解：， 整理得， ∴， ∴或， 解得，； （2）解：， ∴， ∴或， 解得，； （3）解：， 整理得，即， ∴， 解得； （4）解：， 整理得，即， ∴或， 解得，； （5）解：， 整理得， 配方得，即， 开方得， 解得，； （6）解：， 整理得， 配方得，即， 开方得， 解得，； （7）解：， 整理得， 则，，， ∵， ∴原方程无实数解； （8）解：， 整理得， 则，，， ∵， ∴， 解得，． 2．如果方程可以配方成，那么（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】B 【详解】解：， ， ， ， ∵方程可以配方成， ∴，， 解得：，， ∴， 故选：B． 3．是下列哪个一元二次方程的根（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、∵， ∴，不符合题意； B、∵， ∴，不符合题意； C、∵， ∴，符合题意； D、∵， ∴，不符合题意； 故选：C． 4．（1）若，则的值为 ． 【答案】2或 【详解】解：设，则原方程为， ， ∴或， ∴或， ∴或． 故答案为：2或． （2）若则代数式的值为（    ） A．或3 B．1或 C． D．3 【答案】D 【详解】设， 原方程变形为：， 或 解得或， ∵， ∴． 故选：D． （3）已知，则的值等于 ． 【答案】4 【详解】解：设， ∴， ∴，即， ∴或， ∵的值一定是非负数， ∴． 5．阅读感悟： 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则．所以． 把代入已知方程，得． 化简，得， 故所求方程为． 这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换元法”． 请用阅读材料提供的“换元法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式． 解决问题： (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程的根大1．则所求方程为：______； (2)方程 的两个根与方程______的两个根互为倒数． (3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为1和，求关于的一元二次方程的两个实数根． 【答案】(1) (2) (3)2025和2022 【详解】（1）解：设所求方程的根为，则， ， 把代入已知方程得：， 化简得：， 故答案为：； （2）解：设所求方程的根为，则， ， 把代入已知方程得：， 化简得：， 故答案为：； （3）解：， ， 由（2）可得：关于的一元二次方程的根与关于的一元二次方程的根互为倒数， ， 关于的一元二次方程的两个实数根分别为1和， 关于的一元二次方程的两个实数根分别为和， 或， 解得：或， 关于的一元二次方程的两个实数根分别为或． 6．我们知道，配方法是解一元二次方程的一种方法，其实质就是将一元二次方程由一般式化成，然后利用直接开平方法求一元二次方程的解的过程，公式法中用到的求根公式也可由此方法得到．配方法是把一个代数式变成一个完全平方式或含有完全平方式的代数式的形式，这种变化的手段在解决初中数学问题时有着广泛的应用． 【探究方法】 已知a，b为任意实数， 即对于任意实数a，b，总有，且当时代数式取得最小值为2ab，仿照上面的方法，对于正数a，b，试比较和的大小关系（写出过程）． 【类比应用】 运用上面的结论，完成填空： （1）___________，此时代数式：有最___________值为___________． （2）当时，___________，此时代数式有最___________值为___________． （3）当时，代数式有最___________值为___________． 【问题解决】 若一个矩形的面积固定为n，它的周长是否会有最值呢？若有，求出周长的最值及此时矩形的长和宽，若没有，请说明理由．由此你能得到怎样的结论？ 【答案】类比应用：（1）2；小；2；（2）6；小；6；（3）小；3；问题解决：若一个矩形的面积固定为n，它的周长有最小值，周长的最小值为，此时矩形的长和宽均为． 【详解】解：已知a，b为任意实数， ∵， ∴， 即对于任意实数a，b，总有，且当时代数式取得最小值为； 类比应用: （1），代数式有最小值为2； 故答案为： 2；小；2； （2）结合探究方法中得出的结论可知： 当时，，代数式有最小值为； 故答案为： ；小；； （3）结合探究方法中得出的结论可知： 当时，，代数式有最小值为3； 故答案为：小；3； 问题解决： 设该矩形的长为a，宽为， 根据题意知，周长，且当时，代数式取得最小值为， 此时， 故若一个矩形的面积固定为n，它的周长有最小值，周长的最小值为，此时矩形的长和宽均为． 二．根的判别式 例1．（1）关于的方程，则方程根的情况为（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个实数根 D．无法确定 【答案】C 【详解】解：对于一元二次方程 ，其中 ，，， ∴ ； ∴方程有两个实数根. （2）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的值可以是（   ） A． B．0 C．2 D．3 【答案】C 【详解】解：依题意得： ，且， 解得：，且， 则实数m的值可以是2， 故选：C． 例2．（证明）已知关于x的一元二次方程 ． (1)若方程有一根为，求m的值； (2)求证：无论m取何值时，原方程总有两个不相等的实数根． 【答案】(1) (2) 证明：∵ ∴无论m取何值时，原方程总有两个不相等的实数根． 【详解】（1）解：把代入原方程得 ， ， ， ， ， ； 例3．（根的判别式+整体代入求值）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则代数式的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴ ∴， 则，， ∴， 故答案为：． 【实战演练】 1．（1）若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是_________． 【答案】且 【详解】解：方程是关于的一元二次方程， ， 解得； ∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 解得； 综上，实数的取值范围为且． （2）若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是________． 【答案】且 【详解】解：∵一元二次方程有两个实数根， 解得 ∴的取值范围是且． 故答案为：且． （3）已知关于的一元二次方程，其中、在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是_______． 【答案】有两个不相等的实数根 【详解】解：由数轴可得：，且， ∴，， ∴， ∴这个方程的根的情况是有两个不相等的实数根． 2．已知，是矩形的对角线，，，若，是关于x的一元二次方程的两个根，则m的值为__________． 【答案】 【详解】解：，是矩形的对角线， ， ，是关于x的一元二次方程的两个根， 方程有两个相等的实数根， ， 即， 解得：， 故答案为： 3．已知关于x的—元二次方程． (1)若方程的一个根是0，求p的值； (2)求证：无论p为何值，该方程都有两个不相等的实数根． 【答案】(1) (2) 证明： ， 无论为何值，该方程都有两个不相等的实数根． 【详解】（1）解：把代入方程得， 解得， 即的值为； 4．已知关于的一元二次方程． (1)方程的一个根是，求的值； (2)求证：无论为何值，该方程都有两个不相等的实数根． 【答案】(1)； (2)证明：∵关于的一元二次方程， ∴ ． ∴无论为何值，该方程都有两个不相等的实数根． 【详解】（1）解：把代入方程得， 解得， 即的值为； 5．已知关于的一元二次方程 为常数，请判断方程根的情况． 【答案】当时，，方程有两个相等的实数根；当时，，方程有两个不相等的实数根， 【详解】解： ， 当时，，方程有两个相等的实数根； 当时，，方程有两个不相等的实数根， 6．已知是关于x的方程的两个实数根，已知等腰的一边长为7，若，恰好是另外两边长，则周长为（    ） A．13 B．17 C．29 D．17或29 【答案】B 【详解】解：若等腰的腰长为7， 把代入方程得： ， 解得：， 若，则原方程为：， 解得：， 三边为7，7，3（能构成三角形，符合题意）， 若，则原方程为：， 解得：， 三边为7，7，15（不能构成三角形，不合题意，舍去）， 若等腰底长为7， 则， 解得：， 原方程为：， 解得：， 三边为3，3，7（不合题意，舍去）， 综上可知：三边为7，7，3，周长为：， 即这个三角形的周长为17． 故选：B． 7．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则代数式的值（   ） A． B．3 C．2 D． 【答案】B 【详解】有两个相等的实数根， ，． ，， ． 故选：B． 三．根与系数的关系【韦达定理】 例1．阅读材料： 材料1：关于x的一元二次方程的两个实数根和系数a，b，c有如下关系：，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根， ∴． 则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)应用：一元二次方程的两个实数根为，则 ， ； (2)类比：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，则的值为 ； (3)提升：已知实数s，t满足，且，则的值 ； (4)拓展：已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数的取值范围是 ． 【详解】（1）解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴，． 故答案为：，； （2）解：∵一元二次方程的两根分别为m、n， ∴，， ∴ ； （3）解：∵实数s、t满足， ∴s、t可以看作方程的两个根， ∴，， ∵ ， ∴或， 当时， ， 当时， ， 综上分析可知，的值为或． （4）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴ 解得 ∵关于的一元二次方程 ∴， ∵ ∴ ∴ 解得 综上所述，． 例2．（知道两根关系求值、参数）（1）关于x的一元二次方程的一个根是3，则它的另一个根是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【详解】解：设另一个根是， ∵关于x的一元二次方程的一个根是3， ∴， 解得：． 故选：C． （2）已知关于x的方程的两个实数根互为相反数，则a的值为（   ） A．5或 B．0 C．5 D． 【答案】C 【详解】解：设关于x的方程的两个实数根为， ∴， ∵关于x的方程的两个实数根互为相反数， ∴，， ∴或， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． （3）设是关于的方程的两个根，且，则的值为（） A．2 B．3 C．0 D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴ ∵是关于的方程的两个根， ∴， ∴ ∴ 解得： 将代入方程得： 解得： 当时，方程的两个根为，不满足； 当时，方程的两个根为，满足； 故选：A 例3．已知关于的方程的两实数根为，，若，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【详解】解：∵关于的方程的两实数根为，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：，， ∵方程有两实数根， ∴， 解得：， ∴（舍去）， ∴． 故选：A． 例4．（综合整体代入求值）若m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式_______． 【答案】7 【详解】解：由题意，得：，， ∴， ∴ ． 故答案为：7． 【实战演练】 1．若，是一元二次方程的两个根，则的值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵，是一元二次方程的两个根， ∴由根与系数的关系可得：，， ∴． 2．已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求实数的取值范围； (2)当时，方程的根为，，求代数式的值． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有实数根， ， 解得：； （2）解：当时，一元二次方程为， ， ． 3．已知关于的方程的两根分别是方程两根的相反数，则的值为（   ）． A．-2 B．-1 C．0 D．1 【答案】A 【详解】设方程的两根分别为， 由根与系数的关系得， 又关于的方程的两根分别是方程两根的相反数， 所以方程的两根分别为， 由根与系数的关系得， ， 解得， ． 故选：A． 4．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程的一个根为另一个根的3倍，求m的值． 【答案】(1) 证明：由题意可得：，故方程总有两个实数根； (2)m的值为或 【详解】（1）略 （2）解：∵方程的一个根为另一个根的3倍， ∴设方程的一个根为，则另一个根为， 由题意可得：， 解得：，或， ∴m的值为或． 5．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程有两个不相等的实数根； (2)若该方程的两个实数根，满足，求m的值． 【答案】(1) 证明：∵在方程中， ， ∴该方程有两个不相等的实数根． (2) （2）解：∵该方程的两个实数根分别为，， ∴①，②． ∵③， ∴联立①③，解得，． ∴， 解得． 6．若等腰三角形（不等边）的一边长为3，另两边长是关于的方程的两个根，则的值为（    ） A．7 B．或6 C．或7 D． 【答案】C 【详解】解：分两种情况考虑： ①当3为腰长时，将代入原方程， 得， 解得：， ∴原方程为，即， 解得：， ∴三角形的三边长分别为5，3，3，符合题意； ②当3为底边长时，原方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：． ∴原方程为， 即， 故， ∴三角形的三边长分别为3，4，4，符合题意； 综上，或7． 故选：C． 7．已知一元二次方程的两个实数根为，，若，则实数______． 【答案】0 或 【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根为，， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴，即， ∴． 由于是方程的根，代入方程，得，即解得或． 当时，方程为，根为0和3，满足条件； 当时，方程为，根为4和，满足条件． 综上，或． 故答案为0 或． 8．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根、，且，则的值为______． 【答案】 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根、， ∴，， ∴ ， ∵， ∴， 解得：，， ∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，解得：， ∴不符合条件， ∴， 故答案为：． 9．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，且满足，则______． 【答案】 1 【详解】解：整理得， 方程有两个实数根, ， ， 解得， 由一元二次方程根与系数的关系可得：， ， ， ， 解得，（舍）． 故答案为： 1． 10．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． (1)求m的取值范围； (2)若，求m的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴． （2）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，， ∴，， 将，，代入， ∴，即， ∴， 解得， 由（1）知， ∴． 11．已知m、n是方程的两个实数根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵m、n是方程的两个实数根， ∴，即， ∴， ∵m，n是方程的两个实数根， ∴， ∴． 故选：C． 12．已知是一元二次方程的两个实数根，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴， 故选：． 13．设，是方程的两实数根，则________． 【答案】0 【详解】解：因为 是方程 的根， 所以 ，即 ． 又因为 是方程的两个实数根，由根与系数的关系，得 ． 所以 ． 故答案为 0． 14．若一元二次方程的两根为，，则的值为______． 【答案】/ 【详解】解：∵一元二次方程的两根为，， ∴，，， ∴，， ∴ ， ∴的值为． 故答案为：． 15．已知m，n是关于x的方程的两个根，则______． 【答案】19 【详解】解：∵m，n是关于x的方程的两个根， ， ∴， ∴ 故答案为：19． 16．若，是方程的两个实数根，则______． 【答案】 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 17．阅读材料：材料1：关于的一元二次方程的两个实数根，和系数a，b，c，有如下关系：，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：，n是一元二次方程的两个实数根， ，． 则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)一元二次方程的两个实数根为，，则______，______． (2)已知一元二次方程的两个实数根为m，n，求的值； (3)已知实数s，t满足，且，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：，； （2）解：∵的两个实数根为m，n， ∴， ∴； （3）解：∵实数s，t满足，且， ∴是的两个根， ∴， ∴． 18．阅读材料： 材料1：关于x的一元二次方程的两个实数根和系数a，b，c有如下关系：，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根， ∴． 则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)应用：一元二次方程的两个实数根为，则 ， ； (2)类比：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，则的值为 ； (3)提升：已知实数s，t满足，且，则的值 ； (4)拓展：已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数的取值范围是 ． 【答案】(1)， (2) (3)或 (4) 【详解】（1）解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴，． 故答案为：，； （2）解：∵一元二次方程的两根分别为m、n， ∴，， ∴ ； （3）解：∵实数s、t满足， ∴s、t可以看作方程的两个根， ∴，， ∵ ， ∴或， 当时， ， 当时， ， 综上分析可知，的值为或． （4）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴ 解得 ∵关于的一元二次方程 ∴， ∵ ∴ ∴ 解得 综上所述，． 19．阅读材料： 材料：关于的一元二次方程的两个实数根和系数、、，有如下关系：． 材料：已知一元二次方程的两个实数根分别为，求的值． 解：是一元二次方程的两个实数根． 则 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题． (1)应用：一元二次方程的两个实数根为，则 ___________ ， ___________ ． (2)类比：已知一元二次方程的两个实数根为、，求的值； (3)提升：已知实数满足，且． 求：； 的值． 【答案】(1) (2) (3)； 【详解】（1）解：一元二次方程的两个根为， ； 故答案为：； （2）解：一元二次方程的两根分别为， ， ； （3）解：实数满足，且， 是一元二次方程的两个实数根， ， ； 实数满足，且， 是一元二次方程的两个实数根， ， ， ， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $