15.1.2 线段的垂直平分线 分层练习 2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 本练习围绕线段的垂直平分线，通过基础巩固、能力提升、拓展应用三层设计，实现从概念理解到综合推理的知识进阶，适配新授课分层教学需求，培养几何直观与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|垂直平分线性质、逆命题、尺规作图|以选择为主，如第2题判断互逆命题，夯实概念理解| |能力提升|性质应用、周长最值、坐标问题|结合图形变换，如第6题利用轴对称求周长最小值，发展空间观念| |拓展应用|动态问题、多知识点综合|如第14题结合角平分线与垂直平分线证明，培养逻辑推理能力|

15.1.2 线段的垂直平分线 1.如图，在中，分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作直线，交于点D.若的周长为11，，则的长为( ) A.14 B.12 C.7 D.6 2.“直角都相等”与“相等的角是直角”是( ) A.互逆命题 B.互逆定理 C.公理 D.假命题 3.如图，在四边形中，垂直平分，垂足为E，下列结论不一定成立的是( ) A. B.平分 C. D. 4.到的三个顶点距离相等的点是的( ) A.三条角平分线的交点 B.三边垂直平分线的交点 C.三条高的交点 D.三边中线的交点 5.下面是小星同学的尺规作图步骤：(1)以点O为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N；(2)分别以点M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧在内部交于点C；(3)画射线；(4)连接.根据上面的作图方法，下列结论错误的是( ) A. B. C.直线是线段的垂直平分线 D.是线段的垂直平分线 6.如图，在中，，，垂直平分线段，P是直线上的任意一点，则周长的最小值是( ) · A.5 B.6 C.7 D.8 7.如图，直线l是线段AB的垂直平分线，点C在直线l外，且与点A在直线l的同侧，连接BC，交直线l于点D，点P是直线l上的一个动点（不与点D重合），连接AP，CP，则BC与的大小关系是( ) A. B. C. D.不能确定 8.如图，已知点和点，在x轴或y轴上有一点P，且点P到点A和点B的距离相等，则点P的坐标为__________. 9.按要求解答下列各题. （1）请写出以下命题的逆命题： ①相等的角是内错角； ②如果，那么. （2）判断（1）中①的原命题和逆命题是否为互逆定理. 10.如图，已知，是的平分线，于点E，于点F，连接EF交AD于点G. （1）求证：AD垂直平分EF； （2）若，，求的面积. 11.如图，长方形ABOC的顶点A的坐标为，D是OB的中点，E是OC上的一点，AE的延长线交x轴于F，当的周长最小时，的面积是( ) A.6 B.8 C.10 D.12 12.如图，中，，，，D为BC上一动点，连结AD，AD的垂直平分线分别交AC，AB于点E，F，则线段BF的长的最大值为______. 13.如图，在中，D是AB的中点，，，交AC于F，，，则___________. 14.如图，点P在的平分线上，点E，F分别在OA，OB上，且. （1）求证：. （2）延长FP，EP，分别交OA，OB于点C，D，连接CD，若DP平分，回答下列问题： ①试说明CP平分； ②若，，求点P到射线OA的距离. 答案及解析 1.答案：C 解析：由题意可得∶垂直平分，则. 的周长. ， . 2.答案：A 解析：“直角都相等”的题设是“两个角是直角”，结论是“这两个角相等”；“相等的角是直角”的题设是“两个角相等”，结论是“这两个角是直角”，这两个命题的题设和结论互换，所以是互逆命题.“相等的角是直角”是假命题，所以“直角都相等”与“相等的角是直角”不是互逆定理.故选A. 3.答案：D 解析：垂直平分， ，，，故A，C选项成立， ，， ， 平分，故B选项成立， 没有可证明的条件，故D选项不一定成立. 4.答案：B 解析：到三角形的一边的两端点距离相等的点在这边的垂直平分线上， 到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点， 故选：B. 5.答案：D 解析：由作图可知，，， ∵， ∴，故选项A正确，不合题意； ∵， ∴，故选项B正确，不合题意； ∵，， ∴点O和点C都在线段的垂直平分线上， ∴直线是线段的垂直平分线，故选项C正确，不合题意； 由作图无法得知，， ∴不能确定点M、N是否在线段的垂直平分线上， ∴不一定是线段的垂直平分线，故选项D错误，符合题意. 6.答案：B 解析：如图，连接， 垂直平分线段， ， 周长， 当点A、P、C在同一直线上时，周长最小，为. 7.答案：B 解析：如图，连接.直线l是线段AB的垂直平分线，，.点P不与点D重合，.故选B. 8.答案：或 解析：如图，取格点，，作直线EF，则点F为AB的中点，，，点E，F都在线段AB的垂直平分线上，直线EF是线段AB的垂直平分线. 根据图易得直线EF与x轴交于点，与y轴交于点.点P到点A和点B的距离相等，点P在线段AB的垂直平分线EF上，点P的坐标为或，故答案为或. 9.答案：（1）答案见解析 （2）不是 解析：（1）①“相等的角是内错角”的逆命题：如果两个角是内错角，那么这两个角相等. ②“如果，那么”的逆命题：如果，那么. （2）因为（1）中①的原命题与逆命题都是假命题， 所以（1）中①的原命题和逆命题不是互逆定理. 10.答案：（1）证明见解析 （2）15 解析：（1）证明：平分，，， ，，， 点D在EF的垂直平分线上. 在和中， ，， 点A在EF的垂直平分线上，垂直平分EF. （2），. ， . 11.答案：C 解析：长方形ABOC的顶点A的坐标为，D是OB的中点，，，，，.如图，作点A关于y轴的对称点，连接.由轴对称的性质可得.，垂直平分，，的周长，当，E，D三点在同一条直线上时，的值最小，即的周长最小，易得此时，，的面积是，故选C. 12.答案： 解析：如图，过点F作于H，连结DF.，，，.设，则，.垂直平分AD，.，，解得，的最小值为，的最大值为.故答案为. 13.答案：5 解析：如图，连接AE，BE，过点E作交BC的延长线于点G. 是AB的中点，，垂直平分线段，. ，，，是的平分线.，，.又，，.在和中，，.设，则，，，解得，. 14.答案：（1）证明见解析 （2）①证明见解析 ②2 解析：（1）证明：点P在的平分线上，. 又，， ，. （2）①如图，过点P作OA，OB，CD的垂线，垂足分别为I，G，H. 点P在的平分线上，. 平分，，， 平分. ②由（1）得，. 又，， ，，. ，， 是线段CD的垂直平分线，则点H是OP与CD的交点. ，， ，，， 即点P到射线OA的距离为2. 学科网（北京）股份有限公司 $