专题15 乘法公式与因式分解的综合应用（重难点讲义）数学新教材人教版八年级上册

本讲义聚焦初中数学乘法公式与因式分解综合应用，系统梳理平方差、完全平方公式的正向整式乘法与逆向因式分解变形，整合提公因式、公式法、十字相乘法、分组分解四种因式分解方法，构建从基础变形到综合应用（求值、化简、解方程等）的学习支架，结合三角形边长、整数等实际情境深化理解。 该资料亮点在于题型设计贴近现实，如“利用公式破译密码”“比较大小”等，引导学生用数学眼光抽象数量关系，通过典例-变式-巩固训练的递进式设计培养推理能力与运算能力，步骤口诀“一提二套三叉四分”助力结构化思维，课中辅助教师高效授课，课后帮助学生强化练习、弥补知识盲点。

专题 15 乘法公式与因式分解的综合应用 1.熟练掌握平方差、完全平方两大核心乘法公式，能正向、逆向灵活变形； 2.掌握因式分解四种基本方法：提公因式、公式法、十字相乘法、分组分解； 3.综合运用公式 + 因式分解求值、化简、判断代数式符号、解方程； 4结合三角形边长、整数、绝对值等题型进行综合计算。 一、核心乘法公式（正向：整式乘法；逆向：因式分解） 1. 拓展变形（高频考点） 2. 补充拓展公式（综合大题常用） 立方和 / 差： 完全立方： 二、因式分解四大基本方法（分解顺序：一提二套三叉四分） 步骤口诀：先提公因式，再套公式，二次三项试十字，四项及以上分组 提公因式法 找各项系数最大公约数 + 相同字母最低次幂，一次性提出； 公式法 两项优先平方差；三项优先完全平方；高次看立方公式。 十字相乘法（二次三项式） ，满足 ：拆二次项系数、常数项，交叉相乘和为一次项系数。 题型 01 运用公式比较大小 【典例1】若，，则a与b的大小关系为（　　） A．a＞b B．a≥b C．a＜b D．a≤b 【变式】a＝192×918，b＝8882﹣302，c＝6982﹣2202，则a、b、c的大小关系为 （用“＜”连接）． 题型 02利用公式破译密码 【典例2】小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：x+y，x﹣y，a+b，a﹣b，a2﹣b2分别对应下列五个字：美、爱、灵、宝、我，现将（x﹣y）a2+（y﹣x）b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（　　） A．灵宝美 B．我爱灵宝 C．我美 D．爱灵宝 【变式】利用因式分解可以生成密码，其方法为：先对给定多项式进行因式分解，再对各因式赋值得到因式码，最后将因式码按照从小到大的顺序排列即可得到密码．例如多项式x2y﹣4y，可分解因式得到y（x+2）（x﹣2）．若取x＝15，y＝12，可得y＝12，x+2＝17，x﹣2＝13，其中12，17，13即为各因式对应的因式码，将这些因式码按从小到大排序后即可得到密码121317．现有多项式16p4﹣q4，当取p＝3，q＝2时，按照上述方法生成的密码是（　　） A．4840 B．4820 C．8420 D．4480 题型 03 利用公式进行化简求值 【典例3】先化简，再求值：（a+b）2﹣a（a+2b），其中a＝2026，． 【变式】（2026春•昆都仑区期末）计算． （1）计算：（x+3）（x﹣3）﹣3； （2）先化简，再求值：a（a﹣2b）+（a+b）2，其中a＝﹣1，b＝2． 【巩固训练】 1.已知m为有理数，则整式m2（m2﹣1）﹣m2+1的值（　　） A．不是负数 B．恒为负数 C．恒为正数 D．不等于0 2.若多项式x2﹣ax﹣2可分解为（x﹣1）（x﹣b），则a﹣b的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1 3. 用如图1中的若干个三种纸片拼成如图2的矩形，据此可写出一个多项式的因式分解，下列各项正确的是（　　） A．3a2+3ab+b2＝（a+b）（b+3a） B．3a2﹣3ab+b2＝（a﹣b）（3a+b） C．3a2+4ab+3b2＝（a+b）（3a+b） D．3a2+4ab+b2＝（a+b）（3a+b） 4. 某课外密码研究小组接收到一条密文：8x（m2﹣n2）﹣8y（m2﹣n2）．已知密码手册的部分信息如下表所示： 密文 … m﹣n m+n x﹣y x+y 8 x … 明文 … 中 爱 国 美 我 丽 … 把密文8x（m2﹣n2）﹣8y（m2﹣n2）用因式分解解码后，明文可能是（　　） A．我爱中国 B．美丽中国 C．我爱美丽 D．中国美丽 5. 将多项式x2﹣ax+6分解因式为：x2﹣ax+6＝（x﹣6）（x+b），则a+b＝　　 ． 6. 对于某二次三项式进行因式分解时，甲同学因看错了常数项将其分解为2（x+1）（x﹣5），而乙同学因看错了一次项将其分解为2（x+4）（x﹣3）． （1）请求出正确的一次项系数和常数项； （2）写出原多项式，并将此二次三项式进行正确的因式分解． 7. 先化简，再求值：x（x+3y）﹣（x+1）2+4xy2÷2y2，其中x和y互为倒数． 8. 将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：a2﹣2ab+b2﹣c2＝（a2﹣2ab+b2）﹣c2＝（a﹣b）2﹣c2＝（a﹣b+c）（a﹣b﹣c）．请仔细阅读上述解法后，解决下列问题： （1）分解因式：1﹣m2﹣n2+2mn； （2）已知m+n＝7，m﹣n＝1，求m2﹣n2+2m﹣2n的值． 9. 已知两个正整数a，b，且a比b大10，那么a，b的平方差一定是20的倍数吗？请举例，并用所学知识证明你的结论． 【强化训练】 1. （2025秋•重庆期末）若关于x的多项式x3+x2﹣7x﹣3可以分解为（x2+nx﹣1）（x+3），则n3的值是（　　） A．8 B．﹣8 C．6 D．﹣6 2. （2026•潮南区校级模拟）若k为任意整数，则（2k+3）2﹣4k2的值总能（　　） A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除 3. （2026春•铁西区期末）定义：如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“豫数”．如4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4、12、20都是“豫数”，有关“豫数”说法正确的是（　　） A．最小的“豫数”是2 B．32是“豫数” C．28是“豫数” D．所有“豫数”都是6的倍数 4. （2026春•高明区期末）某中学组织学生开展“行走高明”研学活动，在密码闯关环节中，同学们发现这样一条信息：a﹣b，x﹣y，x+y，a+b，x2﹣y2，a2﹣b2分别对应下列六个字：荷、山、水、明、城、江（分别代表高明的荷城、皂幕山、沧江水、明城镇、西江新城、西江）．现将（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2因式分解，结果呈现的信息是（　　） A．山水城 B．明荷江 C．山水明荷 D．江山明荷 5. （2026春•灌云县期末）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“美好数”．如8＝32﹣12，16＝52﹣32，即8，16均为“美好数”，在不超过530的正整数中，所有的“美好数”之和为（　　） A．17687 B．17688 C．17689 D．17670 6. （2026春•惠山区校级期中）利用平方差公式计算：的结果为　　 ． 7. （2026春•福田区校级期末）先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1． 解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则： 原式＝A2+2A+1＝（A+1）2．再将“A”还原，得原式＝（x+y+1）2． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： （1）因式分解：（x﹣y）2+2（x﹣y）+1＝　 ； （2）证明：无论a，b取何值时，（a2b2﹣4a）（a2b2﹣4a﹣2）+1的值一定是非负数． 8. （2026春•彬州市期末）小辰对多项式x2﹣2xy+y2﹣9进行因式分解，采用的方法如下：x2﹣2xy+y2﹣9＝（x﹣y）2﹣9＝（x﹣y+3）（x﹣y﹣3）．根据以上方法，解答下列问题： （1）分解因式：ax+ay+bx+by＝　　 ； （2）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2﹣b2﹣ac+bc＝0，试说明△ABC是等腰三角形． 9. （2026春•南京期末）已知：通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到代数恒等式是 ，基于此，请解决以下问题： （1）若x+y＝3，x2+y2＝7，求xy的值； （2）若（2025﹣m）（2026﹣m）＝12，求（2025﹣m）2+（2026﹣m）2的值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 15 乘法公式与因式分解的综合应用 1.熟练掌握平方差、完全平方两大核心乘法公式，能正向、逆向灵活变形； 2.掌握因式分解四种基本方法：提公因式、公式法、十字相乘法、分组分解； 3.综合运用公式 + 因式分解求值、化简、判断代数式符号、解方程； 4结合三角形边长、整数、绝对值等题型进行综合计算。 一、核心乘法公式（正向：整式乘法；逆向：因式分解） 1. 拓展变形（高频考点） 2. 补充拓展公式（综合大题常用） 立方和 / 差： 完全立方： 二、因式分解四大基本方法（分解顺序：一提二套三叉四分） 步骤口诀：先提公因式，再套公式，二次三项试十字，四项及以上分组 提公因式法 找各项系数最大公约数 + 相同字母最低次幂，一次性提出； 公式法 两项优先平方差；三项优先完全平方；高次看立方公式。 十字相乘法（二次三项式） ，满足 ：拆二次项系数、常数项，交叉相乘和为一次项系数。 题型 01 运用公式比较大小 【典例1】若，，则a与b的大小关系为（　　） A．a＞b B．a≥b C．a＜b D．a≤b A【解析】设 x＝2026111，可得 x＞1＞0， 则 ，， 由条件可知：， 展开分子得：（x+1）（x3+1）＝x4+x3+x+1， 展开分母得：（x2+1）2＝x4+2x2+1， 分子减分母得： x4+x3+x+1﹣（x4+2x2+1）＝x3﹣2x2+x＝x（x﹣1）2， ∵x＞1， ∴（x+1）（x3+1）＞（x2+1）2＞0， ∴，∴a＞b．故选：A． 【变式】a＝192×918，b＝8882﹣302，c＝6982﹣2202，则a、b、c的大小关系为 （用“＜”连接）． a＜c＜b【解析】∵b＝8882﹣302，c＝6982﹣2202， ∴b＝（888+30）×（888﹣30），c＝（698+220）（698﹣220）， ∴b＝918×858，c＝918×478， ∵a＝192×918＝361×918，且361＜478＜858， ∴a＜c＜b，故答案为：a＜c＜b． 题型 02利用公式破译密码 【典例2】小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：x+y，x﹣y，a+b，a﹣b，a2﹣b2分别对应下列五个字：美、爱、灵、宝、我，现将（x﹣y）a2+（y﹣x）b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（　　） A．灵宝美 B．我爱灵宝 C．我美 D．爱灵宝 D【解析】提取公因式（x﹣y）得：原式＝（x﹣y）（a2﹣b2）， ∵a2﹣b2＝（a﹣b）（a+b）（平方差公式）， ∴原式＝（x﹣y）（a﹣b）（a+b）， 由题意知：x﹣y对应“爱”，a﹣b对应“宝”，a+b对应“灵”， ∴分解结果的因式对应“爱、宝、灵”，组合可得密码信息“爱灵宝”； 故选：D． 【变式】利用因式分解可以生成密码，其方法为：先对给定多项式进行因式分解，再对各因式赋值得到因式码，最后将因式码按照从小到大的顺序排列即可得到密码．例如多项式x2y﹣4y，可分解因式得到y（x+2）（x﹣2）．若取x＝15，y＝12，可得y＝12，x+2＝17，x﹣2＝13，其中12，17，13即为各因式对应的因式码，将这些因式码按从小到大排序后即可得到密码121317．现有多项式16p4﹣q4，当取p＝3，q＝2时，按照上述方法生成的密码是（　　） A．4840 B．4820 C．8420 D．4480 A【解析】16p4﹣q4，＝（4p2+q2）（4p2﹣q2） ＝（4p2+q2）（2p+q）（2p﹣q）， 当取p＝3，q＝2时， 可得：4p2+q2＝4×32+22＝40， 2p+q＝2×3+2＝8， 2p﹣q＝2×3﹣2＝4， 4＜8＜40， 所以密码为：4840． 故选：A． 题型 03 利用公式进行化简求值 【典例3】先化简，再求值：（a+b）2﹣a（a+2b），其中a＝2026，． 解：（a+b）2﹣a（a+2b） ＝a2+2ab+b2﹣a2﹣2ab ＝b2， 当b时，原式＝（）2. 【变式】（2026春•昆都仑区期末）计算． （1）计算：（x+3）（x﹣3）﹣3； （2）先化简，再求值：a（a﹣2b）+（a+b）2，其中a＝﹣1，b＝2． 解:（1）原式＝x2﹣9﹣3 ＝x2﹣12； （2）原式＝a2﹣2ab+a2+2ab+b2 ＝2a2+b2， 当a＝﹣1，b＝2时，原式＝2×（﹣1）2+22＝6． 【巩固训练】 1.已知m为有理数，则整式m2（m2﹣1）﹣m2+1的值（　　） A．不是负数 B．恒为负数 C．恒为正数 D．不等于0 A【解析】原式＝m2（m2﹣1）﹣（m2﹣1）＝（m2﹣1）2≥0，即不为负数， 故选：A． 2.若多项式x2﹣ax﹣2可分解为（x﹣1）（x﹣b），则a﹣b的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1 C【解析】根据题意得x2﹣ax﹣2＝（x﹣1）（x﹣b）， x2﹣ax﹣2＝x2﹣bx﹣x+b， x2﹣ax﹣2＝x2﹣（b+1）x+b， ∴a＝b+1，b＝﹣2， ∴a﹣b＝1， 故选：C． 3. 用如图1中的若干个三种纸片拼成如图2的矩形，据此可写出一个多项式的因式分解，下列各项正确的是（　　） A．3a2+3ab+b2＝（a+b）（b+3a） B．3a2﹣3ab+b2＝（a﹣b）（3a+b） C．3a2+4ab+3b2＝（a+b）（3a+b） D．3a2+4ab+b2＝（a+b）（3a+b） D【解析】A、3a2+3ab+b2≠（a+b）（b+3a），故A错误； B、3a2﹣3ab+b2≠（a﹣b）（3a+b），故B错误； C、3a2+4ab+3b2≠（a+b）（3a+b），故C错误； D、3a2+4ab+b2，故D正确．故选：D． 4. 某课外密码研究小组接收到一条密文：8x（m2﹣n2）﹣8y（m2﹣n2）．已知密码手册的部分信息如下表所示： 密文 … m﹣n m+n x﹣y x+y 8 x … 明文 … 中 爱 国 美 我 丽 … 把密文8x（m2﹣n2）﹣8y（m2﹣n2）用因式分解解码后，明文可能是（　　） A．我爱中国 B．美丽中国 C．我爱美丽 D．中国美丽 A【解析】原式＝8（m2﹣n2）（x﹣y）＝8（m+n）（m﹣n）（x﹣y）， ∵8对应明文“我”，m+n对应明文“爱”，m﹣n对应明文“中”，x﹣y对应明文“国”， ∴组合后明文可为“我爱中国”．故选：A． 5. 将多项式x2﹣ax+6分解因式为：x2﹣ax+6＝（x﹣6）（x+b），则a+b＝　　 ． 6【解析】∵x2﹣ax+6＝（x﹣6）（x+b）＝x2+（b﹣6）x﹣6b， ∴﹣6b＝6，﹣a＝b﹣6，解得a＝7，b＝﹣1， ∴a+b＝7﹣1＝6． 故答案为：6． 6. 对于某二次三项式进行因式分解时，甲同学因看错了常数项将其分解为2（x+1）（x﹣5），而乙同学因看错了一次项将其分解为2（x+4）（x﹣3）． （1）请求出正确的一次项系数和常数项； （2）写出原多项式，并将此二次三项式进行正确的因式分解． 解:（1）甲同学：2（x+1）（x﹣5）＝2（x2﹣4x﹣5）＝2x2﹣8x﹣10， 因为看错了常数项，所以一次项系数正确，是﹣8， 乙同学：2（x+4）（x﹣3）＝2（x2+x﹣12）＝2x2+2x﹣24， 因为看错了一次项，所以常数项正确，是﹣24， 所以一次项系数是﹣8，常数项是﹣24； （2）由（1）知原多项式是2x2﹣8x﹣24， 2x2﹣8x﹣24＝2（x2﹣4x﹣12）＝2（x﹣6）（x+2）． 7. 先化简，再求值：x（x+3y）﹣（x+1）2+4xy2÷2y2，其中x和y互为倒数． 解:原式＝x2+3xy﹣x2﹣2x﹣1+2x ＝3xy﹣1， 由条件可知xy＝1，∴原式＝3×1﹣1＝2． 8. 将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：a2﹣2ab+b2﹣c2＝（a2﹣2ab+b2）﹣c2＝（a﹣b）2﹣c2＝（a﹣b+c）（a﹣b﹣c）．请仔细阅读上述解法后，解决下列问题： （1）分解因式：1﹣m2﹣n2+2mn； （2）已知m+n＝7，m﹣n＝1，求m2﹣n2+2m﹣2n的值． 解:（1）1﹣m2﹣n2+2mn ＝1﹣（m2+n2﹣2mn） ＝1﹣（m﹣n）2 ＝（1+m﹣n）（1﹣m+n）； （2）m2﹣n2+2m﹣2n ＝（m2﹣n2）+（2m﹣2n） ＝（m+n）（m﹣n）+2（m﹣n） ＝（m﹣n）（m+n+2）， 因为m+n＝7，m﹣n＝1，所以原式＝1×（7+2）＝9． 9. 已知两个正整数a，b，且a比b大10，那么a，b的平方差一定是20的倍数吗？请举例，并用所学知识证明你的结论． 解:举例：取正整数 b＝1，则 a＝1+10＝11， 计算平方差：112﹣12＝121﹣1＝120， 120÷20＝6，120是20的倍数； 再取正整数 b＝3， 则 a＝3+10＝13， 132﹣32＝169﹣9＝160，160÷20＝8， 160是20的倍数． 证明：由题意可知 a﹣b＝10， 根据平方差公式可得：a2﹣b2＝（a﹣b）（a+b）＝10×（a+b）， 将 a＝b+10 代入上式，a+b＝（b+10）+b＝2b+10＝2（b+5）， 因此平方差可变形为：a2﹣b2＝10×2（b+5）＝20（b+5）， 因为b是正整数， 所以b+5是正整数， 因此a2﹣b2等于20乘以一个正整数，即a，b的平方差一定是20的倍数． 【强化训练】 1. （2025秋•重庆期末）若关于x的多项式x3+x2﹣7x﹣3可以分解为（x2+nx﹣1）（x+3），则n3的值是（　　） A．8 B．﹣8 C．6 D．﹣6 B【解析】由题意得：x3+x2﹣7x﹣3＝（x2+nx﹣1）（x+3）＝x3+（n+3）x2+（3n﹣1）x﹣3， ∴n+3＝1且3n﹣1＝﹣7， 解得：n＝﹣2， ∴n3的值为：﹣8， 故选：B． 2. （2026•潮南区校级模拟）若k为任意整数，则（2k+3）2﹣4k2的值总能（　　） A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除 B【解析】（2k+3）2﹣4k2 ＝（2k+3﹣2k）（2k+3+2k） ＝3（4k+3）． 故必然能被3整除，故选：B． 3. （2026春•铁西区期末）定义：如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“豫数”．如4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4、12、20都是“豫数”，有关“豫数”说法正确的是（　　） A．最小的“豫数”是2 B．32是“豫数” C．28是“豫数” D．所有“豫数”都是6的倍数 C【解析】由题意得，“豫数”为：（2n）2﹣（2n﹣2）2 ＝[2n+（2n﹣2）][2n﹣（2n﹣2）] ＝（2n+2n﹣2）（2n﹣2n+2） ＝（4n﹣2）×2 ＝4（2n﹣1）， ∴当n＝1时，最小的“豫数”是4×（2×1﹣1）＝4， ∴选项A不符合题意； ∵解方程4（2n﹣1）＝32得，n＝4.5（不符合实际），∴选项B不符合题意； ∵解方程4（2n﹣1）＝28得，n＝4， ∴选项C符合题意； ∵4（2n﹣1）是4的倍数，即所有“豫数”都是4的倍数， ∴选项D不符合题意，故选：C． 4. （2026春•高明区期末）某中学组织学生开展“行走高明”研学活动，在密码闯关环节中，同学们发现这样一条信息：a﹣b，x﹣y，x+y，a+b，x2﹣y2，a2﹣b2分别对应下列六个字：荷、山、水、明、城、江（分别代表高明的荷城、皂幕山、沧江水、明城镇、西江新城、西江）．现将（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2因式分解，结果呈现的信息是（　　） A．山水城 B．明荷江 C．山水明荷 D．江山明荷 C【解析】（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2 ＝（x2﹣y2）（a2﹣b2） ＝（x+y）（x﹣y）（a+b）（a﹣b）， 因为a﹣b，x﹣y，x+y，a+b，x2﹣y2，a2﹣b2分别对应下列六个字：荷、山、水、明、城、江， 所以（x+y）（x﹣y）（a+b）（a﹣b）代表“山水明荷”．故选：C． 5. （2026春•灌云县期末）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“美好数”．如8＝32﹣12，16＝52﹣32，即8，16均为“美好数”，在不超过530的正整数中，所有的“美好数”之和为（　　） A．17687 B．17688 C．17689 D．17670 B【解析】如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“美好数”． 设两个连续奇数分别为2n﹣1，2n+1，n为正整数， 由平方差公式得：（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝4n2+4n+1﹣（4n2﹣4n+1）＝8n， 即“美好数”可表示为8n，由题意得：8n≤530， 解得n≤66.25， ∵n为正整数，∴n的最大值为66， ∴最大的对应奇数为2×66+1＝133， ∴所有“美好数”之和为．故选：B． 6. （2026春•惠山区校级期中）利用平方差公式计算：的结果为　　 ． 1012【解析】 ＝1+1+1+…+1 ＝1×（2024÷2） ＝1012．故答案为：1012． 7. （2026春•福田区校级期末）先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1． 解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则： 原式＝A2+2A+1＝（A+1）2．再将“A”还原，得原式＝（x+y+1）2． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： （1）因式分解：（x﹣y）2+2（x﹣y）+1＝　 ； （2）证明：无论a，b取何值时，（a2b2﹣4a）（a2b2﹣4a﹣2）+1的值一定是非负数． （1）解：将“x﹣y”看成整体，令x﹣y＝A， 则：原式＝A2+2A+1＝（A+1）2， 再将“A”还原，得原式＝（x﹣y+1）2；故答案为：（x﹣y+1）2； （2）证明：将“a2b2﹣4a”看成整体，令a2b2﹣4a＝A， 则：原式＝A（A﹣2）+1＝A2﹣2A+1＝（A﹣1）2， 再将“A”还原，得原式＝（a2b2﹣4a﹣1）2， ∵（a2b2﹣4a﹣1）2≥0， ∴无论a，b取何值时，（a2b2﹣4a）（a2b2﹣4a﹣2）+1的值一定是非负数． 8. （2026春•彬州市期末）小辰对多项式x2﹣2xy+y2﹣9进行因式分解，采用的方法如下：x2﹣2xy+y2﹣9＝（x﹣y）2﹣9＝（x﹣y+3）（x﹣y﹣3）．根据以上方法，解答下列问题： （1）分解因式：ax+ay+bx+by＝　　 ； （2）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2﹣b2﹣ac+bc＝0，试说明△ABC是等腰三角形． 解:（1）ax+ay+bx+by＝a（x+y）+b（x+y） ＝（a+b）（x+y）； 故答案为：（a+b）（x+y）； （2）∵a2﹣b2﹣ac+bc＝0， ∴（a+b）（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0， ∴（a﹣b）[（a+b）﹣c]＝0， ∵a，b，c是△ABC的三边长， ∴a+b＞c，即（a+b）﹣c＞0， ∴a﹣b＝0，即a＝b，∴△ABC是等腰三角形． 9. （2026春•南京期末）已知：通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到代数恒等式是 ，基于此，请解决以下问题： （1）若x+y＝3，x2+y2＝7，求xy的值； （2）若（2025﹣m）（2026﹣m）＝12，求（2025﹣m）2+（2026﹣m）2的值． 解:图中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积和，即a2+b2，图中阴影部分也可以看作大正方形与空白部分的面积差，即（a+b）2﹣2ab， 所以有a2+b2＝（a+b）2﹣2ab， 故答案为：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab； （1）∵x+y＝3，x2+y2＝7，而x2+y2＝（x+y）2﹣2xy， ∴9﹣2xy＝7， 解得xy＝1； （2）设a＝2025﹣m，b＝2026﹣m，则b﹣a＝2026﹣m﹣2025+m＝1，ab＝（2025﹣m）（2026﹣m）＝12， ∴（2025﹣m）2+（2026﹣m）2＝a2+b2 ＝（b﹣a）2+2ab ＝12+2×12 ＝25． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $