2.2 一元二次方程的解法 提升练习 2026～2027学年北师大版九年级数学上册
2026-09-20
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摘要：
**基本信息**
北师大版九年级数学上册第二章“一元二次方程的解法”同步提升练习，以“基础巩固-能力提升-综合应用”三级分层设计，覆盖从解法技能到实际应用的完整知识路径，适配新授课后分层巩固需求。
**分层设计**
|层次|知识覆盖|设计特色|
|----|----------|----------|
|基础巩固|单一解法与概念辨析|选择题/填空题直接对应考点，如配方法、根的判别式，夯实运算能力|
|能力提升|参数问题与根的关系|解答题结合参数讨论与根与系数关系，如第2题，发展推理意识|
|综合应用|规律探究与几何应用|以规律探究（第3题）和矩形面积问题（第5题）实现知识迁移，体现应用意识|
内容正文：
北师大版 九年级数学上册
第二章 一元二次方程
2.2 一元二次方程的解法 提升练习
考试时间：90分钟 满分：100分
一、选择题（共10题，每题3分，共30分）
1. 一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
2. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ）
A． B． C． D．
3. 方程的根是（ ）
A． B． C． D．
4. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5. 一元二次方程的两个根是（ ）
A． B． C． D．
6. 用公式法解方程，则判别式的值是（ ）
A．40 B．28 C．16 D．8
7. 若是关于x的一元二次方程的一个根，则a的值为（ ）
A．1或4 B．-1或4 C．-1或-4 D．1或-4
8. 方程化成一般形式后，一次项系数和常数项分别为（ ）
A．-2，-8 B．-2，5 C．2，-8 D．2，5
9. 关于x的方程有两个相等的实数根，则m的值为（ ）
A．3 B． C．6 D．
10. 已知一元二次方程的两个根恰好分别是等腰三角形ABC的底边长和腰长，则ABC的周长为（ ）
A．11 B．13 C．11或13 D．11或12
二、填空题（共5题，每题4分，共20分）
1. 一元二次方程的两根之和为__________，两根之积为__________。
2. 若代数式与代数式的值相等，则x的值为__________。
3. 若关于x的一元二次方程（）满足，则方程必有一个根为__________。
4. 用因式分解法解方程，得到的根是__________。
5. 若两个连续整数的平方和为25，则这两个连续整数的和为__________。
三、解答题（共5题，共50分）
1. （10分）用合适的方法解下列一元二次方程：
（1）（直接开平方法）（4分）
（2）（配方法）（3分）
（3）（公式法）（3分）
2. （8分）已知关于x的一元二次方程有实数根，求：
（1）m的取值范围；（4分）
（2）若方程的两个实数根为，且，求m的值。（4分）
3. （10分）观察下列方程：
①；
②；
③……
（1）根据规律写出第n个方程；（4分）
（2）用因式分解法求出第n个方程的根，并判断当n为何值时，方程有一个根为12。（6分）
4. （10分）已知等腰三角形的周长为20，其中一边长为5，求等腰三角形腰长和底边长。（提示：用一元二次方程方法求解）
5. （12分）已知矩形ABCD中，AB比BC长2米，矩形的面积为48平方米，求：
（1）矩形ABCD的长和宽；（6分）
（2）若要在矩形ABCD内部剪出一个面积为30平方米的正方形，是否能剪出？说明理由。（6分）
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北师大版九年级数学上册一元二次方程的解法提升练习参考答案
一、选择题
1. C 2. D 3. D 4. B 5. B 6. A 7. A 8. A 9. A 10. C
二、填空题
1. 5；6
2. 2或-3
3. 1
4.
5. ±7
三、解答题
1. 解答：
（1）系数化为1得：，（1分）
开平方得：，（2分）
解得：。（4分）
（2）移项得：，（1分）
配方得：，即，（2分）
解得：。（3分）
（3）这里，
判别式，（1分）
由求根公式得：，（2分）
解得：。（3分）
2. 解答：
（1）∵方程有实数根，∴判别式，（2分）
整理得：，
解得：。（4分）
（2）由根与系数的关系得：，（2分）
∵，
代入得：，整理得，
解得：，（3分）
∵，∴。（4分）
3. 解答：
（1）观察方程系数可得：二次项系数为n，一次项系数为1，常数项为，（2分）
因此第n个方程为：（n为正整数）。（4分）
（2）对第n个方程因式分解得：，（2分）
解得：，（4分）
若方程有一个根为12，若不成立，因此，解得，不符合正整数要求，因此不存在这样的正整数n，使得方程有一个根为12。（6分）
4. 解答：设等腰三角形的腰长为x，则底边长为，（2分）
分两种情况讨论：
①当5为腰长时，则，底边长为，（4分）
此时，不满足三角形三边关系，舍去；（6分）
②当5为底边长时，则，解得，（8分）
此时，满足三边关系。（9分）
综上，等腰三角形腰长为7.5，底边长为5。（10分）
5. 解答：
（1）设BC的长为x米，则AB的长为米，（2分）
根据面积公式得：，整理得：，（4分）
解得：（舍去），因此米，米，
即矩形长为8米，宽为6米。（6分）
（2）能剪出，理由如下：
面积为30平方米的正方形边长为米，（3分）
∵，∴，即正方形边长小于矩形的宽，（5分）
因此可以在矩形内部剪出面积为30平方米的正方形。（6分）
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