2.2 一元二次方程的解法（1） 同步练习 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 北师大版数学九年级上册2.2一元二次方程的解法同步练，通过基础认知、方法应用、综合辨析三层设计，覆盖配方法、因式分解法等核心解法，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|单一解法（配方法、因式分解法等）|选择/填空题聚焦概念辨析（如第2题配方法步骤）| |方法应用|多解法选择与简单应用|解答题17提供方法自主选择，强化运算能力| |综合辨析|错误分析与思维严谨性|解答题18-19通过错解分析，培养推理意识与批判性思维|

北师大版数学九年级上册 2.2 一元二次方程的解法（1） 一、选择题 1．一元二次方程的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 2．用配方法解一元二次方程x2-2x=0时，应在方程两边同时加上（　　） A．1 B．2 C．-1 D．4 3．若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为（　　） A． B．0 C．1 D．2 4．方程（ 的根是（　　）。 A．-1或3 B．1或-3 C．或 D．或 5．用配方法解一元二次方程2x2-3x-1=0，配方正确的是（　　） A． B． C． D． 6．已知关于 的一元二次方程 的两个根分别为 ， 则多项式 可因式分解为（　　） A． B． C． D． 7．某一元二次方程的根用求根公式表示为，则该一元二次方程为（　　） A． B． C． D． 8．用因式分解法解方程， 正确的是（　　） A． 或 B． 或 C． 或 D． 9．对于方程，下列叙述正确的是（　　） A．不论c为何值，方程均有实数根 B．方程的根是 C．当时，方程可化为或 D．当时， 10．用公式法解一元二次方程时，首先要确定a，b，c的值，下列选项正确的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 二、填空题 11．用配方法解方程 应在方程两边同时加上　 　. 12．一元二次方程的根是　 　． 13．若关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根是　 　． 14．以方程的两根分别为腰和底的等腰三角形的周长为　 　． 15．已知，则　 　． 三、解答题 16．解方程 （1）； （2）． 17．从下列①②③中任选两个方程，并用你认为合适的方法求解． ① ② ③ 18．习题课上，数学老师展示嘉嘉解题的错误解答过程： 嘉嘉：解方程 解：方程两边同时除以得 第一步 第二步 第三步 （1）嘉嘉的解答过程从第____________步开始出现错误的； （2）请给出这道题的正确解答过程． 19．解方程时，小海同学解答如下： 解：原方程中，，，．第一步 ．第二步 ，第三步 即或．第四步 所以，原方程的根是，．第五步 （1）上述解题过程从第_____步开始出现错误？ （2）请写出完整的正确解题过程． 答案解析部分 1．【答案】A 【解析】【解答】解：将原方程整理为一元二次方程的一般形式： ， 其中二次项系数，一次项系数，常数项。 代入根的判别式公式： ， ∴该一元二次方程有两个不相等的实数根。 故答案为：A 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式的应用，核心是通过判别式的值判断根的个数。解题第一步需先将方程化为的标准形式，确定二次项系数、一次项系数与常数项；再代入根的判别式公式计算数值；最后根据判别式的意义判断：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根。本题计算得，因此对应两个不相等的实数根。 2．【答案】A 【解析】【解答】解：由题知， x2−2x＝0， x2−2x＋1＝1， ∴用配方法解一元二次方程x2−2x＝0时，应在方程两边同时加上1． 故答案为：A． 【分析】利用配方法对所给一元二次方程进行变形即可． 3．【答案】C 【解析】【解答】 解： ∴ ∴ =1 故答案为：C 【分析】先解一元二次方程得到两根分别为0和1，然后求和得到 的值，解答即可. 4．【答案】C 【解析】【解答】解： x-1=± ∴x1=1+，x2=1-. 故答案为：C. 【分析】利用直接开平方法解一元二次方程即可. 5．【答案】C 【解析】【解答】解：2x2-3x-1=0， 2x2-3x=1， 故答案为：C. 【分析】化二次项系数为1后，把常数项右移，应该在左右两边同时加上一次项系数的一半的平方. 6．【答案】C 【解析】【解答】解：关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两个根分别为3和-4， ∴x2+px+q=(x-3)(x+4)=0， ∴x2+px+q=(x-3)(x+4). 故答案为：C. 【分析】根据因式分解法得到x2+px+q=(x-3)(x+4)=0，解答即可. 7．【答案】B 【解析】【解答】解：由题意得，， ∴该一元二次方程为， 故选：B． 【分析】求根公式即可求出答案. 8．【答案】A 【解析】【解答】解： A：两因式积为0，则两因式至少有一个为0，A正确； B：用因式分解法需要先把原方程化为左边为因式的积，方程右边为0的形式，B错误； C：用因式分解法需要先把原方程化为左边为因式的积，方程右边为0的形式，C错误； D：，其中也又可能x=0 ，D错误。 故答案为：A 【分析】因式分解法需要先把原方程化为一般式，再把方程左边的多项式分解因式，把方程化为左边为因式的积，右边为0的形式。两因式积为0，则两因式至少有一个为0，即其中一个为0或两个都为0，这样就可以求出方程的解了。 9．【答案】C 【解析】【解答】解：当时，根据偶数次幂的非负性，可得方程没有实数根，故A选项错误； 当时，方程有实数根，则，解得，，故C选项正确，B选项错误； 当时，解得，故D选项错误． 故答案为：C． 【分析】分类讨论：①当c＞0时，方程有实数根，利用直接开平方法将方程降次为两个一元一次方程，求解即可判断B、C选项；②当c=0时，方程有实数根，利用直接开平方法将方程降次为一个一元一次方程，求解即可判断D选项；③当c＜0时，根据偶数次幂的非负性，可得方程没有实数根，可判断A选项. 10．【答案】D 【解析】【解答】解：， ∴ ∴， 故选：D． 【分析】根据公式法及二次方程各项的定义即可求出答案. 11．【答案】9 【解析】【解答】解：方程的二次项系数为，一次项系数为， 则一次项系数一半的平方得， 因此应在方程两边同时加上，配方可得， 即． 故答案为：9 . 【分析】在方程两边加上一次项系数一半的平方进行配方解答即可． 12．【答案】， 【解析】【解答】解：， ， ， ∴或， ∴，． 故答案为：， 【分析】因式分解法解方程即可求得方程的解。 13．【答案】2 【解析】【解答】解： ∴x-2=0或x-m=0 ∴x=2或x=m ∵一个根为10，即m=10 另一个根为2 故答案为：2 【分析】根据仪式分解法解方程即可求出答案. 14．【答案】7 【解析】【解答】解： (x-3)(x-1)=0， ∴x-3=0，x-1=0， ∴，； 当腰为1，底边为3时，，不能构成三角形，不合题意； 当腰为3，底边为1时，，能构成三角形，则周长为：. 故答案为：7． 【分析】利用因式分解法求得方程的两个解，结合三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，确定等腰三角形的底与腰，则可求得周长． 15．【答案】5 【解析】【解答】解：设，则， ∴， 则或， ∴或（舍去）； ∴． 故答案为：5． 【分析】设，则原方程换元为，解方程可得：或（舍去）；进一步即可得出． 16．【答案】（1）解：， ， ， ， ， ， ∴，； （2）解：， ，，， ， ， ，， ∴，． 【解析】【分析】（1）采用配方法，先移项将常数项移到右边，再在等式两边加上一次项系数一半的平方，将方程转化为完全平方形式 ，最后开方求解，得到两个根 和 。 （2）采用公式法，先确定方程中 ，，，计算判别式 ，再代入求根公式 ，解得 和 。 （1）解：， ， ， ， ， ， ∴，； （2）解：， ，，， ， ， ，， ∴，． 17．【答案】解：以下三个任选两个即可， ① ∴或， ∴； ② ∴或， ∴； ③ ∴， ∴． 【解析】【分析】①根据因式分解法解方程即可求出答案. ②先移项，然后提取公因式，利用因式分解法即可求出答案. ③先移项，根据直接开配方法解方程即可求出答案. 18．【答案】（1）一 （2）解：， ， ， 或， ∴，． 【解析】【解答】（1）解：∵当时，方程两边才能同时除以，得 ， 当时，方程两边同时除以，无意义， ∴第一步就出现了错误，没分类讨论． 故答案为：一． 【分析】(1) 指出错误步骤：方程两边除以含未知数的式子时，未考虑该式子可能为零的情况； (2) 采用因式分解法（移项后提取公因式），得到两个解. （1）解：∵当时，方程两边才能同时除以，得 ， 当时，方程两边同时除以，无意义， ∴第一步就出现了错误，没分类讨论． 故答案为：一． （2）解：， ， ， 或， ∴，． 19．【答案】（1）一 （2）解：原方程可变形为：， 方程中，，，，， ∴， ∴方程的解为，． 【解析】【解答】（1）解：∵原方程没有变形为一般形式就进行求解， ∴上述解题过程从第一步开始出现错误； 故答案为：一； 【分析】(1) 上述解题过程从第一步开始出现错误，因为原方程未整理为一元二次方程的一般形式 ，就直接错误确定了 、 的值。 (2) 正确解题思路：先将原方程化为一般形式 ，再确定系数 、、，计算判别式 ，最后代入求根公式得到方程的两个根。 （1）解：∵原方程没有变形为一般形式就进行求解， ∴上述解题过程从第一步开始出现错误； 故答案为：一； （2）解：原方程可变形为：， 方程中，，，，， ∴， ∴方程的解为，． 学科网（北京）股份有限公司 $