专题03 曲线运动与万有引力（期中真题汇编,北京专用）高三物理上学期

**基本信息** 聚焦曲线运动与万有引力7大高频考点，汇编北京四中、海淀等名校期中试题，实验探究与实际应用结合，适配高三期中复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择（单/多）|15题|平抛规律、圆周运动、万有引力|结合“北斗三号”“天问一号”等科技情境| |实验题|2题|探究平抛运动特点|含误差分析（如斜槽末端水平、释放位置）| |计算题|8题|卫星变轨、双星模型、抛体运动|多过程综合（如跳台滑雪空气阻力分析、嫦娥五号变轨）|

专题03 曲线运动与万有引力 7大高频考点 1. 实验：探究平抛运动的特点 2. 抛体运动的规律 3. 圆周运动 4. 生活中的圆周运动 5. 万有引力定律 6. 宇宙航行 7. 卫星变轨 天体的追及相遇问题、双星与多星模型 考点1 实验：探究平抛运动的特点 1.(25-26高三上·北京四中·期中)(多选)小贾同学探究平抛运动的规律。如图甲所示，在地面上平铺一个带有插槽的木板，其上等间隔地分布着平行的、、、等插槽，其中在重垂线的正下方。将覆盖复写纸的方格纸铺在硬纸板B上，将B板竖直插入槽中，使小球从斜轨上滚下，小球在与B板碰撞，即可获取一个点迹。图乙中a、b、c、d分别对应某次实验中B板在、、、时获得的点迹，根据这些点迹对平抛运动进行研究。 （1）关于本次实验，下列说法正确的是________。 A. 斜轨应尽量光滑，以减小实验误差 B. 斜轨末端必须保持水平 C. 小球必须从斜轨上同一位置由静止释放 （2）图乙中每个小方格边长为L，当地重力加速度大小为g，相邻插槽间距为d，则小球平抛的初速度　　　　　　　　（用d、g、L表示）。 2.(2025-2026高三上·北京通州·期中)(多选)在“探究平抛运动的特点”的实验中，某组同学用如图1所示装置研究平抛运动。 将白纸和复写纸对齐重叠并固定在竖直的硬板上，让钢球沿斜槽轨道滑下后从点飞出，落在水平挡板上，并挤压白纸留下痕迹点。移动挡板，重新释放钢球，如此重复，白纸上将留下一系列痕迹点。 （1）下列实验条件必须满足的有_____。（填选项前的字母） A. 斜槽轨道末端水平　　B. 挡板高度等间距变化 C. 每次从斜槽上相同的位置无初速度释放钢球　　D. 尽可能减小钢球与斜槽轨道之间的摩擦 （2）同学甲用图1的实验装置得到的痕迹点如图2所示，其中一个偏差较大的点产生的原因，可能是该次实验_____。（填选项前的字母） A. 钢球释放的高度偏低　　B. 钢球释放的高度偏高 C. 钢球没有被静止释放　　D. 挡板未水平放置 （3）同学乙用频闪照相机记录了钢球做平抛运动过程中的、、三点，于是就取点为坐标原点，建立了如图3a所示的坐标系。平抛轨迹上的这三点坐标值图中已标出。 a.根据图中数据判断，点　　　　　（填“是”或“不是”）平抛运动的抛出点。钢球平抛的初速度为　　　　　（取，计算结果保留两位有效数字）。 b.由于该同学在确定竖直方向时未用到铅垂线，而导致该同学所绘图像的轴在实际竖直方向（图3b中虚线所示）稍偏左侧的位置，则该实验小组测得的小球的初速度　　　　　（填“大于”“等于”或“小于”）小球真实的初速度。 考点2 抛体运动的规律 1.(25-26高三上·北京朝阳·期中)(多选)某小组在研究抛体运动实验中，将小球抛出后对其进行频闪照相。如图所示，是截取的一部分照相底片。经数据分析，小球经过、两位置时的速度可取为、，方向分别与连线成和夹角。重力加速度大小为。不计空气阻力。则（　　） A. 重力方向与连线成夹角 B. 小球运动的最小速度为 C. 小球从到的运动时间为 D. 小球从到下落的高度为 2.(2025-2026高三上·北京通州·期中)如图所示，小孩和大人在同一竖直线上不同高度先后水平抛出两个相同的小球，均投中同一点。小球运动可视为平抛运动，则大人抛出的球（　　） A. 在空中运动时间较短 B. 初速度较小 C. 速度变化率较小 D. 末速度和小孩抛出的球末速度方向相同 3.(2025-2026高三上·北京通州·期中)如图所示，一足球从水平地面上的处被踢出后，在竖直面内沿轨迹运动，最后落回地面上的处，处为足球运动的最高点。已知足球受到的空气阻力与其速度大小成正比。关于此过程，下列说法正确的是（　　） A. 足球在点速度为零 B. 足球做匀变速曲线运动 C. 足球的加速度在水平方向上的分量保持不变 D. 足球的加速度在竖直方向上的分量一直减小 4.(2025-2026高三上·北京海淀·期中)如图所示为跳台滑雪赛道的简化示意图，助滑道与起跳平台平滑连接，长直着陆坡与水平面的夹角。质量为的运动员（含装备）沿助滑道从A点下滑，到达起跳平台末端B点沿水平方向飞出，在空中飞行一段距离后落在着陆坡上的点。从起跳平台末端到着陆点之间的距离是评判运动员比赛成绩的重要依据。取重力加速度， ， 。 （1）如图1不考虑空气对运动员的作用。运动员从B点运动到C点的过程中，在空中飞行时间。求： I.、两点之间的距离 。 II.运动员从B点水平飞出时的速度大小。 （2）考虑空气对运动员的作用。运动员在空中飞行的过程中，假设空气对运动员的作用力 的方向与竖直方向夹角 恒为，如图2所示，力 的大小恒为运动员所受重力的，取，。运动员仍以（1）Ⅱ的速度从点水平飞出，若不考虑空气对运动员的作用，运动员的运动轨迹如图中①所示；若考虑空气对运动员的作用，判断运动员的运动轨迹可能是图3中的　　　　　（选填“①”“②”或“③”），并通过计算说明判断依据　　　　　。 5.(25-26高三上·北京海淀·期中)如图甲所示为跳台滑雪赛道的简化示意图，助滑道与起跳平台平滑连接，长直着陆坡与水平面的夹角θ＝37°。质量m＝60kg的运动员（含装备）沿助滑道从A点下滑，到达起跳平台末端B点沿水平方向飞出，在空中飞行一段距离后落在着陆坡上的C点时。从起跳平台末端到着陆点之间的距离是评判运动员比赛成绩的重要依据。取重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。 （1）不考虑空气对运动员的作用。运动员从B点运动到C点的过程中，B、C两点之间的距离L＝75m。求： a.运动员从B点运动到C点的过程中，在空中飞行的时间t。 b.运动员落在着陆坡上的C时的速度大小v。 （2）考虑空气对运动员的作用。运动员在空中飞行的过程中，假设空气对运动员的作用力F的方向与竖直方向夹角α恒为11°，如图乙所示，力F的大小恒为运动员所受重力的。取sin11°=0.20，cos11°=0.98。运动员落在着陆坡的速度方向与水平方向夹角，对运动员的比赛结果有很大影响。有空气作用时，运动员落在着陆坡的速度方向与水平方向夹角为β，比较tanβ与2tanθ的大小关系。 考点3 圆周运动 1.(25-26高三上·北京四中·期中)以下运动中不属于匀变速运动的是（　　） A. 竖直上抛运动 B. 平抛运动 C. 自由落体运动 D. 匀速圆周运动 2.(25-26高三上·北京海淀·期中)(多选)如图所示，A、B两点分别位于大、小两轮的边缘，大轮半径O1A是小轮半径O2B的2倍，C点是O1A的中点，两轮之间靠摩擦传动，且没有相对滑动。关于A、B、C三点的角速度的大小、、，以及线速度的大小、、的关系正确的是（　　） A. A、B两点的周期之比为1∶2 B. B、C两点加速度大小之比为4∶1 C. A、B 两点角速度大小之比为2∶1 D. B、C两点转速之比为2∶1 3.(25-26高三上·北京师范大学第二附属中学·期中)如图所示，长为l的细绳上端悬于P点，下端拴一个质量为m的小球。小球在水平面内做匀速圆周运动，细绳与竖直方向的夹角为，不计空气阻力，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A. 细绳的拉力大小等于 B. 小球的向心加速度等于 C. 小球转动一周，绳拉力的冲量等于0 D. 小球转动一周，重力的冲量等于 4.(2025-2026高三上·北京海淀·期中)如图所示，圆盘在水平面内绕中心轴匀速转动，其上一小物体随圆盘一起转动。下列说法正确的是（　　） A. 小物体受重力、支持力、向心力和摩擦力 B. 小物体所受合力的方向沿运动轨迹的切线方向 C. 若圆盘突然停止转动，小物体在圆盘上将不受摩擦力 D. 若圆盘突然停止转动，小物体在圆盘上将做直线运动 5.(25-26高三上·北京四中·期中)如图所示，质量为的小物块从平台的右端A点以速度水平飞出后，恰由P点沿切线方向进入竖直圆轨道，并刚好通过轨道最高点M飞出。已知圆轨道半径，圆心为O，N点为轨道最低点，∠PON=53°，重力加速度，sin53°=0.8，cos53°=0.6，求： （1）小物块在P点的瞬时速度大小； （2）小物块通过M点的瞬时速度大小； （3）小物块在圆轨道上运动的过程中摩擦力对它做的功W。 考点4 生活中的圆周运动 1.(25-26高三上·北京四中·期中)如图所示，摩天轮的半径为R，匀速转动的角速度为。质量为m的游客坐在摩天轮的座椅上重力加速度为g，不考虑摩天轮座舱的大小。下列说法正确的是（　　） A. 在最高点时，游客处于受力平衡状态 B. 在与圆心等高处，座椅对游客的作用力大于mg C. 在最低点时，游客对座椅的压力大小为 D. 在从最高点到最低点的过程中，座椅对游客不做功 2.(25-26高三上·北京朝阳·期中)如图甲所示，小朋友坐在圆盘上随盘一起在水平面内做匀速圆周运动；如图乙所示，将小球系在细绳一端，用手握住绳的另一端，使小球以定点为圆心在竖直面内做完整的圆周运动。不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A. 图甲中小朋友转动半圈过程中所受摩擦力的冲量为零 B. 图甲中相同转速下小朋友离圆心越近越易相对盘滑动 C. 图乙中小球在最低点时向心加速度最大，处于超重状态 D. 图乙中若小球运动至最高点时突然松开绳子，则此后小球可能做自由落体运动 3.(2025-2026高三上·北京通州·期中)某研究小组利用摄像机记录人的甩手动作，以探究指尖水滴被甩落的过程。如图所示是由每秒25帧的摄像机拍摄视频后制作的图片，图中、、是甩手动作最后3帧照片指尖的位置。根据照片建构、之间运动模型：开始阶段，指尖以肘关节为圆心做圆周运动，到接近的最后时刻，指尖以腕关节（视为已静止）为圆心做圆周运动。测得、之间的距离为，、之间的距离为。近似认为、之间平均速度为指尖经过点的线速度。重力加速度为。下列说法正确的是（　　） A. 由图可明显看出，由至指尖的线速度逐渐增大 B. 指尖经过点时的线速度大约为 C. 指尖经过点时的向心加速度大约为 D. 在相同的指尖速度下，如果该人的上臂、前臂和手掌始终保持在一条直线上，则水滴将更容易被甩出 考点5 万有引力定律 1.(25-26高三上·北京朝阳·期中)仅考虑月球受地球引力作用时，其运动规律同样遵从开普勒行星运动定律。月球受地球的引力在一个周期内随时间的变化规律如图所示。下列说法正确的是（　　） A. 内月球的运行速度不断增大 B. 内月球的加速度先变大后变小 C. 月球和地球距离的最小值与最大值之比为 D. 与时刻月球和地球系统的机械能之比为 2.(25-26高三上·北京育才学校·期中)2020年7月31日上午，北斗三号全球卫星导航系统正式开通，并为全球提供服务。北斗三号系统由24颗中圆地球轨道卫星、3颗地球静止轨道卫星和3颗倾斜地球同步轨道卫星组成。其中，中圆地球轨道卫星距地面高度约为2.2×104km，地球静止轨道卫星距地面高度约为3.6×104km，它们都绕地球做近似的匀速圆周运动。则（　　） A. 中圆地球轨道卫星的运行速度大于第一宇宙速度 B. 地球静止轨道卫星的加速度大于9.8m/s2 C. 中圆地球轨道卫星的周期大于地球静止轨道卫星的周期 D. 中圆地球轨道卫星的角速度大于地球静止轨道卫星的角速度 3.(2025-2026高三上·北京海淀·期中)(多选)2025年5月14日，我国成功发射全球首个太空计算卫星星座，开创了人类将超级计算能力部署至太空的新纪元。该卫星星座中的某颗卫星绕地球做匀速圆周运动，距离地面高度约500km，运行周期约95min。下列说法正确的是（　　） A. 该卫星运行的轨道半径小于地球同步卫星运行的轨道半径 B. 该卫星绕地球做圆周运动的速度大于 C. 该卫星绕地球做圆周运动的向心加速度大于地球表面的重力加速度 D. 若已知地球半径和引力常量，结合题干信息，则可估算出地球的质量 4.(25-26高三上·北京育才学校·期中)“嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星，已知它在距月球表面高度为h的圆形轨道上运行，运行周期为T，引力常量为G，月球半径为R。 （1）求月球的质量； （2）求月球的密度； （3）求月球表面的重力加速度大小。 5.(25-26高三上·北京海淀·期中)天体沿椭圆轨道的运动在宇宙中普遍存在。对天体沿椭圆轨道运动的研究，为预测彗星回归、设计卫星轨道等实际应用提供了理论支撑。已知引力常量G。某彗星的运行轨道为椭圆，对彗星沿椭圆轨道的运动进行如下研究： 如图所示，A、B两点分别是彗星的近日点和远日点，两点到太阳中心O点的距离分别为rA和rB。已知太阳和彗星的质量分别为M和m，不考虑其他天体的影响。已知彗星仅在太阳引力作用下的运动过程，它与太阳中心的连线在任意相等时间内扫过相等的面积。取无穷远处的引力势能为零，则彗星星在距太阳中心为r处的引力势能。 （1）求彗星运动至近日点A时的速度大小vA。 （2）在分析质点沿椭圆轨道运动时，可以把其轨迹分割为许多很短的小段，质点在每小段的运动都可看作圆周运动的一部分（圆的半径称作曲率半径，可以描述轨迹上某位置的弯曲程度），这样就可以采用圆周运动的分析方法来处理质点经过椭圆轨道上某点的运动。已知椭圆轨道A点处的曲率半径。求彗星在椭圆轨道上A点处的曲率半径ρ。 （3）若已知彗星运动的椭圆轨道的半长轴为a，求彗星在该椭圆轨道上运动的机械能E。（用G、M、m、a表示） 6.(2025-2026高三上·北京通州·期中)万有引力定律揭示了天体运动与地球上物体的运动遵循相同的物理规律。设地球半径为R，地球表面重力加速度为g，地球可视为质量分布均匀的球体，忽略地球自转的影响。已知：质量分布均匀的球壳对球壳内部任意位置质点的万有引力都为零；物体做简谐运动的周期，其中为物体的质量，k为简谐运动物体的回复力和其离开平衡位置的位移大小之比。 （1）近地卫星的轨道半径近似等于地球半径R，求其做匀速圆周运动的周期T。 （2）如图所示，设想在地球内部距地心h（）处挖一条光滑直线通道AB，其中点为通道中心。从A点由静止释放一质量为m的物体（可视为质点），在不计空气阻力的条件下： a．证明该物体在通道中做简谐运动； b．求该物体从A点第一次运动到通道中心点所经历的时间t。 考点6 宇宙航行 1.(25-26高三上·北京一六六中学&第五十中学·期中)2023年，我国首颗超低轨道实验卫星“乾坤一号”发射成功。“乾坤一号”是一颗绕地球做圆周运动的近地卫星。关于它的运动，下列说法正确的是（       ） A. 角速度大于地球自转的角速度 B. 线速度大于地球的第一宇宙速度 C. 线速度小于地球表面物体随地球自转的线速度 D. 向心加速度小于地球表面的物体随地球自转的向心加速度 2.(25-26高三上·北京海淀·期中)“天问一号”探测器的成功发射，使我国开启了火星探测之旅。已知火星半径约为地球半径的，火星质量约为地球质量的。若火星表面重力加速度和地球表面重力加速度分别为g0和g，火星的第一宇宙速度和地球的第一宇宙速度分别为v10和v1。下列说法正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  3.(25-26高三上·北京四中·期中)某科学卫星在赤道平面内自西向东绕地球做匀速圆周运动，对该卫星监测发现，该卫星的轨道半径是地球同步卫星轨道半径的一半。则下列说法正确的是（　　） A. 该科学卫星的速度小于地球同步卫星的速度 B. 该科学卫星在轨运行周期为 C. 该科学卫星在轨运行线速度是地球同步卫星在轨运行线速度的倍 D. 该科学卫星和地球同步卫星与地心连线在相同时间内扫过的面积相等 考点7 卫星变轨 天体的追及相遇问题、双星与多星模型 1.(25-26高三上·北京师范大学第二附属中学·期中)如图所示，一颗人造卫星原来在椭圆轨道1绕地球E运行，在P点变轨后进入轨道2做匀速圆周运动。下列说法正确的是（　　） A. 不论在轨道1还是轨道2运行，卫星在P点的速度都相同 B. 不论在轨道1还是轨道2运行，卫星在P点的加速度都相同 C. 卫星在轨道1的任何位置都具有相同加速度 D. 卫星在轨道2的任何位置都具有相同动量 2.(2025-2026高三上·北京通州·期中)如图所示，地球静止轨道卫星甲和沿椭圆轨道运行的卫星乙在同一平面上绕地球转动。甲的圆轨道直径与乙的椭圆轨道长轴相等。点和点分别是椭圆轨道的近地点和远地点，点为两轨道的交点。下列说法正确的是（　　） A. 卫星甲的速度大于卫星乙在点的速度 B. 卫星乙从点向点运动过程中，速度逐渐增大 C. 卫星甲在点的加速度大于卫星乙在点的加速度 D. 当卫星乙从点第一次运动到点，卫星甲刚好转动一周 3.(25-26高三上·北京四中·期中)“嫦娥”五号探测器是中国首个实施无人月面取样返回的月球探测器。现研究探测器先环绕地球再变轨，采集月壤后回到地球的过程。设探测器质量为m，首先在近地轨道上绕地球运行，如图甲所示。地球质量M，引力常量G，地球半径为R。 （1）求探测器变轨前的运行速度大小； （2）将探测器推至月球附近的过程，为了安全需经历多次变轨。研究其第一次变轨，在地表附近的A点迅速启动发动机，使探测器进入椭圆轨道，该轨道的远地点B距地心为8R。已知探测器的引力势能可表示为（无限远处势能为零） a.求变轨前探测器的机械能； b.结合开普勒第二定律，求点火过程中发动机对探测器做的功W； （3）在返回器完成研究任务、返回至地表附近时速度过大，以此速度直接冲入大气层会损伤返回器。科学家提出采用半弹道跳跃方式再入返回；如图乙所示，通过小角度擦入大气层，以“打水漂”的形式多次跳跃再入，通过返回器与大气层的摩擦逐步减速至安全速度内。返回器在“打水漂”过程中减少的动能转变为其内能主要通过烧蚀材料带走，剩余少量能量则通过向四周辐射的形式耗散。有天文爱好者质疑该计划的安全性；返回器产生的辐射是否会对地球表面产生显著影响？请你结合第一次“打水漂”过程的相关数据，与太阳对地球的辐射进行比较，给出结论并进行合理解释。（相关计算结果可保留一位有效数字）以下为可能用到的数据：返回器质量，第一次进入大气层的速度，跳出大气层的速度，返回器跳跃一次并恢复初始温度的总时长，辐射能量占比，跳跃时离地平均高度。地球半径，太阳辐射至地表的单位面积功率为。 4.(25-26高三上·北京朝阳·期中)对宇宙的探索是人类不懈的追求。 （1）2019年国家天文台发现一质量为的蓝色星体围绕质量为的黑洞做匀速圆周运动，此发现为恒星演化和黑洞形成提供了新证据。已知蓝色星体的运行周期为，引力常量为，蓝色星体与黑洞均可视为质量均匀分布的球体，不考虑其他天体影响及相对论效应。取质量分别为、的两质点相距无限远时的引力势能为零，相距时的引力势能为。 a.求蓝色星体与黑洞的间距； b.因某种扰动，若蓝色星体运动到与黑洞距离为时被撕裂成许多碎片，部分碎片将逃离黑洞。求碎片能够逃离黑洞的最小速度. （2）2023年“中国天眼”发现著名的GRS黑洞存在微弱的射电“脉搏”，由此推断该黑洞与某质量较大的恒星均围绕二者连线上的一点做圆周运动，且恒星上的外层物质会不断被吸入到黑洞中，逐渐被吞噬。若在开始的短时间内二者间距可视为不变，请推理说明该段时间内黑洞的角速度大小将怎样变化。 （3）小明设想在完全失重的空间站核心舱内玩纸飞机游戏。将质量为的纸飞机相对核心舱以速度抛出，纸飞机飞行一小段时间后会打在舱壁上。已知太空舱内的空气对纸飞机有和两个作用力，，与方向垂直；，与方向相反。为纸飞机相对空气的速度大小。在较短时间内、可视为定值。请推理说明这段时间内纸飞机相对核心舱的运动情况。 5.(2025-2026高三上·北京海淀·期中)天体沿椭圆轨道的运动在宇宙中普遍存在。对天体沿椭圆轨道运动的研究，为预测彗星回归、设计卫星轨道等实际应用提供了理论支撑。已知引力常量为。 （1）某彗星的运行轨道为椭圆，对彗星沿椭圆轨道的运动进行如下研究： 如图所示，、两点分别是彗星的近日点和远日点，两点到太阳中心点的距离分别为和。已知太阳和彗星的质量分别为和，不考虑其他天体的影响。 a.求彗星运动至近日点时的加速度大小。 b.在分析质点沿椭圆轨道运动时，可以把其轨迹分割为许多很短的小段，质点在每小段的运动都可看作圆周运动的一部分（圆的半径称作曲率半径，可以描述轨迹上某位置的弯曲程度），这样就可以采用圆周运动的分析方法来处理质点经过椭圆轨道上某点的运动。已知椭圆轨道上点处的曲率半径，质量分别为和、距离为的两个质点间的引力势能。求彗星在椭圆轨道上点处的机械能。 （2）航天工程师可以通过改变卫星的速度来调整其运动轨道，完成复杂的太空任务。当卫星绕地球运动到图所示半径为的圆轨道的某点时，短时间启动卫星发动机，使卫星再获得一个背离地心、大小为其切向速度一半的径向速度，卫星将沿以为焦点的椭圆轨道绕地球运动。不考虑卫星质量的变化。在（1）b研究的基础上，论证椭圆轨道的半长轴与的关系。 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题03曲线运动与万有引力 考点1实验：探究平抛运动的特点 1.【答案】(1)BC (2)dV▣ 2.【答案】(1)AC (2)BC (3)①是 ②1.5 ③大 于 》 考点2抛体运动的规律 1.【答案】cD 2.【答案】B 3.【答案】D 4.【答案】(1)I.L=75m,Ⅱ.v=20m/s (2)①② ②两点之间距离更 远 5.【答案】(1)a.3s;b.10m/y▣ (2)tanβ>2tan0 考点3圆周运动 1.【答案】D 2.【答案】BD 3.【答案】D 4.【答案】D 5.【答案】(1)vp=5m/s (2)v=m (3)w=-0.4J 1/4 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 考点4生活中的圆周运动 1.【答案】B 2.【答案】C 3.【答案】c 列 考点5万有引力定律 1.【答案】C 2.【答案】D 3.【答案】AD 4【答案】(1)M=4TR+h (2)p=3nR+h (3)g= 4π2R+h3 GT2 GTR T2R2 5.【答案】(1)口 (2)2rA"B (3)_GMm rA+rB 2a 6.【答案】(1)2π▣ (2)a.物体在运动的某一瞬间，如图所示 214 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B M'=4 设半径为r的球体质量为 因为质量分布均匀的球壳对空腔内的物体的万有引力为零，所以质量为的物体在距离地心r处受到的万 有引力大小为p=GMm=号πGpmr 23 故万有引力在AB通道方向的分力大小为F,=-XF=-4。 -πGpmx r 3 该力与x成正比，所以物体做简谐运动。 6.I 2 考点6宇宙航行 1.【答案】A 2.【答案】B 3.【答案】B 》 考点7卫星变轨天体的追及相遇问题、双星与多星模型 1.【答案】B 2.【答案】A 3.【答案】(1)v=▣ 2)a.A=-2m:bw=1 (3)返回器产生 18R 的辐射远小于太阳对地球的辐射，故返回器产生的辐射不会对地球表面产生显著影响 3/4 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4.【答案】(1)aGMT2 b.▣ (2)不变 (3)这段时间内纸飞机相对 4π2 核心舱做减速运动，轨迹是一段圆弧。 5【答案】(1)aaA=GM:bE=-GMm ra+rB (2a-3 414 专题03 曲线运动与万有引力 7大高频考点 1. 实验：探究平抛运动的特点 2. 抛体运动的规律 3. 圆周运动 4. 生活中的圆周运动 5. 万有引力定律 6. 宇宙航行 7. 卫星变轨 天体的追及相遇问题、双星与多星模型 考点1 实验：探究平抛运动的特点 1.(25-26高三上·北京四中·期中)(多选)小贾同学探究平抛运动的规律。如图甲所示，在地面上平铺一个带有插槽的木板，其上等间隔地分布着平行的、、、等插槽，其中在重垂线的正下方。将覆盖复写纸的方格纸铺在硬纸板B上，将B板竖直插入槽中，使小球从斜轨上滚下，小球在与B板碰撞，即可获取一个点迹。图乙中a、b、c、d分别对应某次实验中B板在、、、时获得的点迹，根据这些点迹对平抛运动进行研究。 （1）关于本次实验，下列说法正确的是________。 A. 斜轨应尽量光滑，以减小实验误差 B. 斜轨末端必须保持水平 C. 小球必须从斜轨上同一位置由静止释放 （2）图乙中每个小方格边长为L，当地重力加速度大小为g，相邻插槽间距为d，则小球平抛的初速度　　　　　　　　（用d、g、L表示）。 【答案】（1）BC     （2）      【讲解】(1) AC．为了保证每次小球离开斜槽的速度相同，小球必须从斜轨上同一位置由静止释放，但斜槽不需要尽量光滑，故A错误，C正确；B．为了保证小球离开斜槽后做平抛运动，斜轨末端必须保持水平，故B正确。故选BC。 (2) 根据匀变速直线运动推论解得小球平抛的初速度 2.(2025-2026高三上·北京通州·期中)(多选)在“探究平抛运动的特点”的实验中，某组同学用如图1所示装置研究平抛运动。 将白纸和复写纸对齐重叠并固定在竖直的硬板上，让钢球沿斜槽轨道滑下后从点飞出，落在水平挡板上，并挤压白纸留下痕迹点。移动挡板，重新释放钢球，如此重复，白纸上将留下一系列痕迹点。 （1）下列实验条件必须满足的有_____。（填选项前的字母） A. 斜槽轨道末端水平　　B. 挡板高度等间距变化 C. 每次从斜槽上相同的位置无初速度释放钢球　　D. 尽可能减小钢球与斜槽轨道之间的摩擦 （2）同学甲用图1的实验装置得到的痕迹点如图2所示，其中一个偏差较大的点产生的原因，可能是该次实验_____。（填选项前的字母） A. 钢球释放的高度偏低　　B. 钢球释放的高度偏高 C. 钢球没有被静止释放　　D. 挡板未水平放置 （3）同学乙用频闪照相机记录了钢球做平抛运动过程中的、、三点，于是就取点为坐标原点，建立了如图3a所示的坐标系。平抛轨迹上的这三点坐标值图中已标出。 a.根据图中数据判断，点　　　　　（填“是”或“不是”）平抛运动的抛出点。钢球平抛的初速度为　　　　　（取，计算结果保留两位有效数字）。 b.由于该同学在确定竖直方向时未用到铅垂线，而导致该同学所绘图像的轴在实际竖直方向（图3b中虚线所示）稍偏左侧的位置，则该实验小组测得的小球的初速度　　　　　（填“大于”“等于”或“小于”）小球真实的初速度。 【答案】（1）AC     （2）BC     （3）① 是    ② 1.5    ③ 大于      【讲解】(1) A．斜槽轨道末端水平，能保证钢球做平抛运动，是必须满足的条件，故A正确；B．挡板高度不需要等间距变化，只要能记录不同位置的痕迹点即可，不是必须条件，故B错误；C．每次从斜槽上相同的位置无初速度释放钢球，这样才能保证钢球每次平抛的初速度相同，是必须满足的条件，故C正确；D．钢球与斜槽轨道之间的摩擦不影响每次从同一位置释放时到达末端的速度，不是必须减小的，不是必须条件，故D错误。故选AC。 (2) 由图可知，下降相同的高度，误差点的水平位移更大，可知偏差较大的点产生原因是平抛运动初速度偏大，故可能原因是钢球没有被静止释放或钢球释放的高度偏高。故选BC。 (3) [1]图3a可知，钢球从A到B与B到C时间相等（因为水平距离相等），且满足初速度为0的匀变速直线运动特点，故点是平抛运动的抛出点。[2]对钢球竖直方向有因为联立解得钢球初速度[3]由于实际的竖直方向在该小组同学所绘图像y轴偏右侧的位置，导致横坐标的测量值偏大而纵坐标的测量值偏小，根据平抛运动规律，可知球的初速度偏大。 考点2 抛体运动的规律 1.(25-26高三上·北京朝阳·期中)(多选)某小组在研究抛体运动实验中，将小球抛出后对其进行频闪照相。如图所示，是截取的一部分照相底片。经数据分析，小球经过、两位置时的速度可取为、，方向分别与连线成和夹角。重力加速度大小为。不计空气阻力。则（　　） A. 重力方向与连线成夹角 B. 小球运动的最小速度为 C. 小球从到的运动时间为 D. 小球从到下落的高度为 【答案】CD 【详解】A．设vP方向与水平方向的夹角为α，可知vQ方向与水平方向的夹角为90°-α，则沿水平方向速度不变可知可得即重力方向与连线成夹角，A错误； B．小球运动的最小速度为，B错误；C．小球从到的运动时间为，C正确；D．小球从到下落的高度为，D正确。故选CD。 2.(2025-2026高三上·北京通州·期中)如图所示，小孩和大人在同一竖直线上不同高度先后水平抛出两个相同的小球，均投中同一点。小球运动可视为平抛运动，则大人抛出的球（　　） A. 在空中运动时间较短 B. 初速度较小 C. 速度变化率较小 D. 末速度和小孩抛出的球末速度方向相同 【答案】B 【详解】A．小球在空中做平抛运动，竖直方向有解得大人抛出的球竖直方向下落的高度大，故大人抛出的球在空中运动时间较长，故A错误；B．小球平抛的初速度大小为两小球水平方向的位移相等，则运动时间长的初速度小，故大人抛出的球初速度较小，故B正确；C．两小球的加速度都为g，速度变化率相同，故C错误；D．设小球落地时位移方向与水平方向的夹角为α，小球落地时速度方向与水平方向的夹角为θ，根据由于抛出的球竖直方向下落的高度不同，水平方向的位移相等，则大人抛出的球末速度和小孩抛出的球末速度方向不同，故D错误。故选B。 3.(2025-2026高三上·北京通州·期中)如图所示，一足球从水平地面上的处被踢出后，在竖直面内沿轨迹运动，最后落回地面上的处，处为足球运动的最高点。已知足球受到的空气阻力与其速度大小成正比。关于此过程，下列说法正确的是（　　） A. 足球在点速度为零 B. 足球做匀变速曲线运动 C. 足球的加速度在水平方向上的分量保持不变 D. 足球的加速度在竖直方向上的分量一直减小 【答案】D 【详解】A．足球运动到Р处时在水平方向上的分速度不为零，在竖直方向上的分速度等于零，A错误；B．足球在空中运动过程中加速度变化且与速度不在同一直线上，则足球做非匀变速曲线运动，故B错误；C．足球在水平方向上仅受空气阻力，则足球在水平方向上的分速度及在水平方向上受到的空气阻力均一直减小，根据牛顿第二定律可知，足球的加速度在水平方向上的分量一直减小，C错误；D．足球在竖直方向上的分速度先减小后增大，对足球受力分析并结合牛顿第二定律可知，足球的加速度在竖直方向上的分量一直减小，D正确。故选D。 4.(2025-2026高三上·北京海淀·期中)如图所示为跳台滑雪赛道的简化示意图，助滑道与起跳平台平滑连接，长直着陆坡与水平面的夹角。质量为的运动员（含装备）沿助滑道从A点下滑，到达起跳平台末端B点沿水平方向飞出，在空中飞行一段距离后落在着陆坡上的点。从起跳平台末端到着陆点之间的距离是评判运动员比赛成绩的重要依据。取重力加速度， ， 。 （1）如图1不考虑空气对运动员的作用。运动员从B点运动到C点的过程中，在空中飞行时间。求： I.、两点之间的距离 。 II.运动员从B点水平飞出时的速度大小。 （2）考虑空气对运动员的作用。运动员在空中飞行的过程中，假设空气对运动员的作用力 的方向与竖直方向夹角 恒为，如图2所示，力 的大小恒为运动员所受重力的，取，。运动员仍以（1）Ⅱ的速度从点水平飞出，若不考虑空气对运动员的作用，运动员的运动轨迹如图中①所示；若考虑空气对运动员的作用，判断运动员的运动轨迹可能是图3中的　　　　　（选填“①”“②”或“③”），并通过计算说明判断依据　　　　　。 【答案】（1）I.，II.     （2）① ②    ② 两点之间距离更远      【讲解】(1) I.B、C两点之间的竖直距离则、两点之间的距离II.运动员从点水平飞出时的速度大小 (2) [1][2]若考虑运动员在空中飞行受到的空气阻力的影响，其受力分析如图所示 设运动员在水平方向的加速度为，竖直方向的加速度为，飞行时间为。水平方向，，竖直方向，，根据几何关系，有联立可得，，因为，故距离更远，轨迹为② 5.(25-26高三上·北京海淀·期中)如图甲所示为跳台滑雪赛道的简化示意图，助滑道与起跳平台平滑连接，长直着陆坡与水平面的夹角θ＝37°。质量m＝60kg的运动员（含装备）沿助滑道从A点下滑，到达起跳平台末端B点沿水平方向飞出，在空中飞行一段距离后落在着陆坡上的C点时。从起跳平台末端到着陆点之间的距离是评判运动员比赛成绩的重要依据。取重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。 （1）不考虑空气对运动员的作用。运动员从B点运动到C点的过程中，B、C两点之间的距离L＝75m。求： a.运动员从B点运动到C点的过程中，在空中飞行的时间t。 b.运动员落在着陆坡上的C时的速度大小v。 （2）考虑空气对运动员的作用。运动员在空中飞行的过程中，假设空气对运动员的作用力F的方向与竖直方向夹角α恒为11°，如图乙所示，力F的大小恒为运动员所受重力的。取sin11°=0.20，cos11°=0.98。运动员落在着陆坡的速度方向与水平方向夹角，对运动员的比赛结果有很大影响。有空气作用时，运动员落在着陆坡的速度方向与水平方向夹角为β，比较tanβ与2tanθ的大小关系。 【答案】（1）a．；b．     （2）      【讲解】(1) a．取水平方向向右为轴正方向、竖直方向向下为轴正方向。由几何关系得，由竖直方向的自由落体运动规律得解得b．运动员在水平方向做匀速直线运动，故从点飞出时的速度为运动员落到点时，水平分速度为竖直分速度为由速度的合成得 (2) 空气作用力斜向左上方。仍取水平方向向右为轴正方向、竖直方向向下为轴正方向，由牛顿第二定律得，设有空气作用时运动员在空中飞行的时间为。沿两个坐标轴的位移分别为，由于运动员落在着陆坡上，有整理得落地时的水平、竖直分速度分别为，由速度方向得而由于，所以 考点3 圆周运动 1.(25-26高三上·北京四中·期中)以下运动中不属于匀变速运动的是（　　） A. 竖直上抛运动 B. 平抛运动 C. 自由落体运动 D. 匀速圆周运动 【答案】D 【详解】匀变速运动是指加速度不变的运动，竖直上抛运动、平抛运动以及自由落体运动其加速度都为重力加速度，都是匀变速运动，而匀速圆周运动，其向心加速度的大小不变，但方向时刻改变，因此属于非匀变速运动。故选D。 2.(25-26高三上·北京海淀·期中)(多选)如图所示，A、B两点分别位于大、小两轮的边缘，大轮半径O1A是小轮半径O2B的2倍，C点是O1A的中点，两轮之间靠摩擦传动，且没有相对滑动。关于A、B、C三点的角速度的大小、、，以及线速度的大小、、的关系正确的是（　　） A. A、B两点的周期之比为1∶2 B. B、C两点加速度大小之比为4∶1 C. A、B 两点角速度大小之比为2∶1 D. B、C两点转速之比为2∶1 【答案】BD 【详解】AC．A、B两点分别位于大、小两轮的边缘，两轮之间靠摩擦传动，且没有相对滑动，则A、B两点线速度大小相等。大轮半径O1A是小轮半径O2B的2倍，根据，可得根据，可知，故AC错误；B．A、B两点线速度大小相等。根据，可得A、C两点同轴转动，则角速度大小相等，C点是O1A的中点，根据，可得则B、C两点加速度大小之比，故B正确；D．A、C两点同轴转动，则角速度大小相等，转速相等；根据，可知则，故D正确。故选BD． 3.(25-26高三上·北京师范大学第二附属中学·期中)如图所示，长为l的细绳上端悬于P点，下端拴一个质量为m的小球。小球在水平面内做匀速圆周运动，细绳与竖直方向的夹角为，不计空气阻力，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A. 细绳的拉力大小等于 B. 小球的向心加速度等于 C. 小球转动一周，绳拉力的冲量等于0 D. 小球转动一周，重力的冲量等于 【答案】D 【详解】A．小球竖直方向有解得细绳的拉力大小故A错误；B．对小球，由牛顿第二定律有解得小球的向心加速度故B错误；CD．小球转动一周，速度变化量为0，动量变化量为0，根据动量定理，可知拉力冲量与重力冲量等大反向，根据联立解得，小球圆周运动周期则小球转动一周，重力的冲量故拉力冲量也为，故C错误，D正确。故选D。 4.(2025-2026高三上·北京海淀·期中)如图所示，圆盘在水平面内绕中心轴匀速转动，其上一小物体随圆盘一起转动。下列说法正确的是（　　） A. 小物体受重力、支持力、向心力和摩擦力 B. 小物体所受合力的方向沿运动轨迹的切线方向 C. 若圆盘突然停止转动，小物体在圆盘上将不受摩擦力 D. 若圆盘突然停止转动，小物体在圆盘上将做直线运动 【答案】D 【详解】A．小物体在水平面内圆盘一起转动且相对圆盘静止，可知小物体在竖直方向受力平衡，即受到重力和圆盘对小物体的支持力；在水平方向，由小物体随圆盘一起转动且相对圆盘静止可知，小物体受圆盘的静摩擦力作用，此力提供小物体随圆盘一起转动的向心力，向心力是作用效果，不是指某种力，因此小物体受重力、支持力和静摩擦力作用，故A错误；B．小物体所受合力的方向指向圆心，速度方向沿运动轨迹的切线方向，故B错误；CD．若圆盘突然停止转动，小物体在圆盘上将沿切线做直线运动，仍受摩擦力，故C错误，D正确。故选D。 5.(25-26高三上·北京四中·期中)如图所示，质量为的小物块从平台的右端A点以速度水平飞出后，恰由P点沿切线方向进入竖直圆轨道，并刚好通过轨道最高点M飞出。已知圆轨道半径，圆心为O，N点为轨道最低点，∠PON=53°，重力加速度，sin53°=0.8，cos53°=0.6，求： （1）小物块在P点的瞬时速度大小； （2）小物块通过M点的瞬时速度大小； （3）小物块在圆轨道上运动的过程中摩擦力对它做的功W。 【答案】（1）     （2）     （3）      【讲解】(1) 小物块进入轨道时，刚好沿P点切线进入，其分速度与合速度如下图 由图可知解得 (2) 由题意可知，小物块恰好从M点飞出，对小物块在M点受力分析，可得解得 (3) 小物块从P到M的过程，应用动能定理，可得解得 考点4 生活中的圆周运动 1.(25-26高三上·北京四中·期中)如图所示，摩天轮的半径为R，匀速转动的角速度为。质量为m的游客坐在摩天轮的座椅上重力加速度为g，不考虑摩天轮座舱的大小。下列说法正确的是（　　） A. 在最高点时，游客处于受力平衡状态 B. 在与圆心等高处，座椅对游客的作用力大于mg C. 在最低点时，游客对座椅的压力大小为 D. 在从最高点到最低点的过程中，座椅对游客不做功 【答案】B 【详解】A．在最高点时，游客做匀速圆周运动，合力提供向心力，存在向心加速度，因此受力不平衡，故A错误；B．在与圆心等高处，游客的向心力由座椅对游客作用力的水平分力提供，则有竖直方向的分力平衡游客的重力，则有因此座椅对游客的作用力为，故B正确；C．在最低点时，对游客受力分析，根据牛顿第二定律可得解得根据牛顿第三定律可知，在最低点时，游客对座椅的压力大小为，故C错误；D．在从最高点到最低点的过程中，动能不变，重力对游客做正功，根据动能定理可知，座椅对游客做负功，故D错误。故选B。 2.(25-26高三上·北京朝阳·期中)如图甲所示，小朋友坐在圆盘上随盘一起在水平面内做匀速圆周运动；如图乙所示，将小球系在细绳一端，用手握住绳的另一端，使小球以定点为圆心在竖直面内做完整的圆周运动。不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A. 图甲中小朋友转动半圈过程中所受摩擦力的冲量为零 B. 图甲中相同转速下小朋友离圆心越近越易相对盘滑动 C. 图乙中小球在最低点时向心加速度最大，处于超重状态 D. 图乙中若小球运动至最高点时突然松开绳子，则此后小球可能做自由落体运动 【答案】C 【详解】A．图甲中小朋友转动半圈过程中所受摩擦力为，摩擦力的冲量，冲量是矢量，转动半圈的过程中冲量的总和不为零，A错误；B．图甲中，根据最大静摩擦力提供即将滑离时的向心力，可知相同转速下小朋友离圆心越远越易相对盘滑动，B错误；C．图乙中小球在最低点时速度最大，根据可知，向心加速度最大，加速度向上，则处于超重状态，C正确；D．图乙中若小球运动至最高点时最小速度为，不为零，可知突然松开绳子，则此后小球做平抛运动，不可能做自由落体运动，D错误。故选C。 3.(2025-2026高三上·北京通州·期中)某研究小组利用摄像机记录人的甩手动作，以探究指尖水滴被甩落的过程。如图所示是由每秒25帧的摄像机拍摄视频后制作的图片，图中、、是甩手动作最后3帧照片指尖的位置。根据照片建构、之间运动模型：开始阶段，指尖以肘关节为圆心做圆周运动，到接近的最后时刻，指尖以腕关节（视为已静止）为圆心做圆周运动。测得、之间的距离为，、之间的距离为。近似认为、之间平均速度为指尖经过点的线速度。重力加速度为。下列说法正确的是（　　） A. 由图可明显看出，由至指尖的线速度逐渐增大 B. 指尖经过点时的线速度大约为 C. 指尖经过点时的向心加速度大约为 D. 在相同的指尖速度下，如果该人的上臂、前臂和手掌始终保持在一条直线上，则水滴将更容易被甩出 【答案】C 【详解】A．由题意可知，摄像机拍摄时每秒25帧，则相邻两帧之间的时间间隔是相等的，时间间隔为由图可知、之间的弧长明显大于、C之间的弧长，根据平均速度的定义式可知，因此由至指尖的线速度先增大后减小，故A错误；B．指尖经过点时的线速度，故B错误；C．指尖经过点时的向心加速度大约为，故C正确；D．水滴的合外力不能提供所需的向心力时，水滴就容易被出去，所以甩手时应减小半径，则在相同的指尖速度下，如果该人的上臂、前臂和手掌始终保持在一条直线上，则水滴将更不容易被甩出，故D错误。故选C。 考点5 万有引力定律 1.(25-26高三上·北京朝阳·期中)仅考虑月球受地球引力作用时，其运动规律同样遵从开普勒行星运动定律。月球受地球的引力在一个周期内随时间的变化规律如图所示。下列说法正确的是（　　） A. 内月球的运行速度不断增大 B. 内月球的加速度先变大后变小 C. 月球和地球距离的最小值与最大值之比为 D. 与时刻月球和地球系统的机械能之比为 【答案】C 【详解】A．根据图像可知，在内月球受地球的引力在不断减小，根据万有引力公式可知月球离地球的距离在不断增大，则月球的运行速度不断减小，故A错误；B．根据牛顿第二定律有可得因月球离地球的距离在不断增大，故内月球的加速度不断减小，故B错误；C．设月球与地球之间的最小距离为，最大距离为，根据万有引力公式并结合图像，可知距离最小时万有引力最大为距离最大时万有引力最小为联立解得，故C正确；D．月球在同一轨道运动，月球和地球系统的机械能守恒，故D错误。故选C。 2.(25-26高三上·北京育才学校·期中)2020年7月31日上午，北斗三号全球卫星导航系统正式开通，并为全球提供服务。北斗三号系统由24颗中圆地球轨道卫星、3颗地球静止轨道卫星和3颗倾斜地球同步轨道卫星组成。其中，中圆地球轨道卫星距地面高度约为2.2×104km，地球静止轨道卫星距地面高度约为3.6×104km，它们都绕地球做近似的匀速圆周运动。则（　　） A. 中圆地球轨道卫星的运行速度大于第一宇宙速度 B. 地球静止轨道卫星的加速度大于9.8m/s2 C. 中圆地球轨道卫星的周期大于地球静止轨道卫星的周期 D. 中圆地球轨道卫星的角速度大于地球静止轨道卫星的角速度 【答案】D 【分析】【详解】A．由公式得由于中圆地球轨道卫星半径大于地球半径，则中圆地球轨道卫星的运行速度小于第一宇宙速度，故A错误；B．由公式可知，随高度的增大，重力加速度减小，故B错误；C．由开普勒第三定律可知，由于中圆地球轨道卫星的半径小于地球静止轨道卫星的半径，则中圆地球轨道卫星的周期小于地球静止轨道卫星的周期，故C错误；D．由公式可知，中圆地球轨道卫星的周期小于地球静止轨道卫星的周期，则中圆地球轨道卫星的角速度大于地球静止轨道卫星的角速度，故D正确。故选D。 3.(2025-2026高三上·北京海淀·期中)(多选)2025年5月14日，我国成功发射全球首个太空计算卫星星座，开创了人类将超级计算能力部署至太空的新纪元。该卫星星座中的某颗卫星绕地球做匀速圆周运动，距离地面高度约500km，运行周期约95min。下列说法正确的是（　　） A. 该卫星运行的轨道半径小于地球同步卫星运行的轨道半径 B. 该卫星绕地球做圆周运动的速度大于 C. 该卫星绕地球做圆周运动的向心加速度大于地球表面的重力加速度 D. 若已知地球半径和引力常量，结合题干信息，则可估算出地球的质量 【答案】AD 【详解】A．因该卫星的周期小于同步卫星的周期，根据开普勒第三定律可知，该卫星运行的轨道半径小于地球同步卫星运行的轨道半径，A正确；B．7.9km/s是所有环绕地球做圆周运动的卫星的最大速度，则该卫星绕地球做圆周运动的速度小于，B错误；C．根据，该卫星的轨道半径大于地球的半径，可知该卫星绕地球做圆周运动的向心加速度小于地球表面的重力加速度，C错误；D．根据若已知地球半径R和引力常量G，结合题干信息，则可估算出地球的质量，D正确。故选AD。 4.(25-26高三上·北京育才学校·期中)“嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星，已知它在距月球表面高度为h的圆形轨道上运行，运行周期为T，引力常量为G，月球半径为R。 （1）求月球的质量； （2）求月球的密度； （3）求月球表面的重力加速度大小。 【答案】（1）     （2）     （3）      【讲解】(1) 根据万有引力提供向心力得解得月球的质量 (2) 月球的体积则月球的密度 (3) 根据万有引力等于重力得解得 5.(25-26高三上·北京海淀·期中)天体沿椭圆轨道的运动在宇宙中普遍存在。对天体沿椭圆轨道运动的研究，为预测彗星回归、设计卫星轨道等实际应用提供了理论支撑。已知引力常量G。某彗星的运行轨道为椭圆，对彗星沿椭圆轨道的运动进行如下研究： 如图所示，A、B两点分别是彗星的近日点和远日点，两点到太阳中心O点的距离分别为rA和rB。已知太阳和彗星的质量分别为M和m，不考虑其他天体的影响。已知彗星仅在太阳引力作用下的运动过程，它与太阳中心的连线在任意相等时间内扫过相等的面积。取无穷远处的引力势能为零，则彗星星在距太阳中心为r处的引力势能。 （1）求彗星运动至近日点A时的速度大小vA。 （2）在分析质点沿椭圆轨道运动时，可以把其轨迹分割为许多很短的小段，质点在每小段的运动都可看作圆周运动的一部分（圆的半径称作曲率半径，可以描述轨迹上某位置的弯曲程度），这样就可以采用圆周运动的分析方法来处理质点经过椭圆轨道上某点的运动。已知椭圆轨道A点处的曲率半径。求彗星在椭圆轨道上A点处的曲率半径ρ。 （3）若已知彗星运动的椭圆轨道的半长轴为a，求彗星在该椭圆轨道上运动的机械能E。（用G、M、m、a表示） 【答案】（1）     （2）     （3）      【讲解】(1) 彗星在A、B点的速度方向均与日心连线垂直，根据开普勒第二定律（等面积扫过），相等时间Δt内扫过面积相等 即得 彗星仅受太阳引力，系统机械能守恒，取无穷远引力势能为0 联立两式消去，整理后得到 (2) 由解得 (3) 由彗星在点处的机械能为其中，联立解得 6.(2025-2026高三上·北京通州·期中)万有引力定律揭示了天体运动与地球上物体的运动遵循相同的物理规律。设地球半径为R，地球表面重力加速度为g，地球可视为质量分布均匀的球体，忽略地球自转的影响。已知：质量分布均匀的球壳对球壳内部任意位置质点的万有引力都为零；物体做简谐运动的周期，其中为物体的质量，k为简谐运动物体的回复力和其离开平衡位置的位移大小之比。 （1）近地卫星的轨道半径近似等于地球半径R，求其做匀速圆周运动的周期T。 （2）如图所示，设想在地球内部距地心h（）处挖一条光滑直线通道AB，其中点为通道中心。从A点由静止释放一质量为m的物体（可视为质点），在不计空气阻力的条件下： a．证明该物体在通道中做简谐运动； b．求该物体从A点第一次运动到通道中心点所经历的时间t。 【答案】（1）     （2）a．物体在运动的某一瞬间，如图所示 设半径为r的球体质量为 因为质量分布均匀的球壳对空腔内的物体的万有引力为零，所以质量为m的物体在距离地心r处受到的万有引力大小为 故万有引力在AB通道方向的分力大小为 该力与x成正比，所以物体做简谐运动。 b．      【讲解】(1) 设地球的质量为M，对卫星有又因为近地卫星解得 (2) a．略；b．由之前的分析可知，物体做简谐运动，令当时有根据万有引力与重力的关系有解得则物体从A点运动到B点的时间为 考点6 宇宙航行 1.(25-26高三上·北京一六六中学&第五十中学·期中)2023年，我国首颗超低轨道实验卫星“乾坤一号”发射成功。“乾坤一号”是一颗绕地球做圆周运动的近地卫星。关于它的运动，下列说法正确的是（       ） A. 角速度大于地球自转的角速度 B. 线速度大于地球的第一宇宙速度 C. 线速度小于地球表面物体随地球自转的线速度 D. 向心加速度小于地球表面的物体随地球自转的向心加速度 【答案】A 【详解】ACD．卫星绕地球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力可得可得，，可知“乾坤一号”的角速度、线速度和向心加速度均大于静止卫星的角速度、线速度和向心加速度；静止卫星的角速度等于地球自转角速度，根据，则静止卫星的线速度大于地球表面物体随地球自转的线速度，静止卫星的向心加速度大于地球表面的物体随地球自转的向心加速度；则“乾坤一号”的角速度大于地球自转的角速度，线速度大于地球表面物体随地球自转的线速度，向心加速度大于地球表面的物体随地球自转的向心加速度，故A正确，CD错误；B．“乾坤一号”是一颗绕地球做圆周运动的近地卫星，则线速度等于地球的第一宇宙速度，故B错误。故选A。 2.(25-26高三上·北京海淀·期中)“天问一号”探测器的成功发射，使我国开启了火星探测之旅。已知火星半径约为地球半径的，火星质量约为地球质量的。若火星表面重力加速度和地球表面重力加速度分别为g0和g，火星的第一宇宙速度和地球的第一宇宙速度分别为v10和v1。下列说法正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【详解】AB．设火星和地球的质量分别为，，半径分别为，对火星表面的质量为的物体，由万有引力等于重力得整理得对地球表面的同一物体，同理有整理得两式相除得，故A错误，B正确。CD．对火星近地卫星，由万有引力提供向心力得整理得对地球近地卫星，同理有整理得两式相除得，故CD错误。故选B。 3.(25-26高三上·北京四中·期中)某科学卫星在赤道平面内自西向东绕地球做匀速圆周运动，对该卫星监测发现，该卫星的轨道半径是地球同步卫星轨道半径的一半。则下列说法正确的是（　　） A. 该科学卫星的速度小于地球同步卫星的速度 B. 该科学卫星在轨运行周期为 C. 该科学卫星在轨运行线速度是地球同步卫星在轨运行线速度的倍 D. 该科学卫星和地球同步卫星与地心连线在相同时间内扫过的面积相等 【答案】B 【详解】AC．万有引力提供卫星圆周运动的向心力，由牛顿第二定律可得解得结合题意可知因此科学卫星的速度与地球同步卫星的速度之比为即该科学卫星在轨运行线速度是地球同步卫星在轨运行线速度的倍，故AC错误；B．根据开普勒第三定律可得结合题意可知，联立解得，故B正确；D．科学卫星与地心连线在时间内扫过的面积为地球同步卫星与地心连线在时间内扫过的面积二者之比为，故D错误。故选B。 考点7 卫星变轨 天体的追及相遇问题、双星与多星模型 1.(25-26高三上·北京师范大学第二附属中学·期中)如图所示，一颗人造卫星原来在椭圆轨道1绕地球E运行，在P点变轨后进入轨道2做匀速圆周运动。下列说法正确的是（　　） A. 不论在轨道1还是轨道2运行，卫星在P点的速度都相同 B. 不论在轨道1还是轨道2运行，卫星在P点的加速度都相同 C. 卫星在轨道1的任何位置都具有相同加速度 D. 卫星在轨道2的任何位置都具有相同动量 【答案】B 【详解】A．从轨道1变轨到轨道2，需要加速，故在轨道2上经过P点速度更大，故A错误；B．根据公式，可得故只要到地心距离相同，加速度就相同，故不论在轨道1还是轨道2运行，卫星在P点的加速度都相同，B正确；C．卫星在椭圆轨道1绕地球E运行，到地心距离变化，运动过程中的加速度在变化， C错误；D．卫星在轨道2做匀速圆周运动，运动过程中的速度方向时刻在变，所以动量方向不同，D错误。故选B。 2.(2025-2026高三上·北京通州·期中)如图所示，地球静止轨道卫星甲和沿椭圆轨道运行的卫星乙在同一平面上绕地球转动。甲的圆轨道直径与乙的椭圆轨道长轴相等。点和点分别是椭圆轨道的近地点和远地点，点为两轨道的交点。下列说法正确的是（　　） A. 卫星甲的速度大于卫星乙在点的速度 B. 卫星乙从点向点运动过程中，速度逐渐增大 C. 卫星甲在点的加速度大于卫星乙在点的加速度 D. 当卫星乙从点第一次运动到点，卫星甲刚好转动一周 【答案】A 【详解】A．由万有引力提供向心力，则有解得若乙经过B点时也沿圆形轨道绕地球运行，则有实际上乙的轨道为椭圆，因此乙经过B点需加速做离心运动，则有因此卫星甲的速度大于卫星乙在点的速度，故A正确；B．根据开普勒第二定律可知，卫星乙从点向点运动过程中，速度逐渐减小，故B错误；C．根据牛顿第二定律可得解得即同一位置时，甲、乙加速度大小相同，故C错误；D．甲的圆轨道直径与乙的椭圆轨道长轴相等，则甲的圆轨道半径与乙的椭圆轨道半长轴相等，根据开普勒第三定律可得两卫星运动周期相同，当乙从A点第一次运动到B点，只过了半个周期，甲没有转动一周，故D错误。故选A。 3.(25-26高三上·北京四中·期中)“嫦娥”五号探测器是中国首个实施无人月面取样返回的月球探测器。现研究探测器先环绕地球再变轨，采集月壤后回到地球的过程。设探测器质量为m，首先在近地轨道上绕地球运行，如图甲所示。地球质量M，引力常量G，地球半径为R。 （1）求探测器变轨前的运行速度大小； （2）将探测器推至月球附近的过程，为了安全需经历多次变轨。研究其第一次变轨，在地表附近的A点迅速启动发动机，使探测器进入椭圆轨道，该轨道的远地点B距地心为8R。已知探测器的引力势能可表示为（无限远处势能为零） a.求变轨前探测器的机械能； b.结合开普勒第二定律，求点火过程中发动机对探测器做的功W； （3）在返回器完成研究任务、返回至地表附近时速度过大，以此速度直接冲入大气层会损伤返回器。科学家提出采用半弹道跳跃方式再入返回；如图乙所示，通过小角度擦入大气层，以“打水漂”的形式多次跳跃再入，通过返回器与大气层的摩擦逐步减速至安全速度内。返回器在“打水漂”过程中减少的动能转变为其内能主要通过烧蚀材料带走，剩余少量能量则通过向四周辐射的形式耗散。有天文爱好者质疑该计划的安全性；返回器产生的辐射是否会对地球表面产生显著影响？请你结合第一次“打水漂”过程的相关数据，与太阳对地球的辐射进行比较，给出结论并进行合理解释。（相关计算结果可保留一位有效数字）以下为可能用到的数据：返回器质量，第一次进入大气层的速度，跳出大气层的速度，返回器跳跃一次并恢复初始温度的总时长，辐射能量占比，跳跃时离地平均高度。地球半径，太阳辐射至地表的单位面积功率为。 【答案】（1）     （2）a.；b.     （3）返回器产生的辐射远小于太阳对地球的辐射，故返回器产生的辐射不会对地球表面产生显著影响      【讲解】(1) 探测器变轨前在近地轨道上环绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力得解得 (2) a.变轨前探测器的动能为变轨前探测器的引力势能为变轨前探测器的机械能为b.变轨后探测器在椭圆轨道上运动，设其在A、B点的速度大小分别为、。变轨后探测器从A到B的过程，根据机械能守恒定律得根据开普勒第二定律可得联立解得变轨的瞬间探测器的引力势能不变，根据功能关系可得点火过程中发动机对探测器做的功为 (3) 根据能量守恒定律，结合题意可得第一次“打水漂”过程探测器辐射的能量为假设这些能量均匀向四周辐射，辐射到地球表面（即平均辐射到以h为半径的球面）时单位面积的能量为因此单位面积功率为代入数据，解得已知太阳辐射至地表的单位面积功率为可得可见返回器产生的辐射远小于太阳对地球的辐射，故返回器产生的辐射不会对地球表面产生显著影响。 4.(25-26高三上·北京朝阳·期中)对宇宙的探索是人类不懈的追求。 （1）2019年国家天文台发现一质量为的蓝色星体围绕质量为的黑洞做匀速圆周运动，此发现为恒星演化和黑洞形成提供了新证据。已知蓝色星体的运行周期为，引力常量为，蓝色星体与黑洞均可视为质量均匀分布的球体，不考虑其他天体影响及相对论效应。取质量分别为、的两质点相距无限远时的引力势能为零，相距时的引力势能为。 a.求蓝色星体与黑洞的间距； b.因某种扰动，若蓝色星体运动到与黑洞距离为时被撕裂成许多碎片，部分碎片将逃离黑洞。求碎片能够逃离黑洞的最小速度. （2）2023年“中国天眼”发现著名的GRS黑洞存在微弱的射电“脉搏”，由此推断该黑洞与某质量较大的恒星均围绕二者连线上的一点做圆周运动，且恒星上的外层物质会不断被吸入到黑洞中，逐渐被吞噬。若在开始的短时间内二者间距可视为不变，请推理说明该段时间内黑洞的角速度大小将怎样变化。 （3）小明设想在完全失重的空间站核心舱内玩纸飞机游戏。将质量为的纸飞机相对核心舱以速度抛出，纸飞机飞行一小段时间后会打在舱壁上。已知太空舱内的空气对纸飞机有和两个作用力，，与方向垂直；，与方向相反。为纸飞机相对空气的速度大小。在较短时间内、可视为定值。请推理说明这段时间内纸飞机相对核心舱的运动情况。 【答案】（1）a.            b.     （2）不变     （3）这段时间内纸飞机相对核心舱做减速运动，轨迹是一段圆弧。      【分析】 (1) a.蓝色星体围绕黑洞做匀速圆周运动，有蓝色星体与黑洞的间距b.部分碎片逃离黑洞过程只有引力做功，机械能守恒。碎片恰好逃离黑洞即与黑洞相距无穷远时，其动能与势能均为零。由机械能守恒定律碎片能够逃离黑洞的最小速度 (2) 对黑洞对恒星联立得恒星上的外层物质会不断被吸入到黑洞中，但不变，且短时间内二者间距可视为不变，故该段时间内黑洞的角速度大小不变。 (3) 空气相对核心舱静止，故空气对纸飞机有和两个作用力，，与方向垂直；，与方向相反。纸飞机受到的合力较短时间内、可视为定值，故纸飞机合外力与速度方向夹角的正切值不变；纸飞机在作用下变小，所以这段时间内纸飞机相对核心舱做减速运动，轨迹是一段圆弧。【点睛】 5.(2025-2026高三上·北京海淀·期中)天体沿椭圆轨道的运动在宇宙中普遍存在。对天体沿椭圆轨道运动的研究，为预测彗星回归、设计卫星轨道等实际应用提供了理论支撑。已知引力常量为。 （1）某彗星的运行轨道为椭圆，对彗星沿椭圆轨道的运动进行如下研究： 如图所示，、两点分别是彗星的近日点和远日点，两点到太阳中心点的距离分别为和。已知太阳和彗星的质量分别为和，不考虑其他天体的影响。 a.求彗星运动至近日点时的加速度大小。 b.在分析质点沿椭圆轨道运动时，可以把其轨迹分割为许多很短的小段，质点在每小段的运动都可看作圆周运动的一部分（圆的半径称作曲率半径，可以描述轨迹上某位置的弯曲程度），这样就可以采用圆周运动的分析方法来处理质点经过椭圆轨道上某点的运动。已知椭圆轨道上点处的曲率半径，质量分别为和、距离为的两个质点间的引力势能。求彗星在椭圆轨道上点处的机械能。 （2）航天工程师可以通过改变卫星的速度来调整其运动轨道，完成复杂的太空任务。当卫星绕地球运动到图所示半径为的圆轨道的某点时，短时间启动卫星发动机，使卫星再获得一个背离地心、大小为其切向速度一半的径向速度，卫星将沿以为焦点的椭圆轨道绕地球运动。不考虑卫星质量的变化。在（1）b研究的基础上，论证椭圆轨道的半长轴与的关系。 【答案】（1）a.；b.     （2）      【讲解】(1) a.彗星运动至近日点时，根据牛顿第二定律有解得b.设彗星在点处的速度大小为，则有结合题中信息，得彗星在点处的机械能为其中，联立解得 (2) 设地球质量为卫星质量为，卫星经过圆轨道某点时的速度大小为。卫星在圆轨道上圆周运动时，万有引力提供向心力有启动发动机后，卫星的合速度为根据已知条件，则卫星沿椭圆轨道运行的机械能为设卫星在椭圆轨道的机械能为，根据（1）b的结论，有所以 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $