26.3二次函数与一元二次方程 周清练习 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 九年级数学周清练习聚焦二次函数与一元二次方程，通过选择、填空、解答题梯度设计，融合几何直观、推理能力与模型意识，强化知识应用与创新思维。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二次函数与x轴交点、方程解范围、图像性质|基础巩固（如求交点）与能力提升（如二分法估计根）结合| |填空题|6/18|对称轴应用、函数与不等式关系|注重数形结合（如由图像求方程解）| |解答题|8/72|函数表达式求解、实际应用（杯子设计）、创新定义（二倍点）|综合应用与创新探究，如“二倍点”问题培养模型意识|

九年级数学周清练习 （范围：26.3二次函数与一元二次方程） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．抛物线与轴的交点为（     ） A． B． C． D． 2．对一元二次方程的一个正数解的取值范围的探索如下表． 从表中可以看出方程的一个正数解的大致范围是（     ） A． B． C． D． 3．二次函数的图象如图所示，对称轴为，下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 4．如图是二次函数的部分图像，由图像可知不等式的解集是（   ） A． B． C． D．或 5．抛物线的对称轴，若关于的一元二次方程在范围内有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　） A．3 B． C．3 D． 6．关于二次函数，下列说法正确的是（   ） A．开口向上 B．当时，随的增大而增大 C．函数图象与轴交点为 D．顶点坐标是 7．小明以二次函数的图象为灵感设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若，，则杯子的高为（     ） A．14 B．11 C．6 D．3 8．如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C． D． 9．如图，观察函数的图象，可以发现方程在0，1之间有根．取0，1的平均数0.5，当时，，进一步可知这个根在0.5和1之间，则与方程另一根更接近的是（  ） A． B． C． D． 10．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象沿轴翻折．若原函数图象的顶点、与轴的两交点和翻折后图象的顶点，组成的四边形为正方形，则的值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知抛物线的对称轴是直线，与轴交于、两点，若点坐标是，则方程的两根是_____． 12．二次函数的部分图像如图所示，其对称轴为直线，若该抛物线与x轴的一个交点为，则由图像可知，方程的解是________． 13．如图，二次函数()与一次函数()的图象相交于点，，则使成立的的取值范围是___________． 14．如图：抛物线与直线交于两点，，则不等式的解集是______． 15．已知二次函数的图象经过点，，该图象与轴的另一个交点为，则的长为________． 16．已知二次函数及直线，将二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线与这个新图象有四个交点时，m的取值范围是________． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17．已知二次函数 (1)当时，y的值是多少？ (2)当x为何值时，y的值为0？ 18．用描点法画函数的图象，并完成下列问题： (1)求曲线与x轴、y轴交点坐标； (2)根据图象分析，y随x变化而变化的情况． 19．如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且关于直线对称，点A的坐标为． (1)求二次函数的表达式． (2)当时，写出x的取值范围． 20．求二次函数的图象与一次函数的图象的交点坐标． 21．已知二次函数（为常数）． (1)若点在该函数图象上，则_________； (2)证明：该二次函数的图象与轴有两个不同的公共点． 22．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)填空：__________，__________； (2)设为此抛物线的对称轴上一点，当的面积等于的面积时，求点坐标； 23．已知点是抛物线上一点，若，则我们把点P称为该抛物线的“二倍点”． (1)【定义理解】 ①若点P是抛物线上的“二倍点”，则点P的坐标为________； ②下列抛物线，没有“二倍点”的是________． A．    B．    C． (2)【深入探究】 已知抛物线与x轴只有1个公共点，且与y轴相交于点． ①求该抛物线的解析式； ②将该抛物线向下平移k个单位得到新的抛物线，若新抛物线恰好只存在1个“二倍点”，求k的值及该“二倍点”的坐标． 24．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，直线经过点． (1)求点的坐标； (2)不等式的解集为_____； (3)若点在抛物线上，且，求点的坐标． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 九年级数学周清练习（答案及解析） （范围：26.3二次函数与一元二次方程） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B D A D D B C B D 1．D 【分析】抛物线与y轴交点的横坐标为0，令代入抛物线解析式求出y的值，即可得到交点坐标． 【详解】解：∵y轴上所有点的横坐标都为0， ∴令，代入抛物线解析式， 得， ∴抛物线与y轴的交点坐标为． 2．B 【分析】通过表格中代数式的符号变化，确定方程正数解的范围． 【详解】解：当时，， 当时，， 故方程的一个正数解的大致范围是． 3．D 【分析】根据二次函数开口方向、与轴交点，对称轴位置、与轴交点确定①②③，再根据顶点坐标确定④． 【详解】解：由二次函数图象可知，开口向上，与轴交于负半轴， ，， 二次函数的对称轴为， ，即， ，，结论①、③正确； 二次函数图象与轴有两个交点， 有两个不等实数根， ，结论②正确； 由图象可知，当时，， 即，结论④正确． 综上，结论正确的个数是个，选项符合题意． 4．A 【分析】此题考查了二次函数的图像与性质，根据二次函数的图像求解不等式，解题的关键是掌握二次函数的性质，利用数形结合的思想求解问题． 由图像可得，二次函数的对称轴为，与轴的一个交点为，根据对称性求得另一点的坐标，即可求解． 【详解】解：由图像可得，二次函数的开口向下，对称轴为，与轴的一个交点为 由对称性可得，与轴的另一个交点为， 则不等式的解集为， 故选：A． 5．D 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据二次函数图象确定相应方程根的情况．由抛物线对称轴求出b，将方程转化为抛物线与水平线的交点问题，根据在给定区间内有两个不等实根的条件，确定的范围，进而得到t的取值范围，即可作答． 【详解】解：∵抛物线的对称轴， ∴， 即， ∴， ∴抛物线为， 方程可化为， 即函数与在内有两个交点， 当时，， 当时，， 当时，， ∵关于的一元二次方程在范围内有两个不相等的实数根， ∴需满足， 即， 故选：D． 6．D 【分析】本题考查二次函数的顶点式性质，包括开口方向、增减性、与y轴交点及顶点坐标． 根据二次函数顶点式逐项判断相关性质即可． 【详解】∵ 二次函数为 ， ，开口向下，选项A错误； 对称轴为，且开口向下， 当时，y随x增大而减小，选项B错误； 当时，， ∴ 与y轴交点为，选项C错误； 顶点坐标为，选项D正确． 故选：D． 7．B 【分析】首先由求出点的坐标为，然后根据，可知点的横坐标为，代入抛物线解析式，得到，则，又，则可知杯子高度． 【详解】解：， 点的坐标为，抛物线的对称轴为， ， ， 点的横坐标为：， 当时，， 点纵坐标为14， 点的纵坐标为， ， ，即杯子的高度为11． 8．C 【详解】解：对于二次函数，令，则， ∴二次函数的图象与y轴的交点为， ∵对于一次函数，令，则， ∴一次函数的图象与y轴的交点为， ∵两个图象交于，两点，已知点，点在轴上， ． 则不等式可变形为， 即， ∴由图象可得，它的解集是． 9．B 【分析】由一元二次方程根与系数关系可知两根之和为，结合已知根在0.5与之间，可推知另一根在与之间．再取中点缩小范围，确定另一根更接近． 【详解】解：设方程的两个根为，， ，，， 由一元二次方程根与系数关系可知， 已知在0.5与之间， ， 当x在0.5和1之间时， 另一根在与之间， 取， ， 当时，， 在与之间， 到的距离， 到的距离， 到的距离小于到的距离， 与另一根更接近的是． 10．D 【分析】先对二次函数变形，求出原函数与x轴交点和顶点坐标，再得到沿x轴翻折后的顶点坐标，根据四个点组成正方形的性质，利用对角线相等列方程求解a． 【详解】解：∵， 令，解得或， ∴原函数与轴两交点为和，两交点间距离为，即四边形的一条对角线长为． 对原二次函数配方，得， ∴原函数顶点坐标为， ∵图象沿轴翻折，翻折后顶点横坐标不变，纵坐标变号， ∴翻折后顶点坐标为， ∴两顶点之间的距离为，即四边形的另一条对角线长为． ∵四个点组成的四边形对角线互相垂直平分，若为正方形则对角线相等， ∴， 解得． 11． ， 【分析】利用二次函数的对称性，根据一个交点坐标和对称轴即可求出另一个交点坐标，从而得到方程的另一个根． 【详解】解：∵抛物线与轴交点的横坐标就是方程的两根，其中一个交点为， ∴方程的一个根为， 设方程的另一个根为， 又∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得， ∴方程的两根为，． 12． 【分析】先求出抛物线与x轴的另一个交点，再根据抛物线与x轴交点的横坐标即为方程的解求解即可． 【详解】解：∵抛物线对称轴为直线，该抛物线与x轴的一个交点为， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∴由图像可知，方程的解是． 13．或 【分析】本题主要考查了二次函数与不等式的关系，利用数形结合的思想是解题的关键．根据抛物线与直线的交点坐标，结合图象即可解答． 【详解】解：二次函数()与一次函数()的图象相交于点，，即点，点的横坐标分别为，8， 根据图象可得，使成立的的取值范围是或． 故答案为：或． 14．或 【分析】本题考查了二次函数图象与不等式的关系，掌握二次函数图象与不等式之间的关系是解题关键． 根据图象判断函数值的大小关系即可． 【详解】解：由图象可知，在点A的左侧和点B的右侧，抛物线在直线的上方， 故当或时，， 故答案为： 或． 15． 【分析】将、两点坐标代入二次函数解析式，求出和的值得到完整解析式，再求函数与轴的交点坐标，最后计算的长度． 【详解】解：∵二次函数经过点，， ∴， 解得，， ∴二次函数解析式为， 当时，， 解得，， ∵点坐标为， ∴另一个交点坐标为， ∴的长为． 16． 【分析】根据题意画出对应的图象，先解方程得，，再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为，然后求出直线经过该抛物线的顶点C时的坐标，从而得到m的值，进而得出m的取值范围． 【详解】解：如图，在x轴下方作直线，将直线向下平移到恰在点C处相切，此时点C为翻折抛物线的顶点，则直线在x轴与切线的两条直线之间，两个图象有4个交点， 令，解得：或2，即，， ∴翻折抛物线的表达式为：， ∴顶点C的坐标为， 当直线与这个新图象有四个交点时，m的取值范围是． 17．(1) (2)或 【详解】（1）解：当时，； （2）解：当时， ， 解得． 故当或时，y的值为0． 18．(1)与x轴交点坐标为和，与y轴交点坐标为 (2)当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小 【分析】本题考查了描点作图法画二次函数图象以及二次函数图象的相关性质． （1）根据列表、描点、连线的步骤作出二次函数的图象，令，求得函数与y轴的交点坐标；令，求得函数与x轴的交点坐标； （2）根据函数图象以及函数增减性的定义求解即可． 【详解】（1）解：列表如下： x 0 1 2 y 2 1 1 描点作图如图所示： 令，则，即二次函数与y轴的交点为； 令，则，解得，即二次函数与x轴的交点为和； （2）解：由图象可知，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小． 19．(1) (2) 【分析】（1）先求出点坐标，再由待定系数法求解函数解析式； （2）先求出抛物线与轴交点的横坐标，再由图象求解即可． 【详解】（1）解：∵点与点B关于直线对称， ∴点B的坐标为， 代入，得：， 解得， ∴二次函数的表达式为 （2）解：由， 解得：， ∵ ∴ 20． 【分析】将两函数解析式联立方程组，解方程组即可． 【详解】解：联立方程组， 解得， ∴二次函数的图象与一次函数的图象的交点坐标为． 21．(1) (2) 证明：∵， ∴该二次函数的图象与轴有两个不同的公共点． 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）根据一元二次方程根的判别式即可求证； 本题考查了用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与的交点问题，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点在函数图象上， ∴， 解得， 故答案为：； （2）略 22．(1)， (2)或 【分析】（1）因为抛物线过A、B两点，所以将两点坐标代入抛物线解析式，得到关于m、n的二元一次方程组，解方程组即可求出m、n的值． （2）设直线交对称轴于点M，令代入抛物线解析式即可得到C点坐标；以为底，为高，用三角形面积公式计算的面积，将抛物线化为顶点式得对称轴，求出直线的解析式，得到点Ｍ坐标，由写出其表达式，根据，得到关于的方程，解方程求出的值，即可得到D点坐标． 【详解】（1）解：把，代入，得：， 解得； （2）解：， ∴此抛物线的对称轴是直线， 当时，， ， 设直线的表达式为，直线交直线于点M， 把，代入，得： ， 解得：， ∴直线的表达式为， 当时，， ， ，，， ， ， ∵的面积等于的面积， ， ， ∴，， 或． 23．(1)①或，②C (2)①；②，“二倍点”的坐标为 【分析】（1）①根据“二倍点”的定义可得，且，据此解方程即可得到答案；②根据题意可得当抛物线上有“二倍点”时，该抛物线与直线一定有交点，故联立对应的抛物线的解析式和直线的解析式，看方程是否有解即可得到答案； （2）①抛物线与x轴只有1个公共点可得判别式的值为0，再结合点B和点C的坐标列式求解即可；②求出平移后的抛物线解析式，根据新抛物线恰好只存在1个“二倍点”可得新抛物线与直线只有一个交点，据此求解即可． 【详解】（1）解：①由题意得，抛物线上的一点满足其纵坐标是横坐标的两倍时，则该点为该抛物线的“二倍点”， ∵点P是抛物线上的“二倍点”， ∴，且， ∴， 解得或， 当时，；当时，； 综上所述，点P的坐标为或； ②由题意得，抛物线上的一点满足其纵坐标是横坐标的两倍时，则该点为该抛物线的“二倍点”， ∴所有的抛物线的“二倍点”都在直线上， ∴当抛物线上有“二倍点”时，该抛物线与直线一定有交点； 联立得，即， ∴， ∴二次函数与直线有两个不同的交点， ∴二次函数上有“二倍点”； 联立得，即， 解得， ∴二次函数与直线只有一个交点， ∴二次函数上有“二倍点”； 联立得，即， ∴， ∴二次函数与直线没有交点， ∴二次函数上没有“二倍点”； （2）解：①∵抛物线与x轴只有1个公共点，且与y轴相交于点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； ②由题意得，平移后的抛物线的解析式为， 联立得，即 ∵平移后的抛物线上恰好只存在1个“二倍点”， ∴， ， ∴， 解得． ∴“二倍点”的坐标为． 24．(1)，， (2)或 (3)或 【分析】（1）分别令，，解方程，即可得到抛物线与坐标轴的交点坐标； （2）观察图象，根据抛物线和直线的位置关系即可得解； （3）利用待定系数法得到直线的解析式，以及根据（1）中结论得到的面积，设，根据点位于轴左侧和右侧，分两种情况讨论，过点作轴交直线于点，则，，根据割补法求的面积，得到关于的方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：对于抛物线， 令，得， ∴， 令，则，解得，， ∴，； （2）解：由图象可得的解集为直线在抛物线上方时对应的取值范围， 即或； （3）解：∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 将点，的坐标代入，得：，解得， ∴直线的解析式为， 如图，当点位于轴左侧时，过点作轴交直线于点， 设，则， ∴， ∵， ∴，解得， ∵， ∴取，此时， 故； 如图，当点位于轴右侧时，过点作轴交直线于点， 设，则， ∴， ∴， ∴，解得， ∵， 取，， 故； 综上，或． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $