26.3 二次函数与一元二次方程（第1课时） （分层同步练习·反思性作业单）2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 初中数学新授课同步练，聚焦“二次函数与一元二次方程”，通过三级分层设计实现从概念理解到综合应用的递进，适配差异化教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|判别式与交点个数、方程根与交点坐标|直接应用概念，如求交点坐标、判别式取值范围，强化运算能力| |能力提升|综合应用（面积计算、解析式求解）|结合图象与代数推理，如已知交点求解析式，发展推理意识| |拓展探究|证明、平移、存在性问题|含开放探究题，如证明交点个数、平移规律，培养创新意识|

26.3 二次函数与一元二次方程（第1课时） 分层同步练习·反思性作业单 （自习课｜家庭作业 专用） 完成场景 □自习课独立完成 □家庭自主完成 预估用时：________分钟 完成状态 □完全独立 □少量翻书 □略有卡点 教学环节 内容要点与习题 一、自习前置速忆（30秒唤醒） 1. 本节课核心知识点： ①二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交点的横坐标，就是一元二次方程ax²+bx+c=0的根。 ②Δ>0⇔抛物线与x轴有两个交点；Δ=0⇔有一个交点（相切）；Δ<0⇔没有交点。 ③利用图象可求方程的近似根和不等式的解集。 2. 与本节课相关的旧知识：二次函数图象、一元二次方程根的判别式、不等式。 3. 预习时遇到的疑问：抛物线与x轴的交点个数和判别式Δ之间有什么对应关系？。 4. 本节课最大陷阱（必考易错）： ①把交点个数与Δ对应关系记错。 ②用图象法求方程近似根时误差过大。 二、基础随堂自检（当堂清零） 【自我卡点标记】不确定题号：________ 1. 抛物线y=x²-2x-3与x轴有__个交点。 2. 方程x²-2x-3=0的根是抛物线y=x²-2x-3与x轴交点的____。 3. 抛物线y=x²-2x+1与x轴有__个交点。 4. 若抛物线y=x²+2x+m与x轴只有一个交点，则m=____。 5. 抛物线y=x²+1与x轴的交点个数是____。 6. 方程x²-4=0的根是____，对应抛物线y=x²-4与x轴交点为____。 三、分层自主作业（分层落实） ━━━━━ ★ 基础巩固（全员必做） ━━━━━ 1. 二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，那么一元二次方程ax²+bx+c=0的根是（　）A.x₁=1,x₂=-3　B.x₁=-1,x₂=3　C.x₁=1,x₂=3　D.x₁=-1,x₂=-3 2. 抛物线y=x²-2x+m与x轴有两个交点，则m的取值范围是（　）A.m>1　B.m<1　C.m=1　D.m<-1 3. 已知二次函数y=x²-3x+m的图象与x轴的一个交点为(1,0)，则它与x轴的另一个交点是____。 4. 抛物线y=2x²-3x-5与x轴交点坐标是____。 5. 若抛物线y=x²-2x+k与x轴有两个交点，则k____1。 6. 二次函数y=x²-2x-3，当y=0时x=____。 7. 抛物线y=-x²+2x+3与x轴交点为____，与y轴交点为____。 8. 已知抛物线y=ax²+bx+c如图，对称轴为x=1，一个交点为(3,0)，则方程ax²+bx+c=0的另一根是____。 9. 用图象法求方程x²-2x-2=0的近似根（精确到0.1）。 10. 二次函数y=x²-4x+3，当y>0时x的取值范围是____。 11. 若关于x的二次函数y=kx²+2x-1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是____。 12. 抛物线y=x²-2x-3与直线y=1的交点个数是____。 ━━━━━ ★★ 能力提升（自主选做） ━━━━━ 1. 已知二次函数y=x²-2x-3。(1)求图象与x轴交点A、B的坐标；(2)求与y轴交点C；(3)求△ABC的面积；(4)当x取何值时y随x增大而减小？ 解： 2. 已知抛物线y=kx²+2x-1与x轴只有一个交点，求k的值。 解： 3. 已知二次函数y=x²-(m²+2)x+m²。(1)求证：不论m为何值，抛物线与x轴总有两个交点；(2)若抛物线与x轴的两个交点横坐标的平方和为6，求m的值。 解： 4. 已知二次函数y=ax²+bx+c的图象如图，它与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)，与y轴交于(0,-3)。(1)求解析式；(2)求顶点坐标；(3)当x取何值时y>0？ 解： 5. 用图象法求一元二次方程x²+x-1=0的近似根（精确到0.1），并与公式法结果比较。 解： ━━━━━ ★★★ 拓展探究（学优挑战） ━━━━━ 1. 已知二次函数y=x²-2mx+m²-1。(1)求证：不论m为何值，该二次函数的图象与x轴总有两个交点；(2)若该二次函数的图象经过坐标原点，求m的值；(3)在(2)的条件下，说出该二次函数的图象经过怎样的平移可以经过原点。 解： 2. 探究：已知抛物线y=ax²+bx+c经过A(-1,0)、B(3,0)、C(0,-3)。(1)求解析式；(2)点D(2,m)在抛物线上，求m；(3)在抛物线对称轴上是否存在点P，使PB+PC最短？若存在求P。 解： 3. 利用函数图象求方程x²-2x-2=0的实数根（精确到0.1），并写出抛物线y=x²-2x-2的顶点坐标。 解： 四、自习后置复盘（2-3分钟） 复盘项目 我的记录 改进措施 本节课最大收获 做错/不会的题 需要请教的问题 五、学以致用（可选·素养） 1. 某同学推铅球，铅球路线为抛物线，解析式为y=-1/12x²+2/3x+5/3。(1)铅球出手时距地面多高？(2)铅球最远被推多远？ 解： 2. 一个涵洞的截面是抛物线形，其解析式为y=-1/4x²+4。(1)涵洞顶部离地面多高？(2)涵洞底部宽多少？ 解： 3. 某飞机着陆后滑行的距离s(m)与时间t(s)的关系式为s=60t-1.5t²。(1)着陆后滑行多远才能停下来？(2)滑行300m用了多长时间？ 解： 六、自主学习评价 学生自评：□基础扎实 □做题稳定 □规避陷阱 □思维有提升 教师等级：□A □B □C □D 教师评语： ________________________________ ________________________________ 26.3 二次函数与一元二次方程（第1课时）参考答案 一、自习前置速忆 抛物线与x轴交点横坐标=方程的根；Δ决定交点个数。 二、基础随堂自检 1.2　2.横坐标　3.1　4.1　5.0　6.±2，(±2,0) 三、分层自主作业 ★ 基础巩固 1.A　2.B　3.(2,0)　4.(5/2,0),(-1,0)　5.<　6.-1或3　7.(-1,0)(3,0)，(0,3)　8.x=-1　9.x≈-0.7,2.7　10.x<1或x>3　11.k≥-1且k≠0　12.2个 ★★ 能力提升 1.(1)A(-1,0)B(3,0)；(2)C(0,-3)；(3)6；(4)x<1　2.k=-1　3.(1)Δ=4>0；(2)m=±1　4.(1)y=x²-2x-3；(2)(1,-4)；(3)x<-1或x>3　5.x≈0.6,-1.6 ★★★ 拓展探究 1.(1)Δ=4>0；(2)m=±1；(3)略　2.(1)y=x²-2x-3；(2)m=-3；(3)(1,-2)　3.x≈-0.7,2.7，顶点(1,-3) 五、学以致用 1.(1)5/3m；(2)10m　2.(1)4m；(2)8m　3.(1)600m；(2)约7.8s 学科网（北京）股份有限公司 $