第三十二章 锐角三角函数培优提升专题 2026-2027学年人教版数学 九年级下册

**基本信息** 以锐角三角函数概念为核心，通过“概念理解-应用建模-母题变式-综合拓展”四阶体系，融合数学文化与跨学科情境，提炼“定义转化-模型构造-变式迁移”解题方法，系统培养几何直观与推理能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |正弦、余弦与正切|5题（含数学文化、综合探究）|定义法、猜想-证明、拼图转化|从三角函数定义到直角三角形边角关系推导| |解直角三角形及其应用|4题（含护眼灯、潜望镜）|建模构造直角三角形、特殊角转化|从单一图形到实际场景的模型应用| |教材难题生长题|2例（含折叠、外接圆）|母题变式拓展、相似转化|从教材基础题到中考综合题的逻辑延伸| |全国视野培优特训|4题（含测量、动点）|动态问题分类讨论、跨学科建模|综合运用三角函数解决复杂情境问题|

第三十二章 锐角三角函数 培优提升专题1：正弦、余弦与正切 1.(数学文化)(2026江西模拟)将如图1 所示的七巧板，拼成如图2 所示的四边形ABCD，连接AC，则tan∠CAB = . 2.(2026北京统考)如图，已知△ABC的三个顶点均在小正方形的方格顶点上，那么 sin C 的值是 . 3.综合探究. 把(sinα)²记作:sin²α，根据图示信息完成下列各题： (1)如图1, (2)观察上述等式后猜想:在 Rt△ABC 中,∠C =90°,总有 (3)如图2,在 Rt△ABC中证明题(2)中的猜想; (4)已知在△ABC中,∠A+∠B=90°, 且 求 cos A的值.(运用以上结论计算) 4.(2026上海期中)一副三角尺由两块直角三角尺组成，其中一块是含30°角的直角三角形，另一块是含45°角的直角三角形.用这两块三角尺可以拼成一个四边形ABCD(如图),设AB=a. (1)用含a 的代数式直接表示:AD= ; (2)求∠BDC 的正切值. 5.(2026聊城模拟)如图,在△ABC中,AB =13,AC =8, BD⊥AC,垂足为点 D,E 是 BD 的中点，连接AE并延长，交边BC于点 F. (1)求tan∠EAD 的值; (2)求 的值. 培优提升专题2：解直角三角形及其应用 1.(2026 浙江期末)近几年中学生近视的现象越来越严重，为响应国家的号召，某公司推出了如图1所示的护眼灯，其侧面示意图(台灯底座高度忽略不计)如图2所示,其中灯柱BC=18 cm,灯臂CD=33 cm,灯罩DE=20cm,BC⊥AB,CD,DE分别可以绕点C,D 上下调节一定的角度.经使用发现：当∠DCB =140°,且ED∥AB时,台灯光线最佳.此时点 D 到桌面AB 的距离为 .(精确到0.1 cm;参考数值:sin50°≈0.77,cos50°≈0.64,tan50°≈1.19) 2.(跨学科融合)中国古代在公元前2 世纪就制成了世界上最早的潜望镜，西汉初年成书的《淮南万毕术》中有这样的记载：“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，其工作方法主要利用了光的反射原理.如图，AB呈水平状态，CD 为镜面的法线，∠BCD=∠ACD =41°,∠CAE =37°,AE⊥AB,已知AB = 米，求镜面上点 C 到水盆A 的距离.(结果精确到0.1 米;参考数据: sin 82°≈0.99,cos82°≈0.14,t an82°≈7.12) 3.(2025 清远模拟)某次演习中，中国人民解放军在A城市周围B，C，D三个区域演习，B在A正南方向，C在A正东方向，D在A东北方向，B在C南偏西60°方向，D在C北偏西30°方向100 海里处.(参考数据： (1)求AD 的长；(结果保留1位小数) (2)由于演习过程中的特殊任务，扫码批改+错题本从C到A需要经过D或B，那么C到A的两条路线C-D-A和C-B-A 哪一条最短? 4.(2026山西模拟)风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义.某电力部门在一处坡角为30°的坡地新安装了一架风力发电机.某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，如图为测量示意图.已知斜坡CD长16米，在地面点A 处测得风力发电机塔杆顶端P点的仰角为45°，利用无人机在点A 的正上方53米的点 B 处测得P 点的俯角为18°，求该风力发电机塔杆 PD的高度.(参考数据: sin 18°≈0.309,cos 18°≈0.951,t an18°≈0.325) 培优提升专题3：教材难题生长题 近几年广东中考省卷中，大多解答题是由教材的课后难题演变过来的，因此，我们在平时的练习中除了要加强对教材母题的训练，还要关注母题的变式，特别是难题的变式拓展.本书特在培优作业本每章设置专题，精选人教版教材中的难题，并进行解析拓展，帮助学生更好地掌握和提升思维. 教材难题 【例1】(人教9下P64综合运用)(运算能力、几何直观、空间观念、应用意识)如图，折叠矩形ABCD 的一边AD，使点D 落在BC边的点 F 处.已知折痕.AE=5\sqrt{5}cm,且 (1)△AFB与△FEC有什么关系? (2)求矩形ABCD的周长. 解题思路：(1)由矩形的性质与折叠的性质，易得两组对应角相等，继而证得相似； (2) 通过三角函数值巧设EC=3x cm,FC=4x cm,求得x的值,继而求解. 难题生长 1.综合运用. 如图，四边形OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A在x轴上，点C在y轴上，将边 BC折叠，使点 B 落在边 OA 上的点 D 处，已知折痕 且 (1)判断△OCD 与△ADE是否相似? 请说明理由; (2)求直线CE与x轴的交点 P 的坐标. 教材难题 【例2】(人教9下P64拓广探索)(几何直观、应用意识、推理能力)如图，已知锐角△ABC. (1)探究 之间的关系； (2)设△ABC 的外接圆的直径为1,则 sin A=a,sin B=b,sin C=c.为什么? 解题思路：(1)分别作AC和BC边上的高，构建直角三角形，通过共高将边和角的三角函数值关联起来列出等式，变形可得出结论；(2)在圆中，通过圆周角定理转化角，再求正弦即可. 难题生长 2.知识再现：如图1，小颖学习小组通过之前的学习探究，已经知道：在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a,b,c,则 (1)解决问题：如图2，小颖学习小组为测量点A到河对岸点B的距离，选取与点A在河岸同一侧的点C，测得AC=60m,∠A=75°,∠C=60°,请用知识再现中的结论,求点A 到点 B 的距离; (2)推理探究：小颖学习小组又利用圆的有关性质也得到了类似的结论： 如图3,△ABC的外接圆半径为R,连接CO并延长交⊙O 于点D,连接DB,则∠D=∠A, ∵CD为⊙O 的直径,∴ ∠DBC=90°,在 Rt△DBC中,∵ 即 同理： 则有 ①请你将这一结论用文字语言描述出来； ②小颖学习小组在证明中略去了部分过程，请你把‘ 的证明过程补写出来(运用图4)； (3)拓展应用:如图5,在四边形ABCD中,AB=2,BC=3,CD=4,∠B=∠C=90°,则过A,B,D三点的圆的半径等于 . 培优提升专题4：全国视野培优特训 1.(2026东莞模拟)综合与实践. 中国国产游戏3A 大作《黑神话：悟空》一经上线，即火爆全球，反映了中国文化的对全世界的吸引力.作为重要取景地的济南四门塔是中国唯一现存的隋代石塔，也是中国现存最早、保存最完整的单层亭阁式佛塔.某兴趣小组利用所学知识开展以“测量四门塔的高度”为主题的活动，并写出如下报告： 主题 测量四门塔的高度 测量工具 测角仪、无人机等 测量 示意图 测量过程 如图2，测量小组使无人机在点A 处以10 m/s的速度竖直上升8 s后，飞行至点B 处，在点 B 处测得塔顶 D 的俯角为20°，然后沿水平方向向左飞行至点C处，在点 C 处测得塔顶D 和点A 的俯角均为45°. 说明 点A，B，C，D，E均在同一竖直平面内，且点A,E 在同一水平线上,DE⊥AE.结果精确到 1m .(参考数据: sin 20°≈0.34,cos20°≈0.94,tan20°≈0.36) (1)求无人机从点 B 处到点 C处的飞行距离； (2)求四门塔DE 的高度. 2.(2026 东莞一模)如图1 是我国古 扫码批改+错题本代提水的器具桔槔，创造于春秋时期.它选择大小两根竹竿，大竹竿的中点架在作为杠杆的竹梯上.大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿(小竹竿始终与地面垂直)，小竹竿上悬挂水桶.其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井.当放松大竹竿末端时，小竹竿下降，水桶就会回到井里.如图2是桔棒的示意图，大竹竿AB=6米,O为AB的中点,竹梯OD 垂直地面 EF. (1)当水桶在井里时,∠AOD=120°,求此时支点O到小竹竿AC 的距离； (2)如图3，当水桶提到井口时，大竹竿AB 旋转至A₁B₁的位置,小竹竿AC 至 A₁C₁ 的位置,此时 ，求点A 上升的高度.(结果都精确到0.1m ;参考数据:3≈1.73,sin37°≈0.6,cos37°≈0.8,tan37°≈0.75) 3.(2026 绵阳一模)如图,在 Rt△ABC 中,∠B =90°,AE平分∠BAC交BC于点E,O 为AC上一点,经过点A,E的⊙O分别交AB,AC 于点D,F. (1)求证:BC是⊙O 的切线; (2)若CF=2, 求AE的长. 4.(2026梅州期末)综合运用. 如图,在△ABC中,AB =AC =6 cm,BC=8cm ,点 P从点 B 出发,沿线段BC 以2cm /s的速度向终点 C运动,点 Q 从点 C 出发,沿着 C→A→B 的方向以3c m/s 的速度向终点 B 运动,P,Q 同时出发,设两动点运动的时间为t(s),△CPQ 的面积为S(cm²). (1) sin B= ; (2)求S关于t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围. 第三十二章 锐角三角函数 培优提升专题1：正弦、余弦与正切 月 3.(1)1 1 1 (2)1 (3)证明:: 且 则 (4)解:在△ABC中,∠A+∠B=90°,∴∠C=90°. 解得 或 舍去)， 4.解: (2)如图，过点 B作CD的垂线，垂足为点M， ∵AB=a,且△ABC是等腰直角三角形, ∴BC=AB=a, ∵∠BCA=45°,∠ACD=90°,∴∠BCM=45°, ∴△BCM 是等腰直角三角形,.. 在Rt△ACD中, 在 Rt△BDM中 5.解:(1)∵BD⊥AC,∴∠ADE=90°, 在Rt△ADB中,AB =13,cos∠BAC=\frac{5}{13},∴AD=5,由勾股定理得 ∵E是BD的中点,∴ED=6, (2)如图,过点D作DG∥AF交BC于点G, ∵AC=8,AD=5,.. CD=3, ∵DG∥AF,∴AD=0\frac{6}{6}=\frac{3}{5} 设CG=3x,FG=5x,则CF=8x,∵EF∥DG,BE=ED, 培优提升专题2：解直角三角形及其应用 1.43.4 cm 2.解:如图,过点A 作AF⊥BC,垂足为 F,则∠AFB =∠AFC=90°, ∵EA⊥AB,∴∠EAB=90°, ∵∠BCD=∠ACD=41°,∴∠ACB=82°, ∵∠CAE=37°,∴∠CAB=∠EAB-∠EAC=53°, ∴∠ABC=180°-∠CAB-∠ACB=45°, 在Rt△ABF中,∠ABC=45°, (米), 在Rt△ACF中,∠ACB=82°, ∴AC=AF÷sin82°≈11÷0.99≈11.1(米), ∴镜面上点 C 到水盆A的距离约为11.1米. 3.解:(1)如图,过点D作AC的垂线交AC于点E,根据题意得∠EDC=30°,CD=100海里,∠DAE=45°, 在 Rt△DCE中,DE=CD·cos∠EDC=100×cos30°=100× (海里), 在 Rt△ADE中,∵∠DAE=45°, (海里), (海里)≈122.5(海里). (2)由(1)可知CD=100海里,AD=50\sqrt{6}海里， 海里,CE=50海里,又∠ACB=30°,AB⊥AC, ∴走C-D-A 路线时, (海里), 走C-B-A路线时, 海里， 海里)，BC=2AB=300+100\sqrt{3}海里)， (海里), ∴AD+CD<AB+BC,即路线C-D-A最短. 4.解:如图,延长PD交AC于点 F,延长DP交BE于点G, 由题意得PF⊥AF,DG⊥BE,AB=FG=53米,AF=BG,设AF=BG=x米, 在Rt△CDF中,∠DCF=30°,CD=16米, (米), 在Rt△PAF中,∠PAF=45°, ∴PF=AF=x米, 在Rt△BPG中,∠GBP=18°, ∴PG=BG·tan18°≈0.325x(米), ∴FG=PF+PG=x+0.325x=1.325x(米), ∴1.325x=53,解得x=40,∴PF=40米, ∴PD=PF-DF=40-8=32(米). 答：该风力发电机塔杆 PD 的高度约为32米. 培优提升专题3：教材难题生长题 【例1】解:(1)△AFB∽△FEC.理由如下: ··四边形ABCD 是矩形, ..∠B=∠C=∠D=90°,∴∠BAF+∠AFB=90°, 由折叠的性质可得∠AFE=∠D=90°, ∴∠AFB+∠EFC=90°,∴∠BAF=∠EFC, ∴△AFB∽△FEC. 设EC=3xcm,FC=4xcm,∴EF=5xcm, 由折叠的性质可得,DE=EF=5x cm, ∴AB=CD=DE+CE=8x(cm), ∵∠BAF=∠EFC, ∴BF=6xcm,.. ∴x=1, ∴AD=BC=AF=10xcm=10cm,AB=CD=8xcm=8cm,∴矩形ABCD的周长为10+10+8+8=36(cm). 1.解:(1)△OCD与△ADE 相似.理由如下: 由折叠知∠CDE=∠B=90°,∴∠CDO+∠EDA =90°, ∵∠CDO+∠OCD=90°,∴∠OCD=∠EDA. ∵∠COD=∠DAE=90°,∴△OCD∽△ADE. 设AE=3t,则AD=4t,由勾股定理得DE=5t， ∴OC=AB=AE+EB=AE+DE=3t+5t=8t. 由(1)△OCD∽△ADE,得 ∴CD=10t.在Rt△DCE中，由勾股定理得 解得t=1(负值舍去). ∴OC=8,AE=3,OA=BC=CD=10,∴C(0,8),E(10,3),设直线 CE的解析式为y= kx+b, 代入得 解得 当y=0时,x=16,则点 P的坐标为(16,0). 【例2】解:(1)如图,过点A作AD⊥BC于点D, 在Rt△ABD中,sinB=ADc,∴AD=c·sinB, 在Rt△ACD中,sin C=△Db,∴AD=b· sin C, ∴c·sinB=b·sinC,∴sinB=sinC 同理,过点 B作BE⊥AC于点E,可得 (2)如图,连接CO并延长交⊙O 于点 F,连接BF,则∠F=∠A,CF=1, ∵CF为⊙O 的直径,∴∠FBC=90°, 在Rt△FBC中, ∴sinA=a,同理,sinB=b, sin C=c. 2.(1)解:∵∠B=180°-∠A-∠C=180°-75°-60°=45°,又 解得AB=30\sqrt{6}∴点A 到点 B的距离为 (2)①解：在一个锐角三角形中，各边和它们的对角的正弦值的比值都相等，等于这个三角形的外接圆的直径. ②证明：如图，连接AO并延长交⊙O于点 D，连接CD，∴∠B=∠D, ∵AD为⊙O的直径,∴∠ACD=90°, 在Rt△ACD中, 【提示】连接DB,作AE⊥CD交CD 于点 E,根据 求解. 培优提升专题4：全国视野培优特训 1.解:(1)由题意可知AB=10×8=80(m),在 Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠ACB=45°, ∴△ABC是等腰直角三角形,∴BC=AB =80 m. 答：无人机从点 B处到点C处的飞行距离为80 m. (2)如图，延长ED交BC的延长线于点 F， 则四边形ABFE 为矩形,∴EF=AB=80m,∠F=90°,设DE=xm',则DF=(80-x)m, 在Rt△DFC中,∠DCF=45°,则CF=DF=(80-x)m, ∴BF=CF+BC=(160-x)m, 在Rt△BFD中,∠FBD=20°,∵tan∠FBD=DEF, ∴DF=BF·tan∠FBD,即80-x≈(160-x)×0.36,∴ 80-x≈57.6-0.36x,解得x≈35. 答：四门塔DE 的高度约为35 m. 2.解:(1)如图1,过点O作OG⊥AC,垂足为G,∴∠AGO=90°, 由题意得AC∥OD,∴∠DOG=∠AGO=90°, ∵∠AOD=120°,∴∠AOG=∠AOD-∠DOG=30°, ∵O为AB的中点, 米， ∴在 Rt△AOG中 米， (米), ∴此时支点O到小竹竿AC的距离约为2.6米. (2)如图2,设OG交A₁C₁于点H,由题意得( 米， 在Rt△OA₁H中,米),∵AG=1.5米, (米), ∴点A 上升的高度约为0.9米. 3.(1)证明:如图,连接OE,∵AE平分∠BAC交BC于点 E,∴∠OAE=∠BAE,∵OA=OE,∴∠OAE=∠OEA,∴∠BAE=∠OEA,∴OE∥AB,∵∠B=90°,∴∠OEC=90°,∴OE⊥BC,又∵OE是⊙O的半径,∴BC是⊙O的切线. (2)解:如图,连接EF,则∠AEF=90°, ∵OE=OF,∴OE=OF=3, ·∠BAE=∠OAE,∴cos∠BAE=cos∠OAE,即 解得 (舍去负数)， ∴AE的长为 4.解: 分两种情况： 当0<t≤2时,如图1,过点Q作QE⊥BC,垂足为点E, 由题意得(CQ=3t,BP=2t,∴CP=BC-BP=8-2t,在Rt△CQE中, 当2<t≤4时,如图2,过点Q作QF⊥BC,垂足为点 F, 由题意得CA+AQ=3t,BP=2t,∴CP=BC-BP=8-2t,BQ=AB+AC-(CA+AQ)=12-3t, 在Rt△BQF中, 16 综上所述， 1 学科网（北京）股份有限公司 $