26.2.2 第1课时 二次函数y=ax²+k的图象和性质 练习 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 本同步练通过“夯实基础-能力提升-思维拓展”三层递进设计，聚焦二次函数y＝ax²＋k的图象与性质，从概念理解到综合应用，培养抽象能力、推理意识与创新意识，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |夯实基础|图象识别、平移规律、顶点坐标等单一知识点|以选择、填空为主，如第1题图象辨析（几何直观）、第4题平移解析式（符号意识）| |能力提升|函数性质综合、跨函数结合（一次函数）、实际情境应用|如第10题一次函数与二次函数图象辨析（推理意识）、第12题马头墙抛物线模型（模型意识）| |思维拓展|函数交点、面积计算、最短路径等跨知识整合|如第15题与正比例函数交点及PA+PC最小值问题（创新意识、应用意识）|

第1课时　二次函数y＝ax2＋k的图象和性质（详解版） 夯实基础 1．二次函数y＝5x2+1的图象大致是（　　） A．B． C． D． 【解析】解：由题知， 因为二次函数的解析式为y＝5x2+1 所以此二次函数的图象是一条以坐标（0，1）为顶点，且开口向上的抛物线， 显然只有C选项符合题意． 故选：C． 2．将抛物线y＝x2+2向下平移3个单位长度，所得新抛物线的函数解析式是（　　） A．y＝x2﹣1 B．y＝x2+5 C．y＝（x﹣3）2+2 D．y＝（x+3）2+2 【解析】解：由题意得，平移后所得新抛物线的函数解析式是y＝x2+2﹣3＝x2﹣1． 故选：A． 3．关于二次函数y＝﹣2x2+3，下列说法中正确的是（　　） A．它的开口方向是向上 B．当x＜﹣1时，y随x的增大而增大 C．它的顶点坐标是（﹣2，3） D．当x＝0时，y有最小值是3 【解析】解：A、∵二次函数y＝﹣2x2+3中，a＝﹣2＜0，∴此抛物线开口向下，故本选项错误； B、∵抛物线的对称轴为直线x0，∴当x＜﹣1时函数图象在对称轴左侧，y随x的增大而增大，故本选项正确； C、抛物线的顶点坐标为（0，3），故本选项错误； D、∵抛物线开口向下，∴此函数有最大值，故本选项错误． 故选：B． 4．将抛物线y＝﹣2x2向上平移3个单位长度，所得抛物线解析式为 y＝﹣2x2+3　 ． 【解析】解：∵抛物线y＝﹣2x2向上平移3个单位长度， ∴平移后的抛物线顶点坐标为（0，3）， ∴得到的抛物线是解析式为y＝﹣2x2+3． 故答案为：y＝﹣2x2+3． 5．已知抛物线y＝x2+a﹣1的顶点在x轴的下方，则a的取值范围是a＜1　 ． 【解析】解：∵y＝x2+a﹣3， ∴抛物线对称轴为y轴， ∴顶点坐标为（0，a﹣1）， ∵顶点在x轴的下方， ∴a﹣1＜0， 解得a＜1， 故答案为：a＜1． 6．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝x2﹣3上，且0＜x1＜x2，则y1　＜　 y2.（填“＜”或“＞”或“＝”） 【解析】解：由题意得抛物线y＝x2﹣3的对称轴为直线x＝0， 又a＝1＞0， ∴抛物线y＝x2﹣3开口向上． ∴当x＞0时y随x的增大而增大． ∴对于A、B当0＜x1＜x2时，y1＜y2． 故答案为：＜． 7．对于二次函数y＝﹣2x2+4，当﹣2＜x≤1时，y的取值范围是 　﹣4＜y≤4　 ． 【解析】解：∵二次函数y＝﹣2x2+4， ∴该函数图象开口向下，当x＞0时，y随x的增大而减小，当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＝0时，取得最大值4， ∴当x＝﹣2时，y＝﹣4，当x＝0时，y＝4，当x＝1时，y＝2， ∴当﹣2＜x≤1时，y的取值范围是﹣4＜y≤4， 故答案为：﹣4＜y≤4． 8．我们一般会通过列表、描点、连线的方式来画函数图象，并结合图象研究函数的性质．请按要求完成对二次函数y＝x2﹣1的研究． （1）列表： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y … 8 3 0 m 0 3 8 … 其中，m＝ 　﹣1　 ． 根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数y＝x2﹣1的图象． 【解析】解：（1）当x＝0时，y＝﹣1， ∴m＝﹣1， 画出函数的图象如图： 故答案为：﹣1； 能力提升 9．关于函数y＝2x2﹣3，y的图象及性质，下列说法不正确的是（　　） A．它们的对称轴都是y轴 B．对于函数，当x＞0时，y随x的增大而减小 C．抛物线y＝2x2﹣3不能由抛物线y平移得到 D．抛物线y＝2x2﹣3的开口比y的开口宽 【解析】解：在y＝2x2﹣3中，对称轴为y轴，在y中对称轴为y轴，开口向下，当x＞0时，y随x的增大而减小， 故A、B正确； ∵2， ∴抛物线y＝2x2﹣3不能由抛物线y平移得到，故C正确； ∵2＞||， ∴抛物线y＝2x2﹣3的开口比y的开口窄，故D不正确； 故选：D． 10．一次函数y＝x+a与二次函数y＝ax2﹣a在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A．B． C． D． 【解析】解：由一次函数y＝x+a可知，一次函数的图象与x轴交于（﹣a，0），与y轴交于点（0，a），由二次函数y＝ax2﹣a可知，抛物线与x轴交于（﹣1，0）和（1，0），顶点为（0，﹣a）， ∴A、C、D不可能， 选项B中，由直线经过一、三、四象限可知a＜0，由抛物线可知开口向下，顶点在y的正半轴，则a＜0，故B有可能； 故选：B． 11．已知二次函数y＝ax2+9，当x分别取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等．则当x取x1+x2时，函数值为　9　 ． 【解析】解：二次函数y＝ax2+9的对称轴为y轴，顶点坐标为（0，9）， ∵x取x1，x2（x1≠x2）时函数值相等， ∴x1，x2互为相反数， ∴x1+x2＝0， ∴x＝x1+x2＝0时，y＝9． 故答案为：9． 12．徽派建筑中的马头墙轮廓部分可近似看作一条抛物线．某马头墙的轮廓线可用二次函数y（单位：米）描述，其中x是水平距离，y是高度，则该抛物线的顶点坐标为　（0，4）　 ． 【解析】解：顶点横坐标， 代入x＝0得， 故顶点坐标为（0，4）． 故答案为：（0，4）． 13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+5与y轴交于点A，过点A且与x轴平行的直线交抛物线于点B，C，则BC的长为 　10　 ． 【解析】解：∵抛物线y＝ax2+5与y轴交于点A， ∴A点坐标为（0，5）． ∵过点A且与x轴平行的直线交抛物线于点B，C， 当y＝5时，， 解得：x＝±5， ∴B点坐标为（﹣5，5），C点坐标为（5，5）， ∴BC＝5﹣（﹣5）＝10． 故答案为：10． 14．函数． （1）在平面直角坐标系中画出它的图象； （2）求当自变量时，函数y的值； （3）求当函数y＝8时，自变量x的值； （4）当时，y的取值范围为0＜y≤8，则t的取值范围为　2＜t≤10　 ． 【解析】解：（1）如图所示， ； （2）因为， 所以当x时，y； （3）当x≤2时， 由x2+2＝8得，x或x（舍去）； 当x＞2时， 由x﹣2＝8得，x＝10， 综上所述，当函数y＝8时，自变量x的值为或10； （4）由题知， 因为时，y的取值范围为0＜y≤8， 且当x和x＝10时的函数值都是8， 所以2＜t≤10． 故答案为：2＜t≤10． 思维拓展 15．如图，已知正比例函数y＝2x的图象与抛物线y＝ax2+3相交于点A（1，b）． （1）求a与b的值； （2）若点B（m，4）在函数y＝2x的图象上，抛物线y＝ax2+3的顶点是C，求△ABC的面积； （3）若点P是x轴上一个动点，求当PA+PC最小时点P的坐标． 【解析】解：（1）∵点A（1，b）在函数y＝2x的图象上， ∴b＝2×1＝2， ∵点A（1，b）在抛物线y＝ax2+3上， ∴2＝a×12+3， 解得，a＝﹣1； （2）∵点B（m，4）在函数y＝2x的图象上， ∴4＝2m，得m＝2， ∴点B（2，4）， ∵抛物线y＝﹣x2+3的顶点是C， ∴点C（0，3）， ∵点A的坐标为（1，2）， ∴△ABC的面积是：2×（4﹣2）． （3）设点C关于x轴的对称点为C′， 则C′的坐标为（0，﹣3）， 连接AC′交x轴于点P，此时PA+PC最小， 设直线AC′的解析 式是y＝kx+n，把C′（0，﹣3），A（1，2）的 坐标代入， 得 ， 解得 ， ∴y＝5x﹣3，当 y＝5x﹣3＝0 时，． ∴点P的坐标是 ． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1课时　二次函数y＝ax2＋k的图象和性质（原卷版） 夯实基础 1．二次函数y＝5x2+1的图象大致是（　　） A．B． C． D． 2．将抛物线y＝x2+2向下平移3个单位长度，所得新抛物线的函数解析式是（　　） A．y＝x2﹣1 B．y＝x2+5 C．y＝（x﹣3）2+2 D．y＝（x+3）2+2 3．关于二次函数y＝﹣2x2+3，下列说法中正确的是（　　） A．它的开口方向是向上 B．当x＜﹣1时，y随x的增大而增大 C．它的顶点坐标是（﹣2，3） D．当x＝0时，y有最小值是3 4．将抛物线y＝﹣2x2向上平移3个单位长度，所得抛物线解析式为 　 　 ． 5．已知抛物线y＝x2+a﹣1的顶点在x轴的下方，则a的取值范围是　 　 ． 6．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝x2﹣3上，且0＜x1＜x2，则y1　 　 y2.（填“＜”或“＞”或“＝”） 7．对于二次函数y＝﹣2x2+4，当﹣2＜x≤1时，y的取值范围是 　 　 ． 8．我们一般会通过列表、描点、连线的方式来画函数图象，并结合图象研究函数的性质．请按要求完成对二次函数y＝x2﹣1的研究． （1）列表： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y … 8 3 0 m 0 3 8 … 其中，m＝ 　 　 ． 根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数y＝x2﹣1的图象． 能力提升 9．关于函数y＝2x2﹣3，y的图象及性质，下列说法不正确的是（　　） A．它们的对称轴都是y轴 B．对于函数，当x＞0时，y随x的增大而减小 C．抛物线y＝2x2﹣3不能由抛物线y平移得到 D．抛物线y＝2x2﹣3的开口比y的开口宽 10．一次函数y＝x+a与二次函数y＝ax2﹣a在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A．B． C． D． 11．已知二次函数y＝ax2+9，当x分别取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等．则当x取x1+x2时，函数值为　 　 ． 12．徽派建筑中的马头墙轮廓部分可近似看作一条抛物线．某马头墙的轮廓线可用二次函数y（单位：米）描述，其中x是水平距离，y是高度，则该抛物线的顶点坐标为　 　 ． 13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+5与y轴交于点A，过点A且与x轴平行的直线交抛物线于点B，C，则BC的长为 　 　 ． 14．函数． （1）在平面直角坐标系中画出它的图象； （2）求当自变量时，函数y的值； （3）求当函数y＝8时，自变量x的值； （4）当时，y的取值范围为0＜y≤8，则t的取值范围为　 　 ． 思维拓展 15．如图，已知正比例函数y＝2x的图象与抛物线y＝ax2+3相交于点A（1，b）． （1）求a与b的值； （2）若点B（m，4）在函数y＝2x的图象上，抛物线y＝ax2+3的顶点是C，求△ABC的面积； （3）若点P是x轴上一个动点，求当PA+PC最小时点P的坐标． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 26.2.2　二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质 第1课时　二次函数y＝ax2＋k的图象和性质 【1分钟知识回顾】 1．函数y＝－2x2的图象开口向__下__，对称轴是__y轴__，顶点坐标是__(0，0)__；在对称轴的左侧，y随x的增大而__增大__，在对称轴的右侧，y随x的增大而__减小__． 2．直线y＝x向上平移1个单位长度可以得到直线__y＝x＋1__． 猜想：抛物线y＝x2向上平移1个单位长度可得到抛物线的解析式为__y＝x2＋1__. 【教学目标】 课题 26.2.2　第1课时　二次函数y＝ax2＋k的图象和性质 授课人 素养目标 1.会画二次函数y＝ax2和y＝ax2＋k的图象． 2．理解a，k对二次函数图象的影响，能正确说出两个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 3．了解二次函数y＝ax2的图象上下平移的规律． 4．会用“数形结合”的思想比较二次函数y＝ax2与y＝ax2＋k的解析式、函数对应表和图象关系. 教学重点 画二次函数y＝ax2和y＝ax2＋k的图象，比较它们之间的异同，了解它们的性质. 教学难点 对二次函数y＝ax2＋k的图象与性质的理解，掌握抛物线上下平移的规律. 授课类型 新授课 课时 【课堂流程】 教学步骤 师生活动 设计意图 回顾 1.总结形如二次函数y＝ax2(a≠0)的性质： 2.二次函数y＝x2的图象与y＝－x2的图象关于x轴对称. y=ax²(a≠0) a>0 a<0 开口方向 向上 向下 顶点坐标 (0,0) (0,0) 对称轴 y轴 y轴 最值 最小值0 最大值0 增减性 图象特征与函数值 的变化 当x<0时，抛物线从左到右下降，y随x的增大而减小；当x> 0时，抛物线从左到右上升，y随 x的增大而增大. 当x<0时，抛物线从左到右上 升，y随x的增大而增大；当x> 0时，抛物线从左到右下降，y随 x的增大而减小. 3.二次函数y＝x2＋2和y＝x2－2的图象与二次函数y＝x2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同？ 学生自主解答问题1，2，教师根据学生的回答做好总结，同时提出问题3，从而引入新课. 通过复习二次函数y＝ax2的图象及其性质，帮助学生巩固开口方向、对称轴、顶点及增减性等核心知识， 教学步骤 师生活动 设计意图 活动一：创设情境、导入新课 　　 【课堂引入】 问题：在同一平面直角坐标系中，画出二次函数y＝x2＋2和y＝x2－2的图象． 师生活动： 先让学生回顾画二次函数图象的步骤：列表、描点、连线，再画出二次函数y＝x2＋2和y＝x2－2的图象． 1．列表：教师给出表格，学生填表． 2.描点：用表格中的各组对应值作为点的坐标，进行描点. x … －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 … y＝x2＋2 … 10 6.5 4 2.5 2 2.5 4 6.5 10 … y＝x2－2 … 6 2.5 0 －1.5 －2 －1.5 0 2.5 6 … 3.连线：用平滑的曲线顺次连接各点，得到二次函数y＝x2＋2和y＝x2－2的图象. 让学生按照列表、描点、连线的步骤依次画出各个二次函数的图象，在作图过程中培养规范作图的技能， 活动二：实践探究、交流新知 一、探究新知 1.展示问题：观察二次函数y＝x2＋2和y＝x2－2的图象，探究二次函数y＝x2＋2与y＝x2－2的图象之间的关系. (1)先让学生观察函数的图象，研究自变量相同的两个二次函数图象上点的位置有何关系. (2)二次函数y＝x2＋2和y＝x2－2的图象之间有什么关系？ 学生自主归纳：二次函数y＝x2＋2的图象可以看成是将二次函数y＝x2－2的图象向上平移4个单位长度得到的. 2.展示问题：(1)抛物线y＝x2＋2和y＝x2－2的开口方向、对称轴和顶点坐标各是什么？ (2)抛物线y＝x2＋2和y＝x2－2与抛物线y＝x2有什么关系？ 教师指导学生观察函数图象，学生自主进行回答，达成共识： (1)开口方向都向上，对称轴都是y轴，顶点坐标分别是(0，2)，(0，－2). (2)把抛物线y＝x2向上平移2个单位长度得到抛物线y＝x2＋2，向下平移2个单位长度得到抛物线y＝x2－2. 二、归纳总结 3.展示问题：抛物线y＝ax2＋k和y＝ax2有什么关系？ 师生活动：学生分组交流、讨论，做好总结归纳，教师指导各个小组发表见解，最后师生共同总结： (1)开口方向相同，对称轴都是y轴，顶点不同，顶点坐标分别是(0，k)，(0，0). (2)当k>0时，抛物线y＝ax2＋k是由抛物线y＝ax2向上平移k个单位长度得到的；当k<0时，抛物线y＝ax2＋k是由抛物线y＝ax2向下平移|k|个单位长度得到的. 1.在探究y＝ax2＋k图象与性质的过程中，引导学生认真观察图象、积极思考并大胆表达， 2.鼓励学生先画图，经历画图的过程，培养学生的动手能力．同时，尽量展示学生的作品，让学生归纳总结，通过观察、对比得到二次函数y＝ax2＋k与y＝ax2图象的共同点和不同点，从而得出二次函数y＝ax2＋k的性质．培养学生的分析能力和总结能力. 活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】 例1　已知抛物线y＝2x2＋1. (1)开口向__上__； (2)对称轴是__y轴__； (3)顶点坐标是__(0，1)__； (4)当x＜0时，y随x的增大而__减小__，当x＞0时，y随x的增大而__增大__； (5)当x＝__0__时，函数y的最__小__值是__1__. 例2　抛物线y＝－x2＋3不具有的性质是(D) A．开口向下 B．对称轴是y轴 C．当x＞0时，y随x的增大而减小 D．函数有最小值 例3　在平面直角坐标系中，将抛物线y＝3x2向上平移2个单位长度，得到的抛物线解析式为__y＝3x2＋2__. 学生自主解答问题后，分组展开讨论，待学生充分交流后，教师组织学生展示自己的答案，共同得到正确的结论． 【变式训练】 1．已知抛物线y＝x2＋c经过点(0，2)，则c＝2． 2．抛物线y＝－2x2－4可由抛物线y＝－2x2向__下__平移__4__个单位长度得到. 3．已知A(－1，y1)，B(，y2)，C(2，y3)三点都在二次函数y＝ax2－1(a＞0)的图象上，那么y1，y2，y3之间的大小关系是y1＜y2＜y3．(用“＜”连接) 4．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋k与二次函数y＝kx2＋a的图象可能是(C) 给予学生一定的时间去思考，充分讨论，争取让学生自己得到正确答案，并对学习有困难的学生适当引导、点拨. 1.学生在掌握基础知识和基本技能的基础上，怀着浓厚的兴趣去进行深层次的合作探究和体验解决问题的过程，提高了思维能力．　 注意：二次函数的图象在平移的过程中，解析式中a的值不变 2．从不同的角度考察，更加牢固地理解和掌握二次函数y＝ax2＋k的图象和性质． 3．对二次函数与一次函数图象的综合、二次函数对称性的提升练习，加强学生对函数解析式中的字母系数与图象关系的认识. 活动四：随堂检测 【随堂检测】 1.抛物线y＝2x2－3的顶点在(D) A．x轴正半轴上 B．x轴负半轴上 C．y轴正半轴上 D．y轴负半轴上 2．关于抛物线y＝－x2＋6，下列说法正确的是(B) A．开口向上 B．对称轴是y轴 C．有最小值 D．当x<0时，y随x的增大而减小 3．抛物线y＝－2x2－3的开口向下，对称轴是y轴，顶点坐标是(0，－3)．当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小． 4．将抛物线y＝2x2－1向上平移m个单位长度后，得到新的抛物线y＝2x2＋3，则m＝4． 5．小迪同学以二次函数y＝2x2＋8的图象为灵感设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿．若AB＝4，DE＝3，求杯子的高CE. 解：由题意可得，点D的坐标为(0，8)， ∵AB＝4，∴点B的横坐标为2. 当x＝2时，y＝2×22＋8＝16.∴B(2，16)． ∴DC＝16－8＝8.∴CE＝DC＋DE＝8＋3＝11. 学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解. 通过设置当堂训练，进一步巩固所学知识，同时检测学习效果，做到“堂堂清”. 课堂小结 1.课堂小结： (1)在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋k的图象与二次函数y＝ax2的图象具有什么关系？ (2)你能说出二次函数y＝ax2＋k具有哪些性质吗？ 教师总结：二次函数的图象及性质，抛物线的平移规律． 2．布置作业： 教材第38页练习. 通过课堂小结引导学生回顾用一元二次方程解决实际问题的步骤与方法，自主归纳本节课的学习重点， 教学反思 下课后我翻看了学生的课堂练习，结合这节课的设计，情况可以概括为三点。第一，目标达成总体较好：多数学生能通过作图感受 k 对图象位置的影响，理解“上加下减”的平移规律，并能说出 y＝ax2＋k 的开口方向、对称轴、顶点坐标，数形结合的思路初步建立。第二，存在问题集中在表述的规范性上：部分学生在描述增减性时，不能结合对称轴分左右完整表述，常常只说“y 随 x 的增大而增大或减小”而不交代范围；此外，对 a、k 共同影响图象位置的理解仍停留在表面，综合分析能力不足。第三，下阶段需要在两个方向上加强：一是把“先画图、再分析、后描述”固定为解题习惯，训练完整的表述；二是设计分层练习，从图象识别逐步过渡到综合辨析，用对比表格梳理 a、k 对图象的影响，帮助学生系统掌握知识。 通过课堂练习反查教学，把表述规范与综合分析作为下阶段的训练重点。 学科网（北京）股份有限公司 $