第11讲 因式分解的常用方法 课后练习（学生版+教师版）2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦因式分解基础方法，以"概念辨析-技能应用-思想拓展"为路径，通过基础题型与分层进阶设计，强化运算能力与推理意识，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|因式分解定义、提公因式法、公式法|单选题考查概念辨析（如第2题定义判断），填空题直接应用（如第6题分解因式）| |提升|分组分解、整体思想|解答题融合方法迁移（如第7题模仿分组），情境化应用（第5题"因式分解密码"培养模型意识）| |综合|多方法综合、实际计算|解答题渗透数学思维（如第10-11题整体思想），结合计算应用（第12题利用因式分解简化运算）|

【课后练】拔高-因式分解的常用方法--解析版 一、单选题 1．长和宽分别为的长方形，它的周长为14，面积为10，则的值为（    ） A．2560 B．490 C．80 D．49 【答案】C 【分析】本题主要考查了因式分解和代数式求值，准确计算、整体代入求值是解题的关键． 根据题意得到，，然后将因式分解整体代入求解即可． 【详解】长方形的长为，宽为 ∴长方形的面积为，周长为， ， ． 故选：C． 二、填空题 2．因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，是解决许多数学问题的有力工具，七中育才帅虎同学设计了一种“因式分解密码”：对多项式进行因式分解得到，若取，则2→2，x→12，y→7，→14，可得密码为，对于代数式，若取，可能得到的密码是 ．（写出满足条件的一个答案即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】对多项式进行因式分解，然后分别求出每个式子的值，然后组成密码即可． 【详解】解： 当时， 即3→3，a→15，→3，→11， 可得密码为：． 故答案为：（答案不唯一） 【点睛】本题考查了因式分解的应用，通过因式分解，得到对应的结果是解题的关键． 3．分解因式： ． 【答案】 【分析】把多项式分成两部分，分别利用公式法和提取公因式法进行因式分解即可． 【详解】解：原式 ． 故本题答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解的分组分解法，熟练运用公式法和提取公因式法，把多项式的每一项正确分组是解决问题的关键． 三、解答题 4．在学习《因式分解》的相关知识时，“探究性学习”小组的甲、乙两名同学分别对下面式子进行了因式分解，具体如下： 甲： （分成两组） （直接提公因式） ． 乙： （分成两组） （直接运用公式） ． 请你在他们的启发下，解答下面各题： (1)因式分解：； (2)因式分解：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查分组分解因式，掌握乘法公式，提取公因式法因式分解是关键． （1）先分组为，运用完全平方公式，平方差公式因式分解即可； （2）先分组为，运用提取公因式法因式分解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 5．因式分解：． 【答案】． 【分析】此题考查了因式分解，熟练掌握公式法分解因式是解题的关键． 先把分成两项和，然后利用平方差公式进一步分解因式即可得到答案． 【详解】， ， ， ． 6．【阅读材料】某校“数学社团”的成员研究发现常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解．例如和．社团成员经过讨论交流后发现可以将这样的式子先分组，再分解． 方法如下：； ．请在这种方法的启发下，解决下列问题： 【问题解决】 （1）因式分解：； （2）因式分解：； 【方法延伸】 （3）因式分解：． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】本题主要考查因式分解，掌握分组分解法是关键． （1）根据分组分解法求解即可； （2）根据分组分解法求解即可； （3）根据分组分解法求解即可． 【详解】解：（1） ； （2） ； ； （3） ． 7．先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：． 解：将“”看成整体，令，则原式； 再将“A”还原，得：原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解下列问题： (1)类比应用，求______； (2)若n为正整数，判断式子的值是否是某一个整数的平方，并说明理由． 【答案】(1) (2)式子的值是某一个整数的平方，理由见详解 【分析】本题考查因式分解，解题的关键是理解并掌握整体思想和换元思想． （1）利用整体思想和完全平方公式进行化简即可； （2）利用乘法的结合律和多项式乘多项式的法则对原式进行整理，再利用整体思想和完全平方公式进行整理即可． 【详解】（1）解：将“”看成整体，令， 则原式， 再将“”还原，得：原式， 故答案为：； （2）证明：式子的值是某一个整数的平方， 理由如下： ， 令， 则上式， ∵为正整数， ∴是整数， ∴式子的值是某一个整数的平方． 8．【阅读材料】因式分解：． 解：将“”看成整体，令， 则原式． 再将“”还原，原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． 【问题解决】 (1)因式分解：； (2)证明：若为正整数，则的值一定是某个整数的平方． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查换元法、提公因式法、公式法分解因式，理解“换元法”的意义，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）用换元法设，将原式化为，再利用完全平方公式得出，再将B还原即可； （2）设，则原式化为，即，再将C还原求解即可． 【详解】（1）解：设， 则原式， 将“”还原，原式． （2）证明：原式． 设，则原式． 将“”还原，原式． 为正整数， 为正整数， 的值一定是某个整数的平方． 9．利用因式分解计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握提取公因式法和完全平方公式分解因式是解题关键． （1）先将原式变形为，再提取公因式，由此即可得； （2）先将原式变形为，再利用完全平方公式分解因式，由此即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 10．下面是某同学对多项式 进行因式分解的过程．   解：设 ，则 原式 ， ， ， (1)该同学因式分解的结果是否彻底？ （填“彻底”或“不彻底”）．若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 ． (2)请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 【答案】(1)不彻底； (2)，见解析 【分析】本题考查因式分解，掌握因式分解的常用方法是解题的关键． （1）满足完全平方公式，因此还可以因式分解； （2）设，整理后再根据完全平方公式把原式进行分解即可． 【详解】（1）解：该同学因式分解的结果不彻底； 原式 ， 故答案为：不彻底，； （2）解：设 ，则    原式 ． 11．七年级兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解． 【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法： 解法一：原式； 解法二：原式． 【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止） 【类比】（1）请用分组分解法将因式分解； 【挑战】（2）请用分组分解法将因式分解； 【应用】（3）已知的三边长、、都是正整数，满足，求的周长． 【答案】（1）；（2）；（3）9． 【分析】（1）根据题意，得，提取公因式解答即可； （2）根据题意，得，后因式分解解答即可； （3）根据题意，得，根据非负性，确定a，b的值，再利用三角形三边关系定理，结合边长为正整数的属性，解答即可． 本题考查了分组分解法分解因式，实数的非负性，三角形三边关系定理，正整数的属性，熟练掌握因式分解，非负性，三角形三边关系定理是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得 ； （2）解：根据题意，得 ； （3）解：由得， 故， 解得， 故c的取值范围为即， 由的三边长、、都是正整数， 故， 故的周长为． 12．如图，，两张卡片除内容外完全相同，现将两张卡片扣在桌面上，随机抽取一张，将抽中卡片上的整式各项改变符号后与未抽中卡片上的整式相加，并将结果化简得到整式． (1)若抽中的卡片是． ①求整式； ②当时，求整式的值； (2)若无论取何值，整式的值都是非负数，请通过计算，判断抽到的是哪张卡片． 【答案】(1)①；②4 (2)抽到的是卡片 【分析】此题考查整式的混合运算和因式分解，掌握完全平方公式是解决问题的关键． （1）①根据卡片各项改变符号后得出 ，再与整式相加，合并同类项即可； ②把代入整式C计算即可； （2）分抽中的卡片是B和抽中的卡片是A两种情况进行计算即可得出答案． 【详解】（1）解：①； ②当时，； （2）由（1）知，若抽中的卡片是，则． ，， 无论取何值，整式的值都是非负数； 若抽中的卡片是，则． ，， 无论取何值，整式的值都是非正数， 抽到的是卡片． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 【课后练】拔高-因式分解的常用方法--学生版 一、单选题 1．长和宽分别为的长方形，它的周长为14，面积为10，则的值为（    ） A．2560 B．490 C．80 D．49 二、填空题 2．因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，是解决许多数学问题的有力工具，七中育才帅虎同学设计了一种“因式分解密码”：对多项式进行因式分解得到，若取，则2→2，x→12，y→7，→14，可得密码为，对于代数式，若取，可能得到的密码是 ．（写出满足条件的一个答案即可） 3．分解因式： ． 三、解答题 4．在学习《因式分解》的相关知识时，“探究性学习”小组的甲、乙两名同学分别对下面式子进行了因式分解，具体如下： 甲： （分成两组） （直接提公因式） ． 乙： （分成两组） （直接运用公式） ． 请你在他们的启发下，解答下面各题： (1)因式分解：； (2)因式分解：． 5．因式分解：． 6．【阅读材料】某校“数学社团”的成员研究发现常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解．例如和．社团成员经过讨论交流后发现可以将这样的式子先分组，再分解． 方法如下：； ．请在这种方法的启发下，解决下列问题： 【问题解决】 （1）因式分解：； （2）因式分解：； 【方法延伸】 （3）因式分解：． 7．先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：． 解：将“”看成整体，令，则原式； 再将“A”还原，得：原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解下列问题： (1)类比应用，求______； (2)若n为正整数，判断式子的值是否是某一个整数的平方，并说明理由． 8．【阅读材料】因式分解：． 解：将“”看成整体，令， 则原式． 再将“”还原，原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． 【问题解决】 (1)因式分解：； (2)证明：若为正整数，则的值一定是某个整数的平方． 9．利用因式分解计算： (1)． (2)． 10．下面是某同学对多项式 进行因式分解的过程．   解：设 ，则 原式 ， ， ， (1)该同学因式分解的结果是否彻底？ （填“彻底”或“不彻底”）．若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 ． (2)请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 11．七年级兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解． 【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法： 解法一：原式； 解法二：原式． 【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止） 【类比】（1）请用分组分解法将因式分解； 【挑战】（2）请用分组分解法将因式分解； 【应用】（3）已知的三边长、、都是正整数，满足，求的周长． 12．如图，，两张卡片除内容外完全相同，现将两张卡片扣在桌面上，随机抽取一张，将抽中卡片上的整式各项改变符号后与未抽中卡片上的整式相加，并将结果化简得到整式． (1)若抽中的卡片是． ①求整式； ②当时，求整式的值； (2)若无论取何值，整式的值都是非负数，请通过计算，判断抽到的是哪张卡片． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 【课后练】基础-因式分解的常用方法--学生版 一、单选题 1．多项式分解因式为，其中a，m，n为整数，则a的取值有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 2．下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 3．若多项式可因式分解为，则b的值为（    ） A． B．3 C． D．54 4．长和宽分别为的长方形，它的周长为14，面积为10，则的值为（    ） A．2560 B．490 C．80 D．49 二、填空题 5．因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，是解决许多数学问题的有力工具，七中育才帅虎同学设计了一种“因式分解密码”：对多项式进行因式分解得到，若取，则2→2，x→12，y→7，→14，可得密码为，对于代数式，若取，可能得到的密码是 ．（写出满足条件的一个答案即可） 6．分解因式： ． 三、解答题 7．在学习《因式分解》的相关知识时，“探究性学习”小组的甲、乙两名同学分别对下面式子进行了因式分解，具体如下： 甲： （分成两组） （直接提公因式） ． 乙： （分成两组） （直接运用公式） ． 请你在他们的启发下，解答下面各题： (1)因式分解：； (2)因式分解：． 8．因式分解：． 9．【阅读材料】某校“数学社团”的成员研究发现常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解．例如和．社团成员经过讨论交流后发现可以将这样的式子先分组，再分解． 方法如下：； ．请在这种方法的启发下，解决下列问题： 【问题解决】 （1）因式分解：； （2）因式分解：； 【方法延伸】 （3）因式分解：． 10．先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：． 解：将“”看成整体，令，则原式； 再将“A”还原，得：原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解下列问题： (1)类比应用，求______； (2)若n为正整数，判断式子的值是否是某一个整数的平方，并说明理由． 11．【阅读材料】因式分解：． 解：将“”看成整体，令， 则原式． 再将“”还原，原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． 【问题解决】 (1)因式分解：； (2)证明：若为正整数，则的值一定是某个整数的平方． 12．利用因式分解计算： (1)． (2)． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 【课后练】基础-因式分解的常用方法--解析版 一、单选题 1．多项式分解因式为，其中a，m，n为整数，则a的取值有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 【答案】C 【分析】本题考查了用十字相乘法进行因式分解．得出之积为，之和为是解题的关键．把分解为两个整数的积的形式，等于这两个整数的和． 【详解】时，，故； 时，，故； 时，，故； 时，，故； 的取值有4个． 故选：C． 2．下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的定义，将一个多项式写成几个整式的积的形式叫因式分解，据此逐个判断即可得到答案． 【详解】解：A：，等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意； B：，等式右边是乘积形式，且展开后和左边相等，故是因式分解，符合题意； C：，等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意； D：，等式右边是乘积形式，但展开后和左边不相等，故不是因式分解，不符合题意． 故选：B． 3．若多项式可因式分解为，则b的值为（    ） A． B．3 C． D．54 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的恒等性质，熟练掌握性质是解题的关键，将展开，根据对应系数相等即可求出答案． 【详解】解：由题意可得： ∴， 故答案为：C． 4．长和宽分别为的长方形，它的周长为14，面积为10，则的值为（    ） A．2560 B．490 C．80 D．49 【答案】C 【分析】本题主要考查了因式分解和代数式求值，准确计算、整体代入求值是解题的关键． 根据题意得到，，然后将因式分解整体代入求解即可． 【详解】长方形的长为，宽为 ∴长方形的面积为，周长为， ， ． 故选：C． 二、填空题 5．因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，是解决许多数学问题的有力工具，七中育才帅虎同学设计了一种“因式分解密码”：对多项式进行因式分解得到，若取，则2→2，x→12，y→7，→14，可得密码为，对于代数式，若取，可能得到的密码是 ．（写出满足条件的一个答案即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】对多项式进行因式分解，然后分别求出每个式子的值，然后组成密码即可． 【详解】解： 当时， 即3→3，a→15，→3，→11， 可得密码为：． 故答案为：（答案不唯一） 【点睛】本题考查了因式分解的应用，通过因式分解，得到对应的结果是解题的关键． 6．分解因式： ． 【答案】 【分析】把多项式分成两部分，分别利用公式法和提取公因式法进行因式分解即可． 【详解】解：原式 ． 故本题答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解的分组分解法，熟练运用公式法和提取公因式法，把多项式的每一项正确分组是解决问题的关键． 三、解答题 7．在学习《因式分解》的相关知识时，“探究性学习”小组的甲、乙两名同学分别对下面式子进行了因式分解，具体如下： 甲： （分成两组） （直接提公因式） ． 乙： （分成两组） （直接运用公式） ． 请你在他们的启发下，解答下面各题： (1)因式分解：； (2)因式分解：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查分组分解因式，掌握乘法公式，提取公因式法因式分解是关键． （1）先分组为，运用完全平方公式，平方差公式因式分解即可； （2）先分组为，运用提取公因式法因式分解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 8．因式分解：． 【答案】． 【分析】此题考查了因式分解，熟练掌握公式法分解因式是解题的关键． 先把分成两项和，然后利用平方差公式进一步分解因式即可得到答案． 【详解】， ， ， ． 9．【阅读材料】某校“数学社团”的成员研究发现常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解．例如和．社团成员经过讨论交流后发现可以将这样的式子先分组，再分解． 方法如下：； ．请在这种方法的启发下，解决下列问题： 【问题解决】 （1）因式分解：； （2）因式分解：； 【方法延伸】 （3）因式分解：． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】本题主要考查因式分解，掌握分组分解法是关键． （1）根据分组分解法求解即可； （2）根据分组分解法求解即可； （3）根据分组分解法求解即可． 【详解】解：（1） ； （2） ； ； （3） ． 10．先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：． 解：将“”看成整体，令，则原式； 再将“A”还原，得：原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解下列问题： (1)类比应用，求______； (2)若n为正整数，判断式子的值是否是某一个整数的平方，并说明理由． 【答案】(1) (2)式子的值是某一个整数的平方，理由见详解 【分析】本题考查因式分解，解题的关键是理解并掌握整体思想和换元思想． （1）利用整体思想和完全平方公式进行化简即可； （2）利用乘法的结合律和多项式乘多项式的法则对原式进行整理，再利用整体思想和完全平方公式进行整理即可． 【详解】（1）解：将“”看成整体，令， 则原式， 再将“”还原，得：原式， 故答案为：； （2）证明：式子的值是某一个整数的平方， 理由如下： ， 令， 则上式， ∵为正整数， ∴是整数， ∴式子的值是某一个整数的平方． 11．【阅读材料】因式分解：． 解：将“”看成整体，令， 则原式． 再将“”还原，原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． 【问题解决】 (1)因式分解：； (2)证明：若为正整数，则的值一定是某个整数的平方． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查换元法、提公因式法、公式法分解因式，理解“换元法”的意义，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）用换元法设，将原式化为，再利用完全平方公式得出，再将B还原即可； （2）设，则原式化为，即，再将C还原求解即可． 【详解】（1）解：设， 则原式， 将“”还原，原式． （2）证明：原式． 设，则原式． 将“”还原，原式． 为正整数， 为正整数， 的值一定是某个整数的平方． 12．利用因式分解计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握提取公因式法和完全平方公式分解因式是解题关键． （1）先将原式变形为，再提取公因式，由此即可得； （2）先将原式变形为，再利用完全平方公式分解因式，由此即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $