2026−2027学年人教版数学九年级上册第一次月考模拟试卷2（河南信阳适用）

**基本信息** 以虎溪公园游客增长、疫情后商品调价等真实情境为载体，融入“黄金搭档点”新定义，覆盖一元二次方程、二次函数等核心知识，梯度分布合理。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|第3题增长率问题（一元二次方程应用）、第9题茶吧机水温变化（反比例函数）|结合本地文化与生活场景，考查数学眼光| |填空题|5/15|第12题二次函数图象变换、第15题矩形动态几何（勾股定理）|注重空间观念与运算能力| |解答题|8/75|第22题商品调价利润计算（方程应用）、第23题“黄金搭档点”探究（二次函数综合）|分层设计，22题培养模型意识，23题发展创新思维|

2026−2027九年级数学月考模拟试卷2 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）下列方程中，有实数根的是（　　） A．x2+3＝0 B．x2﹣5＝0 C．﹣x2＝3 D．x2＝﹣1 2．（3分）若y＝（a﹣4）x|a|﹣2+7x﹣5是二次函数，则a的值为（　　） A．﹣4 B．4 C．±4 D．±2 3．（3分）福清市虎溪公园是福州市首个3.0版的城市公园，自2024年10月1日开放后，深受市民的喜爱．已知该公园今年三月份共接待游客25万人次，五月份共接待游客64万人次，设每月的平均增长率为x，则可列方程（　　） A．25（1﹣x）2＝64 B．64（1﹣x）2＝25 C．25（1+x）2＝64 D．64（1+x）2＝25 4．（3分）下面数量关系中，成反比例关系的是（　　） A．长方形的长一定，它的面积与宽的关系 B．总价一定，单价和数量的关系 C．全班人数一定，出勤人数和缺勤人数的关系 D．速度一定，路程和时间的关系 5．（3分）若函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点（1，﹣1），则一元二次方程ax2+bx+c＝0的根的情况是（　　） A．有两个大于1的不相等实数根 B．有两个小于1的不相等实数根 C．有一个大于1，另一个小于1的实数根 D．没有实数根 6．（3分）关于二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象，下列描述错误的是（　　） A．该抛物线开口向上 B．当x＝1时，y有最小值2 C．当x＜1时，y随x的增大而减小 D．当x＞1时，y随x的增大而减小 7．（3分）如图，点A，B分别在双曲线和上，AB平行于y轴，C是y轴上一动点，则△ABC的面积为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 8．（3分）如图，某养鸡户用一段14m长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长7.5m）的矩形鸡舍ABCD，其面积为28m2．在鸡舍的AB边中间位置留一个1m宽的门（由其他材料制成），则BC的长为（　　） A．3.5m或4m B．7m或8m C．4m D．7m 9．（3分）如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升20℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温y（℃）与通电时间x（min）成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（　　） A．水温从20℃加热到100℃，需要4min B．水温下降过程中，y与x的函数关系式是 C．上午10点接通电源，可以保证当天10：30能喝到不低于38℃的水 D．在一个加热周期内水温不低于40℃的时间为7min 10．（3分）如图，在等边三角形ABC的三边上，分别取点D、E、F，使AD＝BE＝CF．若AB＝4，AD＝x，四边形BDFE的面积为y，则y关于x的函数图象大致为（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．（3分）方程3x2＝x的根是 　 　 ． 12．（3分）把抛物线y＝2x2向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为　 　 ． 13．（3分）若反比例函数的图象位于第一、三象限，则m的取值范围是　 　 ． 14．（3分）如图，在矩形ABCD中，点A（﹣1，1），点D（2，1），则二次函数y＝x2﹣2mx+m2+m+1与矩形ABCD有两个交点时，则m的取值范围为　 　 ． 15．（3分）矩形ABCD中，M为对角线BD的中点，点N在边AD上，且AN＝AB＝1．当以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，AD的长为 　 　 ． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16．（8分）解下列各题： （1）解方程：x2+4x﹣2＝0； （2）求抛物线y＝2x2﹣4x+6的顶点坐标． 17．（9分）如图，正比例函数y＝kx的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，点A的横坐标为1． （1）求k的值． （2）观察图象，直接写出不等式的解集． 18．（9分）小华同学用“配方法”解一元二次方程x2﹣4x+3＝0的过程如下． 解方程：x2﹣4x+3＝0． 解：x2﹣4x＝3，…第①步 （x﹣2）2＝3+2，…第②步 或，…第③步 解得，，…第④步 （1）小华同学从第　 　 步开始出现错误．（填序号） （2）请你用“公式法”解该一元二次方程． 19．（9分）已知关于x的方程：x2+kx﹣（k+3）＝0． （1）若该方程有一个根是2，求k的值； （2）证明：无论k取何值，该方程总有两个不相等的实数根． 20．（9分）已知二次函数y＝x2+2x﹣3，完成下列各题： （1）该抛物线的顶点坐标是　 　 ，对称轴是直线x＝　 　 ； （2）请在图中的网格中建立合适的平面直角坐标系，画出该抛物线的简图； （3）根据图象回答：当x的取值范围为　 　 时，y＞0． 21．（10分）小军将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中含30°角的三角板OAB的直角边OA落在y轴上，含45°角的三角板OAC的直角顶点C的坐标为（4，4），反比例函数的图象经过点C． （1）求反比例函数的表达式． （2）将三角板OAB绕点O顺时针旋转90°，AB边上的点D恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点D的坐标． 22．（10分）突如其来的新冠疫情影响了某商场经济效益，在复工复产时对某商品价格进行了调整，每件的售价比进价多8元．8件的进价相当于6件的售价，每天可售出200件，经市场调查发现，如果每件商品涨价1元，每天就会少卖5件． （1）该商品的售价和进价分别是多少元？ （2）在进价不变的条件下，若每天所得的销售利润为2160元时，且销量尽可能大，该商品应涨价多少元？ 23．（11分）定义：若点P，Q在同一抛物线上，且点Q的横坐标比点P的横坐标大3，则称点Q是点P的“黄金搭档点”．例如，抛物线y＝x2上，点（3，9）是点（0，0）的“黄金搭档点”． （1）点A（0，﹣3）和点B在抛物线y＝x2+bx+c上，点B是点A的“黄金搭档点”，且点B的纵坐标为12．求b，c的值． （2）点M，N在（1）中的抛物线上，且点N是点M的“黄金搭档点”． ①若点M，N的纵坐标相等，求点M，N的横坐标． ②抛物线上M，N两点之间的部分（含M，N两点）记为图象W，设点M的横坐标为m，当﹣＜m＜0时，若图象W上的最高点和最低点到x轴的距离之和为5，请直接写出m的值． 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）下列方程中，有实数根的是（　　） A．x2+3＝0 B．x2﹣5＝0 C．﹣x2＝3 D．x2＝﹣1 【考点】根的判别式；解一元二次方程﹣公式法． 【分析】将各选项方程整理为x2＝p的形式，若p＞0，方程有两个不相等的实数根；若p＝0，方程有两个相等的实数根；若p＜0，方程无实数根；据此逐项判断即可． 【解答】解：将各选项方程整理为x2＝p的形式，再根据根的判别式逐项分析判断如下： A、x2+3＝0，移项，得x2＝﹣3， ∵﹣3＜0， ∴此方程无实数根，故该选项不符合题意； B、x2﹣5＝0，移项，得x2＝5， ∵5＞0， ∴此方程有两个不相等的实数根，故该选项符合题意； C、﹣x2＝3，系数化为1，得x2＝﹣3， ∵﹣3＜0， ∴此方程无实数根，故该选项不符合题意； D、x2＝﹣1， ∵﹣1＜0， ∴此方程无实数根，故该选项不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了根的判别式，熟练掌握该知识点是关键． 2．（3分）若y＝（a﹣4）x|a|﹣2+7x﹣5是二次函数，则a的值为（　　） A．﹣4 B．4 C．±4 D．±2 【考点】二次函数的定义． 【分析】二次函数的一般形式为y＝ax2+bx+c（a≠0），根据定义列出关于a的方程与不等式，进而求解a的值． 【解答】解：由题意可得：|a|﹣2＝2，且a﹣4≠0． 由|a|﹣2＝2，得|a|＝4，解得a＝4或a＝﹣4． 又∵a﹣4≠0，即a≠4， ∴a＝﹣4． 故选：A． 【点评】本题考查二次函数的定义，正确进行计算是解题关键． 3．（3分）福清市虎溪公园是福州市首个3.0版的城市公园，自2024年10月1日开放后，深受市民的喜爱．已知该公园今年三月份共接待游客25万人次，五月份共接待游客64万人次，设每月的平均增长率为x，则可列方程（　　） A．25（1﹣x）2＝64 B．64（1﹣x）2＝25 C．25（1+x）2＝64 D．64（1+x）2＝25 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程． 【分析】本题依题意可知四月份的人数＝25（1+x），则五月份的人数为：25（1+x）（1+x），再令25（1+x）（1+x）＝64即可得出答案． 【解答】解：依题意得：25（1+x）2＝64． 故选：C． 【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程中增长率的问题，一般公式为：原来的量×（1±x）2＝现在的量，x为增长或减少的百分率．增加用+，减少用﹣． 4．（3分）下面数量关系中，成反比例关系的是（　　） A．长方形的长一定，它的面积与宽的关系 B．总价一定，单价和数量的关系 C．全班人数一定，出勤人数和缺勤人数的关系 D．速度一定，路程和时间的关系 【考点】反比例函数的定义． 【分析】判断反比例关系的核心是两种相关联的量对应数值的乘积一定． 【解答】解：A．∵长方形的面积等于长乘以宽，长一定，即面积与宽的比值一定， ∴成正比例关系，故本选项不符合题意； B．∵总价等于单价乘以数量，总价一定，即单价与数量的乘积一定， ∴成反比例关系，故本选项符合题意； C．∵出勤人数加上缺勤人数等于全班人数，是和一定， ∴不成比例，故本选项不符合题意； D．∵路程等于速度乘以时间，速度一定，即路程与时间的比值一定， ∴成正比例关系，故本选项不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查反比例函数的定义，解题的关键是熟练掌握反比例函数的定义． 5．（3分）若函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点（1，﹣1），则一元二次方程ax2+bx+c＝0的根的情况是（　　） A．有两个大于1的不相等实数根 B．有两个小于1的不相等实数根 C．有一个大于1，另一个小于1的实数根 D．没有实数根 【考点】抛物线与x轴的交点；根的判别式；二次函数图象上点的坐标特征． 【分析】画出函数草图，由图象即可得解． 【解答】解：依据题意可画出函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象， 由图象可知函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴有两个交点，其中1个大于1，另一个小于1， 故一元二次方程ax2+bx+c＝0有一个大于1，另一个小于1的实数根； 故选：C． 【点评】本题主要考查了抛物线与x轴交点问题，借助图象分析是解题的关键． 6．（3分）关于二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象，下列描述错误的是（　　） A．该抛物线开口向上 B．当x＝1时，y有最小值2 C．当x＜1时，y随x的增大而减小 D．当x＞1时，y随x的增大而减小 【考点】二次函数的性质；二次函数的最值；二次函数的图象． 【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向及顶点坐标和对称轴，由此得出函数的最值． 【解答】解：∵y＝（x﹣1）2+2， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，2），当x＝1时，y有最小值2， ∴当x＜1时，y随x的增大而减小，x＞1时，y随x增大而增大， 故选：D． 【点评】本题考查二次函数的图象和性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的增减性． 7．（3分）如图，点A，B分别在双曲线和上，AB平行于y轴，C是y轴上一动点，则△ABC的面积为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征． 【分析】设A点的横坐标为a，然后根据双曲线解析式写出A，B两点坐标，再利用三角形面积公式求解即可． 【解答】解：设A点的横坐标为a，由题意可得； ， ∴，C点到AB的距离为a， ∴△ABC的面积为， 故选：B． 【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，正确进行计算是解题关键． 8．（3分）如图，某养鸡户用一段14m长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长7.5m）的矩形鸡舍ABCD，其面积为28m2．在鸡舍的AB边中间位置留一个1m宽的门（由其他材料制成），则BC的长为（　　） A．3.5m或4m B．7m或8m C．4m D．7m 【考点】一元二次方程的应用． 【分析】设BC＝xm，则AB＝m，根据矩形鸡舍ABCD的面积为28m2，列出关于x的一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【解答】解：设BC＝xm，则AB＝m， 根据题意得：x•＝28， 整理得：x2﹣15x+56＝0， 解得：x1＝7，x2＝8， 又∵墙长7.5m， ∴x＝7， 即BC的长为7m， 故选：D． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 9．（3分）如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升20℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温y（℃）与通电时间x（min）成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（　　） A．水温从20℃加热到100℃，需要4min B．水温下降过程中，y与x的函数关系式是 C．上午10点接通电源，可以保证当天10：30能喝到不低于38℃的水 D．在一个加热周期内水温不低于40℃的时间为7min 【考点】反比例函数的应用． 【分析】根据水温升高的速度，即可求出水温从20℃加热到100℃所需的时间；设水温下降过程中，y与x的函数关系式为，根据待定系数法即可求解；先求出当水温下降到20℃所需时间为20min，即一个循环为20min，30﹣20＝10，将x＝10代入反比例函数解析式中求出此时水温即可判断；分别求出在加热过程和降温过程中水温为40℃时的时间，再相减即可判断． 【解答】解：∵开机加热时每分钟上升20℃， ∴水温从20℃加热到100℃，所需时间为，故A选项正确，不符合题意； 设水温下降过程中，y与x的函数关系式为， 由题意得，点（4，100）在反比例函数的图象上， ∴， 解得：k＝400， ∴水温下降过程中，y与x的函数关系式是，故B选项正确，不符合题意； 令y＝20，则， ∴x＝20， ∴从开机加热到水温降至20℃需要24min，即一个循环为24min， 设加热过程中水温y（℃）与通电时间x（min）的函数关系式为：y＝k′x+20，把（4，100）代入得：4k′+20＝100， 解得：k′＝20， ∴此时y＝20x+20， ∴水温y（℃）与通电时间x（min）的函数关系式为， ，上午10点到10：30共30分钟，30﹣20＝10， ∴当x＝10时，， 即此时的水温为40℃＞38℃，故C选项正确，不符合题意； 在加热过程中，水温为40℃时，20x+20＝40， 解得：x＝1， 在降温过程中，水温为40℃时，， 解得：x＝10， ∵10﹣1＝9， ∴一个加热周期内水温不低于40℃的时间为9min，故D选项错误，符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查反比例函数和一次函数的应用、用待定系数法求反比例函数解析式，解题关键在于读懂图象，灵活运用所学知识解决问题． 10．（3分）如图，在等边三角形ABC的三边上，分别取点D、E、F，使AD＝BE＝CF．若AB＝4，AD＝x，四边形BDFE的面积为y，则y关于x的函数图象大致为（　　） A． B． C． D． 【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；函数的图象． 【分析】利用等边三角形的性质和已知条件，证明△ADF≌△BDE≌△CFE，利用“割补法”，用大三角形ABC的面积减去三个全等小三角形的面积，得到△DEF的面积y关于x的函数解析式．根据二次函数的解析式，分析其开口方向、对称轴及顶点坐标，从而确定函数图象． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC＝4，∠A＝∠B＝∠C＝60°， ∵AD＝BE＝CF＝x， ∴BD＝AB﹣AD＝4﹣x，CE＝CB﹣BE＝4﹣x，AF＝AC﹣CF＝4﹣x， ∴BD＝CE＝AF． 在△ADF与△BED中， ， ∴△ADF≌△BED（SAS）， 同理可得，△ADF≌△BED≌△CFE（SAS）， ∴S△ADF＝S△BED＝S△CFE． 过D作DH⊥AC于点H， ∵∠A＝60°，AD＝x， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵二次项系数， ∴函数图象开口向上，对称轴为直线， 当x＝2时，y取得最小值， ． 当x＝0或x＝4时，． 综上所述，函数图象为开口向上的抛物线，且经过和，观察选项，只有B选项符合． 故选：B． 【点评】此题考查全等三角形的判定与性质，关键是根据SAS证明△ADF≌△BED≌△CFE解答． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．（3分）方程3x2＝x的根是 　　 ． 【考点】解一元二次方程﹣因式分解法． 【分析】移项后分解因式得出x（3x﹣1）＝0，推出方程x＝0，3x﹣1＝0，求出方程的解即可． 【解答】解：3x2﹣x＝0， x（3x﹣1）＝0， x＝0，3x﹣1＝0， ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查了一元二次方程的解法，解此题的关键是把一元二次方程转化成一元一次方程． 12．（3分）把抛物线y＝2x2向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为y＝2（x+1）2﹣3　 ． 【考点】二次函数图象与几何变换． 【分析】根据“左加右减、上加下减”的平移原则进行解答即可． 【解答】解：由题意得，平移后得到的抛物线的解析式为y＝2（x+1）2﹣3． 故答案为：y＝2（x+1）2﹣3． 【点评】本题考查了二次函数的图象与几何变换，掌握函数平移规律是解题的关键． 13．（3分）若反比例函数的图象位于第一、三象限，则m的取值范围是m＜3　 ． 【考点】反比例函数的性质；反比例函数的图象． 【分析】反比例函数图象位于第一、三象限时，比例系数大于零，即6﹣2m＞0，再解不等式即可解答． 【解答】解：∵反比例函数的图象位于第一、三象限， ∴比例系数6﹣2m＞0， 解得：m＜3． 故答案为：m＜3． 【点评】本题主要考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数图象位于第一、三象限时，比例系数大于零是解题的关键． 14．（3分）如图，在矩形ABCD中，点A（﹣1，1），点D（2，1），则二次函数y＝x2﹣2mx+m2+m+1与矩形ABCD有两个交点时，则m的取值范围为　＜m＜0　 ． 【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；矩形的性质． 【分析】将二次函数解析式化为顶点式，根据抛物线顶点可得抛物线运动轨迹，结合图象求解． 【解答】解：∵y＝x2﹣2mx+m2+m+1＝（x﹣m）2+m+1， ∴抛物线顶点坐标为（m，m+1）， ∴抛物线顶点在直线y＝x+1上， 如图， 当抛物线顶点在AD上时，m+1＝1， ∴m＝0， 如图，当抛物线经过点A（﹣1，1）时， 1＝1+2m+m2+m+1， 解得m＝（舍）或m＝， ∴＜m＜0， 故答案为：＜m＜0． 【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，结合图象求解． 15．（3分）矩形ABCD中，M为对角线BD的中点，点N在边AD上，且AN＝AB＝1．当以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，AD的长为 　2或1+　 ． 【考点】矩形的性质；勾股定理． 【分析】以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，分两种情况：如图1，当∠MND＝90°时，如图2，当∠NMD＝90°时，根据矩形的性质和等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，分两种情况： ①如图1，当∠MND＝90°时， 则MN⊥AD， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝90°， ∴MN∥AB， ∵M为对角线BD的中点， ∴AN＝DN， ∵AN＝AB＝1， ∴AD＝2AN＝2； ②如图2，当∠NMD＝90°时， 则MN⊥BD， ∵M为对角线BD的中点， ∴BM＝DM， ∴MN垂直平分BD， ∴BN＝DN， ∵∠A＝90°，AB＝AN＝1， ∴BN＝AB＝， ∴AD＝AN+DN＝1+， 综上所述，AD的长为2或1+． 故答案为：2或1+． 【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16．（8分）解下列各题： （1）解方程：x2+4x﹣2＝0； （2）求抛物线y＝2x2﹣4x+6的顶点坐标． 【考点】二次函数的性质；解一元二次方程﹣配方法． 【分析】（1）直接根据形式配方法即可直接求解． （2）直接配方，注意提取二次项系数和符号的变化，等价变形即可直接求出顶点坐标． 【解答】解：（1）x2+4x﹣2＝0； 移项：x2+4x＝2； 配方：x2+4x+4＝6； 即（x+2）2＝6； 解得，； ∴，． （2）由题可知，y＝2x2﹣4x+6； ＝2（x2﹣2x+1﹣1）+6； ＝2（x﹣1）2﹣2+6； ＝2（x﹣1）2+4， ∴顶点坐标为（1，4）． 【点评】本题主要考查二次函数的性质，关键是利用配方法求抛物线顶点坐标． 17．（9分）如图，正比例函数y＝kx的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，点A的横坐标为1． （1）求k的值． （2）观察图象，直接写出不等式的解集． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题． 【分析】（1）将x＝1代入之中得y＝3，由此得点A（1，3），再将点A的坐标代入y＝kx之中即可得出k＝3； （2）解方程组：，得或，则点B（﹣1，﹣3），然后根据函数的图象可得不等式的解集为﹣1＜x＜0或x＞1． 【解答】解：（1）∵点A的横坐标为1，点A在反比例函数的图象上， ∴当x＝1时，y＝3， ∴点A的坐标（1，3）， 又∵点A在正比例函数y＝kx的图象上， ∴3＝k×1， ∴k＝3； （2）由（1）可知：正比例函数的表达式为：y＝3x， 解方程组：，得或， ∴点B（﹣1，﹣3）， 根据函数的图象得：不等式的解集为：﹣1＜x＜0或x＞1． 【点评】此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点，熟练掌握待定系数法求反比例函数与一次函数的表达式是解决问题的关键． 18．（9分）小华同学用“配方法”解一元二次方程x2﹣4x+3＝0的过程如下． 解方程：x2﹣4x+3＝0． 解：x2﹣4x＝3，…第①步 （x﹣2）2＝3+2，…第②步 或，…第③步 解得，，…第④步 （1）小华同学从第　①　 步开始出现错误．（填序号） （2）请你用“公式法”解该一元二次方程． 【考点】解一元二次方程﹣公式法；解一元二次方程﹣配方法． 【分析】（1）利用配方法解一元二次方程的基本步骤逐步判断即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【解答】解：（1）原方程常数项在移至等号右侧后没有改变符号， 故小华同学从第①步开始出现错误． 故答案为：①． （2）a＝1，b＝﹣4，c＝3， ∴Δ＝b2﹣4ac＝16﹣4×1×3＝4， ∴， ∴x1＝3，x2＝1． 【点评】本题考查了解一元二次方程，熟知配方法、公式法解一元二次方程是解题的关键． 19．（9分）已知关于x的方程：x2+kx﹣（k+3）＝0． （1）若该方程有一个根是2，求k的值； （2）证明：无论k取何值，该方程总有两个不相等的实数根． 【考点】根的判别式；一元二次方程的解． 【分析】（1）根据方程解的定义求解即可； （2）证明Δ＞0即可． 【解答】（1）解：∵方程：x2+kx﹣（k+3）＝0的一个根为2， ∴4+2k﹣k﹣3＝0， ∴k＝﹣1； （2）证明：∵Δ＝k2+4（k+3）＝k2+4k+12＝（k+2）2+8， ∵（k+2）2≥0， ∴Δ＞0， ∴该方程总有两个不相等的实数根． 【点评】本题考查根的判别式，一元二次方程的解，解题的关键是掌握学会用转化的思想解决问题． 20．（9分）已知二次函数y＝x2+2x﹣3，完成下列各题： （1）该抛物线的顶点坐标是　（﹣1，﹣4）　 ，对称轴是直线x＝　﹣1　 ； （2）请在图中的网格中建立合适的平面直角坐标系，画出该抛物线的简图； （3）根据图象回答：当x的取值范围为x＜﹣3或x＞1　 时，y＞0． 【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质． 【分析】（1）根据y＝x2+2x﹣3＝x2+2x+1﹣1﹣3＝（x+1）2﹣4，可知该抛物线的顶点坐标是（﹣1，﹣4），对称轴为直线x＝﹣1． （2）根据题意建立平面直角坐标系，再利用描点法画出图象即可． （3）结合图象可直接得出答案． 【解答】解：（1）∵y＝x2+2x﹣3＝x2+2x+1﹣1﹣3＝（x+1）2﹣4， ∴该抛物线的顶点坐标是（﹣1，﹣4），对称轴为直线x＝﹣1． 故答案为：（﹣1，﹣4）；﹣1． （2）列表： x ... ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 ... y ... 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 ... 建立平面直角坐标系以及画出图象如图所示． （3）结合图象可知，当x的取值范围为x＜﹣3或x＞1时，y＞0． 故答案为：x＜﹣3或x＞1． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 21．（10分）小军将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中含30°角的三角板OAB的直角边OA落在y轴上，含45°角的三角板OAC的直角顶点C的坐标为（4，4），反比例函数的图象经过点C． （1）求反比例函数的表达式． （2）将三角板OAB绕点O顺时针旋转90°，AB边上的点D恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点D的坐标． 【考点】待定系数法求反比例函数解析式；勾股定理；等腰直角三角形；坐标与图形变化﹣旋转；反比例函数图象上点的坐标特征． 【分析】（1）把C的坐标为（4，4）代入反比例函数即可得到答案； （2）求解CO2＝42+42＝32，证明AC＝CO，求解，如图，连接OD，△OAB旋转到△OEF的位置；可得OE＝OA＝8，结合D的对应点G在的图象上，可得EG＝2，进一步求解即可． 【解答】解：（1）∵反比例函数的图象经过点C． ∴k＝4×4＝16， ∴反比例函数的表达式为：； （2）由条件可知CO2＝42+42＝32， ∵含45°角的三角板OAC为等腰直角三角形，∠ACO＝90°， ∴AC＝CO，， 如图，连接OD，△OAB旋转到△OEF的位置； ∴OE＝OA＝8， ∵D的对应点G在的图象上，且横坐标为8， ∴yG＝2， ∴EG＝2， 由旋转可得：AD＝GE＝2， ∴D（﹣2，8）． 【点评】本题考查的是勾股定理的应用，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，反比例函数的应用，理解题意是解本题的关键． 22．（10分）突如其来的新冠疫情影响了某商场经济效益，在复工复产时对某商品价格进行了调整，每件的售价比进价多8元．8件的进价相当于6件的售价，每天可售出200件，经市场调查发现，如果每件商品涨价1元，每天就会少卖5件． （1）该商品的售价和进价分别是多少元？ （2）在进价不变的条件下，若每天所得的销售利润为2160元时，且销量尽可能大，该商品应涨价多少元？ 【考点】一元二次方程的应用；一元一次方程的应用． 【分析】（1）设该商品的售价是x元/件，则进价是（x﹣8）元/件，根据8件的进价相当于6件的售价，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值（即该商品的售价），再将其代入（x﹣8）中，即可求出该商品的进价； （2）设该商品应涨价y元，则每件的销售利润为（32+y﹣24）元，每天可售出（200﹣5y）件，利用总利润＝每件的销售利润×日销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之可得出y的值，再结合要销量尽可能大，即可确定结论． 【解答】解：（1）设该商品的售价是x元/件，则进价是（x﹣8）元/件， 根据题意得：8（x﹣8）＝6x， 解得：x＝32， ∴x﹣8＝32﹣8＝24（元/件）． 答：该商品的售价是32元/件，进价是24元/件； （2）设该商品应涨价y元，则每件的销售利润为（32+y﹣24）元，每天可售出（200﹣5y）件， 根据题意得：（32+y﹣24）（200﹣5y）＝2160， 整理得：y2﹣32y+112＝0， 解得：y1＝4，y2＝28， 又∵要销量尽可能大， ∴y＝4． 答：该商品应涨价4元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 23．（11分）定义：若点P，Q在同一抛物线上，且点Q的横坐标比点P的横坐标大3，则称点Q是点P的“黄金搭档点”．例如，抛物线y＝x2上，点（3，9）是点（0，0）的“黄金搭档点”． （1）点A（0，﹣3）和点B在抛物线y＝x2+bx+c上，点B是点A的“黄金搭档点”，且点B的纵坐标为12．求b，c的值． （2）点M，N在（1）中的抛物线上，且点N是点M的“黄金搭档点”． ①若点M，N的纵坐标相等，求点M，N的横坐标． ②抛物线上M，N两点之间的部分（含M，N两点）记为图象W，设点M的横坐标为m，当﹣＜m＜0时，若图象W上的最高点和最低点到x轴的距离之和为5，请直接写出m的值． 【考点】二次函数_复杂函数探究． 【分析】（1）根据题意得出B（3，12），然后利用待定系数法求解即可； （2）①设点M的横坐标为t，则点N的横坐标为t+3，根据题意建立方程求解即可； ②根据题意得出对称轴为直线，顶点坐标为（﹣1，﹣4），抛物线与x轴的交点为（﹣3，0），（1，0），点N的横坐标为：m+3，，然后分情况分析：当，时，当，1＜m+3＜2时，当﹣1＜m＜0时，2＜m+3＜3，结合图象建立方程求解即可． 【解答】解：（1）∵点B是点A的“黄金搭档点”，A（0，﹣3），点B的纵坐标为12， ∴B（3，12）， ∵点A（0，﹣3）和点B在抛物线y＝x2+bx+c上， ∴， 解得：； （2）①设点M的横坐标为t，则点N的横坐标为t+3， 由（1）得y＝x2+2x﹣3， ∵点M，N的纵坐标相等， ∴t2+2t﹣3＝（t+3）2+2（t+3）﹣3，解得：， ∴， ∴点M的横坐标为，点N的横坐标为， ②由（1）得y＝x2+2x﹣3， 对称轴为直线， 当x＝﹣1时，y＝﹣4， ∴顶点坐标为（﹣1，﹣4）， 当y＝0时，x2+2x﹣3＝0， ∴（x+3）（x﹣1）＝0， 解得：x1＝﹣3，x2＝1， ∴抛物线与x轴的交点为（﹣3，0），（1，0）， 点N是点M的“黄金搭档点”，点M的横坐标为m，当时， ∴点N的横坐标为：m+3，， 当时，，抛物线与x轴的一个交点为（1，0）， ∴当，时，如图所示： 点M、N均在x轴下方，最低点为抛物线的顶点（﹣1，﹣4）， ∵﹣5﹣（﹣1）＜m﹣（﹣1）＜﹣1﹣（﹣1），即，，即， ∴此时点N离对称轴较远，最高点为点N， ∵图象W上的最高点和最低点到x轴的距离之和为5， ∴点N到x轴的距离为5﹣4＝1， 此时点N的纵坐标为﹣1， ∴（m+3）2+2（m+3）﹣3＝﹣1， 解得：，（不符合题意，舍去）； 当，1＜m+3＜2时，如图所示： 点M在x轴下方，点N在x轴上方，最低点为抛物线的顶点（﹣1，﹣4）， ∴此时点N离对称轴较远，最高点为点N， ∵图象W上的最高点和最低点到x轴的距离之和为5， ∴点N到x轴的距离为5﹣4＝1， 此时点N的纵坐标为1， ∴（m+3）2+2（m+3）﹣3＝1， 解得：，（不符合题意，舍去）； 当﹣1＜m＜0时，2＜m+3＜3， 点M在x轴下方，点N在x轴上方，最低点为点M，最高点为点N， ∴，， ∴|yM|+yN＝5，即|m2+2m﹣3|+（m+3）2+2（m+3）﹣3＝5， ∴﹣m2﹣2m+3+（m+3）2+2（m+3）﹣3＝5， 整理得：6m+10＝0， 解得：（不符合题意，舍去）， 综上可得：或． 【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质及图象，解一元二次方程等，掌握其相关知识点是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $