精品解析：河南省信阳市浉河中学2025-2026学年九年级上学期1月检测数学试卷

河南省信阳市浉河中学2025-2026学年九年级上学期1月检测数学试卷 一、选择题（30分） 1. 习总书记指出：“探索浩瀚宇宙，发展航天事业，建设航天强国，是我们不懈追求的航天梦．”下列有关中国航天事业的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若关于x一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m的值可以是（ ） A. 1 B. C. 5 D. 6 3. 二次函数的图象的对称轴为（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 4. 二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将绕点顺时针旋转得到．若，，，则的长为（ ） A B. C. D. 6. 如图，四边形内接于，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 已知点，，都在反比例函数图象上，则（ ） A. B. C. D. 8. 在的正方形网格中，的位置如图所示，顶点、、均在格点上，则的值是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，对角线，相交于点O，点E为的中点，交于点F．若，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 2 10. 在等边三角形中，边上的点从顶点出发，向顶点运动，同时，边上的点从顶点出发，向顶点运动，两点运动速度的大小相等，设，，y与x的函数图象如图，图象过点，则图象最低点的纵坐标是（ ） A B. C. D. 二、填空题（15分） 11. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是_________． 12. 已知点与点关于原点对称，则______． 13. 如图，是上一点，点在直径的延长线上，是的切线，若，则的长为____________． 14. 如图，将反比例函数的图象绕着坐标原点顺时针旋转，旋转后的图象与轴交于，若，则____________． 15. 中，为上一点，连接，将绕点C顺时针旋转至．连接交于点F，当为等腰三角形时，长为____________． 三、解答题（75分） 16. （1）解方程： （2）计算： 17. 为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，某学校组织了以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛活动，从八、九年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用表示，共分为四组：A.，B.，C.，D.，得分在90分及以上为优秀），下面给出了部分信息： 八年级20名学生的竞赛成绩是：66，67，71，81，83，85，85，86，89，90，90，93，93，93，95，96，98，99，100，100． 九年级20名学生竞赛成绩在组的数据是：83，87，86，89，85，88． 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 方差 八年级 88 90 10.3 九年级 88 94 9.6 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中的_____，_____，______； （2）若该校八年级有900名，九年级有800名学生参加了此次以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛，估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有多少人？ （3）该校从八、九两个年级竞赛成绩在A组的所有学生中随机抽取了4名学生，其中八年级2名，九年级2名．现从这4名学生中随机抽取2人参加市赛，请用列表法或画树状图法，求抽到的学生至少有一名来自八年级的概率． 18. 如图，在中，． （1）实践与操作：在图1中用尺规作图法作出的内心I；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）证明与应用：如图2，与的三边分别相切于，连接ID、IE， ①判断四边形的形状并证明； ②若，求的半径． 19. 某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝，销往国外．若按每吨5万元出售，平均每天可售出100吨．市场调查反映：如果每吨降价1万元，每天销售量相应增加50吨．设每吨降价x万元，每天的利润为w万元． （1）求w与x的函数表达式． （2）该果商如何定价才能使每天的利润最大？并求出其最大值． 20. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点，过点A作轴交反比例函数的图象于点，点在反比例函数的图象上，以点A为圆心，长为半径画弧与x轴的右交点为点D，连接． （1）求反比例函数的表达式； （2）求证：； （3）直接写出阴影部分的面积． 21. 如图，时代，万物互联，助力数字经济发展，共建智慧生活．某移动公司为了提升网络信号在坡度（即）的山坡上加装了信号塔，信号塔底端Q到坡底A的距离为．当太阳光线与水平线所成的夹角为时，且． （1）　　　，　　　； （2）求信号塔的高度大约为多少米？（参考数据：，，） 22. 已知二次函数 （1）若该函数的图象经过点求二次函数的解析式； （2）若点和是该函数图象上的两个点 ①当时，求m的取值范围； ②若M、N两点分别在对称轴的两侧，当时，该函数最大值与最小值差为1，请直接写出a的取值范围____________． 23. 综合与实践 如图在中，，．现有一把透明的等腰直角三角板（，）将其角的顶点放在斜边上，三角板的边交射线于点，交边于点． （1）如图1，当点边上时，求证：； （2）如图2，若为边的中点时，将绕点旋转过程中发现与的乘积为定值． ①请求出这个定值； ②若，请直接写出长____________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省信阳市浉河中学2025-2026学年九年级上学期1月检测数学试卷 一、选择题（30分） 1. 习总书记指出：“探索浩瀚宇宙，发展航天事业，建设航天强国，是我们不懈追求的航天梦．”下列有关中国航天事业的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键．根据中心对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心． 【详解】解：A、不能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转后与原来的图形完全重合，故该选项不符合题意； B、能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转后与原来的图形完全重合，故该选项符合题意； C、不能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转后与原来的图形完全重合，故该选项不符合题意； D、不能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转后与原来的图形完全重合，故该选项不符合题意； 故选：B． 2. 若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m的值可以是（ ） A. 1 B. C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． 根据一元二次方程的定义和根的判别式，方程有两个不相等的实数根需满足二次项系数不为零且判别式大于零求出m的取值范围即可．． 【详解】∵ 方程 有两个不相等的实数根， ∴ ， 解得， ∴ 且 ． 故选B． 3. 二次函数的图象的对称轴为（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数性质，根据顶点式直接写出其对称轴即可，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴对称轴为直线， 故选：． 4. 二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和二次函数图象基本性质，熟练掌握两种函数图象与系数的关系是解题的关键．根据二次函数图象确定a、b的符号，然后根据一次函数的性质即可解答． 【详解】解：由二次函数图象，得出，对称轴在轴左侧，故，则， A、一次函数图象，得，，故A错误； B、一次函数图象，得，，故B错误； C、一次函数图象，得，，故C错误； D、一次函数图象，得，，故D正确． 故选：D． 5. 如图，将绕点顺时针旋转得到．若，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握旋转的性质．根据旋转的性质可得，，证明是等边三角形，即可得的长． 【详解】解：连接，如图所示： 将绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴是等边三角形， 则， 故选：A． 6. 如图，四边形内接于，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆的内接四边形，根据圆的内接四边形对角互补，即可作答． 【详解】解：四边形内接于，若， ， 故选：D． 7. 已知点，，都在反比例函数图象上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．把点、、的坐标分别代入函数解析式，求得、、的值，然后比较它们的大小即可． 【详解】解：点，，都在反比例函数图象上， ，，． ， 故选：C． 8. 在的正方形网格中，的位置如图所示，顶点、、均在格点上，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数的定义，构造直角三角形求解是解决问题的关键．取格点，构造以为锐角的直角三角形，然后根据正切的定义计算的值． 【详解】解：如图取格点，是直角三角形， 可得，， ． 故选：B． 9. 如图，在中，对角线，相交于点O，点E为的中点，交于点F．若，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识，利用平行四边形的性质、线段中点定义可得出，证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解∶∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 故选：B． 10. 在等边三角形中，边上的点从顶点出发，向顶点运动，同时，边上的点从顶点出发，向顶点运动，两点运动速度的大小相等，设，，y与x的函数图象如图，图象过点，则图象最低点的纵坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合函数图像，当时，，求得等边三角形的边长，证明，得出，当时，最小，勾股定理即可求解． 【详解】当时，， ∵三角形是等边三角形， ∴, ∵， ∴， ∴，当时，最小，最小值为， ∴的最小值为，即图象最低点的纵坐标是， 故选：D． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，垂线段最短，求得等边三角形的边长是解题的关键． 二、填空题（15分） 11. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，即可求解． 【详解】解：根据题意得， 解得：． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键． 12. 已知点与点关于原点对称，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由坐标系内关于原点成中心对称的两个点的横坐标，纵坐标都互为相反数，可得答案． 【详解】解： 点与点关于原点对称， 故答案： 【点睛】本题考查的是平面直角坐标系内关于原点对称的两个点的坐标关系，中心对称，掌握以上知识是解题的关键． 13. 如图，是上一点，点在直径的延长线上，是的切线，若，则的长为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，勾股定理，连接，由切线的性质可得，设的半径为，则，利用勾股定理即可求出的值，再根据即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵是的切线， ，即， 设的半径为， ∴， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 如图，将反比例函数的图象绕着坐标原点顺时针旋转，旋转后的图象与轴交于，若，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】作出点 旋转前的对应点，根据旋转的性质可得，，过点作 轴于点，根据得出，根据勾股定理求出，即可得出点的坐标，再用待定系数法求解即可． 【详解】解：如图，作出点 旋转前的对应点，， ∵， ∴， ∴， 过点作轴于点， ∵，即 ， ∴， 在 中，根据勾股定理可得：， ∴， 解得： ，负值舍去， ∴， ∴ 把代入，得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，解直角三角形，求反比例函数解析式，解题的关键是掌握旋转前后对应点到旋转中心连线相等，所成的夹角等于旋转角，勾股定理，以及用待定系数法求解函数表达式的方法． 15. 中，为上一点，连接，将绕点C顺时针旋转至．连接交于点F，当为等腰三角形时，长为____________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，先利用勾股定理求出，由旋转的性质可得，易证，结合，证明，推出，，再分三种情况讨论即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵将线段绕点C按顺时针方向旋转得到线段， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵为等腰三角形， ∴或或， 当时，则， ∵ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当，则， ∴， 同理得， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； 当，则， ∴， ∵，即， ∴此时，不能构成，即点不在上，不存在此种情况； 综上，当为等腰三角形时，长为或． 故答案为：或． 三、解答题（75分） 16. （1）解方程： （2）计算： 【答案】（1），； （2）3 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程和实数的混合运算，熟练运用运算法则以及找到合适的解题方法是解答本题的关键． （1）根据十字相乘法即可求出答案； （2）首先根据零指数幂的意义、特殊锐角三角函数的值、绝对值的意义分别求出其值，再依次计算加减即可求出答案． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴或， 解得：，； （2） ． 17. 为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，某学校组织了以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛活动，从八、九年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用表示，共分为四组：A.，B.，C.，D.，得分在90分及以上为优秀），下面给出了部分信息： 八年级20名学生的竞赛成绩是：66，67，71，81，83，85，85，86，89，90，90，93，93，93，95，96，98，99，100，100． 九年级20名学生竞赛成绩在组的数据是：83，87，86，89，85，88． 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 方差 八年级 88 90 10.3 九年级 88 94 9.6 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中的_____，_____，______； （2）若该校八年级有900名，九年级有800名学生参加了此次以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛，估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有多少人？ （3）该校从八、九两个年级竞赛成绩在A组的所有学生中随机抽取了4名学生，其中八年级2名，九年级2名．现从这4名学生中随机抽取2人参加市赛，请用列表法或画树状图法，求抽到的学生至少有一名来自八年级的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了众数，中位数，画树状图求概率，样本估计总体，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据众数，中位数的定义进行分析，即可作答． （2）运用样本估计总体进行列式计算，即可作答． （3）先画树状图，再得一共有12种等可能的结果，抽到的学生至少有一名来自八年级的结果有种，然后列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，分析八年级20名学生的竞赛成绩，出现次数最多，且为次， ∴众数； ∵调查20名九年级学生竞赛成绩， ∴中位数排在第和名之间， 则，即A组有9名学生， 结合成绩情况，得出第和名的竞赛成绩分别是和， ∴中位数， 又∵组有名学生， 则， 故答案为：． 【小问2详解】 解：依题意，， ∴估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有人． 【小问3详解】 解：把八年级2名学生分别记为甲和乙，九年级2名学生分别记为丙和丁，画出树状图如下： ∴一共有12种等可能的结果，抽到的学生至少有一名来自八年级的结果有种， ∴抽到的学生至少有一名来自八年级的概率为． 18. 如图，在中，． （1）实践与操作：在图1中用尺规作图法作出的内心I；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）证明与应用：如图2，与的三边分别相切于，连接ID、IE， ①判断四边形的形状并证明； ②若，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2）①正方形，证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）三角形内心是三条角平分线的交点，用尺规作、的角平分线，交点即为内心I． （2）①由切线性质得，，结合，先证四边形是矩形；再由（半径相等），证得矩形为正方形．②先在中求出，；设半径为，得，；根据切线长定理，列方程求解得． 【小问1详解】 解：如图，点I为所求， 【小问2详解】 解：①四边形是正方形，理由如下： ∵是的内切圆，即、、都是的切线， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形； ②已知，，， 则． 在中，，由勾股定理得： 设的半径为， 因为四边形是正方形， 所以，则，． 由切线长定理，，． 因为， 所以： ； 所以，的半径为． 【点睛】本题考查了三角形内切圆与内心，切线长的性质，勾股定理、角平分线的定义、解决本题的关键是掌握三角形内切圆与内心的含义与性质． 19. 某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝，销往国外．若按每吨5万元出售，平均每天可售出100吨．市场调查反映：如果每吨降价1万元，每天销售量相应增加50吨．设每吨降价x万元，每天的利润为w万元． （1）求w与x的函数表达式． （2）该果商如何定价才能使每天的利润最大？并求出其最大值． 【答案】（1） （2）定价为每吨4.5万元时，才能使每天的利润最大，最大利润为万元． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数在实际利润问题中应用，包括建立二次函数模型，求解二次函数表达式，以及利用二次函数的性质求解最值．解决本题的关键是根据利润公式建立二次函数模型求解出二次函数解析式． （1）根据利润每吨利润销售量，表示出每吨利润和销售量即可建立函数表示式； （2）将函数表达式进行配方求求最大值即可． 【小问1详解】 解：设每吨降价x万元，每天的利润为w万元， ∵原本按每吨5万元出售， ∴现在按每吨万元出售， ∵每吨的成本为2万元， ∴每吨的利润为万元， ∵每吨降价1万元，每天销售量相应增加50吨， ∴每吨降价x万元，每天销售量相应增加吨， ∵原本平均每天可售出100吨， ∴现在平均每天可售出吨， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）知，， ∴， ∵， ∴当时，w有最大值，最大值为， ∴万元， 答：定价为每吨4.5万元时，才能使每天的利润最大，最大利润为万元． 20. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点，过点A作轴交反比例函数的图象于点，点在反比例函数的图象上，以点A为圆心，长为半径画弧与x轴的右交点为点D，连接． （1）求反比例函数的表达式； （2）求证：； （3）直接写出阴影部分的面积． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先求解，再利用待定系数法求解反比例函数解析式即可； （2）先求解（舍去），可得，由作图可得：，求解，设，结合，可得，再利用勾股定理的逆定理证明即可； （3）由（2）得：，，结合阴影部分的面积为扇形面积减去直角三角形的面积即可. 【小问1详解】 解：∵点，过点A作轴交反比例函数的图象于点， ∴， ∴， ∴反比例函数为； 【小问2详解】 证明：∵点在反比例函数图象上， ∴， 解得：（舍去）， ∴， 由作图可得：， ∵， ∴， 设， ∴， 解得：（舍去）， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由（2）得：，， ∴阴影部分的面积为. 【点睛】本题考查的是坐标与图形性质，求解反比例函数解析式，反比例函数的图象与性质，旋转的性质，勾股定理及其逆定理的应用，求解扇形的面积，掌握以上知识是解本题的关键. 21. 如图，时代，万物互联，助力数字经济发展，共建智慧生活．某移动公司为了提升网络信号在坡度（即）的山坡上加装了信号塔，信号塔底端Q到坡底A的距离为．当太阳光线与水平线所成的夹角为时，且． （1）　　　，　　　； （2）求信号塔的高度大约为多少米？（参考数据：，，） 【答案】（1）13，37 （2）信号塔的高度大约为米 【解析】 【分析】（1）根据题意即可求出，作，垂足为S，根据题意，即可求得； （2）根据题意和作图可知四边形为矩形，根据坡度的定义设米，在中，由勾股定理可得，代入求出的长，利用锐角三角函数关系，得出的长，进而得出答案． 【小问1详解】 解：信号塔底端Q到坡底A的距离为， ； 如图，作，垂足为S，    根据题意， ∴； 【小问2详解】 解：根据题意和作图可知四边形为矩形， ∴． 由，可得， 设米，则米， 在中，由勾股定理可得， ∴， 解得（负值舍去）， ∴（米），（米）， ∴， ∵， 在中， ， 即， ∴（米）， ∴（米）， 答：信号塔的高度大约为米． 【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，勾股定理，坡度的定义，矩形的判定和性质，正确作出辅助线是解题关键． 22. 已知二次函数 （1）若该函数的图象经过点求二次函数的解析式； （2）若点和是该函数图象上的两个点 ①当时，求m的取值范围； ②若M、N两点分别在对称轴的两侧，当时，该函数最大值与最小值差为1，请直接写出a的取值范围____________． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）将点代入，用待定系数法求解即可； （2）①将和代入得，由得：，再求解即可； ②因为点和在对称轴的两侧，所以：，解得．在上，函数在处取得最小值．最大值与最小值之差为1，所以最大值为0，且最大值在端点或处取得．再分类讨论求解即可． 【小问1详解】 解：将点代入得： 解得， 所以二次函数解析式为； 【小问2详解】 解：①点和在图象上，则： ， 由得：， 两边消去并除以正数得：， 展开得，化简得：， ， ， 所以的取值范围是； ②因为点和在对称轴的两侧，所以：， 解得． 在上，函数在处取得最小值．最大值与最小值之差为1， 所以最大值为0，且最大值在端点或处取得． 情况一：当时取得最大值0则：， 解得．同时，当时函数值不超过0：， 代入得：， 因为，两边乘以得： 展开化简得， 即． 结合，得． 此时，当从增大到时，从增大到（因为且可取）， 所以． 情况二：当时取得最大值0则：， 解得． 同时，当时函数值不超过0：， 代入得：， 因为，两边乘以得：， 展开化简得， 即． 结合，得． 此时，当从增大到2时，从减小到（因为且可取）， 所以． 综合两种情况，的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象、二次函数的性质、二次函数最值等知识点，熟练掌握分类讨论是解答本题的关键． 23. 综合与实践 如图在中，，．现有一把透明的等腰直角三角板（，）将其角的顶点放在斜边上，三角板的边交射线于点，交边于点． （1）如图1，当点在边上时，求证：； （2）如图2，若为边的中点时，将绕点旋转过程中发现与的乘积为定值． ①请求出这个定值； ②若，请直接写出的长____________． 【答案】（1）见解析 （2）①②或 【解析】 【分析】(1)根据等腰直角三角形的性质可证，根据三角形外角的性质可证，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可证结论成立； (2)①根据相似三角形的性质可知，利用勾股定理可以求出，又因为点是的中点，可知，可得：； ②根据分情况求出的长度，根据求出的长度，再根据求出的长度，利用勾股定理求出的长度即可． 【小问1详解】 证明：中，， ， 又， ， 是的外角， ， 又， ， ； 【小问2详解】 ①解：， ， ， ，, ， 点是的中点， ， ； ②解：如下图所示， ，， ， ， ， ， ； 如下图所示， ，， ， ， ， ， ； 综上所述，当时，或． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形外角的性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $