学易金卷：九年级数学上学期9月学情自测卷（河南专用，范围：新教材人教版九年级上册第25～26章）

**基本信息** 以一元二次方程与二次函数为核心，融合射水鱼捕食、开封菊花文化节等真实情境，通过跨学科问题设计（如瓷器碗抛物线建模）考查抽象能力与模型意识，适配九年级上月考学情检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|一元二次方程定义、二次函数图像变换|第4题通过甲、乙、丙、丁四种解法辨析，考查推理能力| |填空题|5/15|二次函数表达式、抛物线应用|第14题结合生物学射水鱼水流抛物线，体现数学眼光观察现实世界| |解答题|8/75|方程解法、利润问题、抛物线建模|第23题以瓷器碗截面为背景，通过建立坐标系求抛物线解析式，发展几何直观与应用意识|

11 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.__________ 12. ___________ 13. __________ 14. ___________ 15. _________ 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 16.（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（8分） 18．（9分） 19．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（10分） 21．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（10分） 23．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 一==-■==。。==-一=-■-。===。=●一一=▣- 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][√][/] 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1,A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 9.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 10.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7.[A][B][C][D] 4.[A][B][C][D] 8.[A][B][C][D] 二、填空题：本题共5小题， 每小题3分，共15分。 11 12 13. 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 16.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(8分) 18.(9分) 19.(10分) 图① 图② 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(10分) 21.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 22.（10分) a 6 A D月 B 23.(10分) yA D A M (0) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：90分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版九年级上册第25~26章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．下列方程中是一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 2．已知是关于的方程的一个根，则的值为（ ） A. 5 B. C. 1 D. 3．在平面直角坐标系中，将函数的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ） A． B． C． D． 4．关于的方程，下面解法完全正确的是 甲 乙 整理得 ，， △ ， 两边同时除以 得到 丙 丁 移项得 或 或 整理得，配方得 ， ， A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 5．抛物线和直线在同一坐标系的图象可能是（ ） A． B． C． D． 6．如图，观察函数 的图象，可以发现方程 在0，1之间有根.取0，1的平均数 ，当 时， ，进一步可知这个根在0.5和1之间，则与方程 另一根更接近的是（ ） A． B． C． D． 7．如图，实心小球从某处由静止状态下落到正下方竖直放置的弹簧上并压缩弹簧．已知从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中，小球的速度与弹簧被压缩的长度之间的函数关系式为，则这个过程中，小球速度的最大值为（ ） A． B． C． D． 8．如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（ ） A． B． C． D． 9．如图，根据小丽与DeepSeek的对话，DeepSeek在深度思考后，给出的答案是（ ） A．1 B． C．－1 D．1或－1 10．如图，在平面直角坐标系中，，是轴上的两点，是函数图像上一动点，连接，．则的最小值为（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．请写出一个满足以下条件的关于的二次函数表达式： ①图象经过原点；②当时，随的增大而增大． 则这个二次函数表达式可以是_________________．（写出一个即可） 12．如图，小球悬浮于液体中（即），若，小球质量为，重力加速度，则的值为 ．（注：） 13．若方程的两根分别是方程的两根的相反数，则__________． 14．如图(1),据生物学资料介绍,射水鱼会从口中射出一股水流击中昆虫达到捕食目的,其射出的水流可以看作一条抛物线的一部分(不考虑空气阻力).图(2)是一次捕食中一条射水鱼发现一只昆虫后射出水流的图象,其中水流从点O射出,水流运动的高度y(cm)与水平距离x(cm)近似满足函数关系y=-x2+4x(x≥0).若这只昆虫在点P(20,50),则这次射出的水流　　　　击中昆虫.(填“能”或“不能”)  15．如图，某投影仪正对墙投屏，其光源离墙米，离地米，它透过方孔发射出来的上下两束光束的最大张角为，并在上下调整机头摆动过程中发现（假设光源位置始终不变），墙上高为米处始终能被照射到，若不考虑墙高，则投影仪发射的光线可能到达的最高位置离地面的距离是 米． 三、解答题：本题共8小题，共75分。 16．（8分）解一元二次方程时，两位同学的解法如下： 嘉嘉同学： 或 或 琪琪同学： ，， 此方程无实数根． （1）你认为他们的解法是否正确？直接写出判断结果； 嘉嘉同学的解法__________，琪琪同学的解法__________．（填“正确”或者“不正确”） （2）请选择合适的方法解一元二次方程． 17．（8分）已知关于的一元二次方程． （1）求证该方程总有两个实数根； （2）若该方程的一个根是另一个根的2倍，求的值． 18．（9分）“中国开封菊花文化节”始于年，是开封市实现文化大发展、提升城市文化软实力、建设国际文化旅游名城的重要名片之一，每年的-月都为八方来客奉上一场既有时代气息又具开封特色的菊花文化盛宴，市民们也常在当季购买菊花观赏．某菊花供应商有一种菊花，进货价为每盆元，销售价为每盆元，菊花节期间平均每天可以售出盆．菊花节落幕后决定降价出售，经市场调查发现：如果每盆降价元，那么平均每天就可多出售盆．设每盆降价元． （1）降价后每盆的利润是__________元；每天卖出__________盆；（用含的代数式表示） （2）菊花供应商想要达到每天元的盈利，同时想让市民得到实惠，求每盆应降价多少元？ 19．（10分）许多数学问题源于生活．雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞（如图①）、可以发现数学研究的对象——抛物线．在如图②所示的直角坐标系中，伞柄在y轴上，坐标原点O为伞骨，的交点．点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上，，关于y轴对称．分米，点A到x轴的距离是分米，A，B两点之间的距离是4分米．    （1）求抛物线的表达式； （2）分别延长，交抛物线于点F，E，求E，F两点之间的距离． 20．（10分）石桥酥梨，又称皮薄酥、喉管梨、红珊瑚梨等，是河南水果的一大特色，并有多个品种对外销售，深受国内外消费者的喜爱．某大型超市购进该种品牌的酥梨若干，正常售价为每千克5.5元，若按照九折销售，仍能获得的利润． （1）求该品牌酥梨的进价． （2）若购进该品牌酥梨不超过200千克，则按原进价购进；若超过200千克，则超过部分购进价格减少0.5元/千克．写出购进该品牌酥梨的支出y（元）与购进数量x（千克）之间的函数关系式． （3）根据市场调查，超市一天购进酥梨的数量不超过300千克，且购进的酥梨当天能全部销售完．据统计，销售单价a（元/千克）与一天销售数量x（千克）的关系为．在（2）的条件下，要使超市销售酥梨的利润w（元）最大，求一天购进酥梨的数量． 21．（10分）数学社团活动课上，同学们研究一个问题：任意给定一个矩形，是否存在一个新矩形，它的周长和面积分别是原矩形周长和面积的一半？ 【阶段一】同学们认为可以先研究给定矩形为正方形的情况，即是否存在一个正方形，其周长和面积都为原正方形周长和面积的一半？ 思路：设给定的正方形边长为a，则其周长为4a，面积为．若新正方形的周长是原正方形周长的一半，则新正方形边长为①_______，此时新正方形的面积是②_______ 结论：③_______（“存在”或“不存在”）一个新正方形，它的周长和面积分别是原矩形周长和面积的一半 【阶段二】同学们对矩形（不包括正方形）的情况进行探究， 活动一：从特殊的矩形入手，如果已知矩形的长和宽分别为4和2，是否存在一个新矩形，它的周长和面积分别是原矩形周长和面积的一半？ 分析：设新矩形长和宽分别为x，y，根据题意，得方程组④______________ 思路一：消去未知数y，得到关于x的方程，根据利用“凑完全平方”得方程的解的情况解决问题． 思路二：根据利用完全平方公式的代数变换解决问题． 结论：⑤_________（“存在”或不存在）一个新矩形，使其周长和面积都是长和宽分别为4和2的矩形周长和面积的一半． 活动二：对于一般的矩形，如果已知矩形的长和宽分别为m和n，是否存在一个新矩形，它的周长和面积分别是原矩形周长和面积的一半？若存在，请指出需要满足的条件，若不存在，请说明理由． 请你完成以下任务： (1)将①~⑤分别补充完整； (2)按照【阶段二】中活动一的思路一、思路二选取其中一种，解决问题： (3)完成对【阶段二】中活动二的研究． 22．（10分）【阅读理解】在欧几里得的《几何原本》中，形如关于的一元二次方程（，）的图解法是：如图，作，其中，，，在斜边上截取，则的长就是所求方程的正根． 【推导验证】 对方程进行配方，得， 因为，所以，…… （1）请你继续完成上述推导． 【尝试应用】（2）若利用此图解法解方程，那么_____，_____，方程的正根_____． （3）已知关于的一元二次方程（），利用上述图解法求解时，有，求a的值． 23．（10分）中国瓷器是世界上最早最精美的陶瓷之一，也是中国文化的重要组成部分，九（1）班同学在进行历史和数学跨学科项目式学习时，通过收集到的素材进行了方案探究和任务性学习： 【设计方案求碗里水面的宽度】 素材一 图1是一个竖直放置在水平桌面MN上的瓷碗，图2是其截面图，瓷碗高度，碗口宽，，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），当碗中盛满水时的最大深度． 素材二 如图3，把瓷碗绕点B缓缓倾斜，倒出碗中的部分水，当水面与碗口的夹角为时停止倾斜． 问题解决 问题1 如右图，以碗底的中点F为原点O，以为x轴，的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，求碗体的抛物线解析式. 问题2 根据图2位置，当把碗中的水喝掉一部分后，发现水面的最大深度为，求此时水面宽度的长. 问题3 如图3，当碗停止倾斜时，求此时碗里水面的宽度______． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：90分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版九年级上册第25~26章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．下列方程中是一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：A选项：方程，∵是整式方程，只含一个未知数，且的最高次数为，∴是一元二次方程，该选项符合要求． B选项：方程，∵是分式，方程不是整式方程，∴不是一元二次方程，该选项不符合要求． C选项：对展开整理，得，∵未知数的最高次数是，∴不是一元二次方程，该选项不符合要求． D选项：方程，∵方程含有和两个未知数，∴不是一元二次方程，该选项不符合要求． 2．已知是关于的方程的一个根，则的值为（ ） A. 5 B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】是方程的一个根， 将代入原方程，得，整理得，移项、合并同类项得，两边同除以，得. 3．在平面直角坐标系中，将函数的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵ 函数图象向左平移2个单位长度， ∴ 平移后表达式为． ∵ 再向下平移1个单位长度， ∴ 最终表达式为，即． 4．关于的方程，下面解法完全正确的是 甲 乙 整理得 ，， △ ， 两边同时除以 得到 丙 丁 移项得 或 或 整理得，配方得 ， ， A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【解析】解：将方程整理得，，所以甲的解法错误．故A选项不符合题意．当时，等式两边不可以同除以，所以乙的解法错误．故B选项不符合题意．先变号，后移项，将移到等式左边时，应变为，所以丙的解法错误．故C选项不符合题意．当系数为1时，等式两边都加上一次项系数一半的平方，所以丁的解法正确．故D选项符合题意． 5．抛物线和直线在同一坐标系的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：根据题意，得，令，得，解得，， A．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，，，，符合要求；B．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，，，，不符合要求；C．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，，，，不符合要求；D．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，，，，不符合要求． 6．如图，观察函数 的图象，可以发现方程 在0，1之间有根.取0，1的平均数 ，当 时， ，进一步可知这个根在0.5和1之间，则与方程 另一根更接近的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，, 方程的一个根在0.75和1之间 抛物线的对称轴为直线.令方程的两根为,,，则，即， 方程另一根更接近的是.故选B. 7．如图，实心小球从某处由静止状态下落到正下方竖直放置的弹簧上并压缩弹簧．已知从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中，小球的速度与弹簧被压缩的长度之间的函数关系式为，则这个过程中，小球速度的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：由题意得：函数，，该函数图象开口向下，有最大值， 对称轴为，将代入得：， 即小球速度的最大值为． 8．如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：若设停车场内车道的宽度为，则停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形，根据题意得：，故选C． 9．如图，根据小丽与DeepSeek的对话，DeepSeek在深度思考后，给出的答案是（   ） A．1 B． C．－1 D．1或－1 【答案】A 【解析】解：设这个数为，则有.移项得：，根据完全平方公式，对进行因式分解可得： ，根据平方根得性质，若，则，所以，解得．故选A． 10．如图，在平面直角坐标系中，，是轴上的两点，是函数图像上一动点，连接，．则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：设点P的坐标为， ∵，是轴上的两点， ∴， ∴， ∵，∴当时，的最小值为36，即选项B符合题意． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．请写出一个满足以下条件的关于的二次函数表达式： ①图象经过原点；②当时，随的增大而增大． 则这个二次函数表达式可以是_________________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】解：设该二次函数表达式为， 由题意，可知该二次函数图象开口向上（即），对称轴（即）， 且，则满足题意．（答案不唯一，符合题意即可） 12．如图，小球悬浮于液体中（即），若，小球质量为，重力加速度，则的值为 ．（注：） 【答案】或1 【解析】由题意可知， 整理得，解得或． 13．若方程的两根分别是方程的两根的相反数，则__________． 【答案】 【解析】解：设方程的两根为，由题意可知，方程的两根为，根据一元二次方程根与系数的关系，对可得，；对可得，，整理得，；联立得方程组， 解得，因此． 14．如图(1),据生物学资料介绍,射水鱼会从口中射出一股水流击中昆虫达到捕食目的,其射出的水流可以看作一条抛物线的一部分(不考虑空气阻力).图(2)是一次捕食中一条射水鱼发现一只昆虫后射出水流的图象,其中水流从点O射出,水流运动的高度y(cm)与水平距离x(cm)近似满足函数关系y=-x2+4x(x≥0).若这只昆虫在点P(20,50),则这次射出的水流　　　　击中昆虫.(填“能”或“不能”)  【答案】不能 【解析】由题意,把x=20代入y=-x2+4x得,y=-×202+4×20=-+80=-40+80=40≠50,∴这次射出的水流不能击中昆虫.故答案为不能. 15．如图，某投影仪正对墙投屏，其光源离墙米，离地米，它透过方孔发射出来的上下两束光束的最大张角为，并在上下调整机头摆动过程中发现（假设光源位置始终不变），墙上高为米处始终能被照射到，若不考虑墙高，则投影仪发射的光线可能到达的最高位置离地面的距离是 米． 【答案】 【解析】解：如图，记投影仪的位置为点，墙与地面的交点为点，点为墙上高为米处，过点作垂直于墙于，作交墙于，过点作于， ∴，，∴是等腰直角三角形，∴， ∵光源离墙米，离地米，∴，，∴， ∴，∵，∴， ∴，设，则，， 在中，由勾股定理得，∴，∴， ∴，∴，∴，∴，解得或（舍去），∴，∴投影仪发射的光线可能到达的最高位置离地面的距离． 三、解答题：本题共8小题，共75分。 16．（8分）解一元二次方程时，两位同学的解法如下： 嘉嘉同学： 或 或 琪琪同学： ，， 此方程无实数根． （1）你认为他们的解法是否正确？直接写出判断结果； 嘉嘉同学的解法__________，琪琪同学的解法__________．（填“正确”或者“不正确”） （2）请选择合适的方法解一元二次方程． 【解析】（1）解：∵乘积为5的两个因数有无数种情况， ∴嘉嘉由得到或不正确； 因化为一般式是，∴，，， ∴琪琪同学的解法不正确； （4分） （2）解：∵，∴， ∴，∴或，∴．（8分） 17．（8分）已知关于的一元二次方程． （1）求证该方程总有两个实数根； （2）若该方程的一个根是另一个根的2倍，求的值． 【解析】（1）证明：∵， ， 该方程总有两个实数根；（4分） （2）解：，， 解得，， 方程的一个根是另一个根的倍， 分两种情况讨论： 当时，，解得； 当时，，解得；综上，的值为或.（8分） 18．（9分）“中国开封菊花文化节”始于年，是开封市实现文化大发展、提升城市文化软实力、建设国际文化旅游名城的重要名片之一，每年的-月都为八方来客奉上一场既有时代气息又具开封特色的菊花文化盛宴，市民们也常在当季购买菊花观赏．某菊花供应商有一种菊花，进货价为每盆元，销售价为每盆元，菊花节期间平均每天可以售出盆．菊花节落幕后决定降价出售，经市场调查发现：如果每盆降价元，那么平均每天就可多出售盆．设每盆降价元． （1）降价后每盆的利润是__________元；每天卖出__________盆；（用含的代数式表示） （2）菊花供应商想要达到每天元的盈利，同时想让市民得到实惠，求每盆应降价多少元？ 【解析】（1）解：∵进货价为每盆元，销售价为每盆元，菊花节期间平均每天可以售出盆．如果每盆降价元，那么平均每天就可多出售盆，每盆降价元， ∴降价后每盆的利润是元，每天卖出盆.（4分） （2）解：由题意列方程得：， 解得：，， ∵，∴为让市民得到实惠，应取． 答：菊花供应商想要达到每天元的盈利，同时想让市民得到实惠，每盆应降价元．（9分） 19．（10分）许多数学问题源于生活．雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞（如图①）、可以发现数学研究的对象——抛物线．在如图②所示的直角坐标系中，伞柄在y轴上，坐标原点O为伞骨，的交点．点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上，，关于y轴对称．分米，点A到x轴的距离是分米，A，B两点之间的距离是4分米．    （1）求抛物线的表达式； （2）分别延长，交抛物线于点F，E，求E，F两点之间的距离． 【解析】（1）解：根据题意，点，，， 设抛物线解析式为：，将坐标代入解析式得：， 解得：，抛物线解析式为：．（4分） （2）设直线解析式为，将坐标代入得，，解得， ∴直线解析式为：， 联立函数解析式：，解得：，或， ∴点F坐标为； 抛物线的对称轴是y轴，∴点E的坐标为， ∴（分米）．（10分） 20．（10分）石桥酥梨，又称皮薄酥、喉管梨、红珊瑚梨等，是河南水果的一大特色，并有多个品种对外销售，深受国内外消费者的喜爱．某大型超市购进该种品牌的酥梨若干，正常售价为每千克5.5元，若按照九折销售，仍能获得的利润． （1）求该品牌酥梨的进价． （2）若购进该品牌酥梨不超过200千克，则按原进价购进；若超过200千克，则超过部分购进价格减少0.5元/千克．写出购进该品牌酥梨的支出y（元）与购进数量x（千克）之间的函数关系式． （3）根据市场调查，超市一天购进酥梨的数量不超过300千克，且购进的酥梨当天能全部销售完．据统计，销售单价a（元/千克）与一天销售数量x（千克）的关系为．在（2）的条件下，要使超市销售酥梨的利润w（元）最大，求一天购进酥梨的数量． 【解析】（1）解：设该品牌酥梨的进价为x元/千克． 由题意，得，解得． 答：该品牌酥梨的进价为4.5元/千克．（3分） （2）解：当时，；当时，． ∴．（6分） （3）解：当时， ． ∵，∴当时，有最大值为100； 若时，． ∵．∴当时，有最大值为125． ∵，∴当一天购进酥梨的数量为300千克时，超市销售酥梨的利润最大． 答：要使超市销售酥梨的利润最大，一天购进酥梨的数量为300千克．（10分） 21．（10分）数学社团活动课上，同学们研究一个问题：任意给定一个矩形，是否存在一个新矩形，它的周长和面积分别是原矩形周长和面积的一半？ 【阶段一】同学们认为可以先研究给定矩形为正方形的情况，即是否存在一个正方形，其周长和面积都为原正方形周长和面积的一半？ 思路：设给定的正方形边长为a，则其周长为4a，面积为．若新正方形的周长是原正方形周长的一半，则新正方形边长为①_______，此时新正方形的面积是②_______ 结论：③_______（“存在”或“不存在”）一个新正方形，它的周长和面积分别是原矩形周长和面积的一半 【阶段二】同学们对矩形（不包括正方形）的情况进行探究， 活动一：从特殊的矩形入手，如果已知矩形的长和宽分别为4和2，是否存在一个新矩形，它的周长和面积分别是原矩形周长和面积的一半？ 分析：设新矩形长和宽分别为x，y，根据题意，得方程组④______________ 思路一：消去未知数y，得到关于x的方程，根据利用“凑完全平方”得方程的解的情况解决问题． 思路二：根据利用完全平方公式的代数变换解决问题． 结论：⑤_________（“存在”或不存在）一个新矩形，使其周长和面积都是长和宽分别为4和2的矩形周长和面积的一半． 活动二：对于一般的矩形，如果已知矩形的长和宽分别为m和n，是否存在一个新矩形，它的周长和面积分别是原矩形周长和面积的一半？若存在，请指出需要满足的条件，若不存在，请说明理由． 请你完成以下任务： (1)将①~⑤分别补充完整； (2)按照【阶段二】中活动一的思路一、思路二选取其中一种，解决问题： (3)完成对【阶段二】中活动二的研究． 【解析】（1）解：设给定的正方形边长为a，则其周长为4a，面积为． 若新正方形的周长是原正方形周长的一半，则新正方形边长为， 此时新正方形的面积是， 即不存在一个新正方形，它的周长和面积分别是原矩形周长和面积的一半； 已知矩形的长和宽分别为4和2，若存在一个新矩形，它的周长和面积分别是原矩形周长和面积的一半， 设新矩形长和宽分别为x、y，根据题意，得方程组， 整理得：，由得：，将③代入①得：，， ，，方程组无解， 即不存在一个新矩形，使其周长和面积都是长和宽分别为4和2的矩形周长和面积的一半． 故答案为：①；②；③不存在；④；⑤不存在；（5分） （2）解：设新矩形长和宽分别为x，y，根据题意，得方程组， 思路一：见（1）解析； 思路二：，且，、不存在满足条件的情况， 即不存在一个新矩形，使其周长和面积都是长和宽分别为4和2的矩形周长和面积的一半．（7分） （3）解：设新矩形长和宽分别为x、y， 根据题意得，由①得：，将③代入②得：，整理得：，， 时，方程有实数解，时，即，方程有解，存在满足条件的新矩形， （10分） 22．（10分）【阅读理解】在欧几里得的《几何原本》中，形如关于的一元二次方程（，）的图解法是：如图，作，其中，，，在斜边上截取，则的长就是所求方程的正根． 【推导验证】 对方程进行配方，得， 因为，所以，…… （1）请你继续完成上述推导． 【尝试应用】（2）若利用此图解法解方程，那么_____，_____，方程的正根_____． （3）已知关于的一元二次方程（），利用上述图解法求解时，有，求a的值． 【解析】（1）因为，，，所以， 因为，所以， 所以，取，所以．（3分） （2）解：利用此图解法解方程，那么，，， ∴根据勾股定理，，方程的正根．（6分） （3）解：如图， ∵，，∴，∵，且，∴， 由，得，∵，∴．（10分） 23．（10分）中国瓷器是世界上最早最精美的陶瓷之一，也是中国文化的重要组成部分，九（1）班同学在进行历史和数学跨学科项目式学习时，通过收集到的素材进行了方案探究和任务性学习： 【设计方案求碗里水面的宽度】 素材一 图1是一个竖直放置在水平桌面MN上的瓷碗，图2是其截面图，瓷碗高度，碗口宽，，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），当碗中盛满水时的最大深度． 素材二 如图3，把瓷碗绕点B缓缓倾斜，倒出碗中的部分水，当水面与碗口的夹角为时停止倾斜． 问题解决 问题1 如右图，以碗底的中点F为原点O，以为x轴，的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，求碗体的抛物线解析式. 问题2 根据图2位置，当把碗中的水喝掉一部分后，发现水面的最大深度为，求此时水面宽度的长. 问题3 如图3，当碗停止倾斜时，求此时碗里水面的宽度______． 【解析】问题1：解：以碗底的中点F为原点O，以为x轴，的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示： ，，，， ，，， 设抛物线的解析式为，将点代入解析式，有，解得， 抛物线解析式为．（3分） 问题2：解：碗中液面高度（离桌面距离）为，， 这时液面的纵坐标为， 当时，有，解得，，则液面宽度为．（6分） 问题3：解：以为轴，的垂直平分线为轴建立直角坐标系，倾斜后如图所示，记轴交于点，交于点， 由题知，，，轴， 又，∴，，∴，， 设直线的解析式为，则，解得， ， 联立方程组，解得或（舍），，． （10分） / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 参考答案 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A D B D A B B C A B 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．（答案不唯一） 12．或1 13． 14．不能 15． 三、解答题：本题共8小题，共75分。 16.【解析】（1）解：∵乘积为5的两个因数有无数种情况， ∴嘉嘉由得到或不正确； 因化为一般式是，∴，，， ∴琪琪同学的解法不正确； （4分） （2）解：∵，∴， ∴，∴或，∴．（8分） 17.【解析】（1）证明：∵， ， 该方程总有两个实数根；（4分） （2）解：，， 解得，， 方程的一个根是另一个根的倍， 分两种情况讨论： 当时，，解得； 当时，，解得；综上，的值为或.（8分） 18.【解析】（1）解：∵进货价为每盆元，销售价为每盆元，菊花节期间平均每天可以售出盆．如果每盆降价元，那么平均每天就可多出售盆，每盆降价元， ∴降价后每盆的利润是元，每天卖出盆.（4分） （2）解：由题意列方程得：， 解得：，， ∵，∴为让市民得到实惠，应取． 答：菊花供应商想要达到每天元的盈利，同时想让市民得到实惠，每盆应降价元．（9分） ∵，∴，∴．（9分） 19.【解析】（1）解：根据题意，点，，， 设抛物线解析式为：，将坐标代入解析式得：， 解得：，抛物线解析式为：．（4分） （2）设直线解析式为，将坐标代入得，，解得， ∴直线解析式为：， 联立函数解析式：，解得：，或， ∴点F坐标为； 抛物线的对称轴是y轴，∴点E的坐标为， ∴（分米）．（10分） 20.【解析】（1）解：设该品牌酥梨的进价为x元/千克． 由题意，得，解得． 答：该品牌酥梨的进价为4.5元/千克．（3分） （2）解：当时，；当时，． ∴．（6分） （3）解：当时， ． ∵，∴当时，有最大值为100； 若时，． ∵．∴当时，有最大值为125． ∵，∴当一天购进酥梨的数量为300千克时，超市销售酥梨的利润最大． 答：要使超市销售酥梨的利润最大，一天购进酥梨的数量为300千克．（10分） 21.【【解析】（1）解：设给定的正方形边长为a，则其周长为4a，面积为． 若新正方形的周长是原正方形周长的一半，则新正方形边长为， 此时新正方形的面积是， 即不存在一个新正方形，它的周长和面积分别是原矩形周长和面积的一半； 已知矩形的长和宽分别为4和2，若存在一个新矩形，它的周长和面积分别是原矩形周长和面积的一半， 设新矩形长和宽分别为x、y，根据题意，得方程组， 整理得：，由得：，将③代入①得：，， ，，方程组无解， 即不存在一个新矩形，使其周长和面积都是长和宽分别为4和2的矩形周长和面积的一半． 故答案为：①；②；③不存在；④；⑤不存在；（5分） （2）解：设新矩形长和宽分别为x，y，根据题意，得方程组， 思路一：见（1）解析； 思路二：，且，、不存在满足条件的情况， 即不存在一个新矩形，使其周长和面积都是长和宽分别为4和2的矩形周长和面积的一半．（7分） （3）解：设新矩形长和宽分别为x、y， 根据题意得，由①得：，将③代入②得：，整理得：，， 时，方程有实数解，时，即，方程有解，存在满足条件的新矩形， （10分） 22．【解析】（1）因为，，，所以， 因为，所以， 所以，取，所以．（3分） （2）解：利用此图解法解方程，那么，，， ∴根据勾股定理，，方程的正根．（6分） （3）解：如图， ∵，，∴，∵，且，∴， 由，得，∵，∴．（10分） 23．【解析】问题1：解：以碗底的中点F为原点O，以为x轴，的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示： ，，，， ，，， 设抛物线的解析式为，将点代入解析式，有，解得， 抛物线解析式为．（3分） 问题2：解：碗中液面高度（离桌面距离）为，， 这时液面的纵坐标为， 当时，有，解得，，则液面宽度为．（6分） 问题3：解：以为轴，的垂直平分线为轴建立直角坐标系，倾斜后如图所示，记轴交于点，交于点， 由题知，，，轴， 又，∴，，∴，， 设直线的解析式为，则，解得， ， 联立方程组，解得或（舍），，． （10分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：90分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版九年级上册第25~26章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．下列方程中是一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 2．已知是关于的方程的一个根，则的值为（ ） A. 5 B. C. 1 D. 3．在平面直角坐标系中，将函数的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ） A． B． C． D． 4．关于的方程，下面解法完全正确的是 甲 乙 整理得 ，， △ ， 两边同时除以 得到 丙 丁 移项得 或 或 整理得，配方得 ， ， A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 5．抛物线和直线在同一坐标系的图象可能是（ ） A． B． C． D． 6．如图，观察函数 的图象，可以发现方程 在0，1之间有根.取0，1的平均数 ，当 时， ，进一步可知这个根在0.5和1之间，则与方程 另一根更接近的是（ ） A． B． C． D． 7．如图，实心小球从某处由静止状态下落到正下方竖直放置的弹簧上并压缩弹簧．已知从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中，小球的速度与弹簧被压缩的长度之间的函数关系式为，则这个过程中，小球速度的最大值为（ ） A． B． C． D． 8．如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（ ） A． B． C． D． 9．如图，根据小丽与DeepSeek的对话，DeepSeek在深度思考后，给出的答案是（ ） A．1 B． C．－1 D．1或－1 10．如图，在平面直角坐标系中，，是轴上的两点，是函数图像上一动点，连接，．则的最小值为（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．请写出一个满足以下条件的关于的二次函数表达式： ①图象经过原点；②当时，随的增大而增大． 则这个二次函数表达式可以是_________________．（写出一个即可） 12．如图，小球悬浮于液体中（即），若，小球质量为，重力加速度，则的值为 ．（注：） 13．若方程的两根分别是方程的两根的相反数，则__________． 14．如图(1),据生物学资料介绍,射水鱼会从口中射出一股水流击中昆虫达到捕食目的,其射出的水流可以看作一条抛物线的一部分(不考虑空气阻力).图(2)是一次捕食中一条射水鱼发现一只昆虫后射出水流的图象,其中水流从点O射出,水流运动的高度y(cm)与水平距离x(cm)近似满足函数关系y=-x2+4x(x≥0).若这只昆虫在点P(20,50),则这次射出的水流　　　　击中昆虫.(填“能”或“不能”)  15．如图，某投影仪正对墙投屏，其光源离墙米，离地米，它透过方孔发射出来的上下两束光束的最大张角为，并在上下调整机头摆动过程中发现（假设光源位置始终不变），墙上高为米处始终能被照射到，若不考虑墙高，则投影仪发射的光线可能到达的最高位置离地面的距离是 米． 三、解答题：本题共8小题，共75分。 16．（8分）解一元二次方程时，两位同学的解法如下： 嘉嘉同学： 或 或 琪琪同学： ，， 此方程无实数根． （1）你认为他们的解法是否正确？直接写出判断结果； 嘉嘉同学的解法__________，琪琪同学的解法__________．（填“正确”或者“不正确”） （2）请选择合适的方法解一元二次方程． 17．（8分）已知关于的一元二次方程． （1）求证该方程总有两个实数根； （2）若该方程的一个根是另一个根的2倍，求的值． 18．（9分）“中国开封菊花文化节”始于年，是开封市实现文化大发展、提升城市文化软实力、建设国际文化旅游名城的重要名片之一，每年的-月都为八方来客奉上一场既有时代气息又具开封特色的菊花文化盛宴，市民们也常在当季购买菊花观赏．某菊花供应商有一种菊花，进货价为每盆元，销售价为每盆元，菊花节期间平均每天可以售出盆．菊花节落幕后决定降价出售，经市场调查发现：如果每盆降价元，那么平均每天就可多出售盆．设每盆降价元． （1）降价后每盆的利润是__________元；每天卖出__________盆；（用含的代数式表示） （2）菊花供应商想要达到每天元的盈利，同时想让市民得到实惠，求每盆应降价多少元？ 19．（10分）许多数学问题源于生活．雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞（如图①）、可以发现数学研究的对象——抛物线．在如图②所示的直角坐标系中，伞柄在y轴上，坐标原点O为伞骨，的交点．点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上，，关于y轴对称．分米，点A到x轴的距离是分米，A，B两点之间的距离是4分米．    （1）求抛物线的表达式； （2）分别延长，交抛物线于点F，E，求E，F两点之间的距离． 20．（10分）石桥酥梨，又称皮薄酥、喉管梨、红珊瑚梨等，是河南水果的一大特色，并有多个品种对外销售，深受国内外消费者的喜爱．某大型超市购进该种品牌的酥梨若干，正常售价为每千克5.5元，若按照九折销售，仍能获得的利润． （1）求该品牌酥梨的进价． （2）若购进该品牌酥梨不超过200千克，则按原进价购进；若超过200千克，则超过部分购进价格减少0.5元/千克．写出购进该品牌酥梨的支出y（元）与购进数量x（千克）之间的函数关系式． （3）根据市场调查，超市一天购进酥梨的数量不超过300千克，且购进的酥梨当天能全部销售完．据统计，销售单价a（元/千克）与一天销售数量x（千克）的关系为．在（2）的条件下，要使超市销售酥梨的利润w（元）最大，求一天购进酥梨的数量． 21．（10分）数学社团活动课上，同学们研究一个问题：任意给定一个矩形，是否存在一个新矩形，它的周长和面积分别是原矩形周长和面积的一半？ 【阶段一】同学们认为可以先研究给定矩形为正方形的情况，即是否存在一个正方形，其周长和面积都为原正方形周长和面积的一半？ 思路：设给定的正方形边长为a，则其周长为4a，面积为．若新正方形的周长是原正方形周长的一半，则新正方形边长为①_______，此时新正方形的面积是②_______ 结论：③_______（“存在”或“不存在”）一个新正方形，它的周长和面积分别是原矩形周长和面积的一半 【阶段二】同学们对矩形（不包括正方形）的情况进行探究， 活动一：从特殊的矩形入手，如果已知矩形的长和宽分别为4和2，是否存在一个新矩形，它的周长和面积分别是原矩形周长和面积的一半？ 分析：设新矩形长和宽分别为x，y，根据题意，得方程组④______________ 思路一：消去未知数y，得到关于x的方程，根据利用“凑完全平方”得方程的解的情况解决问题． 思路二：根据利用完全平方公式的代数变换解决问题． 结论：⑤_________（“存在”或不存在）一个新矩形，使其周长和面积都是长和宽分别为4和2的矩形周长和面积的一半． 活动二：对于一般的矩形，如果已知矩形的长和宽分别为m和n，是否存在一个新矩形，它的周长和面积分别是原矩形周长和面积的一半？若存在，请指出需要满足的条件，若不存在，请说明理由． 请你完成以下任务： (1)将①~⑤分别补充完整； (2)按照【阶段二】中活动一的思路一、思路二选取其中一种，解决问题： (3)完成对【阶段二】中活动二的研究． 22．（10分）【阅读理解】在欧几里得的《几何原本》中，形如关于的一元二次方程（，）的图解法是：如图，作，其中，，，在斜边上截取，则的长就是所求方程的正根． 【推导验证】 对方程进行配方，得， 因为，所以，…… （1）请你继续完成上述推导． 【尝试应用】（2）若利用此图解法解方程，那么_____，_____，方程的正根_____． （3）已知关于的一元二次方程（），利用上述图解法求解时，有，求a的值． 23．（10分）中国瓷器是世界上最早最精美的陶瓷之一，也是中国文化的重要组成部分，九（1）班同学在进行历史和数学跨学科项目式学习时，通过收集到的素材进行了方案探究和任务性学习： 【设计方案求碗里水面的宽度】 素材一 图1是一个竖直放置在水平桌面MN上的瓷碗，图2是其截面图，瓷碗高度，碗口宽，，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），当碗中盛满水时的最大深度． 素材二 如图3，把瓷碗绕点B缓缓倾斜，倒出碗中的部分水，当水面与碗口的夹角为时停止倾斜． 问题解决 问题1 如右图，以碗底的中点F为原点O，以为x轴，的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，求碗体的抛物线解析式. 问题2 根据图2位置，当把碗中的水喝掉一部分后，发现水面的最大深度为，求此时水面宽度的长. 问题3 如图3，当碗停止倾斜时，求此时碗里水面的宽度______． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $