第一次月考压轴题汇总（一元二次方程与反比例函数）2026-2027学年苏科版九年级数学上册秋期复习讲义+重难点专题训练

第一次月考压轴题汇总（一元二次方程与反比例函数） 压轴题型 考查位置 核心难点 一元二次方程概念辨析 选择、填空基础题 一元二次方程的定义：只含一个未知数、未知数最高次数为2、整式方程，且二次项系数不为0。常结合含参数方程、特殊方程（分式方程、根式方程、一次方程）辨析考查。 一元二次方程四种解法 解答基础必考 解方程必先化为一般形式ax²+bx+c=0()；配方法务必保证二次项系数为1，配方时常数项对应加减。 根的判别式应用 选择、填空、解答中档题 1. 不解方程判断根的情况；2. 已知根的个数，求参数取值范围；3. 结合整数根、有理根求参数值。 根与系数的关系（韦达定理） 中档高频压轴 已知一根求另一根及参数；2. 不解方程求代数式的值（、、()² 等）；3. 已知两根关系求参数。 一元二次方程实际应用题 解答压轴必考 审题设元→找等量关系→列方程→解方程→检验（舍去不符合实际的根）→作答 反比例函数概念与解析式求解 基础题 1. 判断反比例函数；2. 已知函数过定点，求k值与解析式；3. 已知点在图象上，求坐标参数。 反比例函数图象与性质 选择、填空高频 1. 根据k的符号判断图象象限、增减性；2. 比较不同点的函数值大小；3. 根据图象位置求k的取值范围。 反比例函数k的几何意义 重难点、高频中档题 1. 已知图形面积求k值；2. 已知k值求几何图形面积；3. 结合矩形、三角形、梯形的面积综合计算；4. 双曲线阶梯、中点坐标结合求k值。 反比例函数与一次函数综合 解答中档压轴 函数不等式解集：看图象上下位置，上方图象对应函数值更大，结合交点横坐标划分取值范围。 反比例函数实际应用 基础解答题 确定反比例关系→设解析式 y=→代入已知条件求 k→得到函数关系式→求解对应问题。 反比例函数与一元二次方程结合 核心考法：联立反比例函数与一次函数解析式，得到一元二次方程，利用根的判别式判断交点个数，利用韦达定理求解交点坐标关系、线段长度、图形面积。 新定义创新题型 贴合新教材素养导向，考查差根方程、反比例新定义运算、方程与函数结合创新题型，侧重知识迁移与综合运用能力。 【题型一】一元二次方程概念辨析（选择、填空基础题） 【例1】．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）下列方程是关于x的一元二次方程的是 （    ） A． B． C． D． 【例2】．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段检测）下列是关于x的一元二次方程的是（  ） A． B． C． D． 【变式1】．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）将一元二次方程化为一般形式为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（2026·江苏扬州·一模）若是关于的一元二次方程的一个解，则的值为（） A．3 B．2 C．1 D．0 【变式3】．（2026·江苏南通·模拟预测）已知关于x的方程是一元二次方程，则的值为_____________ 【题型二】一元二次方程四种解法（解答基础必考） 【例3】．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段检测）解下列方程 (1)； (2)． 【变式1】．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)； 【变式2】．（26-27九年级上·江苏南京·期末）解方程 (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式3】．（24-25九年级上·江苏南京·阶段检测）阅读下面的材料，回答问题： (1)将关于x的一元二次方程+bx+c＝0变形为＝﹣bx﹣c，就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法”． 已知﹣x﹣1＝0，用“降次法”求出﹣3x+2020的值是______． (2)解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设＝y，那么，于是原方程可变为 （1），解得＝1，＝4． 当y＝1时，＝1，∴x＝±1； 当y＝4时，＝4，∴x＝±2； ∴原方程有四个根． 请你用 （2）中的方法求出方程的实数解． 【题型三】根的判别式应用（选择、填空、解答中档题） 【例4】．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【例5】．一元二次方程根的判别式的值是______． 【变式1】．已知关于x的一元二次方程．试判断此一元二次方程根的存在情况； 【变式2】．（24-25九年级上·江苏淮安·阶段检测）已知关于x的方程 (1)不解方程，判别方程根的情况； (2)若方程有一个根为，求m的值． 【变式3】．（25-26九年级·江苏南通·期末）已知关于的方程 其中． (1)利用判别式判断该方程的根的情况； (2)C是线段上一点， ，的长是该方程的一个根， 且． ①求证； ②确定点在线段上的位置，并说明理由． 【题型四】根与系数的关系（韦达定理）（中档高频压轴） 【例6】．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）已知、是一元二次方程的两个根，则的值是______． 【例7】．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段检测）已知关于的一元二次方程 (1)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； (2)若该方程的一个根为3，求的值及该方程的另一根． 【变式1】．（2026·江苏泰州·一模）已知，是关于x的一元二次方程的两根，且，则k的值为______． 【变式2】．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段检测）已知关于x的方程． (1)求证：无论k取什么实数值，这个方程总有实数根； (2)能否找到一个实数k，使方程的两实数根互为相反数？若能找到，求出k的值；若不能，请说明理由． 【变式3】．（26-27九年级上·江苏南京·期中）在课上，我们已经学习过一元二次方程、一元三次方程根与系数的关系． (1)已知，，为一元三次方程的三个实数根，则___________，___________，___________． (2)问题解决．已知，，为方程的三个实数根，则对于下列结论一定正确的是（     ） A．     B．     C．     D． (3)若的三个根分别为，，，则的值是___________． (4)拓展提升．已知实数满足，且，求正数的最小值． 【题型五】一元二次方程实际应用题（解答压轴必考） 【例8】．（24-25九年级上·江苏南京·期末）我国通过药品集中采购，大大减轻了百姓的医药负担．某种药品经过两次降价，药价从每盒200元下调至72元，平均每次降价的百分率是多少？ 【例9】．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）新沂是一座美丽的城市，拥有丰富的旅游资源，马陵山风景区就是我市的4A级旅游景区．景区研发一款成本为30元的旅游纪念品进行销售，规定销售单价不得低于成本且不得高于54元．销售一段时间后发现，当产品售价为40元时，每天可以销售80件，且产品销售价格每上涨1元，每天销售量就会相应减少2件．若要使每天销售这款产品所得利润为1200元，请您确定此时的销售单价． 【变式1】．绿茵争锋，“足”够精彩！2015年教育部下发《关于公布2015年全国青少年校园足球特色学校及试点县（区）名单的通知》，认定福清西山学校等校为全国青少年校园足球特色学校．若学校体艺办要组织一次足球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，问应邀请多少支球队参赛？ 【变式2】．社区利用一块矩形空地修建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为的道路．已知铺花砖的面积为． (1)求道路的宽是多少？ (2)该停车场共有车位30个，据调查分析，当每个车位的月租金为400元时，可全部租出．若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位．求当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为10920元． 【变式3】．如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，，两点分别从，同时出发． (1)若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． ①经过几秒，的面积等于？ ②的面积能否等于？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由． (2)若点到达后不停止，立即以原速沿返回；点到达后不停止，继续以原速沿射线方向运动，直到点第一次回到时，两点同时停止运动．在整个运动过程中，第几秒的面积等于？ 【题型六】反比例函数概念与解析式求解（基础题） 【例10】．若函数为y关于x的反比例函数，则m的值为（   ） A． B．0 C．2 D．或2 【例11】．（25-26九年级上·江苏南通·期中）已知点在反比例函数的图象上，则的值为（    ） A．3 B． C．12 D． 【变式1】．（2024·江苏南京·三模）若点都在反比例函数的图像上，则m与n之间的数量关系是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（2024·江苏宿迁·二模）已知点是反比例函数图像上一点，则的最小值为(    ) A． B． C． D． 【变式3】．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）问题背景：对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．以下结论： ①是“不动点函数”，且只有一个不动点； ②是“不动点函数”，且有两个不动点； ③为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点； ④若为“不动点函数”，则． 其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型七】反比例函数图象与性质（选择、填空高频） 【例12】．（2026·江苏徐州·中考真题）若点，都在函数的图象上，且，则（     ） A． B． C． D． 【例13】．（2024·江苏扬州·三模）若点、都在双曲线上，且，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【例14】．（24-25九年级上·江苏南京·阶段检测）已知，是反比例函数图象上的两点：若，则___________（填“<”、“=”或“>”） 【变式1】．（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）若点，在双曲线上，则，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【变式2】．（2026·江苏盐城·一模）已知直线与双曲线的一个交点坐标为，则它们的另一个交点坐标为_______． 【变式3】．（26-27九年级上·江苏南京·期末）若正比例函数的图像与反比例函数的图像交于点，且与一次函数的图像交于点，若，则的取值范围是___________． 【变式4】．（2024·江苏泰州·模拟预测）在平面直角坐标系中，对于，若点的坐标为（其中为常数且），则称点为点的“的和谐点”．已知点在函数的图象上运动，且点是点的“的和谐点”，若，则的最小值为______． 【题型八】反比例函数k的几何意义（重难点、高频中档题） 【例15】．如图，点B在反比例函数的图象上，点C在反比例函数的图象上，且轴，，垂足为C，交y轴于点A，求的面积． 【例16】．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的对角线交于原点O，顶点在反比例函数的图象上，若轴于点D，平行四边形的面积为8，求k的值． 【变式1】．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图1，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上．顶点B的坐标为，反比例函数 的图像分别交边、于 D、E， 交对角线 于 F． (1)若点F 是的中点，则 _______，______． (2)如图2，点B的坐标为，试探寻线段与的位置关系，并说明理由． 【变式2】．（2026·江苏连云港·二模）小红将一块含角的三角板按照如图所示的方式摆放在平面直角坐标系中，已知三角板的直角顶点恰好在反比例函数的图象上，三角板的顶点在轴上，且点坐标为，三角板的另一个顶点与原点重合，线段所在直线的表达式为． (1)则________，________，________； (2)当时，直接写出的取值范围； (3)把沿着轴向右平移个单位，对应得到，当反比例函数的图象经过一边的中点时，请直接写出的值． 【变式3】．（2025·江苏泰州·三模）在平面直角坐标系中，如图，点A为函数图象上一动点，过点A作y轴的平行线交直线于点B，点P坐标为．当时，点P恰好落在的函数图象上． (1)求函数的关系式； (2)若是以为斜边的等腰直角三角形，求点A的坐标； (3)在点A运动过程中始终存在一点P，使恒成立，求a的值． 【题型九】反比例函数与一次函数综合（解答中档压轴） 【例17】．（26-27九年级上·江苏·阶段检测）如图已知直线与x、y轴分别交于点A、B，与双曲线交于点C，过点C作轴于点D，连接，设C点坐标为， (1)当时，求的值； (2)求证：； (3)随着a的变化，的值是否变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由． 【例18】．（24-25九年级·江苏泰州·阶段检测）如图，已知一次函数与反比例函数的图像分别交于和两点． (1)求一次函数和反比例函数的关系式； (2)连接，求的面积； (3)直接写出时，x的取值范围． 【变式1】．如图，平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象相交于点，两点． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)直接写出的解集． 【变式2】．如图，一次函数的图象与反比例函数（）的图象交于点，． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)利用图象，直接写出不等式的解集为______； 【变式3】．（24-25九年级上·江苏南通·阶段检测）如图，已知直线与双曲线交于，两点，且点的横坐标为4． (1)求的值； (2)若双曲线上一点的纵坐标为8，求的面积； (3)直接写出的解集． 【题型十】反比例函数实际应用（基础解答题） 【例19】．（2026·江苏南京·二模）某箱包厂计划生产一批双肩包，已知双肩包的成本（元/个）由材料成本和加工成本两部分组成．其中材料成本保持不变，加工成本与加工数量（个）成反比例函数关系．经测算，生产1000个双肩包，成本是40元/个；生产2000个双肩包，成本是35元/个． (1)求与的函数表达式； (2)若要把成本控制为32元/个，应生产多少个双肩包？ 【例20】．某中学物理兴趣小组在探究液体的压强与容器底面积的关系时，把一定质量的水放入不同底面积的均匀柱形容器中．如图，在实验中发现，水对容器底部的压强（单位：）与容器底面积（单位：）成反比例函数关系． (1)把一定质量的水放入底面积为的容器时，压强是，求压强关于底面积的函数关系式； (2)在（1）的条件下，实验小组计划更换不同规格的同类型容器，底面积的调节取值范围是，请结合实验数据计算此时水对容器底部的压强的取值范围． 【变式1】．（25-26九年级上·江苏南通·期末）某校举行青少年国防素养知识竞赛．如图，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四个班级竞赛成绩的优秀率（该班优秀人数与该班参加竞赛人数的比值）与该班参加竞赛人数的情况，其中，描述乙、丁两个班级情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上． (1)根据图中信息，求丁班级的优秀率； (2)学校决定给优秀率最高的班级颁发“卓越先锋奖”，给优秀人数最多的班级颁发“群星闪耀奖”，请结合图象信息确定颁奖结果． 【变式2】．浮力式密度计是测量液体密度的仪器（如图1），通常是一个密封的玻璃管，底部有重物，上部有刻度，把它放入液体中，它会竖直漂浮．密度计上与液面平齐的刻度为浸没深度（单位：），且液体密度（单位：）是浸没深度（单位：）的反比例函数．小明在家里制作简易浮力式密度计（如图2），经过测量与查阅资料得到浸没深度与液体密度的对应关系（如下表）． 酒精 水 蜂蜜 浸没深度 8.5 14 10 1 (1)__________，__________； (2)如果该简易密度计能竖直漂浮的最小浸没深度为，最大浸没深度为，求该密度计能测量的液体密度的范围． 【变式3】．（2026·江苏扬州·中考真题）“道路千万条，安全第一条”．为研究汽车驾驶员的视野大小与行车速度之间的关系，某研究小组在一定条件下进行了一系列的测试． 【数据收集】下表是测试所得的数据： 行车速度（） 视野角度（度） (1)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描出相应的点，并用平滑的曲线顺次连接各点． 【数学表达】 (2)请结合数据与图象，直接写出能近似体现视野角度（度）与行车速度（）之间关系的函数表达式． 【问题解决】 (3)在相同测试条件下，若要求驾驶员的视野角度不小于80度，那么车辆的行驶速度应控制在什么范围？ 【题型十一】反比例函数与一元二次方程结合 【例21】．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）若关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的倍，则称这样的方程为“倍根方程”．例如：已知一元二次方程的两个根是和，则该方程是“倍根方程”． (1)若一元二次方程是“倍根方程”，求的值； (2)若是“倍根方程”，求代数式的值； (3)若点在反比例函数的图像上，证明：关于的方程是“倍根方程”． 【变式1】．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的3倍，那么称这样的方程为“三倍根方程”．例如，方程的两个根是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”． (1)下列方程是三倍根方程的是______；（填序号即可） ①；②；③． (2)如果关于的方程是“三倍根方程”，求的值； (3)如果点在反比例函数的图象上，那么关于的方程是“三倍根方程”吗？请说明理由． (4)如果关于的一元二次方程是“3倍根方程”，那么、c应满足的关系是______．（直接写出答案） 【变式2】．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的3倍，则称这样的方程为“3倍根方程”， (1)①方程_________“3倍根方程”（填“是”或“不是”）； ②若一元二次方程是“3倍根方程”，则_________； (2)若是“3倍根方程”，求代数式的值； (3)若点在反比例函数的图象上，则关于x的方程是“3倍根方程”吗？并说明理由． 【变式3】．（2024九年级上·江苏泰州·阶段检测）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是2和4，则方程x2﹣6x+8＝0就是“倍根方程”． （1）若一元二次方程x2﹣3x+c＝0是“倍根方程”，求c的值； （2）若（x﹣2）（mx﹣n）＝0（m≠0）是“倍根方程”，求代数式4m2﹣5mn+n2的值； （3）若点（p，q）在反比例函数y＝的图象上，请说明关于x的方程px2+3x+q＝0是“倍根方程”； （4）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）是“倍根方程”，请说明2b2＝9ac． 【题型十二】新定义创新题型 【例22】．（25-26九年级上·江苏溧阳·期末）定义新运算：，则对于函数，下列说法正确的是（   ） A．函数图象经过点 B．函数图象位于第一、三象限 C．当时， D．当时，y随x的增大而增大 【例23】．（2024·江苏徐州·二模）定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图像的“平衡点”．例如，点是函数的图像的“平衡点”．在函数①，②，③，④，⑤，⑥的图象上，存在“平衡点”的函数是___________．（填序号） 【例24】．（26-27九年级上·江苏南京·课后作业）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是______； (2)若是一元二次方程的倒方程的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的倒方程的一个实数根，求的值． 【变式1】．新定义：若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”．若关于的一元二次方程是“倍根方程”，则代数式的值为（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式2】．（2025·江苏扬州·一模）给出一种运算：对于，规定例如：若，则有已知，则命题“方程的解是或”是__________命题． 【变式3】．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段检测）定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“美好”方程；如果一个一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程，则______． 一、单选题 1．若点都在反比例函数的图象上，则a、b、c的大小关系为（　　） A． B． C． D． 2．（2024九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图是由三个边长分别为6、9、x的正方形所组成的图形，若直线将它分成面积相等的两部分，则x的值是（    ） A．1或9 B．3或5 C．4或6 D．3或6 3．若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 4．如图，用一段长的铁丝围成一个一边靠墙（墙长，不使用铁丝）的矩形，其面积为，在矩形的边上留一个宽的门（由其他材料制成），则的长为（    ） A． B．或 C． D． 5．甲、乙两人在解一道一元二次方程的题时，甲在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根为和，乙在化简中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为2和9，则原来的方程是（     ） A． B． C． D． 6．（2026·江苏苏州·一模）我们将关于的一元二次方程与称为“同构二次方程”．比如与就是“同构二次方程”．已知两个关于的一元二次方程与是“同构二次方程”，则的值分别为（   ） A． B．，2 C．，4 D．，0 7．（2024·江苏扬州·模拟预测）小明同学利用计算机软件绘制函数（为常数）的图象如图所示，由学习函数的经验，可以推断常数的值满足（    ） A． B． C． D． 8．（26-27九年级上·江苏·单元测试）若等腰三角形的一边长是，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 9．如图，直线与反比例函数的图象相交于点A，B，点P在A和B之间的反比例函数图象上，分别过点B和P作x轴和y轴的垂线段，垂足为C，D，E，F，则下列说法错误的是（　　） A．矩形和矩形的面积相等 B．矩形的周长是12 C．矩形的周长大于矩形的周长 D．k的取值范围是 二、填空题 10．方程是关于的一元二次方程，则的值为_______． 11．某旅行社的一则广告如下： 我社组团去井冈山红色研学活动，收费标准：如果人数不超过30，那么人均旅游费用为800元；如果人数多于30，那么每增加1人，人均旅游费用降低10元，但人均旅游费用不得低于500元． 现该旅行社组织了一批学生去井冈山红色研学活动，共计收到费用29250元，则这次旅游可以安排_____人参加． 12．如果反比例函数（是常数）的图像在第二、四象限，那么的值是__________． 13．如图，某小区规划在一个长、宽的长方形场地上修建三条同样宽的通道，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种花草，要使每一块草坪的面积都为，那么通道的宽x应该满足的方程为_______________________________ 14．（24-25九年级上·江苏南通·阶段检测）已知一次函数的图象在y轴上的截距与一次函数的图象在y轴上的截距互为相反数，则_______． 15．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）已知关于的一元二次方程的两根为．在平面直角坐标系中有，，，，且，若，则的值为____． 16．若以方程 的两个实数根作为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数y的图象上，则满足条件的k值为_____． 17．（2025·江苏南通·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与反比例函数在第一象限内的图象交于点，连接，若，，则的值是________． 三、解答题 18．用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 19．（2024·江苏苏州·一模）在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若两垂线与坐标轴围成矩形的周长C数值和面积S数值相等，则称这个点为“等值点”，例如：点，因为，，所以A是“等值点”． (1)在点，，中，是“等值点”的有：_____； (2)若点E为双曲线，上任意一点，将点E向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到点F，求证：点F为“等值点”； (3)若一次函数的图象在第一象限内有两个“等值点”，求b的取值范围． 20．已知，矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上，已知点B的坐标为，反比例函数的图象经过的中点D，且与交于点E，顺次连接O，D，E． (1)求m的值和E的坐标； (2)在线段上存在一点M，当的面积等于时，求点M的坐标； (3)平面直角坐标系中是否存在一点N，使得O、D、E、N四点构成平行四边形？若存在，请计算N的坐标；若不存在，请说明理由． 21．（26-27九年级上·江苏徐州·阶段检测） 已知关于x的方程．若，是方程的两根． (1)当时，求m的值； (2)直接写出代数式的最小值． 22．（2026九年级上·江苏·专题练习）如图，矩形的一个顶点与原点重合，两边分别在坐标轴上，反比例函数的图象与该矩形相交于E，F两点，以这两点为顶点作矩形，我们约定这个矩形为反比例函数的“相伴矩形”．已知点C的坐标为，，求点F的坐标． 23．（26-27九年级上·江苏·阶段检测）在平面直角坐标系中，点和点（点不与点重合，点在点的下方）都在反比例函数第一象限内的图象上． (1)延长与轴交于点． ①如图1，如果，，且平分，求的面积； ②如图2，如果点是线段的中点，直线的表达式为，直线的表达式为，求的值； (2)如图3，直线分别与轴、轴交于点、，若，是否存在点，使得？若存在求出的度数；若不存在请说明理由． 24．综合与实践 【主题】“知耕园”生态农场田地设计 【情境】为了让同学们懂得劳动之义，知晓劳动之责，厚植劳动情怀；学校决定建立“知耕园”生态农场，开展种菜、采摘等劳动课程，老师请同学们参与一块长为60米，宽为40米的矩形菜地的方案设计，以下是同学们对菜地小路设计的研究过程． (1)【任务一】要求：设计的每一条小路都连接矩形菜地的一组对边．同学们设计的方案主要有如图1所示的甲、乙、丙三种典型的方案，三幅图中．为施工方便，学校选择甲方案设计，并要求菜地面积为2262平方米，则每条小路的宽度是______米． (2)【任务二】为了便于开展更多的劳动课程，学校打算在农场旁边建一个花圃．如图2，花圃一边利用水池，其它边用长为150米的篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃．若可利用的水池长70米，花圃的面积刚好为1800平方米，求矩形花圃的一边的长． 25．操作与实践 【示范操作】 古代数学家赵爽著《勾股圆方图注》中的配方方法更加简捷，只用了“拼”完成了配方，用4个长为，宽为x，面积为24的长方形，拼成如图1的大正方形，利用大正方形的面积等于4个长方形的面积加中空的小正方形面积得：． 【模仿实践】 (1)仿例题配方解，先变形为________，如图2，每个小长方形的长为________，宽为________，利用图形的面积关系得配方后的方程为________，解为________． 【深入探究】 (2)配方解，自己画图分析，写出解题过程． 【总结提升】 小敏同学质疑方法的局限性：，变形为，没法拼图了呀？ 小聪同学发现：方法中的拼图就是模型，于是有了另一种方法，设，，则有，，，配方成功，从数到形，又从形回归到数． (3)请你用小聪的方法配方解，写出解题过程． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一次月考压轴题汇总（一元二次方程与反比例函数） 压轴题型 考查位置 核心难点 一元二次方程概念辨析 选择、填空基础题 一元二次方程的定义：只含一个未知数、未知数最高次数为2、整式方程，且二次项系数不为0。常结合含参数方程、特殊方程（分式方程、根式方程、一次方程）辨析考查。 一元二次方程四种解法 解答基础必考 解方程必先化为一般形式ax²+bx+c=0()；配方法务必保证二次项系数为1，配方时常数项对应加减。 根的判别式应用 选择、填空、解答中档题 1. 不解方程判断根的情况；2. 已知根的个数，求参数取值范围；3. 结合整数根、有理根求参数值。 根与系数的关系（韦达定理） 中档高频压轴 已知一根求另一根及参数；2. 不解方程求代数式的值（、、()² 等）；3. 已知两根关系求参数。 一元二次方程实际应用题 解答压轴必考 审题设元→找等量关系→列方程→解方程→检验（舍去不符合实际的根）→作答 反比例函数概念与解析式求解 基础题 1. 判断反比例函数；2. 已知函数过定点，求k值与解析式；3. 已知点在图象上，求坐标参数。 反比例函数图象与性质 选择、填空高频 1. 根据k的符号判断图象象限、增减性；2. 比较不同点的函数值大小；3. 根据图象位置求k的取值范围。 反比例函数k的几何意义 重难点、高频中档题 1. 已知图形面积求k值；2. 已知k值求几何图形面积；3. 结合矩形、三角形、梯形的面积综合计算；4. 双曲线阶梯、中点坐标结合求k值。 反比例函数与一次函数综合 解答中档压轴 函数不等式解集：看图象上下位置，上方图象对应函数值更大，结合交点横坐标划分取值范围。 反比例函数实际应用 基础解答题 确定反比例关系→设解析式 y=→代入已知条件求 k→得到函数关系式→求解对应问题。 反比例函数与一元二次方程结合 核心考法：联立反比例函数与一次函数解析式，得到一元二次方程，利用根的判别式判断交点个数，利用韦达定理求解交点坐标关系、线段长度、图形面积。 新定义创新题型 贴合新教材素养导向，考查差根方程、反比例新定义运算、方程与函数结合创新题型，侧重知识迁移与综合运用能力。 【题型一】一元二次方程概念辨析（选择、填空基础题） 【例1】．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）下列方程是关于x的一元二次方程的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题主要考查了一元二次方程的识别，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义． 利用一元二次方程的定义逐项进行判断即可，含有一个未知数，并且所含未知数项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程． 【详解】解：A.当时，该选项不是一元二次方程，不符合题意； B.该选项是分式方程，不符合题意； C.该选项整理后，不含二次项，是一元一次方程，不符合题意； D.该选项是一元二次方程，符合题意； 故选：D． 【例2】．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段检测）下列是关于x的一元二次方程的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程需满足：①整式方程；②仅含一个未知数；③未知数的最高次数为2． 根据一元二次方程的定义进行判断即可． 【详解】解：A：，仅为代数式，无等号，不是方程，不符合题意． B：，化简为，未知数次数为1，是一元一次方程，不符合题意． C：含项，分母含未知数，属于分式方程，非整式方程，不符合题意． D：，满足整式方程、仅含x且最高次数为2，符合题意． 故选D． 【变式1】．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）将一元二次方程化为一般形式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，根据一元二次方程的一般式：，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 【变式2】．（2026·江苏扬州·一模）若是关于的一元二次方程的一个解，则的值为（） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】根据一元二次方程解的定义，能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解，将代入原方程，即可求解得到的值． 【详解】∵是一元二次方程的一个解， ∴， 整理得， 解得． 【变式3】．（2026·江苏南通·模拟预测）已知关于x的方程是一元二次方程，则的值为_____________ 【答案】 【知识点】由一元二次方程的定义求参数 【分析】根据一元二次方程的定义，未知数最高次数为且二次项系数不为，列等式和不等式求解即可． 【详解】解：∵原方程是关于的一元二次方程， ∴ 且， 解第一个等式，得或， 解不等式，得， ∴． 【题型二】一元二次方程四种解法（解答基础必考） 【例3】．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段检测）解下列方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元二次方程——配方法、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）利用配方法即可求解； （2）利用因式分解法求解． 【详解】（1）解： 或 解得：； （2）解： 或 解得：． 【变式1】．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1)， (2)， (3)，； (4)， 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、解一元二次方程——配方法、公式法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程 【分析】（1）用直接开平方法，即可求解； （2）可求，，，，由求根公式，进行求解即可． （3）将方程右边的项移到左边进行因式分解，即可求解； （4）整理后，利用配方法即可求解． 【详解】（1）解：， 开方得， ，； （2）解：， ，，， ， ， ，； （3）解：， 整理得，即， 因式分解得，即， 或， ，； （4）解：， 整理得，即， 配方得，即， 开方得， ，． 【变式2】．（26-27九年级上·江苏南京·期末）解方程 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【知识点】公式法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程 【详解】（1）解：， 因式分解得， ∴或， 解得，； （2）解：， 其中，，， 计算得， 由求根公式得， 即，； （3）解：， 由平方差公式得， 化简得， ∴或， 解得，； （4）解：， 展开得， 整理得， 因式分解得， ∴或， 解得，． 【变式3】．（24-25九年级上·江苏南京·阶段检测）阅读下面的材料，回答问题： (1)将关于x的一元二次方程+bx+c＝0变形为＝﹣bx﹣c，就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法”． 已知﹣x﹣1＝0，用“降次法”求出﹣3x+2020的值是______． (2)解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设＝y，那么，于是原方程可变为 （1），解得＝1，＝4． 当y＝1时，＝1，∴x＝±1； 当y＝4时，＝4，∴x＝±2； ∴原方程有四个根． 请你用 （2）中的方法求出方程的实数解． 【答案】(1)2022 (2)， 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、公式法解一元二次方程、换元法解一元二次方程 【分析】（1）根据题目所提供的方法即可求出答案； （2）根据换元法即可求解． 【详解】（1）解：∵﹣x﹣1＝0， ∴＝x+1， ∴﹣3x+2020 ＝ ＝﹣x+2021 ＝x+1﹣x+2021 ＝2022． 故答案为：2022； （2）解：设+x＝y，那么，于是原方程可变为， 解得＝﹣2，＝4． 当y＝﹣2时，+x+2＝0，Δ＝1﹣4×1×2＝﹣7＜0， ∴方程无解； 当y＝4时，+x﹣4＝0， ∴x＝； ∴原方程有两个根：x1＝，x2＝． 【点睛】本题考查了降次法求代数式的值和换元法解一元二次方程，能够降次是解此题的关键． 【题型三】根的判别式应用（选择、填空、解答中档题） 【例4】．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据判别式来判断即可，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根． 【详解】解：， 故一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 【例5】．一元二次方程根的判别式的值是______． 【答案】 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，其判别式为，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 【变式1】．已知关于x的一元二次方程．试判断此一元二次方程根的存在情况； 【答案】有两个不相等的实数根 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．计算一元二次方程的根的判别式，判断其符号，即可求解， 【详解】解：， ∵， ∴， 有两个不相等的实数根 【变式2】．（24-25九年级上·江苏淮安·阶段检测）已知关于x的方程 (1)不解方程，判别方程根的情况； (2)若方程有一个根为，求m的值． 【答案】(1)此方程有两个不相等的实数根 (2)解得或 【知识点】公式法解一元二次方程、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程以及求出判别式是值来判断方程根的情况，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据，代入数值进行计算，即可作答． （2）把代入，得到关于的一元二次方程，再运用公式法解一元二次方程，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴此方程有两个不相等的实数根： （2）解：将代入方程，得：， 整理得：， 解得或 【变式3】．（25-26九年级·江苏南通·期末）已知关于的方程 其中． (1)利用判别式判断该方程的根的情况； (2)C是线段上一点， ，的长是该方程的一个根， 且． ①求证； ②确定点在线段上的位置，并说明理由． 【答案】(1)该方程有两个不相等的实数根 (2)①证明：∵的长是该方程的一个根， ∴．即．① ∵， ∴．② ①+②，得． ∴． ②解：在线段靠近的三等分点处，即． ∵， ∴． ∴． 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、由一元二次方程的解求参数 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式计算，得出，即可求解； （2）①根据的长是该方程的一个根，得出，结合已知，进而得出 ②根据，，求得的值，即可求解． 【详解】（1）解：， ∴该方程有两个不相等的实数根． 【题型四】根与系数的关系（韦达定理）（中档高频压轴） 【例6】．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）已知、是一元二次方程的两个根，则的值是______． 【答案】1 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系可知，再代入得出答案． 【详解】∵是一元二次方程的两个根， ∴． 故答案为：1． 【例7】．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段检测）已知关于的一元二次方程 (1)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； (2)若该方程的一个根为3，求的值及该方程的另一根． 【答案】(1) (2) 的值为，方程的另一根为 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数、由一元二次方程的解求参数 【分析】（1）根据方程有两个不相等实数根，结合判别式大于0列不等式求解； （2）可代入已知根求，再解方程得另一根，或利用根与系数的关系直接计算． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 即， 解得； （2）解：设方程的另一根为， 根据根与系数的关系，得， ， 解得，． 【变式1】．（2026·江苏泰州·一模）已知，是关于x的一元二次方程的两根，且，则k的值为______． 【答案】2 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，得到两根之和与两根之积，再代入题目给出的等量关系求解即可． 【详解】解：，是一元二次方程的两根， 由根与系数的关系得，， ， ， 解得． 【变式2】．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段检测）已知关于x的方程． (1)求证：无论k取什么实数值，这个方程总有实数根； (2)能否找到一个实数k，使方程的两实数根互为相反数？若能找到，求出k的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1) 证明：∵， ∴无论k取什么实数值，这个方程总有实数根； (2)能，k的值为 【知识点】相反数的定义、一元二次方程的根与系数的关系、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】（1）根据一元二次方程的判别式即可得出结论； （2）由方程的两实数根互为相反数可得，再由一元二次方程的根与系数的关系可得，从而可得，再求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵方程的两实数根互为相反数， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴当时，方程的两实数根互为相反数． 【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系、一元二次方程的根与判别式的关系、相反数的定义，根据一元二次方程的根与系数的关系得出是解题的关键． 【变式3】．（26-27九年级上·江苏南京·期中）在课上，我们已经学习过一元二次方程、一元三次方程根与系数的关系． (1)已知，，为一元三次方程的三个实数根，则___________，___________，___________． (2)问题解决．已知，，为方程的三个实数根，则对于下列结论一定正确的是（     ） A．     B．     C．     D． (3)若的三个根分别为，，，则的值是___________． (4)拓展提升．已知实数满足，且，求正数的最小值． 【答案】(1)，， (2)A (3)49 (4)3 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、一元二次方程的根与系数的关系、根据判别式判断一元二次方程根的情况、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】（1）利用多项式因式分解与系数对应关系，将三次方程写为的形式，展开后与原方程同次项系数对比，即可解答； （2）由（1）得到，，即可判断A，D选项；由于，，由于，的取值不确定，无法判断符号，即可判断B，C选项； （3）先根据（1）的结论求出，，再利用完全平方公式变形求解即可； （4）由和，推导出，，将a，c看作一元二次方程的两个实根，利用判别式建立关于b的不等式，求解b的最小值． 【详解】（1）解：∵一元三次方程的三个实数根为，，， ∴， 展开，得， 对比方程可得， ，，， ∵， ∴，，． （2）解：∵，，为方程的三个实数根， ∴由（1）可得，， ∴A选项正确，D选项错误． ，的取值不确定，无法判断符号，故B选项错误． ，的取值不确定，无法判断符号，故C选项错误． （3）解：∵的三个根分别为，，， ∴，， ∵， ∴． （4）解：∵，， ∴，， ∴a，c是方程的两个实数根， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴正数的最小值为3． 【题型五】一元二次方程实际应用题（解答压轴必考） 【例8】．（24-25九年级上·江苏南京·期末）我国通过药品集中采购，大大减轻了百姓的医药负担．某种药品经过两次降价，药价从每盒200元下调至72元，平均每次降价的百分率是多少？ 【答案】平均每次降价的百分率是 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了分式方程的应用，设平均每次降价的百分率是，根据某种药品经过两次降价，药价从每盒200元下调至72元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 【详解】解：设平均每次降价的百分率是， 根据题意得：， 解得：（舍去）： 答：平均每次降价的百分率是． 【例9】．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）新沂是一座美丽的城市，拥有丰富的旅游资源，马陵山风景区就是我市的4A级旅游景区．景区研发一款成本为30元的旅游纪念品进行销售，规定销售单价不得低于成本且不得高于54元．销售一段时间后发现，当产品售价为40元时，每天可以销售80件，且产品销售价格每上涨1元，每天销售量就会相应减少2件．若要使每天销售这款产品所得利润为1200元，请您确定此时的销售单价． 【答案】销售单价为50元． 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意正确列方程是解题关键．设销售单价为元，根据“产品售价为40元时，每天可以销售80件，且产品销售价格每上涨1元，每天销售量就会相应减少2件”列方程，确定满足条件的解即可． 【详解】解：设销售单价为元， 由题意得：， 整理得：， 解得：或（舍）， 答：销售单价为50元． 【变式1】．绿茵争锋，“足”够精彩！2015年教育部下发《关于公布2015年全国青少年校园足球特色学校及试点县（区）名单的通知》，认定福清西山学校等校为全国青少年校园足球特色学校．若学校体艺办要组织一次足球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，问应邀请多少支球队参赛？ 【答案】6支 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】单循环赛制中，若有x支球队参赛，每支球队需要和其余支球队各赛一场，但这样会重复计算（例如甲队与乙队的比赛和乙队与甲队的比赛是同一场）．因此，总比赛场数为． 【详解】解：设应邀请x支球队参赛，则由题意得 解得：，（舍去） 答：应邀请6支球队参赛． 【变式2】．社区利用一块矩形空地修建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为的道路．已知铺花砖的面积为． (1)求道路的宽是多少？ (2)该停车场共有车位30个，据调查分析，当每个车位的月租金为400元时，可全部租出．若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位．求当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为10920元． 【答案】(1)6m (2)20元 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程是解题关键． （1）由题意知，道路的宽为米，根据矩形的面积公式列出方程并解答即可； （2）设车位的月租金上涨元，则租出的车位数量是个，根据：月租金每个车位的月租金车位数，列出方程并解答即可． 【详解】（1）解：由题意得 ， 整理得：， 解得：（舍去），， 答：道路的宽为米． （2）解：设当每个车位的月租金上涨a元时，停车场的月租金收入为10 920元， 根据题意得， ， 整理得，， 解得或（舍去）． 答：当每个车位的月租金上涨20元时，停车场的月租金收入为10 920元． 【变式3】．如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，，两点分别从，同时出发． (1)若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． ①经过几秒，的面积等于？ ②的面积能否等于？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由． (2)若点到达后不停止，立即以原速沿返回；点到达后不停止，继续以原速沿射线方向运动，直到点第一次回到时，两点同时停止运动．在整个运动过程中，第几秒的面积等于？ 【答案】(1)①经过2秒或4秒后，的面积等于；②的面积不能等于； (2)当为秒或秒，的面积等于． 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、动态几何问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）①设运动时间为x秒，根据三角形面积公式构建方程求解即可； ②设运动时间为x秒，的面积等于，根据三角形面积公式构建方程，解方程即可判断； （2）分两种情况讨论，用面积公式列方程即可得到答案． 【详解】（1）解：①设运动时间为x秒，则，， 又， ∴， 根据题意，得， 解得，． ∴经过2秒或4秒后，的面积等于； ②设运动时间为x秒，的面积等于， 根据题意，得， 整理得， ∴， ∴方程无解， ∴的面积不能等于； （2）解：设运动的时间为t秒， ①当时，， 由题意，得， 解得：，； ②当时，， 由题意，得， 解得：，（舍去）， 综上所述，当为秒或秒时，的面积等于． 【题型六】反比例函数概念与解析式求解（基础题） 【例10】．若函数为y关于x的反比例函数，则m的值为（   ） A． B．0 C．2 D．或2 【答案】A 【知识点】根据反比例函数的定义求参数 【分析】本题考查了反比例函数的定义，反比例函数形式为且，因此指数需为，系数非零，由此计算即可得解，熟练掌握反比例函数的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵函数为y关于x的反比例函数， ∴，， 由得， 解得：，， ∵， ∴， 综上所述，的值为， 故选：A． 【例11】．（25-26九年级上·江苏南通·期中）已知点在反比例函数的图象上，则的值为（    ） A．3 B． C．12 D． 【答案】B 【知识点】求反比例函数值 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的特征，将点A的坐标代入反比例函数解析式，直接计算即可． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴m的值为， 故选：B． 【变式1】．（2024·江苏南京·三模）若点都在反比例函数的图像上，则m与n之间的数量关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用反比例函数描述数量关系 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握知识点是解题的关键． 将代入反比例函数解析式即可求解． 【详解】解：将代入反比例函数， 得到：， ∴， 故选：B． 【变式2】．（2024·江苏宿迁·二模）已知点是反比例函数图像上一点，则的最小值为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】配方法的应用、求反比例函数值 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，根据反比例函数图象上点的坐标特征可知，把变形为，即可求解． 【详解】解：点是反比例函数图象上一点， ，， ， ， 当，时，有最小值为， 故选：A． 【变式3】．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）问题背景：对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．以下结论： ①是“不动点函数”，且只有一个不动点； ②是“不动点函数”，且有两个不动点； ③为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点； ④若为“不动点函数”，则． 其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【知识点】函数的概念、求一次函数自变量或函数值、已知二次函数的函数值求自变量的值、由反比例函数值求自变量 【分析】本题主要考查了函数的定义，求一次函数值，求反比例函数值，二次函数与一元二次方程， 根据“不动点函数”的定义，对每个结论通过解方程判断是否存在不动点，验证结论正确性后统计正确个数． 【详解】解：①∵令，则，化简得，矛盾，无实数解， ∴该函数不是“不动点函数”，①错误； ②∵令，则，两边乘得 又∵实数范围内 ∴方程无实数解，该函数没有不动点，②错误； ③∵令，则，整理得 解得或， ∴点是该函数的不动点，③正确； ④∵若是“不动点函数”，则， 整理得， 方程有实数解需判别式， 即，解得， 而结论中的范围不完整，④错误． 综上，正确的结论只有1个． 故选：A． 【题型七】反比例函数图象与性质（选择、填空高频） 【例12】．（2026·江苏徐州·中考真题）若点，都在函数的图象上，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据即可得出结论． 【详解】解：在函数中，， ∴该函数图象的两个分支分别位于第一、三象限， ∵， ∴点在第三象限，， ∵， ∴点在第一象限，， ∴． 【例13】．（2024·江苏扬州·三模）若点、都在双曲线上，且，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求一元一次不等式的解集、已知反比例函数的增减性求参数 【分析】首先要判断A、B两点是否在同一象限，然后根据得，从而得出a的取值范围． 【详解】解：∵，，且， ∴点A在第二象限，点B在第四象限， ∴反比例函数的比例系数， 解得. 【例14】．（24-25九年级上·江苏南京·阶段检测）已知，是反比例函数图象上的两点：若，则___________（填“<”、“=”或“>”） 【答案】 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查反比例函数的性质．熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．根据反比例函数的性质，时，在每一个象限，随着的增大而增大，进行判断即可． 【详解】解：∵，是反比例函数图象上的两点： ∴函数图象在第二，四象限，随着的增大而增大， ∴时，； 故答案为：． 【变式1】．（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）若点，在双曲线上，则，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】由确定双曲线的象限分布，结合点的横坐标符号判断函数值正负即可比较． 【详解】解：∵， ∴双曲线的两支分别位于第二、第四象限， ∵点的横坐标， ∴该点在第二象限，， ∵点的横坐标， ∴该点在第四象限，， ∴． 【变式2】．（2026·江苏盐城·一模）已知直线与双曲线的一个交点坐标为，则它们的另一个交点坐标为_______． 【答案】 【知识点】求关于原点对称的点的坐标、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】直线和双曲线的图象都关于原点中心对称，因此两个交点关于原点对称，根据已知交点坐标即可求出另一个交点坐标． 【详解】解：∵直线的图象关于原点对称，双曲线的图象也关于原点对称， ∴直线与双曲线的两个交点关于原点对称． 已知一个交点坐标为，因此另一个交点坐标为． 【变式3】．（26-27九年级上·江苏南京·期末）若正比例函数的图像与反比例函数的图像交于点，且与一次函数的图像交于点，若，则的取值范围是___________． 【答案】 或 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、正比例函数的性质、两直线的交点与二元一次方程组的解、比较反比例函数值或自变量的大小、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】由正比例函数和反比例函数的中心对称性得，因此所求式子的值等于，再根据推导的范围，进而得到的取值范围． 【详解】解：∵ 正比例函数和反比例函数都关于原点对称， ∴ 交点关于原点对称，得，即； ∴ ，只需计算的取值范围； 联立和，得，整理得，因此，且，保证两个交点存在； 联立和，得，因此，； 由条件，得，两边平方得； ∵ ，，两边同乘，不等号方向不变，得： ， 整理得， 因式分解得， 解得或， 结合分两种情况讨论： ①当时，，均为正数，取倒数后不等号反向，得，两边乘得，即； ②当时，，得，两边乘得，即； 综上，的取值范围是或． 【变式4】．（2024·江苏泰州·模拟预测）在平面直角坐标系中，对于，若点的坐标为（其中为常数且），则称点为点的“的和谐点”．已知点在函数的图象上运动，且点是点的“的和谐点”，若，则的最小值为______． 【答案】 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、反比例函数与几何综合 【分析】由点是点的“的和谐点”，可设点坐标，表示出点坐标，由点在函数的图象上，就得到点在一个一次函数的图象上，可求出这条直线与坐标轴的交点、的坐标，过作这条直线的垂线，这点到垂足之间的线段为，此时最小，等积法求出的长即可． 【详解】解：设， 点是点的“的和谐点”， ， 点在函数的图象上， ，， 即：或（舍去）， ， 点在直线上运动， ∴当直线时，的长最小， 设直线与轴、轴相交于点、，过点作，垂足为， 则、， ， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴的最小值为． 【题型八】反比例函数k的几何意义（重难点、高频中档题） 【例15】．如图，点B在反比例函数的图象上，点C在反比例函数的图象上，且轴，，垂足为C，交y轴于点A，求的面积． 【答案】的面积为5 【知识点】反比例函数与几何综合、已知比例系数求特殊图形的面积、根据矩形的性质与判定求面积 【分析】过点作轴于点，则四边形为矩形，根据反比例函数值的几何意义，得到矩形的面积等于，再根据的面积是矩形面积的一半即可得解． 【详解】解：过点作轴于点， ∵轴，， ， ∴四边形为矩形， 设与轴的交点为，则四边形和四边形均为矩形， ∵点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上， ∴矩形的面积， ∵为矩形的对角线， ∴的面积等于矩形的面积的一半，即：的面积等于5． 【例16】．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的对角线交于原点O，顶点在反比例函数的图象上，若轴于点D，平行四边形的面积为8，求k的值． 【答案】 【知识点】反比例函数与几何综合、根据图形面积求比例系数（解析式）、利用平行四边形的性质求解 【分析】根据平行四边形的性质得，再由反比例函数比例系数的几何意义即可求得的值． 【详解】解：∵平行四边形的对角线交于原点， ， 轴于点D， ， ， ． 【变式1】．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图1，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上．顶点B的坐标为，反比例函数 的图像分别交边、于 D、E， 交对角线 于 F． (1)若点F 是的中点，则 _______，______． (2)如图2，点B的坐标为，试探寻线段与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)3，， (2) 【知识点】反比例函数与几何综合、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题主要考查了矩形的性质，反比例函数的性质，平行线的判定等知识点，解决此题的关键是理解题意，灵活运用所学知识； （1）先求出点F的坐标，再根据待定系数法求出反比例函数的解析式即可； （2）根据反比例函数的性质分别表示出点D和点E的坐标，再得到线段之比相等即可得到答案； 【详解】（1）解：∵顶点B的坐标为，点F 是的中点， ∴点F的坐标为， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵点D的横坐标为4， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， 故答案为：3，； （2）解：由题可得：，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴． 【变式2】．（2026·江苏连云港·二模）小红将一块含角的三角板按照如图所示的方式摆放在平面直角坐标系中，已知三角板的直角顶点恰好在反比例函数的图象上，三角板的顶点在轴上，且点坐标为，三角板的另一个顶点与原点重合，线段所在直线的表达式为． (1)则________，________，________； (2)当时，直接写出的取值范围； (3)把沿着轴向右平移个单位，对应得到，当反比例函数的图象经过一边的中点时，请直接写出的值． 【答案】(1)16；；8 (2) (3)6或2 【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、已知图形的平移，求点的坐标、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）过点A作于点C，根据等腰直角三角形的性质可得点，再利用待定系数法解答即可； （2）根据题意可得直线与反比例函数交于点，再观察图象即可求解； （3）根据平移的性质可得点，从而得到的中点坐标为，的中点坐标为，然后分两种情况解答即可． 【详解】（1）解：如图，过点A作于点C， ∵点坐标为， ∴， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∴点， 把点代入得：， 把点，代入得： ， 解得：； （2）解：由（1）得：，， 联立得：， 解得：， 即直线与反比例函数交于点， 观察图象得：当，即时，的取值范围为； （3）解：∵把沿着轴向右平移个单位，对应得到，点， ∴点， ∴的中点坐标为，的中点坐标为， 当反比例函数的图象经过点时，， 此时； 当反比例函数的图象经过点时，， 此时； 综上所述，a的值为6或2． 【变式3】．（2025·江苏泰州·三模）在平面直角坐标系中，如图，点A为函数图象上一动点，过点A作y轴的平行线交直线于点B，点P坐标为．当时，点P恰好落在的函数图象上． (1)求函数的关系式； (2)若是以为斜边的等腰直角三角形，求点A的坐标； (3)在点A运动过程中始终存在一点P，使恒成立，求a的值． 【答案】(1) (2)点或 (3) 【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及等腰直角三角形的性质等，处理数据和利用绝对值是解题的关键． （1）把点代入，得到，于是得到结论； （2）设点，则点，根据，得到，解方程即可得到结论； （3）设点，点，根据，得到方程，化简整理得到，因为上式恒成立，得到，于是得到结论． 【详解】（1）解：点在的函数图象上， ， 函数的关系式为； （2）解：设点，则点， ， 则， 解得：或或（舍去）， 即点或； （3）解：设点，点， ， 则， 即， 因为上式恒成立， 则， 解得：． 【题型九】反比例函数与一次函数综合（解答中档压轴） 【例17】．（26-27九年级上·江苏·阶段检测）如图已知直线与x、y轴分别交于点A、B，与双曲线交于点C，过点C作轴于点D，连接，设C点坐标为， (1)当时，求的值； (2)求证：； (3)随着a的变化，的值是否变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明：∵点在双曲线上， ∴， ∵点C在直线上， ∴， ∴， ∴； (3)不变， 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）先求出点的坐标，进而求出的值，求出两点坐标，根据题意，进行求解即可； （2）根据点为交点，分别代入反比例函数解析式，以及一次函数解析式，进行推导即可； （3）求出点的坐标，进而表示出，结合（2）的结论进行求解即可. 【详解】（1）解：∵点为直线和双曲线的交点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴直线的解析式为， ∴当时，， ∴， ∵轴于点D， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）略 （3）解：不变，理由如下， ∵， ∴当时，， ∴， ∵，轴于点D， ∴， ∴， ∴， 由（2）可知， ∴， ∴，为定值. 【例18】．（24-25九年级·江苏泰州·阶段检测）如图，已知一次函数与反比例函数的图像分别交于和两点． (1)求一次函数和反比例函数的关系式； (2)连接，求的面积； (3)直接写出时，x的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)或 【知识点】求一次函数解析式、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）把代入反比例函数可求得，即可得到反比例函数的解析式，再将代入可求得，再根据待定系数法求得一次函数的解析式即可； （2）求出一次函数图象与轴交点坐标，再利用三角形的面积公式计算即可； （3）根据图象得到一次函数图象在反比例函数图像上方的取值范围即可． 本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题、待定系数法求函数解析式等知识点，正确确定反比例函数和一次函数的解析式是解答本题的关键． 【详解】（1）将代入得，，所以； 将代入得，， ∴； 将代入得，， 解得， ∴. 所以一次函数和反比例函数的关系式分别为：，； （2）设与轴交于，则， 则； （3）由图可知，时，或. 【变式1】．如图，平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象相交于点，两点． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)直接写出的解集． 【答案】(1)； (2)或 【知识点】求一次函数解析式、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的综合应用，正确进行计算是解题关键． （1）把点代入求出，进而求出，把点，代入，即可求出； （2）直接根据函数图象作答即可． 【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上， ． ∴反比例函数的解析式为； 把代入，则． ∴点． 把，代入，得 ，解得 ∴一次函数的解析式为． （2）解：，， 由图象可知，不等式的解集为或． 【变式2】．如图，一次函数的图象与反比例函数（）的图象交于点，． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)利用图象，直接写出不等式的解集为______； 【答案】(1)， (2)或 【知识点】求一次函数解析式、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数图象综合判断、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，再把点B坐标代入反比例函数解析式中求出点B坐标，最后把点A和点B坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可； （2）根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象下方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过， ∴， 解得， ∴反比例函数的解析式为； 在中，当时，， ∴， ∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，， ∴， 解得， ∴一次函数解析式为； （2）解：由函数图象可知，当一次函数的图象在反比例函数的 图象下方时自变量的取值范围为或． ∴不等式的解集为或． 【变式3】．（24-25九年级上·江苏南通·阶段检测）如图，已知直线与双曲线交于，两点，且点的横坐标为4． (1)求的值； (2)若双曲线上一点的纵坐标为8，求的面积； (3)直接写出的解集． 【答案】(1)8 (2)15 (3)或 【知识点】求反比例函数解析式、根据图形面积求比例系数（解析式）、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数图象的交点问题： （1）先求出点A的坐标，再把出点A的坐标代入，即可求解； （2）先求出点C的坐标，分别过点C，A作轴于点E，轴于点F，则，然后根据，解答即可； （3）先求出点B的坐标，再直接观察图象，即可求解． 【详解】（1）解：把代入得：， ∴点， 把点代入得： ； （2）解：由（1）得：反比例函数的解析式为， ∵双曲线上一点的纵坐标为8， ∴当时，， ∴点， 如图，分别过点C，A作轴于点E，轴于点F，则， ∴， ∴ ； （3）解：∵直线与双曲线交于，两点，， ∴点， 观察图象得：当或时，双曲线位于直线的上方， ∴的解集为或， 即的解集为或． 【题型十】反比例函数实际应用（基础解答题） 【例19】．（2026·江苏南京·二模）某箱包厂计划生产一批双肩包，已知双肩包的成本（元/个）由材料成本和加工成本两部分组成．其中材料成本保持不变，加工成本与加工数量（个）成反比例函数关系．经测算，生产1000个双肩包，成本是40元/个；生产2000个双肩包，成本是35元/个． (1)求与的函数表达式； (2)若要把成本控制为32元/个，应生产多少个双肩包？ 【答案】(1) (2)5000个 【知识点】实际问题与反比例函数、求反比例函数解析式 【分析】（1）先根据题意设出函数形式，因为材料成本为常数，加工成本与x成反比例，所以可设，其中b为材料成本，k为反比例系数，将已知的两组x、y对应值代入所设函数，得到关于b和k的二元一次方程组，解方程组求出b和k的值，即可得到y与x的函数表达式． （2）把代入已求出的函数表达式，得到关于x的分式方程，解方程即可求出对应的生产数量． 【详解】（1）解：根据题意，加工成本与x成反比例，材料成本固定， 因此设函数表达式为： ，其中是单个的加工成本，是固定的材料成本． 将和分别代入得方程组： ， 两式相减消去得：，解得， 再代入得． 因此与的函数表达式为：； （2）解：把代入函数表达式： ， 整理得，解得． 答：应生产个双肩包． 【例20】．某中学物理兴趣小组在探究液体的压强与容器底面积的关系时，把一定质量的水放入不同底面积的均匀柱形容器中．如图，在实验中发现，水对容器底部的压强（单位：）与容器底面积（单位：）成反比例函数关系． (1)把一定质量的水放入底面积为的容器时，压强是，求压强关于底面积的函数关系式； (2)在（1）的条件下，实验小组计划更换不同规格的同类型容器，底面积的调节取值范围是，请结合实验数据计算此时水对容器底部的压强的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】实际问题与反比例函数、求反比例函数解析式 【分析】（1）由待定系数法进行求解即可； （2）由反比例函数的性质，算出临界值，即可得出对应的取值范围； 【详解】（1）解：由题可知，设（）， 当时，，代入得， ∴， ∴． （2）解：已知且， ∵， ∴在第一象限内，随的增大而减小， 当时，； 当时，； ∴． 【变式1】．（25-26九年级上·江苏南通·期末）某校举行青少年国防素养知识竞赛．如图，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四个班级竞赛成绩的优秀率（该班优秀人数与该班参加竞赛人数的比值）与该班参加竞赛人数的情况，其中，描述乙、丁两个班级情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上． (1)根据图中信息，求丁班级的优秀率； (2)学校决定给优秀率最高的班级颁发“卓越先锋奖”，给优秀人数最多的班级颁发“群星闪耀奖”，请结合图象信息确定颁奖结果． 【答案】(1) (2)甲班级颁发“卓越先锋奖”；丙班级颁发“群星闪耀奖” 【知识点】从函数的图象获取信息、实际问题与反比例函数、求反比例函数解析式 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数解析式的求解，解决本题的关键是熟练掌握反比例系数的含义． （1）设出函数解析式，再将点代入函数解析式求解出k的值，将代入求解优秀率即可； （2）根据函数图象可知，甲的y值最大，由此可得优秀率最高；再由反比例系数的意义判断优秀人数即可． 【详解】（1）解：设该反比例函数解析式为， 由图象可知，点在函数图象上， ∴，解得， ∴该函数解析式为， 由图象可知，丁班级参加竞赛人数为30人， ∴， ∴丁班级的优秀率为； （2）解：根据图象可知，甲班级的优秀率最高， ∴给甲班级颁发“卓越先锋奖”； 由图象可知，丙位于该函数图象上方， ∴丙所在的函数解析式的反比例系数大于乙、丁所在的函数解析式的反比例系数， ∵优秀率为该班优秀人数与该班参加竞赛人数的比值， 即该班优秀人数即为对应函数的反比例系数， ∴丙班级的优秀人数最多， ∴给丙班级颁发“群星闪耀奖”； 综上，甲班级颁发“卓越先锋奖”；丙班级颁发“群星闪耀奖”． 【变式2】．浮力式密度计是测量液体密度的仪器（如图1），通常是一个密封的玻璃管，底部有重物，上部有刻度，把它放入液体中，它会竖直漂浮．密度计上与液面平齐的刻度为浸没深度（单位：），且液体密度（单位：）是浸没深度（单位：）的反比例函数．小明在家里制作简易浮力式密度计（如图2），经过测量与查阅资料得到浸没深度与液体密度的对应关系（如下表）． 酒精 水 蜂蜜 浸没深度 8.5 14 10 1 (1)__________，__________； (2)如果该简易密度计能竖直漂浮的最小浸没深度为，最大浸没深度为，求该密度计能测量的液体密度的范围． 【答案】(1); (2) 【知识点】实际问题与反比例函数、求反比例函数解析式 【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式，再利用求函数值的方法解答即可； （2）根据反比例函数的增减性进行解答即可． 【详解】（1）液体密度（单位：）是浸没深度（单位：）的反比例函数， 设反比例函数解析式为， 把 ，代入得， ， 当 时， ； 当时， ； （2）当时， ， 当时， ， ， 当时，随着的增大而减小， ． 【变式3】．（2026·江苏扬州·中考真题）“道路千万条，安全第一条”．为研究汽车驾驶员的视野大小与行车速度之间的关系，某研究小组在一定条件下进行了一系列的测试． 【数据收集】下表是测试所得的数据： 行车速度（） 视野角度（度） (1)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描出相应的点，并用平滑的曲线顺次连接各点． 【数学表达】 (2)请结合数据与图象，直接写出能近似体现视野角度（度）与行车速度（）之间关系的函数表达式． 【问题解决】 (3)在相同测试条件下，若要求驾驶员的视野角度不小于80度，那么车辆的行驶速度应控制在什么范围？ 【答案】(1) (2) (3)车辆的行驶速度应控制在不超过，即 【知识点】用描点法画函数图象、实际问题与反比例函数、求反比例函数解析式、由反比例函数值求自变量 【分析】（1）根据表格数据在坐标系中描出对应点，按自变量从小到大的顺序用平滑曲线顺次连接各点即可； （2）观察数据得行车速度与视野角度的乘积近似为定值，判断为反比例函数，写出近似函数表达式并标注自变量取值范围即可； （3）根据视野角度的要求列不等式，代入反比例函数解析式，结合实际意义求解，即可得到行驶速度的控制范围． 【详解】（1）略 （2）解：观察表格数据，每组行车速度v与视野角度的乘积近似等于，符合反比例函数的特征，因此近似函数表达式为：； （3）解：由题意，要求视野角度不小于度，即，代入函数表达式得： ， 因为行车速度，不等式两边同时乘，不等号方向不变： ， 解得， 结合实际意义，车辆的行驶速度应控制在不超过，即． 【题型十一】反比例函数与一元二次方程结合 【例21】．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）若关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的倍，则称这样的方程为“倍根方程”．例如：已知一元二次方程的两个根是和，则该方程是“倍根方程”． (1)若一元二次方程是“倍根方程”，求的值； (2)若是“倍根方程”，求代数式的值； (3)若点在反比例函数的图像上，证明：关于的方程是“倍根方程”． 【答案】(1) (2) (3) 证明：将带入中，得，关于的方程， ， ， ，， ， 是倍根方程． 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据判别式判断一元二次方程根的情况、根据一元二次方程根的情况求参数、求反比例函数值 【分析】本题主要考查一元二次方程根据与系数的关系，根的判别式，求根公式的运用，反比例函数的运用，理解并掌握一元二次方程中根据与系数的关系，求根公式的运算，反比例函数的运用是解题的关键． （1）设一元二次方程的一个根为，则另一个根为，运用根与系数的关系列式求解即可； （2）根据材料提示的“倍根方程”的定义，结合方程可得，，分类讨论即可求解； （3）将带入中，得，运用求根公式可得关于的方程的两个根据，再结合“倍根方程”的定义即可求解． 【详解】（1）解：设一元二次方程的一个根为，则另一个根为， ∴由根与系数的关系得，， 解得，，即一个根为1，另一个根为2， ∴． （2）解：， ，， 当时，，原式， 当时，，原式． （3）略 【变式1】．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的3倍，那么称这样的方程为“三倍根方程”．例如，方程的两个根是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”． (1)下列方程是三倍根方程的是______；（填序号即可） ①；②；③． (2)如果关于的方程是“三倍根方程”，求的值； (3)如果点在反比例函数的图象上，那么关于的方程是“三倍根方程”吗？请说明理由． (4)如果关于的一元二次方程是“3倍根方程”，那么、c应满足的关系是______．（直接写出答案） 【答案】(1)③ (2)； (3)方程是“三倍根方程”； 点在反比例函数的图象上， ， 方程化为方程， 整理得， 解得，， 方程是“三倍根方程”； (4) 【知识点】因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系、求反比例函数值 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了一元二次方程的解和解一元二次方程． （1）分别求出①②③三个方程的根，然后根据题中所给定义可进行求解； （2）根据“三倍根方程”的定义设关于x的方程的两个根为，进而根据一元二次方程根与系数的关系及方差的解可进行求解； （3）方程化为方程，解方程求得方程的根，根据“三倍根方程”的定义即可求出答案； （4）根据“三倍根方程”的概念得到原方程可以改写为，解方程即可得到结论． 【详解】（1）解：由可得：，不满足“三倍根方程”的定义； 由可得：，不满足“三倍根方程”的定义； 由可得：，满足“三倍根方程”的定义； 故答案为：③； （2）解：设关于x的方程的两个根为， 由一元二次方程根与系数的关系可知：，， ∴，； （3）略 （4）解：根据“三倍根方程”的概念设一元二次方程的两个根为和． 原方程可以改写为， ， ． 解得． ，，之间的关系是． 故答案为：． 【变式2】．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的3倍，则称这样的方程为“3倍根方程”， (1)①方程_________“3倍根方程”（填“是”或“不是”）； ②若一元二次方程是“3倍根方程”，则_________； (2)若是“3倍根方程”，求代数式的值； (3)若点在反比例函数的图象上，则关于x的方程是“3倍根方程”吗？并说明理由． 【答案】(1)①是；②3 (2)或 (3)关于x的方程是“3倍根方程”，理由如下： ∵点在反比例函数的图像上 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∴此方程是3倍根方程． 【知识点】公式法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程、求反比例函数解析式 【分析】（1）根据“3倍根方程”定义进行判断即可； （2）先解出方程的两个根，再根据“3倍根方程”定义，得出或，分类讨论得出与的关系，代入式子进而得出答案； （3）根据点在反比例函数图像上，求出，再解一元二次方程，得出两个根满足“3倍根方程”定义． 【详解】（1）解：①是；②3 故答案为：①是；②3 （2）解：∵ ∴， ∵方程是3倍根方程 ∴或 当时，即 ∴ 当时，即 ∴ 综上，的值为或. （3）略 【点睛】本题考查了新定义题目，解题关键是要读懂题目中的新定义，根据新定义即可解题． 【变式3】．（2024九年级上·江苏泰州·阶段检测）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是2和4，则方程x2﹣6x+8＝0就是“倍根方程”． （1）若一元二次方程x2﹣3x+c＝0是“倍根方程”，求c的值； （2）若（x﹣2）（mx﹣n）＝0（m≠0）是“倍根方程”，求代数式4m2﹣5mn+n2的值； （3）若点（p，q）在反比例函数y＝的图象上，请说明关于x的方程px2+3x+q＝0是“倍根方程”； （4）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）是“倍根方程”，请说明2b2＝9ac． 【答案】（1）c的值为2；（2）0；（3）详见解析；（4）详见解析． 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】（1）设出其中一个根，表示另一个根，根据根与系数的关系，求出方程的两个根，进而求出c的值， （2）方程有一个根为2，由“倍根方程”的意义可知另一个根为1或4，当另一个根为1时代入方程可得m﹣n=0，当另一个根为4代入方程可得4m﹣n=0，而代数式4m2﹣5mn+n2可分解为（m﹣n）（4m﹣n），因此4m2﹣5mn+n2=（m﹣n）（4m﹣n）=0， （3）点（p，q）在反比例函数y的图象上，可得pq=2，再根据求根公式求出方程的两个根为x1，x2，进而判断是“倍根方程”， （4）设方程两根为x1，2x1，根据根与系数的关系得到：x1+2x1=，x1•2x1=，化简后可得结论． 【详解】（1）设一元二次方程x2﹣3x+c=0的一个根为x1，则另一个根为2x1， 由根与系数的关系得：x1+2x1=3，∴x1=1，即一个根为1，而另一个根为2，∴c=1×2=2， 答：c的值为2． （2）方程（x﹣2）（mx﹣n）=0的一个根为2，则另一个根为1或4， 当另一个根为1时，则﹣1×（m﹣n）=0，∴m﹣n=0， 当另一个根为4时，则2×（4m﹣n）=0，∴4m﹣n=0，∴4m2﹣5mn+n2=（m﹣n）（4m﹣n）=0， 答：代数式4m2﹣5mn+n2的值为0． （3）∵点（p，q）在反比例函数y的图象上，∴pq=2， 关于x的方程px2+3x+q=0的根为x， 即：x1，x2，∴x1=2x2， 因此是“倍根方程”． （4）设方程两根为x1，2x1，根据根与系数的关系得到：x1+2x1=，x1•2x1=，∴x1=，，∴，∴2b2=9ac． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，以及新定义“倍根方程”的意义，掌握一元二次方程根与系数的关系和“倍根方程”的意义是解决问题的关键． 【题型十二】新定义创新题型 【例22】．（25-26九年级上·江苏溧阳·期末）定义新运算：，则对于函数，下列说法正确的是（   ） A．函数图象经过点 B．函数图象位于第一、三象限 C．当时， D．当时，y随x的增大而增大 【答案】D 【知识点】求反比例函数值、判断反比例函数的增减性、判断反比例函数图象所在象限 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质； 根据新运算定义得出函数表达式，再利用反比例函数的性质逐一分析选项即可． 【详解】解：∵定义新运算 ∴， 对于A选项：将代入，得，故函数图象不经过点，A错误； 对于B选项：∵， ∴反比例函数的图象位于第二、四象限，B错误； 对于C选项：当时，为负数，为正数，且从增大到时，从1增大到4，即，C错误； 对于D选项：∵， ∴当时，随的增大而增大，D正确； 故选：D． 【例23】．（2024·江苏徐州·二模）定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图像的“平衡点”．例如，点是函数的图像的“平衡点”．在函数①，②，③，④，⑤，⑥的图象上，存在“平衡点”的函数是___________．（填序号） 【答案】①③⑤ 【知识点】求一次函数自变量或函数值、y=ax²+bx+c的图象与性质、由反比例函数值求自变量 【分析】本题考查函数图象上的点的特点．设平衡点的坐标为，将点分别代入到各个函数中，进行求解，判断即可．掌握“平衡点”的定义，是解题的关键． 【详解】解：设平衡点的坐标为， 把代入，得：，解得：， ∴的图象上存在“平衡点”； 把代入，得：，此方程无实数根， ∴的图象上不存在“平衡点”； 把代入，得：，解得：， ∴的图象上存在“平衡点”； 把代入，得：，此方程无实数根， ∴的图象上不存在“平衡点”； 把代入，得：，解得：， 经检验是原方程的解； ∴的图象上存在“平衡点”； 把代入，得：，此方程无解， ∴的图象上不存在“平衡点”； 故答案为：①③⑤． 【例24】．（26-27九年级上·江苏南京·课后作业）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是______； (2)若是一元二次方程的倒方程的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的倒方程的一个实数根，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、由一元二次方程的解求参数、化成一元二次方程的一般式 【分析】（1）根据倒方程定义，交换二次项系数与常数项，直接写出倒方程； （2）先写出原方程的倒方程，再将解代入倒方程，解方程求出参数； （3）先写出倒方程，利用方程根的意义得到，整体代入降次，求出代数式的值． 【详解】（1）解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程的倒方程是； （2）解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程的倒方程是， ∵是一元二次方程的倒方程的解， ∴把代入方程， 得， 解得； （3）解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程的倒方程是， ∵是一元二次方程的倒方程的一个实数根， ∴把代入方程， 得， ∴． 【点睛】本题为新定义题型，读懂“倒方程”：交换二次项系数和常数项，一次项系数不变，再结合方程根的意义、整体代入法求解． 【变式1】．新定义：若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”．若关于的一元二次方程是“倍根方程”，则代数式的值为（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【知识点】因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】通过因式分解求解一元二次方程的两个根，再根据“倍根方程”的定义分两种情况讨论根的关系，最终求解得到的值． 【详解】解：， ， 解得，． 关于的一元二次方程是“倍根方程”， 分两种情况：①当时，即，此时， ②当时，即，此时． 综上所述，代数式的值为或． 【变式2】．（2025·江苏扬州·一模）给出一种运算：对于，规定例如：若，则有已知，则命题“方程的解是或”是__________命题． 【答案】真 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、判断命题真假 【分析】本题考查了解一元二次方程的直接开平方法以及判断命题的真假．根据新定义的规定先计算，再解方程，最后进行判断即可． 【详解】解：由题意得，， 又∵， ∴． ∴． ∴，． 所以，命题“方程的解是或”是真命题， 故答案为：真． 【变式3】．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段检测）定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“美好”方程；如果一个一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程，则______． 【答案】5 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、加减消元法、一元二次方程的定义 【分析】根据题意得出，求出的值，代入进行计算即可得到答案． 【详解】解：一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程， ， 解得：， ， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义、解二元一次方程、求代数式的值，熟练掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 一、单选题 1．若点都在反比例函数的图象上，则a、b、c的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．根据反比例函数图象上点的坐标特征分别代入，求出a、b、c的值，比较即可得答案． 【详解】解：点都在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 故选：A． 2．（2024九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图是由三个边长分别为6、9、x的正方形所组成的图形，若直线将它分成面积相等的两部分，则x的值是（    ） A．1或9 B．3或5 C．4或6 D．3或6 【答案】D 【分析】将图形补全为大矩形，根据题意得到，然后列方程求解即可． 【详解】解：如图，将图形补全为大矩形， ∴， ∵直线将原图形分成面积相等的两部分， ∴， ∴， 解得或6． 3．若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数中的正负确定图象的象限与增减性，分象限比较的大小. 【详解】解：∵ 反比例函数中， ∴ 其图象位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小. ∵ 点，在第三象限，且， ∴ . ∵ 点在第一象限， ∴ . ∴ . 4．如图，用一段长的铁丝围成一个一边靠墙（墙长，不使用铁丝）的矩形，其面积为，在矩形的边上留一个宽的门（由其他材料制成），则的长为（    ） A． B．或 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的应用，掌握相关知识是解决问题的关键．设米，则米，根据矩形的面积为，列出关于的一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】解：设米，则米， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 又长度要小于墙长米， ， ∴米． 故选：D． 5．甲、乙两人在解一道一元二次方程的题时，甲在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根为和，乙在化简中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为2和9，则原来的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由甲的错误结果可求出正确的一次项系数，由乙的错误结果可求出正确的常数项，进而确定原方程． 【详解】解：设原一元二次方程为， ∵甲写错常数项，一次项系数正确，两根为和， ∴根据根与系数的关系，， ∴， ∵乙写错一次项系数，常数项正确，两根为和， ∴根据根与系数的关系，， ∴原方程为． 6．（2026·江苏苏州·一模）我们将关于的一元二次方程与称为“同构二次方程”．比如与就是“同构二次方程”．已知两个关于的一元二次方程与是“同构二次方程”，则的值分别为（   ） A． B．，2 C．，4 D．，0 【答案】C 【分析】根据“同构二次方程”的定义，两个方程的顶点式中的值相同，由第一个方程可知，故第二个方程也满足此条件，通过比较两个方程展开式的系数即可建立方程组求解． 【详解】解：∵与是“同构二次方程”， 故方程与方程为同一个方程， ， ， ， 解得：． 7．（2024·江苏扬州·模拟预测）小明同学利用计算机软件绘制函数（为常数）的图象如图所示，由学习函数的经验，可以推断常数的值满足（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查函数与图象．由图象可知，当时，，即可判断；当时，函数值不存在，即可判断． 【详解】解：由图象可知，当时，， ∵，， ∴ ∴； 当时，函数值不存在， ∵函数图象在第二象限不连续， ∴， 故选：D 8．（26-27九年级上·江苏·单元测试）若等腰三角形的一边长是，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分两种情况进行讨论，即当腰长为，当底边长为，进而求解即可． 【详解】解：当腰长为时，将代入，得， 解得， 此时，原方程为，即， 解得，， 则三角形三边为，，， ∵， ∴符合题意； 当底边长为时，方程有两个相等的根， ∴， 解得， 此时，原方程为，即， 解得， 则三角形三边为，，， ∵， ∴符合题意； 综上，的值为或，故只有B符合． 9．如图，直线与反比例函数的图象相交于点A，B，点P在A和B之间的反比例函数图象上，分别过点B和P作x轴和y轴的垂线段，垂足为C，D，E，F，则下列说法错误的是（　　） A．矩形和矩形的面积相等 B．矩形的周长是12 C．矩形的周长大于矩形的周长 D．k的取值范围是 【答案】D 【分析】题目主要考查反比例函数的综合问题，与一次函数的交点问题，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键 根据反比例函数的意义，与一次函数的交点问题，矩形的性质等依次判断即可 【详解】解：A、∵点P在A和B之间的反比例函数图象上， ∴矩形和矩形的面积均为，故选项正确，不符合题意； B、∵直线与反比例函数的图象相交于点A，B， ∴， ∴， 解得：， ∴，， ∴， ∴矩形的周长为：，故选项正确，不符合题意； C、延长交直线于点M，过点M作于点N，和交于点H， ∵， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， ∴， ∵矩形和矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴矩形的周长大于矩形的周长，选项正确，不符合题意； D、由A选项得：， ∴， ∴，选项错误，符合题意； 故选：D 二、填空题 10．方程是关于的一元二次方程，则的值为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义． 利用一元二次方程的定义进行求解即可． 【详解】解：根据题意得，， 解得或， 当时，，不符合题意，舍去， ∴， 故答案为：． 11．某旅行社的一则广告如下： 我社组团去井冈山红色研学活动，收费标准：如果人数不超过30，那么人均旅游费用为800元；如果人数多于30，那么每增加1人，人均旅游费用降低10元，但人均旅游费用不得低于500元． 现该旅行社组织了一批学生去井冈山红色研学活动，共计收到费用29250元，则这次旅游可以安排_____人参加． 【答案】45 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确得出等量关系是解题关键．根据题意得，可以得出人数大于人；设这次旅游可以安排人参加，可得人均旅游费为：，根据题意建立方程求解即可，根据人均旅游费用不得低于500元取舍方程的解，即可求解． 【详解】解：根据题意得， 所以该旅行社的人数大于人， 设这次旅游可以安排人参加，则人均旅游费为元， 由题意得：， 解得： 当时，人均费用＜，不符合要求；当时，人均费用，符合要求． 故这次旅游可以安排人参加． 故答案为：． 12．如果反比例函数（是常数）的图像在第二、四象限，那么的值是__________． 【答案】 【分析】先根据反比例函数的定义得到的次数与系数满足的条件，求出的所有可能值，再结合图象在第二、四象限的性质确定系数的符号，即可得到的值． 【详解】解：∵反比例函数的一般形式为，其中， ∴可得，解得且， ∵反比例函数的图像在第二、四象限， ∴，解得 ， ∴． 13．如图，某小区规划在一个长、宽的长方形场地上修建三条同样宽的通道，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种花草，要使每一块草坪的面积都为，那么通道的宽x应该满足的方程为_______________________________ 【答案】 【分析】根据草坪的总面积为长为，宽为的长方形的面积，列出方程即可. 【详解】解：由题意，可列方程为. 14．（24-25九年级上·江苏南通·阶段检测）已知一次函数的图象在y轴上的截距与一次函数的图象在y轴上的截距互为相反数，则_______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与y轴的交点问题．令，分别代入解析式，可求得一次函数在y轴上的截距，根据题意列出一元二次方程，计算即可求得． 【详解】解：令，和， 由题意得， 整理得， 解得或， 当时，，不符合题意，舍去， 当时，符合题意， 故答案为：． 15．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）已知关于的一元二次方程的两根为．在平面直角坐标系中有，，，，且，若，则的值为____． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，一元二次方程根于系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数关系：．根据勾股定理得出，推出，根据一元二次方程根与系数的关系，得出，则，进而得出，最后根据，得出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴， 整理得：， ∵一元二次方程的两根为， ∴， ∴， 则， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 16．若以方程 的两个实数根作为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数y的图象上，则满足条件的k值为_____． 【答案】-2 【分析】设方程的两个根分别为，根据题意得到＝，结合判别式，即可求解． 【详解】解：∵以方程的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数数y的图象上， ∴设方程的两个根分别为， ∴＝，即， ∴ 解得： ∵， ∴， ∴． 故答案为：-2． 【点睛】本题考查了一元二次方程 的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根，也考查了反比例函数． 17．（2025·江苏南通·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与反比例函数在第一象限内的图象交于点，连接，若，，则的值是________． 【答案】 【分析】先求出点坐标，再利用和三角形面积求出点坐标，最后代入反比例函数求．本题主要考查反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握三角函数定义、三角形面积公式及反比例函数性质是解题的关键． 【详解】解：直线，令，则， ，即． 过点作轴于点，设（）． ，且，， ，即． ∵， ∴，即， 解得． 把代入，得， ． ∵点在反比例函数上， ∴． 故答案为： ． 三、解答题 18．用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)方程无实数根 【分析】（1）根据一元二次方程的一般形式，分别找出二次项系数，一次项系数和常数项，根据判别式的值判断出该方程有两个不相等的实数根，再利用公式法求解即可； （2）先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再分别找出方程的二次项系数，一次项系数和常数项，根据判别式的值判断出该方程有两个不相等的实数根，再利用公式法求解即可； （3）先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再分别找出方程的二次项系数，一次项系数和常数项，根据判别式的值判断出该方程无实数根． 【详解】（1）解：， 由方程可得：，，， ∵， ∴， 即，； （2）解： ， 将原方程化为一般形式，得， 由方程一般形式可得：，，， ∵， ∴， 即，； （3）解：， 将原方程化为一般形式，得， 由方程一般形式可得：，，， ∵， ∴该方程无实数根． 19．（2024·江苏苏州·一模）在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若两垂线与坐标轴围成矩形的周长C数值和面积S数值相等，则称这个点为“等值点”，例如：点，因为，，所以A是“等值点”． (1)在点，，中，是“等值点”的有：_____； (2)若点E为双曲线，上任意一点，将点E向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到点F，求证：点F为“等值点”； (3)若一次函数的图象在第一象限内有两个“等值点”，求b的取值范围． 【答案】(1)D； (2) 证明：∵点E为双曲线()上任意一点， ∴可设点， 将点E向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到点F， 则点F的坐标是， ∵，， ∴， ∴点F为“等值点”． (3)． 【分析】（1）根据“等值点”的定义分别进行判断即可； （2）由点E为双曲线，上任意一点可设点，将点E向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到点F，则点F的坐标是，根据“等值点”的定义进行计算后即可证明； （3）设一次函数的图象在第一象限内“等值点”坐标为，由“等值点”的定义得到，由在第一象限内有两个“等值点”得到，，即可得到b的取值范围． 【详解】（1）解：点，因为，， ∴， ∴不是“等值点”； 点，因为，， ∴， ∴不是“等值点”； 点，因为，， ∴， ∴是“等值点”, 故答案为： （2）略． （3）设一次函数的图象在第一象限内“等值点”坐标为， ∵，， ∵， ∴， ∴， ∵在第一象限内有两个“等值点”， ∴，， ∴． 【点睛】此题是新定义题，考查了一次函数和反比例函数的性质，分式的混合运算，一元二次方程根的判别式和根与系数关系，读懂题意，准确计算是解题的关键． 20．已知，矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上，已知点B的坐标为，反比例函数的图象经过的中点D，且与交于点E，顺次连接O，D，E． (1)求m的值和E的坐标； (2)在线段上存在一点M，当的面积等于时，求点M的坐标； (3)平面直角坐标系中是否存在一点N，使得O、D、E、N四点构成平行四边形？若存在，请计算N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)； (3)存在，N的坐标为或或． 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，中点坐标公式，矩形的性质等知识，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． （1）根据点的坐标，利用中点坐标公式求出的坐标，确定出反比例函数解析式，进而求出点的坐标，即可求出的长； （2）根据坐标确定出直线与直线解析式，过点作轴交于点， 设， 三角形面积三角形面积三角形面积，把已知面积代入求出的值，即可确定出坐标； （3）分三种情况考虑，根据平行四边形性质及中点坐标公式确定出的坐标即可． 【详解】（1）解：点B的坐标为，D为中点， ， 反比例函数的图象经过的中点D， ， 反比例函数解析式为， 把代入反比例函数解析式中，得：， ∴； （2）解：由，得到直线解析式为， 由，得到直线解析式为， 过点M作轴交于点N， 设，则，， ， ， 解得：， ∴点M坐标为； （3）解：存在，理由如下： 由题意得：， 如图： 设， 分三种情况考虑：当四边形为平行四边形时， 可得， 解得：， ∴； 当四边形为平行四边形时， 可得， 解得：， ∴； 当四边形为平行四边形时， 可得， 解得：， ∴， 综上，的坐标为或或． 21．（26-27九年级上·江苏徐州·阶段检测） 已知关于x的方程．若，是方程的两根． (1)当时，求m的值； (2)直接写出代数式的最小值． 【答案】(1)； (2)0 【分析】（1）把代入方程，即可求解； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可得，，再代入，即可求解． 【详解】（1）解：把代入方程，得， ． （2）解：将，整理得， ∵，是方程的两根， ，， ∴， 所以代数式的最小值为0． 22．（2026九年级上·江苏·专题练习）如图，矩形的一个顶点与原点重合，两边分别在坐标轴上，反比例函数的图象与该矩形相交于E，F两点，以这两点为顶点作矩形，我们约定这个矩形为反比例函数的“相伴矩形”．已知点C的坐标为，，求点F的坐标． 【答案】 【分析】由矩形可得到，，则有相同的纵坐标，有相同的横坐标，然后求出反比例函数表达式，即可求解点F的坐标． 【详解】解：由题意知， ∴有相同的纵坐标，有相同的横坐标 ∴ 将代入中， 则 ∴反比例函数解析式为 ∵点C的坐标为 ∴将代入中得 ∴． 23．（26-27九年级上·江苏·阶段检测）在平面直角坐标系中，点和点（点不与点重合，点在点的下方）都在反比例函数第一象限内的图象上． (1)延长与轴交于点． ①如图1，如果，，且平分，求的面积； ②如图2，如果点是线段的中点，直线的表达式为，直线的表达式为，求的值； (2)如图3，直线分别与轴、轴交于点、，若，是否存在点，使得？若存在求出的度数；若不存在请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在点B，使得，理由如下； 过点作轴交于，过点作轴交于点，过点作交于， ∵点在反比例函数的图象上， ， ∴反比例函数为， ， ∴点A是的中点， 设点，， ， ， ， 把代入中，得， ， 设直线的解析式为， ， 解得， ∴直线的解析式， 当时，，当时，， ，， ∵， ，，， ， 在中，， ，， ，，， ， 在中，， 在中，， ， ． ，， 是等腰直角三角形且， ． 【分析】（1）由在反比例函数图象上，得出，过点作轴交于，可证明，即可算出面积；②设，，则，，再根据点是线段的中点，得到，即可得解； （2）过点作轴交于，过点作轴交于点，先求出，由，求出，求出直线的解析式，得到，，可得到，过点作交于，根据，，即可得到． 【详解】（1）在反比例函数的图象上， ， 过点作轴交于， 平分，， ，，， ， 的面积的面积； 设，， ，， 点是线段的中点， ， ， ． （2）略 24．综合与实践 【主题】“知耕园”生态农场田地设计 【情境】为了让同学们懂得劳动之义，知晓劳动之责，厚植劳动情怀；学校决定建立“知耕园”生态农场，开展种菜、采摘等劳动课程，老师请同学们参与一块长为60米，宽为40米的矩形菜地的方案设计，以下是同学们对菜地小路设计的研究过程． (1)【任务一】要求：设计的每一条小路都连接矩形菜地的一组对边．同学们设计的方案主要有如图1所示的甲、乙、丙三种典型的方案，三幅图中．为施工方便，学校选择甲方案设计，并要求菜地面积为2262平方米，则每条小路的宽度是______米． (2)【任务二】为了便于开展更多的劳动课程，学校打算在农场旁边建一个花圃．如图2，花圃一边利用水池，其它边用长为150米的篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃．若可利用的水池长70米，花圃的面积刚好为1800平方米，求矩形花圃的一边的长． 【答案】(1)1 (2)30米 【分析】（1）设每条小路的宽度是米，根据除小路后菜地面积为2262平方米列方程，解方程即得答案； （2）设矩形花圃的一边的长为米，则的长为米，根据花圃的面积刚好为1800平方米列方程，解方程即得答案． 【详解】（1）解：设每条小路的宽度是米， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴每条小路的宽度是1米； （2）解：设矩形花圃的一边的长为米，则的长为米， ∵水池长70米， ∴，解得， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：的长为30米． 25．操作与实践 【示范操作】 古代数学家赵爽著《勾股圆方图注》中的配方方法更加简捷，只用了“拼”完成了配方，用4个长为，宽为x，面积为24的长方形，拼成如图1的大正方形，利用大正方形的面积等于4个长方形的面积加中空的小正方形面积得：． 【模仿实践】 (1)仿例题配方解，先变形为________，如图2，每个小长方形的长为________，宽为________，利用图形的面积关系得配方后的方程为________，解为________． 【深入探究】 (2)配方解，自己画图分析，写出解题过程． 【总结提升】 小敏同学质疑方法的局限性：，变形为，没法拼图了呀？ 小聪同学发现：方法中的拼图就是模型，于是有了另一种方法，设，，则有，，，配方成功，从数到形，又从形回归到数． (3)请你用小聪的方法配方解，写出解题过程． 【答案】(1)，，，，， (2)由题意，先变形为， 如图， 每个小长方形的长为，宽为， ∴利用图形的面积关系得配方后的方程为， 即． 解得，； (3)， 【分析】（1）仿照例题，根据面积关系列方程求解即可； （2）先变形为，再仿照例题，根据面积关系列方程求解即可； （3）先变形为，设，，再仿照例题，根据，列方程求解即可． 【详解】（1）解：，先变形为， 如图2， 每个小长方形的长为，宽为，利用图形的面积关系得配方后的方程为， 解为，； （2）略 （3）解：由题意，先变形为， 设，， ． ， ． ． 解得，. 1 学科网（北京）股份有限公司 $